Определенные интегралы примеры: Определенный интеграл, примеры решений

Задания для самостоятельной работы

1.5. Найти интегралы от тригонометрических функций:

1) ; 2); 3);

4) ; 5); 6);

7) ; 8); 9);

10) ; 11); 12);

13) .

0. 1.4. Интегрирование иррациональных функций Примеры решения задач

1. Вычислить интегралы от иррациональных функций:

а) ; б);

в); г).

►а) Подстановкой приведем интеграл к рациональному виду. Тогда

.

б) Заметим, что

.

Применим подстановку , откуда

;

.

Итак,

=

.

в) Выделяя полный квадрат в квадратном трехчлене под знаком корня, получаем:

.

Тогда, используя табличный интеграл 14, находим

.

г) Разобьем данный интеграл на сумму двух интегралов (в первом в числителе образуем производную от подкоренного выражения, а во втором выделим полный квадрат в подкоренном выражении):

.◄

Задания для самостоятельной работы

1.6. Найти интегралы от иррациональных функций:

1) ; 2);

3) ; 4);

5) ; 6);

7) ; 8);

9) ; 10);

11) ; 12).

Тема 2. Определенный интеграл.

2.1. Формула Ньютона-Лейбница.

Вычисление определенных интегралов

Примеры решения задач

.

1. Вычислить определенные интегралы, используя их свойства и формулу Ньютона-Лейбница:

а) ; б); в).

►Так как все подынтегральные функции непрерывны на соответствующих отрезках, то получаем:

а) ;

б) Под знаком интеграла неправильная дробь. Выделим целую часть, используя разложение

.

Имеем:

,

и данный интеграл

;

в) .◄

2. Методом замены переменной вычислить определенные интегралы:

а) ; б); в).

а) Введем новую переменную . Тогдаи новые пределы интегрированияприипри.

;

б) ;

в)

.◄

3. Используя формулу интегрирования по частям (1.4), вычислить следующие интегралы:

а) ; б).

►а)

.

б)

=. ◄

4. Вычислить интеграл .

►Используем подстановку . Тогдапри,прии.

К последнему интегралу применим интегрирование по частям:

◄

Задания для самостоятельной работы

2.1. Вычислить определенные интегралы по формуле Ньютона-Лейбница:

1) ; 2); 3);

4) ; 5); 6).

2.2. Используя формулу замены переменной, вычислить интегралы:

1) ; 2); 3);

4) ; 5); 6);

7) ; 8).

2.3. Вычислить интегрированием по частям следующие интегралы:

1) ; 2); 3);

4) ; 5); 6);

7) ; 8).

2. Приложения определенного интеграла

Примеры решения задач

1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной прямой и кривой.

►Найдем абсциссы точек пересечения данных кривых:

Получим . Это и есть пределы интегрирования. Тогда, по формуле

. (2.1)

находим площадь:

.◄

2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной лемнискатой.

►Кривая задана в полярной системе координат.

Имеет место формула:

. (2.2)

Рис. 2

Так как фигура симметрична относительно обеих осей, то каждая площадь равна четырем площадям фигуры, находящейся вI четверти.

При , при, т.е..

Имеем .◄

3. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Оx криволинейной трапеции, ограниченной линиями и осиОx.

►Для нахождения объема будем использовать формулу

.

В пределах данной трапеции х меняется от 0 до 2, значит, . Тогда

.◄

4. Найти длину дуги кривой , заключенной между точками с абсциссамии.

►Для вычисления длины дуги применим формулу:

.

В данном случае ,. Тогда

◄

5. Найти работу, затраченную на выкачивание жидкости из конического резервуара, обращенного вершиной вниз, если высота резервуара равна Н, радиус основания R.

►Вычислим вес элементарного слоя жидкости, находящейся на глубине х.

Высоту этого слоя выберем таким образом, чтобы сделать этот слой цилиндром радиуса. Тогда весэтого слоя равен:

,

где − плотность жидкости,− ускорение свободного падения,− объем цилиндра.

