Как обозначают окружность в геометрии: Окружность и круг — урок. Математика, 5 класс.

Окружность и круг. Готовимся к ОГЭ по математике. Модуль 2. Урок 54

Окружность и круг
Окружностью называется геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, расположенных на заданном расстоянии от данной точки (центра окружности). Пример окружности изображён на рисунке 1.

Рис.1

Отрезок, соединяющий центр окружности с какой-либо точкой окружности, называется радиусом.
Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой. Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром. Диаметр — это наибольшая хорда окружности. Диаметр в 2 раза больше радиуса.
На рисунке 2 точка

— центр окружности, и — радиусы, и — хорды, при этом — диаметр.

Рис.2

Любые две точки окружности делят её на две части. Каждая из этих частей называется дугой окружности. На рисунке 3 обозначены

и — дуги, ограниченные точками и . Если из контекста понятно, о какой дуге идёт речь, то её обозначают только с помощью двух граничных точек, например, (см. рис. 3).

Рис.3                                                     Рис.4

Часть плоскости, ограниченная окружностью, называется кругом (см. рис.4).
Взаимное расположение прямой и окружности
Окружность и прямая могут иметь две общие точки (см. рис.5 а), одну общую точку (см. рис.5 б) или не иметь общих точек (см. рис.5 в).

Рис.5

Если общих точек 2, то прямая называется секущей (см. рис. 5 а), если такая точка одна, то прямая называется касательной (см. рис. 5 б).
Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. На рисунке 6 касательная

.

Рис.6

Взаимное расположение двух окружностей

Рис.7

Две окружности могут не иметь общих точек (см. рис. 7), иметь одну общую точку (см. рис. 8) либо иметь две общие точки (см. рис. 9).

Рис.8                                                   Рис.9

Если две окружности касаются, их центры и точка касания лежат на одной прямой (см. рис. 10).

Рис.10

.
Длина окружности и площадь круга
Если радиус окружности равен , то длина окружности , а площадь круга, ограниченного данной окружностью, . Зная диаметр , можно найти длину окружности как , а площадь круга как .
Углы, связанные с окружностью
Угол с вершиной в центре окружности называется центральным (см. рис. 11). Угловая величина дуги равна величине центрального угла, на неё опирающегося.

Рис.11                                                      Рис.12

Угол, вершина которого принадлежит окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным (см. рис.12).
Вписанный угол равен половине угловой величины дуги, на которую он опирается. Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны. На рисунке 13

.

Рис. 13

Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.
Угол между пересекающимися хордами равен полусумме противоположных дуг, высекаемых хордами. На рисунке 14

Рис.14

Угол между двумя секущими, пересекающимися вне круга, равен полуразности дуг, высекаемых секущими на окружности. На рисунке 15 угол

.

Рис.15                                                     Рис.16

Угол между касательной и хордой, проведённой через точку касания, равен половине угловой величины дуги, заключённой между ними,

на рисунке 16.
Длина дуги и площадь сектора
Рассмотрим дугу окружности радиуса и центральный угол, на неё опирающийся. Если величина центрального угла (в градусах) равна , то длина дуги равна . Например, если
, то длина дуги равна (см. рис.17).

Рис.17

Круговым сектором (или просто сектором) называется часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами. Дуга, которая ограничивает сектор, называется дугой сектора (

на рисунке 18). Если её величина равна (в градусах), то площадь сектора равна , где — радиус окружности.

Рис.18

Задача 1. В окружности с центром

(см. рис.19) найдите градусную меру , если .

Рис.19

Решение.

— вписанный, — центральный, они опираются на дугу , поэтому .
Ответ: 41.
Задача 2. Найдите длину отрезка секущей, используя рисунок 20. — центр окружности, — точка касания.

Рис.20

Решение.

— радиусы окружности. . Найдём из прямоугольного ( как радиус, проведённый в точку касания). По теореме Пифагора .
. Тогда .
Ответ: 36.

Длина окружности

Урок 36. Геометрия 9 класс ФГОС

В этом уроке мы выведем формулу, выражающую длину окружности через ее радиус. Выведем формулу для вычисления длины l дуги окружности с градусной мерой ?. А также закрепим полученные знания в практической части урока.

