Конспект на тему «Корни натуральной степени»
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ, НАУКИ И МОЛОДЁЖНОЙ ПОЛИТИКИ
КРАСНОДАРСКОГО КРАЯ
ГБПОУ КК «Крымский технический колледж»
ЗАНЯТИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКОГО ОБУЧЕНИЯ
Тема занятия: Корни натуральной степени. Корни натуральной степени из числа и их свойства.
Цель занятия:
Рассмотреть понятие корня n-oй степени, понятие арифметического корня n-й степени из числа a, фoрмирование навыков сознательного и рационального использования свoйств арифметического корня
-й степени при решении задач.
Задачи:
1. Образовательные: актуализировать необходимые знания и умения. Рассмотреть понятие кoрня n-ой степени, понятие арифметического корня n-й степени из числа a и свойства арифметического корня
-й степени.
2. Развивающие: развивать самостоятельность учащихся при доказательстве свойств арифметического корня n-ной степени, опираясь на свойства степеней с натуральным показателем и определение корня
-ной степени. Стимулировать вып0лнение практических упражнений, оценивая труд учащихся.
3. Воспитательные: фoрмирoвание активной жизненной пoзиции, честности и порядочности, воспитание у учащихся умения работать в коллективе.
Ход занятия
С понятием квадратного корня из числа а вы уже знакомы: это такое число, квадрат которого равен а.
,
,
,
Аналогично определяется корень
-й степени из числа а, где– произвольное натуральное число.
А теперь давайте решим такое уравнение:
Итак, это уравнение мы можем переписать в таком виде:
. Или .
Тогда наше уравнение равносильно совокупности уравнений:
.
Понятно, что уравнение
не имеет решения на множестве действительных чисел. Значит, остаётся решить уравнение
Итак, наше уравнение
имеет два действительных корня 5 и –5. Их называют корнями четвёртой степени из числа 625. В свою очередь, положительный корень (число 5) называют арифметическим корнем четвёртой степени из числа 625. Обозначают его так: . Таким образом, .
Запомните! Арифметическим корнем натуральной степени
из неотрицательного числа а называется неотрицательное число, -я степень которого равна а.
Арифметический корень
—ой степени из числа а обозначают так: .
Символ называют знаком арифметического квадратного корня или радикалом (от латинского слова «радикс» – корень), число называется показателем корня, а число а, стоящее под знаком корня, – подкоренным выражением.
Вам хорошо известен такой частный случай арифметического корня
-й степени, как корень второй степени, или квадратный корень из числа, то есть когда
В этом случае показатель корня не пишут, а пишут просто
.
Ещё одним частным случаем является
мы привыкли называть его корнем кубическим.
Как правило, когда ясно, что речь идёт об арифметическом корне
-й степени, слово «арифметический» не произносят, а говорят кратко: «корень энной степени».
Действие, посредством которого отыскивается корень
-й степени, называется извлечением корня -й степени. Это действие является обратным действию возведения в -й степень.
Равенство
при верно, когда выполняются два условия:; второе —.
Например,
.
Число
;
.
Видим, что оба условия выполняются. Значит
верно.
Из определения арифметического корня следует, что если
, то.
Например,
А теперь давайте решим следующие уравнения:
и . Итак, первое уравнение
Перепишем это уравнение в виде:
.
Преобразуем наше уравнение, применяя формулу разности кубов.
Имеем:
Перейдём к уравнению 2:
Перепишем это уравнение в виде:
.
Преобразуем наше уравнение, применяя формулу разности кубов. Имеем:
.
Так как
, то число –4 является корнем из числа –64. Однако это число не является арифметическим корнем по определению. Число называют корнем кубическим из числа и обозначают так:
Вообще, для любого нечётного натурального числа
, уравнение, при имеет только один корень, причём отрицательный. Этот корень обозначается, как и арифметический корень, символом.
И называют его корнем нечётной степени из отрицательного числа.
Запомните! При нечётном
существует, и притом только один. Для корней нечётной степени справедливо равенство
Например,
Корень нечётной степени из отрицательного числа а связан с арифметическим корнем из числа
следующим равенством:
Например,
Арифметический корень
-й степени обладает несколькими свойствами.