Из подобия треугольников АОD и СВD находим у:

.

Рис. 3

Итак,.

Элементарная работа, затраченная на поднятие этого слоя жидкости на высоту х, равна

,

поэтому

.◄

6. Найти силу давления воды на вертикальную стенку в форме полукруга, радиус которого R=3м.

►По закону Паскаля сила давления жидкости на площади вычисляется по формуле:

,

где − плотность жидкости,− ускорение силы тяжести,− глубина погружения,− площадь площадки.

Обозначим глубину погружения черезх. Элементарную площадку будем считать цилиндром радиуса и высоты. Из треугольникаимеем:

.

Рис. 4

Тогда площадь площадки равна:

.

Найдем дифференциал давления на элементарную площадку:

.

Итак,

. ◄

Определенный интеграл от 0 до 1. Примеры вычисления определённых интегралов

Решение интегралов – задача легкая, но только для избранных. Эта статья для тех, кто хочет научиться понимать интегралы, но не знает о них ничего или почти ничего. Интеграл… Зачем он нужен? Как его вычислять? Что такое определенный и неопределенный интегралы?

Если единственное известное вам применение интеграла – доставать крючком в форме значка интеграла что-то полезное из труднодоступных мест, тогда добро пожаловать! Узнайте, как решать простейшие и другие интегралы и почему без этого никак нельзя обойтись в математике.

Изучаем понятие « интеграл»

Интегрирование было известно еще в Древнем Египте. Конечно, не в современном виде, но все же. С тех пор математики написали очень много книг по этой теме. Особенно отличились Ньютон и Лейбниц , но суть вещей не изменилась.

Как понять интегралы с нуля? Никак! Для понимания этой темы все равно понадобятся базовые знания основ математического анализа. Сведения о , необходимые и для понимания интегралов, уже есть у нас в блоге.

Неопределенный интеграл

Пусть у нас есть какая-то функция f(x) .

Неопределенным интегралом функции

f(x) называется такая функция F(x) , производная которой равна функции f(x) .

Другими словами интеграл – это производная наоборот или первообразная. Кстати, о том, как читайте в нашей статье.

Первообразная существует для всех непрерывных функций. Также к первообразной часто прибавляют знак константы, так как производные функций, различающихся на константу, совпадают. Процесс нахождения интеграла называется интегрированием.

Простой пример:

Чтобы постоянно не высчитывать первообразные элементарных функций, их удобно свести в таблицу и пользоваться уже готовыми значениями.

Полная таблица интегралов для студентов

Определенный интеграл

Имея дело с понятием интеграла, мы имеем дело с бесконечно малыми величинами. Интеграл поможет вычислить площадь фигуры, массу неоднородного тела, пройденный при неравномерном движении путь и многое другое. Следует помнить, что интеграл – это сумма бесконечно большого количества бесконечно малых слагаемых.

В качестве примера представим себе график какой-нибудь функции.

Как найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции? С помощью интеграла! Разобьем криволинейную трапецию, ограниченную осями координат и графиком функции, на бесконечно малые отрезки. Таким образом фигура окажется разделена на тонкие столбики. Сумма площадей столбиков и будет составлять площадь трапеции. Но помните, что такое вычисление даст примерный результат. Однако чем меньше и уже будут отрезки, тем точнее будет вычисление. Если мы уменьшим их до такой степени, что длина будет стремиться к нулю, то сумма площадей отрезков будет стремиться к площади фигуры. Это и есть определенный интеграл, который записывается так:

Точки а и b называются пределами интегрирования.

« Интеграл»

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на

Правила вычисления интегралов для чайников

Свойства неопределенного интеграла

Как решить неопределенный интеграл? Здесь мы рассмотрим свойства неопределенного интеграла, которые пригодятся при решении примеров.