Конспект урока «Длина окружности»

На этом уроке мы выведем формулу, выражающую длину окружности через ее радиус; а также выведем формулу для вычисления длины l дуги окружности с градусной мерой α.

Давайте проведем небольшой эксперимент. Возьмем монетку, положим ее на чистый лист бумаги и проведем по ее контуру карандашом. Смотрите, на листе остался след. Что это за линия? Конечно! Это окружность!

 Напомню, что геометрическое место точек, которые находятся на данном расстоянии от данной точки, есть окружность с центром в данной точке и радиусом, равным данному отрезку.

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой на окружности, называется радиусом. Хорда, проходящая через центр окружности, называется ее диаметром. С помощью линейки можно измерить диаметр или радиус этой окружности. А вот, можно ли измерить длину самой окружности? Ведь линейку к ней не приложишь. Чтобы получить наглядное представление о длине окружности, представим себе, что мы взяли тонкую нерастяжимую нить и обмотали ею монетку. Если разрезать нить в какой-нибудь точке А и  распрямить ее, то получится отрезок AA₁, длина которого и  есть длина окружности.

Периметр любого правильного вписанного в окружность многоугольника является приближённым значением длины окружности. Ведь мы уже знаем, что многоугольник при увеличении числа сторон все ближе и ближе «прилегает» к окружности, т.е. чем больше число сторон такого многоугольника, тем точнее это приближённое значение.

Давайте выведем формулу, которая выражает длину окружности через ее радиус

 .

 

 

Пусть есть две окружности с радиусами R и соответственно. C и – длины этих окружностей. Впишем в каждую из них правильные n-угольники. a_n и стороны этих многоугольников, P_n и соответственно их периметры. Теперь воспользуемся формулой, по которой находится сторона правильного n-угольника через радиус описанной окружности. Тогда можем записать, что периметр . Или, учитывая формулу, равен  . Следовательно,  .

Значит, верно равенство:  .

Это равенство верно при любом значении n. Будем теперь неограниченно увеличивать число n.

.

Значит, отношение длины окружности к ее диаметру есть одно и то же число для всех окружностей.

Число, равное отношению длины окружности к ее диаметру принято обозначать следующей греческой буквой  (читают ее «пи»), первая буква древнегреческого слова «периметрон» — окружность.

Доказано, что число пи является бесконечной непериодической десятичной дробью, т.е. иррациональным числом.

Это приближённое значение было найдено еще в третьем веке до нашей эры великим греческим ученым Архимедом. По числу букв в словах фразы «Это я знаю и помню прекрасно, но многие цифры мне лишни, напрасны» можно воспроизвести 12 первых знаков числа пи. При решении задач обычно пользуются приближённым значением пи с точностью до сотых:

Для нахождения формулы длины окружности воспользуемся равенством  . Отсюда вытекает, что длина окружности радиуса R находится по формуле:  или по формуле , где D – диаметр окружности.

Выведем формулу для вычисления длины  дуги окружности, градусная мера которой равна .

Длина дуги в равна  .

Длина  дуги окружности выражается формулой:

Задача. Длина окружности  см. Найдите радиус этой окружности.

Решение.

Мы уже знаем, что длина окружности вычисляется по формуле
. По условию задачи д. Приравняем правые части равенств. Получим, что два пи ЭР равно 36 пи. Следовательно, радиус .

 (см)

Ответ:  см.

Задача. Найдите периметр правильного шестиугольника вписанного в окружность, если дуга, стягиваемая его стороной, равна  см.

Решение.

Пусть  – правильный шестиугольник.

 см

 

 

Следовательно,  см.

Рассмотрим .

Т.к. , то  – равносторонний.

  

 (см)

Ответ:  см.

Подведем итоги урока. Сегодня на уроке мы вывели формулу, для вычисления длины окружности через ее радиус. Показали, что отношение длины окружности к ее диаметру есть одно и то же число для всех окружностей. Узнали, что число, равное отношению длины окружности к ее диаметру обозначают греческой буквой π. А также вывели формулу для вычисления длины l дуги окружности с градусной мерой α.