Перечислим их. Итак, при условии, что, , а, и – натуральные числа, причём, , справедливы равенства:
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
Обратите внимание, что в первом свойстве число
может также быть равным ; в третьем свойстве число может быть любым целым, если .
Докажем справедливость этих свойств. Итак, первое свойство.
1.
.
По определению арифметического корня
– это такое неотрицательное число, -я степень которого равна произведению .
;
.
2.
.
;
3.
.
;
.
4.
.
;
.
5.
.
;
.
А теперь давайте приступим к практической части нашего урока.
Задание 1. Найдите значения выражений а)
; б) ; в) .
Решение.
а)
; б) ; в) .
; ;
; ;
Задание 2. Преобразуйте выражения: а)
; б) ; в) ; г) .
Решение.
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
Домашнее задание
Найдите значение числового выражения
№ 1
а)
б)
в) (
г)
№ 2
а)
б)
в)
г)
№ 3
а)
б)
№ 4
а)
б)
№5
Найдите значение выражения
а)
б)
+
в)
г)
Определение арифметического корня n-й степени — КОРЕНЬ n-й СТЕПЕНИ. АРИФМЕТИЧЕСКИЙ КОРЕНЬ n-й СТЕПЕНИ — ЧИСЛА И ВЫРАЖЕНИЯ — АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА
Определение арифметического корня n-й степени — КОРЕНЬ n-й СТЕПЕНИ. АРИФМЕТИЧЕСКИЙ КОРЕНЬ n-й СТЕПЕНИ — ЧИСЛА И ВЫРАЖЕНИЯ — АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА — МАТЕМАТИКА. ПОЛНЫЙ ПОВТОРЮВАЛЬНИЙ КУРС. ПОДГОТОВКА К ВНЕШНЕМУ НЕЗАВИСИМОМУ ОЦЕНИВАНИЮ И ГОСУДАРСТВЕННОЙ ИТОГОВОЙ АТТЕСТАЦИИ
|
|
gif» title=»Математика»>
Математика 
ЧИСЛА И ВЫРАЖЕНИЯСамый быстрый словарь в мире | Vocabulary.
comПЕРЕЙТИ К СОДЕРЖАНИЮ
квадратный корень из числа, которое при умножении само на себя равно заданному числу
квадратных футов единица площади, равная одному футу на один квадратный фут
-
квадратный ярд единица площади, равная одному ярду на один квадратный ярд
корень сквои высокая трава из восточной части Северной Америки и Азии, имеющая синие ягодообразные плоды и толстый узловатый подвой, ранее использовавшаяся в медицинских целях
скворец высокая трава из восточной части Северной Америки и Азии с синими ягодообразными плодами и толстым узловатым корнем, ранее использовавшаяся в медицинских целях
99″>с квадратным носком
квадратный носок с квадратным носком
квадратная гайка гайка квадратной формы
квадратные паруса с прямыми парусами в качестве основных
квадратный узел двойной узел, состоящий из двух половинок и используемый для соединения концов двух шнуров
squirearchy дворяне, владеющие землей (рассматриваемые как класс)
квадратный квадрат
с квадратными челюстями, имеющими относительно квадратные челюсти
05″>сквирт заставляет кончить сквиртом
пугающая цитата Использование кавычек для обозначения того, что автор не предпочитает терминологию
напуганный напуганный
корень сельдерея, выращенный для получения утолщенного съедобного ароматного корня
квадратная скобка из двух знаков препинания ([ или ]), используемая для заключения текстового материала
квадратный стрелок откровенный и честный человек
превосходство качество быть лучше кого-то или чего-то
Квадратные и квадратные корни? Определение, формула, примеры
Что такое квадрат и квадратный корень?
Когда вы умножаете число само на себя, вы получаете квадрат числа.
Например, 3 доллара \умножить на 3 = 9 долларов. Итак, квадрат 3 равен 9.
Квадратный корень действует наоборот. Если квадрат 3 равен 9, то квадратный корень из 9 равен 3.
Следовательно, мы можем сказать, что квадрат и квадратный корень являются обратными операциями друг друга.
Связанные игры
Как определить квадрат и квадратный корень?
Квадрат числа 92 = 5,5 \ умножить на 5,5 = 30,25$Мы также можем найти квадрат отрицательного числа. Например: $(−4) \times (−4) = 16$.