• Производная от интеграла равна подынтегральной функции:

• Константу можно выносить из-под знака интеграла:

• Интеграл от суммы равен сумме интегралов. Верно также для разности:

Свойства определенного интеграла

• Линейность:

• Знак интеграла изменяется, если поменять местами пределы интегрирования:

• При любых точках a , b и с :

Мы уже выяснили, что определенный интеграл – это предел суммы. Но как получить конкретное значение при решении примера? Для этого существует формула Ньютона-Лейбница:

Примеры решения интегралов

Ниже рассмотрим неопределенный интеграл и примеры с решением. Предлагаем самостоятельно разобраться в тонкостях решения, а если что-то непонятно, задавайте вопросы в комментариях.

Для закрепления материала посмотрите видео о том, как решаются интегралы на практике. Не отчаиваетесь, если интеграл не дается сразу. Обратитесь в профессиональный сервис для студентов, и любой тройной или криволинейный интеграл по замкнутой поверхности станет вам по силам.

В каждой главе будут и задачи для самостоятельного решения, к которым можно посмотреть ответы.

Понятие определённого интеграла и формула Ньютона-Лейбница

Определённым интегралом от непрерывной функции f (x ) на конечном отрезке [a , b ] (где ) называется приращение какой-нибудь её первообразной на этом отрезке. (Вообще, понимание заметно облегчится, если повторить тему неопределённого интеграла) При этом употребляется запись

Как видно на графиках внизу (приращение первообразной функции обозначено ), определённый интеграл может быть как положительным, так и отрицательным числом (Вычисляется как разность между значением первообразной в верхнем пределе и её же значением в нижнем пределе, т. е. как F (b ) — F (a )).

Числа a и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, а отрезок [a , b ] – отрезком интегрирования.

Таким образом, если F (x ) – какая-нибудь первообразная функция для f (x ), то, согласно определению,

(38)

Равенство (38) называется формулой Ньютона-Лейбница . Разность F (b ) – F (a ) кратко записывают так:

Поэтому формулу Ньютона-Лейбница будем записывать и так:

(39)

Докажем, что определённый интеграл не зависит от того, какая первообразная подынтегральной функции взята при его вычислении. Пусть F (x ) и Ф(х ) – произвольные первообразные подынтегральной функции. Так как это первообразные одной и той же функции, то они отличаются на постоянное слагаемое: Ф(х ) = F (x ) + C . Поэтому

Тем самым установлено, что на отрезке [a , b ] приращения всех первообразных функции f (x ) совпадают.

Таким образом, для вычисления определённого интеграла необходимо найти любую первообразную подынтегральной функции, т.е. сначала следует найти неопределённый интеграл. Постоянная С из последующих вычислений исключается. Затем применяется формула Ньютона-Лейбница: в первообразную функцию подставляется значение верхнего предела b , далее — значение нижнего предела a и вычисляется разность F(b) — F(a) . Полученное число и будет определённым интегралом. .

При a = b по определению принимается

Пример 1.

Решение. Сначала найдём неопределённый интеграл:

Применяя формулу Ньютона-Лейбница к первообразной

(при С = 0), получим

Однако при вычислении определённого интеграла лучше не находить отдельно первообразную, а сразу записывать интеграл в виде (39).

Пример 2. Вычислить определённый интеграл

Решение. Используя формулу

Найти определённый интеграл самостоятельно, а затем посмотреть решение

Свойства определённого интеграла

Теорема 2. Величина определённого интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования , т.е.

(40)

Пусть F (x ) – первообразная для f (x ). Для f (t ) первообразной служит та же функция F (t ), в которой лишь иначе обозначена независимая переменная. Следовательно,

На основании формулы (39) последнее равенство означает равенство интегралов

Теорема 3. Постоянный множитель можно выносить за знак определённого интеграла , т.е.

(41)

Теорема 4. Определённый интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме определённых интегралов от этих функций , т.е.