Предыдущий урок 35 Построение правильных многоугольников

Следующий урок 37 Площадь круга

Получите полный комплект видеоуроков, тестов и презентаций Геометрия 9 класс ФГОС

Чтобы добавить комментарий зарегистрируйтесь или войдите на сайт

Круги – объяснение и примеры

Одной из важных фигур в геометрии является круг. На экзамене по геометрии большинство вопросов будет состоять из прямоугольников, треугольников и кругов.

Все мы уже видели круги. У них идеально круглая форма, что делает их идеальными для хула-хупов! В этой статье объясняется, что такое круг, его свойства и составные части.

Что такое круг в геометрии?

Слово ‘ круг «происходит от греческого слова, означающего « обруч » или « кольцо «. В геометрии круг определяется как замкнутая двумерная фигура, в которой множество всех точек на плоскости равноудалено от данная точка называется « центр ».

Никогда не путайте круг с многоугольником. Круг не является многоугольником, потому что он состоит из кривых.

История круга древняя. Раньше люди верили, что луна, солнце и другие планеты имеют круглую форму, потому что не существовало представления о трехмерных формах — математики изучают круги, что помогло им развить исчисление и астрономию.

В 1700 г. до н.э. Райнд Папирус предложил метод нахождения площади круга. В то время значение числа пи не было точным. В 300 г. до н.э. Евклид в своей книге изложил свойства кругов. Наконец, в 1880 году нашей эры немецкий математик Линдеманн решил проблему со значением числа пи и доказал, что число пи является трансцендентным (не корнем какого-либо многочлена с рациональными коэффициентами).

Круги вокруг нас! Некоторые из реальных примеров кругов:

• Колесо велосипеда
• Монета
• Обеденная тарелка
• Настенные часы
• Колеса обозрения

Таким образом, круг является важной формой в области геометрии. Посмотрим на стороны и свойства окружности.

Части круга

• Центр: Центр — это середина круга. На приведенной выше диаграмме центр окружности указывает « O» .
• Радиус : Это отрезок от центра круга, соединяющий любую точку на самом круге. Радиус окружности обозначается либо буквой « r ” (строчные буквы) или “ R ” (верхние буквы).

Линия ОТ – это радиус описанной выше окружности.

• Диаметр : Диаметр круга — это отрезок, проходящий через центр круга и имеющий обе конечные точки круга. Математически диаметр в два раза больше радиуса окружности. Диаметр окружности обозначается « D » или «»

Линия PQ — это диаметр окружности.

• Хорда : Хорда представляет собой отрезок с обеими концами на окружности. Линия RS является хордой окружности выше. Диаметр окружности — самая длинная хорда.
• Секанс : Секанс представляет собой удлиненную хорду окружности.

Строка 2 ( l ₂ ) является секущей круга выше.

• Дуга : Дуга представляет собой кривую вдоль внешней линии окружности
• Касательная : Тангенс окружности — это прямая линия, которая снаружи касается окружности, внешней линии окружности. Линия 2 ( l ₂ ) является касательной окружности.
• Сегмент : Сегмент представляет собой область, ограниченную дугой и хордой.
• Сектор : Сектор представляет собой область по дуге и двум радиусам. Регион OTP — это сектор круга, как показано выше.
• Окружность : Окружность круга – это общее расстояние вокруг внешней линии круга
• Площадь круга : Область, ограниченная внешней линией круга
• Кольцо : Кольцо представляет собой кольцо -образный объект, образованный между двумя концентрическими (окружностями с общим центром) окружностями. Например, заштрихованная область в круге ниже называется кольцом.

Свойства круга

Существует несколько фактов о кругах. Эти факты о кругах известны как свойства круга. Давайте рассмотрим их.