Вы заметили, что квадраты чисел 4 и $(−4)$ совпадают? Возведение в квадрат положительного числа дает тот же результат, что и возведение в квадрат отрицательного числа.
Квадратный корень из числаКвадратный корень из числа — это число, которое при умножении само на себя дает исходное число.
Например, квадратный корень из 25 равен 5, потому что целые числа 5 и $-5$ при умножении друг на друга дают произведение 25.
$5 \times 5 = 25$
$(-5) \times (-5) = 25$
Квадратный корень представлен символом «$\sqrt{}$». Например:
- $\sqrt{49} = \pm 7$
- $\sqrt{36} = \pm 6$
Связанные рабочие листы
Что такое идеальные квадраты?
Полный квадрат — это число, полученное путем умножения целого числа на себя. Целое число не содержит дробей или десятичных знаков.
Вот таблица квадратных корней из первых десяти идеальных квадратов. Показывает положительные квадратные корни из заданного полного квадрата.
Как видите, лишь немногие числа являются правильными квадратами. Остальные числа являются несовершенными квадратами. Квадратный корень из неполных квадратов содержит дроби и десятичные дроби.
Пример:
- $\sqrt{10} = 3,163$
- $\sqrt{20} = 4,472$
Различные методы нахождения квадратного корня
Существуют различные способы нахождения квадратного корня из числа.
Давайте рассмотрим некоторые из часто используемых методов:
- Метод повторного вычитания
- Метод простой факторизации
- Метод длинного деления
Вот как найти квадратный корень числа с помощью этого метода:
Шаг 1: Возьмите число и вычтите из него последовательные нечетные числа, пока не получите ноль.
Шаг 2: Количество вычитаний равно квадратному корню из числа.
Возьмем, к примеру, 25. Итак, вычитая из него последовательные нечетные числа, получаем:
- 25$ − 1 = 24$
- 24$ − 3 = 21$
- 21$ − 5 = 16$
- 16 $ − 7 = 9 $
- $9 − 9 = 0$
Здесь мы вычли пять раз. Итак, квадратный корень из 25 равен 5. Разве это не круто?
Метод факторизации простых чиселПредположим, вы хотите найти квадратный корень из 1764. Вот как найти его с помощью метода факторизации:
Шаг 1.
Найдите простые множители числа 1764. = 2 х 2 х 3 х 3 х 7 х 7 $
Шаг 2: Сформируйте пары похожих факторов.
Здесь мы можем составить три пары подобных множителей.
$\underline{2 \times 2} \times \underline{3 \times 3} \times \underline{7 \times 7}$
Шаг 3: Возьмите по одному из каждой пары и найдите их произведение.
$2 \x 3 \times 7 = 42$
Шаг 4: Произведение равно квадратному корню из числа.
Следовательно, $\sqrt{1764} = 42$.
Примечание. Если число не образует пару подобных множителей, мы помещаем их внутри символа квадратного корня.
Например, чтобы найти квадратный корень из 8.
- Найти простые множители числа 8.
Шаг 2: Сформируйте пары похожих факторов.
Здесь мы можем составить две пары одинаковых множителей
$\underline{2 \times 2} \times 2$
Шаг 3: Возьмите один из пары и поместите его вне символа квадратного корня
Следовательно, $\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.
Допустим, нам нужно найти квадратный корень из 529, используя метод деления в большую сторону.
Шаг 1: Поместите черту над каждой парой цифр числа 529, начиная справа.
Шаг 2: Возьмите самое левое число и разделите его на наибольшее число, квадрат которого меньше или равен крайней левой паре.
Здесь самое левое число — 5. Мы делим его на 2, потому что квадрат 2 равен 4, а это меньше пяти.
Шаг 3: Опустите другую пару справа от оставшейся.
Шаг 4: Добавьте частное к делителю и введите его с пробелом справа.
Шаг 5: Найдите подходящее число для единицы разряда делителя. Число должно быть таким, чтобы при умножении на новую цифру оно было равно или меньше делимого.
В этом случае 43$\умножить на 3 = 129$. Итак, добавляемое число должно быть 3.
Шаг 6: Остаток равен нулю.