(42)

Теорема 5. Если отрезок интегрирования разбит на части, то определённый интеграл по всему отрезку равен сумме определённых интегралов по его частям , т.е. если

(43)

Теорема 6. При перестановке пределов интегрирования абсолютная величина определённого интеграла не меняется, а изменяется лишь его знак , т. е.

(44)

Теорема 7 (теорема о среднем). Определённый интеграл равен произведению длины отрезка интегрирования на значение подынтегральной функции в некоторой точке внутри его , т.е.

(45)

Теорема 8. Если верхний предел интегрирования больше нижнего и подынтегральная функция неотрицательна (положительна), то и определённый интеграл неотрицателен (положителен), т.е. если

Теорема 9. Если верхний предел интегрирования больше нижнего и функции и непрерывны, то неравенство

можно почленно интегрировать , т.е.

(46)

Свойства определённого интеграла позволяют упрощать непосредственное вычисление интегралов.

Пример 5. Вычислить определённый интеграл

Используя теоремы 4 и 3, а при нахождении первообразных – табличные интегралы (7) и (6), получим

Определённый интеграл с переменным верхним пределом

Пусть f (x ) – непрерывная на отрезке [a , b ] функция, а F (x ) – её первообразная. Рассмотрим определённый интеграл

(47)

а через t обозначена переменная интегрирования, чтобы не путать её с верхней границей. При изменении х меняется и опредёленный интеграл (47), т.е. он является функцией верхнего предела интегрирования х , которую обозначим через Ф (х ), т.е.

(48)

Докажем, что функция Ф (х ) является первообразной для f (x ) = f (t ). Действительно, дифференцируя Ф (х ), получим

так как F (x ) – первообразная для f (x ), а F (a ) – постояная величина.

Функция Ф (х ) – одна из бесконечного множества первообразных для f (x ), а именно та, которая при x = a обращается в нуль. Это утверждение получается, если в равенстве (48) положить x = a и воспользоваться теоремой 1 предыдущего параграфа.

Вычисление определённых интегралов методом интегрирования по частям и методом замены переменной

где, по определению, F (x ) – первообразная для f (x ). Если в подынтегральном выражении произвести замену переменной

то в соответствии с формулой (16) можно записать

В этом выражении

первообразная функция для

В самом деле, её производная, согласно правилу дифференцирования сложной функции , равна

Пусть α и β – значения переменной t , при которых функция

принимает соответственно значения a и b , т.е.

Но, согласно формуле Ньютона-Лейбница, разность F (b ) – F (a ) есть

Если определения из учебника слишком сложны и непонятны, прочитайте нашу статью. Мы постараемся максимально просто, “на пальцах” объяснить основные моменты такого раздела математики, как определенные интегралы. Как вычисляется интеграл, читайте в данной инструкции.

С геометрической точки зрения интеграл функции – это площадь фигуры, образуемой графиком данной функции и осью в пределах интегрирования. Запишите интеграл, проанализируйте функцию под интегралом: если подынтегральное выражение возможно упростить (сократить, вынести множитель на знак интеграла, разбить на два простых интеграла), сделайте это. Откройте таблицу интегралов, чтобы определить, производная какой функции стоит под интегралом. Ответ найден? Выпишете множитель, вынесенный за интеграл (если это имело место), запишите найденную из таблицы функцию, подставьте границы интеграла.

Для вычисления значения интеграла рассчитайте его значение в верхней границе и вычтите его значение в нижней границе. Разница – и есть искомая величина.

Чтобы проверить себя или хотя бы уяснить ход решения задачи на интегралы, удобно пользоваться онлайн-сервисом нахождения интегралов , однако прежде чем приступать к решению, ознакомьтесь с правилами ввода функций . Огромнейшее его преимущество в том, что здесь пошагово расписывается все решение задачи с интегралом.

Конечно, здесь рассмотрены лишь самые простые варианты интегралов – определенные, на самом деле разновидностей интегралов великое множество, изучаются они в курсе высшей математики, математического анализа и дифференциальных уравнений в ВУЗах для студентов технических специальностей.