• Окружности с равными радиусами или диаметрами конгруэнтны.
• Самая длинная хорда окружности называется диаметром.
• Диаметр круга в два раза больше радиуса самого круга.
• Диаметр делит круг на две равные половины.
• Внешняя линия круга равноудалена от центра.
• Независимо от меры радиуса или диаметра, все окружности подобны.
• Радиус представляет собой серединный перпендикуляр к хорде.
• Две или более хорды равны по длине, если все они равноудалены от центра окружности.
• Угол между радиусом и касательной всегда равен 90 градусов (прямой угол).
• Две касательные равны, если они имеют общую точку начала.
• Угол, образуемый в центре круга его окружностью, равен четырем прямым углам.
• Длина окружности двух или более разных кругов пропорциональна их соответствующим радиусам.
• Дуги одной и той же окружности пропорциональны соответствующим углам.
• Радиусы равных окружностей или одной и той же окружности равны.
• Равные круги имеют площадь и длину окружности.
• Расстояние между самой длинной хордой и центром окружности равно нулю.
• Перпендикулярное расстояние от центра окружности до хорды увеличивается по мере уменьшения длины хорды, и наоборот.
• Окружность может описывать многоугольники, такие как треугольник, трапеция, прямоугольник и т. д.
• Точно так же окружность может быть вписана внутрь многоугольника, такого как прямоугольник, воздушный змей, квадрат, трапеция и т. д.
• Касательные, проведенные на обоих концах диаметра, всегда параллельны друг другу.
• Два радиуса, соединяющие концы хорды с центром окружности, образуют равнобедренный треугольник.
• Равные дуги образуют равные углы в центре окружности.

Пример 1

Какой из следующих предметов имеет круглую форму?

1. Пицца
2. Футбол
3. Апельсин
4. Все это.

Решение

Все упомянутые формы имеют круглую форму.

Следовательно, правильный выбор D.

Пример 2

Круглая чаша имеет диаметр 9 дюймов. Каков радиус чаши?

Решение

Мы знаем, что радиус круга равен половине диаметра.

Следовательно,

Радиус = 9/2 = 4,5 дюйма

Пример 3

Какая из следующих частей окружности также может быть хордой окружности?

1. Радиус
2. Диаметр
3. Дуга
4. Сектор

Решение

Хорда — это отрезок, оба конца которого лежат на окружности. Диаметр окружности — самая длинная хорда.

 

Части круга — GCSE Math

Введение

Каковы части круга?

Как определить части круга

Части круга рабочий лист

Распространенные заблуждения

Практические вопросы по частям круга

Части круга Вопросы GCSE

Контрольный список обучения

Следующие уроки

Все еще застряли?

Индивидуальные занятия по математике, созданные для успеха KS4

Еженедельные онлайн-уроки повторения математики GCSE теперь доступны

Узнать больше

Введение

Каковы части круга?

Как определить части круга

Части круга рабочий лист

Распространенные заблуждения

Практические вопросы по частям круга

Части круга GCSE вопросы

Контрольный список обучения

Следующие уроки

Все еще застряли?

Здесь мы узнаем о различных частях круга, в том числе о том, как определить ключевые части круга по диаграмме, как определить ключевые части круга по определению и как нарисовать круг с помеченными различными частями. например диаметр круга.

Также есть части круговых рабочих листов, основанных на экзаменационных вопросах Edexcel, AQA и OCR, а также дополнительные указания о том, что делать дальше, если вы все еще застряли.

Из каких частей состоит круг?

частей круга — это радиус, диаметр, длина окружности, дуга, хорда, секущая, касательная, сектор и сегмент.

Термины окружности

Наименование частей окружности:

Окружность

Круглая плоская фигура, граница которой состоит из точек, равноудаленных от фиксированной точки.

Центр

Центр окружности — это фиксированная точка, от которой все точки на границе окружности равноудалены.

Часто обозначается на диаграммах буквой «О» .

Центр/центр совпадают. Center — это правописание Великобритании, а Center — правописание США.

Радиус

Расстояние от центра круга до внешней стороны.

Радиус круга равен половине диаметра круга .

Множественное число от радиуса равно радиусу .

Диаметр

Расстояние по окружности, проходящей через центр.

Диаметр в два раза больше радиуса .

Окружность

Расстояние один раз по кругу.

Дуга

Часть окружности.