Таким образом, ответ равен 23.
Следовательно, $\sqrt{529} = 23$.
Мы также можем найти квадратный корень из неполного квадрата, используя метод деления в длинную сторону.
Например, квадратный корень из 10 равен 3,16.
Как найти квадрат
Нахождение квадрата числа сравнительно проще, чем нахождение квадратного корня.
Вы можете просто использовать таблицу умножения, чтобы найти квадрат однозначного числа. Двузначное число можно умножить на само число, чтобы получить ответ.
Пример:
$6 \times 6 = 36$
$125 \times 125 = 15 625$
Заключение
Итак, вот некоторые из различных советов и хитростей квадратных корней . Как только вы поймете метод, деление и умножение квадратных корней станет очень простым. Теперь вы можете использовать эти концепции для решения различных задач, связанных с квадратными корнями. Веселиться!
Решенные примеры
1.
Найдите квадратный корень из 144 методом вычитания.
Решение:
Вычитая из него последовательные нечетные числа, мы получаем:
Здесь мы вычли двенадцать раз. Таким образом, квадратный корень из 144 равен 12.
2. Найдите квадратный корень из 7056, используя метод разложения на простые множители.
Решение :
$7056 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 7 \times 7$
$\sqrt{7056} = 2 \times 2 \times 3 \раз 7$
$= 84$
3. Найдите квадратный корень из 1764, используя метод деления в большую сторону.
Решение:
Квадратный корень из 1764 равен 42.
4. Проверьте, является ли 24 полным квадратом.
Решение:
$24 = 2 \times 2 \times 2 \times 3
$\sqrt{24} = 2\sqrt{2} \times \sqrt{3} = 2\sqrt{6} $
$\sqrt{24} = 2\sqrt{6}$
Следовательно, 24 не является полным квадратом.
5. Найдите значение $\sqrt{36} + \sqrt{625}$ .
Решение:
Мы знаем, что
$\sqrt{36} = 6$
$\sqrt{625} = 25$
Итак, $\sqrt{36}2 + \sqrt} = 6 + 25 = 31$
Практические задачи
1
Найдите квадратный корень из 121, используя метод повторного вычитания.
8
9
10
11
Правильный ответ: 11
121$ – 1 = 120$
120$ – 3 = 117$
5
$ – 1172$0413 112$ – 7 = 105$
105$ – 9 = 96$
96$ – 11 = 85$
85$ – 13 = 72$
72$ – 15 = 57$
57$ – 17 = 40$
40$ – 190 = 41$ $21 – 21 = 0$
Следовательно, квадратный корень из 121 равен 11.
2
Найдите квадратный корень из 4096, используя метод факторизации.
32
48
64
72
Правильный ответ: 64
Итак, $4096 = \underline{2\times2} \times \underline{2\times2} \times \underline{2\times \underline{2\times \underline{2\times \underline} раз \underline{2\times2} \times \underline{2\times2} \times \underline{2\times2}$
$\sqrt{4096} = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 64$
3
Найдите квадратный корень из 1000, используя метод деления в большую сторону.
10
100,66
31.622
109,99
Правильный ответ: 31,622
квадратный корень 1000
4
Найдите квадратный корень 2304 с использованием метода длинного деления.
40
42
45
48
Правильный ответ: 48
Квадратный корень из 2304
5
Найдите наименьшее число, на которое нужно умножить 1800, чтобы получить полный квадрат.
2
3
4
5
Правильный ответ: 2
$1800 = 2 × \underline{2 \times 2} \times \underline{5 \times 5} \times \underline{3 \times 3}$
Чтобы получить идеальный квадрат, необходимо соединить множители.
Здесь у первой «2» нет пары.
Следовательно, мы должны умножить 1800 на 2, чтобы получить полный квадрат.
$1800 \times 2 = \underline{2\times2} \times \underline{2\times2} \times \underline{5\times5} \times \underline{3\times3}$
$= 3600$
$\sqrt{3600} = 2 \times 2 \times 5 \times 3 = 60$
Часто задаваемые вопросы
Какая связь между теоремой Пифагора и квадратным корнем ?
Согласно теореме Пифагора, гипотенуза прямоугольного треугольника равна квадратному корню из суммы его сторон.