>> >> >> Методы интегрирования

Определение интеграла, определенного и неопределенного, таблица интегралов, формула Ньютона-Лейбница, интегрирование по частям, примеры вычисления интегралов.

Неопределенный интеграл

Пусть u = f(x) и v = g(x) — функции, имеющие непрерывные . Тогда, по произведения,

d(uv))= udv + vdu или udv = d(uv) — vdu.

Для выражения d(uv) первообразной, очевидно, будет uv, поэтому имеет место формула:

∫ udv = uv — ∫ vdu (8.4.)

Эта формула выражает правило интегрирования по частям . Оно приводит интегрирование выражения udv=uv»dx к интегрированию выражения vdu=vu»dx.

Пусть, например, требуется найти ∫xcosx dx. Положим u = x, dv = cosxdx, так что du=dx, v=sinx. Тогда

∫xcosxdx = ∫x d(sin x) = x sin x — ∫sin x dx = x sin x + cosx + C.

Правило интегрирования по частям имеет более ограниченную область применения, чем замена переменной. Но есть целые классы интегралов, например, ∫x k ln m xdx, ∫x k sinbxdx, ∫ x k cosbxdx, ∫x k e ax и другие, которые вычисляются именно с помощью интегрирования по частям.

Определенный интеграл

Методы интегрирования , понятие определенного интеграла вводится следующим образом. Пусть на отрезке определена функция f(x). Разобьем отрезок [ a,b] на n частей точками a= x 0 Δ x i =x i — x i-1 . Сумма вида f(ξ i)Δ x i называется интегральной суммой, а ее предел при λ = maxΔx i → 0, если он существует и конечен, называется определенным интегралом функции f(x) от a до b и обозначается:

F(ξ i)Δx i (8.5).

Функция f(x) в этом случае называется интегрируемой на отрезке , числа a и b носят название нижнего и верхнего предела интеграла .

Методы интегрирования имеют следующие свойства:

Последнее свойство называется теоремой о среднем значении .

Пусть f(x) непрерывна на . Тогда на этом отрезке существует неопределенный интеграл

∫f(x)dx = F(x) + C

и имеет место формула Ньютона-Лейбница , cвязывающая определенный интеграл с неопределенным:

F(b) — F(a). (8.6)

Геометрическая интерпретация: представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху кривой y=f(x), прямыми x = a и x = b и отрезком оси Ox.

Несобственные интегралы

Интегралы с бесконечными пределами и интегралы от разрывных (неограниченных) функций называются несобственными. Несобственные интегралы I рода — это интегралы на бесконечном промежутке, определяемые следующим образом:

(8.7)

Если этот предел существует и конечен, то называется сходящимся несобственным интегралом от f(x) на интервале [а,+ ∞), а функцию f(x) называют интегрируемой на бесконечном промежутке [а,+ ∞). В противном случае про интеграл говорят, что он не существует или расходится.

Аналогично определяются несобственные интегралы на интервалах (-∞,b] и (-∞, + ∞):

Определим понятие интеграла от неограниченной функции. Если f(x) непрерывна для всех значений x отрезка , кроме точки с, в которой f(x) имеет бесконечный разрыв, то несобственным интегралом II рода от f(x) в пределах от a до b называется сумма:

если эти пределы существуют и конечны. Обозначение:

Примеры вычисления интегралов

Пример 3. 30. Вычислить ∫dx/(x+2).

Решение. Обозначим t = x+2, тогда dx = dt, ∫dx/(x+2) = ∫dt/t = ln|t| + C = ln|x+2| + C .

Пример 3.31 . Найти ∫ tgxdx.

Решение.∫ tgxdx = ∫sinx/cosxdx = — ∫dcosx/cosx. Пусть t=cosx, тогда ∫ tgxdx = -∫ dt/t = — ln|t| + C = -ln|cosx|+C.