Большая дуга – Большая дуга больше половины окружности.

Малая дуга – Малая дуга составляет менее половины окружности.

Площадь

Пространство внутри 2D-формы.

Хорда

Отрезок, идущий от одной точки окружности к другой, но не проходящий через центр.

Секущая

Линия, проходящая через окружность в двух точках.

Примечание. Секант не является термином, который вы должны знать на экзамене GCSE, однако важно отметить разницу между аккордом и секущей.

Касательная

Прямая линия, касающаяся окружности только в одной точке. 9о .

Полукруг

Полукруг. Можно считать сектором, где окружность разделена по диаметру.

Квадрант

Четверть круга, образованная двумя перпендикулярными радиусами.

Сегмент

Сечение окружности, образованное хордой.

Большой сегмент – сегмент, дуга которого больше половины окружности .

9о .

Как идентифицировать части круга

Чтобы идентифицировать/обозначить части круга:

1 Определите ключевые аспекты части круга.

• Это линия или часть площади круга?
• Если линия проходит через начало круга?
• Если это линия, то является ли она частью окружности?
• Если часть площади круга, это сегмент или сектор?

2 Четко сформулируйте свой ответ, подумайте, имеет ли та часть круга, которую вы идентифицировали, определенное название, например, полукруг, большой сегмент .

Объясните, как идентифицировать части круга

Части листа круга

Получите бесплатные части листа круга из 20+ вопросов и ответов. Включает рассуждения и прикладные вопросы.

СКАЧАТЬ БЕСПЛАТНО

Икс

Части листа круга

Получите бесплатные части листа круга из 20+ вопросов и ответов. Включает рассуждения и прикладные вопросы.

СКАЧАТЬ БЕСПЛАТНО

Примеры частей круга

Пример 1: определение части круга по диаграмме

Назовите часть круга, показанную красным на приведенной ниже диаграмме.

1.  Определите ключевые аспекты части круга. Вот несколько ключевых вопросов, которые вы можете себе задать?

• Это линия или часть площади круга? Линия
• Если линия проходит через начало круга? Да
• Если это линия, то является ли она частью окружности? Нет

2Четко сформулируйте свой ответ, подумайте, имеет ли обозначенная вами часть круга определенное название, например, крупный сегмент.

Радиус

Пример 2: определение части круга по диаграмме

Назовите часть круга, показанную красным цветом на приведенной ниже диаграмме.

 Определите ключевые аспекты части круга. Вот несколько ключевых вопросов, которые вы можете себе задать?

• Это линия или часть площади круга? Часть площади

• Если часть площади круга, это сегмент или сектор? Сектор, где радиусы пересекаются в начале координат

Четко сформулируйте свой ответ, подумайте, имеет ли часть круга, которую вы идентифицировали, определенное имя, например, крупный сегмент.

Сектор – особенно второстепенный сектор.

Пример 3: определение части круга на диаграмме

 Определите ключевые аспекты части круга. Вот несколько ключевых вопросов, которые вы можете себе задать?

• Это линия или часть площади круга? Линия
• Если линия проходит через начало круга? Нет
• Если это линия, то является ли она частью окружности? Нет

Четко сформулируйте свой ответ, подумайте, имеет ли обозначенная вами часть круга определенное название, например, крупный сегмент.

Аккорд

Пример 4: определение части круга на диаграмме

Назовите часть круга, показанную красным на приведенной ниже диаграмме.

 Определите ключевые аспекты части круга. Вот несколько ключевых вопросов, которые вы можете себе задать?

• Это линия или часть площади круга? Часть площади

• Если часть площади круга, это сегмент или сектор? Сегмент, созданный хордой

Четко сформулируйте свой ответ, подумайте, имеет ли часть круга, которую вы идентифицировали, определенное имя, например, крупный сегмент.

Сегмент – особенно второстепенный сегмент.

Пример 5: определение части круга на диаграмме

 Определите ключевые аспекты части круга. Вот несколько ключевых вопросов, которые вы можете себе задать?

• Это линия или часть площади круга? Строка
• Если линия проходит через начало круга? Нет
• Если это линия, то является ли она частью окружности? Нет, он касается окружности в одной точке крупный сегмент.

  Тангенс

  Пример 6: обозначение части круга на диаграмме

  На круге внизу:

  Начертить диаметр.

  Проведите касательную.

  Обозначьте окружность.

   Определите ключевые аспекты части круга.

  Здесь вас просят нарисовать части заданного круга, поэтому вам нужно рассмотреть каждый ключевой термин.

  
  Диаметр – расстояние по окружности, проходящей через центр.

  
  Касательная – прямая линия, которая касается окружности только в одной точке.

  
  Окружность – Расстояние по кругу.

  Четко сформулируйте свой ответ, обозначив данную диаграмму.

  Распространенные заблуждения

  • Путаница с радиусом/диаметром

  Радиус измеряется от центра круга до окружности, тогда как диаметр проходит через весь круг, проходя через начало координат.

  • Путаница с сегментом/сектором

  Сегмент состоит из хорды, в то время как сектор будет иметь линии (радиусы), исходящие из начала координат.

  ПОДСКАЗКА: некоторым учащимся нравится рассматривать сектор как кусок пиццы .

  • Путаница с хордой/диаметром

  Хорда не проходит через начало окружности, а диаметр проходит.

  • Путаница с касательной и секущей

  Касательная касается окружности только в одной точке, она не пересекает прямую. секущая пересечет окружность дважды.

  Практические вопросы по частям круга

  Круг имеет форму буквы «О»

  Середина круга (начало)

  Название круга О

  Круг внутри круга

  «О» указывает на центр круга, который называется началом окружность

  Радиус

  Диаметр

  Окружность

  Окружность это расстояние вокруг края окружности, оно всегда будет больше0005

  Окружность 180 градусов

  Сеанс

  Отрезок

  Тангенс

  Дуга

  Радиус в два раза больше диаметра

  Диаметр в два раза больше длины радиуса

  5 Радиус равен 90 длина окружности

  Диаметр равен половине длины окружности

  Расстояние от центра окружности до окружности называется радиусом. Расстояние по окружности, проходящей через центр, называется диаметром. Это означает, что диаметр в два раза больше радиуса.

   

  Часть окружности

  Часть площади окружности

  Линия, проходящая через окружность

  Середина окружности

  Сектор состоит из площади, образованной дугой и двумя радиусами 5

  Части круга Вопросы GCSE

  1. Назовите часть круга, показанную на схеме ниже:

   

   

  (1 балл)

  5 Показать ответ

  2 Аккорд

  (1)

  2. Назовите часть круга, показанную на диаграмме ниже:

  (1 отметка)

  Показ Ответ

  ТАНГЕНТ

  9000 2 ( 1)

  3. Назовите часть круга, показанную на диаграмме ниже:

  (1 отметка)

  Показать ответ

  Сектор

  (1)

  (1)

  0002 4. Назовите часть круга, показанную на диаграмме ниже:

  (1 отметка)

  Показать Ответ

  Диаметр

  (1)

  5. Назовите часть. круга, показанного на диаграмме ниже:

  (1 отметка)

  Показать ответ

  Радиус

  (1)

  6. Наименование части круга, показанная в схема ниже:

  ‘Линия, которая проходит по кругу, но не проходит через координат’

  (1 отметка)

  Покажите ответ

  Аккорд

  (1)

  7. Молли говорит «Хорда такая же, как радиус, но короче» . Молли права? Объясните свой ответ

   

  (1 балл)

  Покажите ответ

  Нет, радиус идет от начала координат до окружности. Хорда не касается начала окружности

  (1)

  Контрольный список для обучения

  Теперь вы научились:

  • Идентифицировать и применять определения и свойства окружности, включая: центр, радиус, хорду, диаметр, длину окружности (F)
  • Идентифицировать и применять определения и свойства окружности, включая касательную, дугу, сектор и сегмент (F+)

  Все еще застряли?

  Подготовьте своих учеников KS4 к успешной сдаче выпускных экзаменов по математике с помощью программы Third Space Learning.

  No related posts.