Пример 3.32 . Найти ∫dx/sinx

Пример 3.33. Найти .

Решение. =

.

Пример 3.34 . Найти ∫arctgxdx.

Решение. Интегрируем по частям. Обозначим u=arctgx, dv=dx. Тогда du = dx/(x 2 +1), v=x, откуда ∫arctgxdx = xarctgx — ∫ xdx/(x 2 +1) = xarctgx + 1/2 ln(x 2 +1) +C; так как
∫xdx/(x 2 +1) = 1/2 ∫d(x 2 +1)/(x 2 +1) = 1/2 ln(x 2 +1) +C.

Пример 3.35 . Вычислить ∫lnxdx.

Решение. Применяя формулу интегрирования по частям, получим:
u=lnx, dv=dx, du=1/x dx, v=x. Тогда ∫lnxdx = xlnx — ∫x 1/x dx =
= xlnx — ∫dx + C= xlnx — x + C.

Пример 3.36 . Вычислить ∫e x sinxdx.

Решение. Применим формулу интегрирования по частям. Обозначим u = e x , dv = sinxdx, тогда du = e x dx, v =∫sinxdx= — cosx → ∫ e x sinxdx = — e x cosx + ∫ e x cosxdx. ∫e x cosxdx также интегрируем по частям: u = e x , dv = cosxdx, du=e x dx, v=sinx. Имеем:
∫ e x cosxdx = e x sinx — ∫ e x sinxdx. Получили соотношение ∫e x sinxdx = — e x cosx + e x sinx — ∫ e x sinxdx, откуда 2∫e x sinx dx = — e x cosx + e x sinx + С.

Пример 3.37. Вычислить J = ∫cos(lnx)dx/x.

Решение.Так как dx/x = dlnx, то J= ∫cos(lnx)d(lnx). Заменяя lnx через t, приходим к табличному интегралу J = ∫ costdt = sint + C = sin(lnx) + C.

Пример 3.38 . Вычислить J = .

Решение. Учитывая, что = d(lnx), производим подстановку lnx = t. Тогда J = .

Пример 3.39 . Вычислить J = .

Решение. Имеем: . Поэтому =

Для того чтобы научиться решать определенные интегралы необходимо:

1) Уметь находить неопределенные интегралы.

2) Уметь вычислить определенный интеграл.

Как видите, для того чтобы освоить определенный интеграл, нужно достаточно хорошо ориентироваться в «обыкновенных» неопределенных интегралах. Поэтому если вы только-только начинаете погружаться в интегральное исчисление, и чайник еще совсем не закипел, то лучше начать с урока Неопределенный интеграл. Примеры решений .

В общем виде определенный интеграл записывается так:

Что прибавилось по сравнению с неопределенным интегралом? Прибавились пределы интегрирования .

Нижний предел интегрирования
Верхний предел интегрирования стандартно обозначается буквой .
Отрезок называется отрезком интегрирования .

Прежде чем мы перейдем к практическим примерам, небольшое «факью» по определенному интегралу.

Что такое определенный интеграл? Я бы мог вам рассказать про диаметр разбиения отрезка, предел интегральных сумм и т.д., но урок носит практический характер. Поэтому я скажу, что определенный интеграл – это ЧИСЛО. Да-да, самое что ни на есть обычное число.

Есть ли у определенного интеграла геометрический смысл? Есть. И очень хороший. Самая популярная задача – вычисление площади с помощью определенного интеграла .

Что значит решить определенный интеграл? Решить определенный интеграл – это значит, найти число.

Как решить определенный интеграл? С помощью знакомой со школы формулы Ньютона-Лейбница:

Формулу лучше переписать на отдельный листочек, она должна быть перед глазами на протяжении всего урока.

Этапы решения определенного интеграла следующие:

1) Сначала находим первообразную функцию (неопределенный интеграл). Обратите внимание, что константа в определенном интеграле никогда не добавляется . Обозначение является чисто техническим, и вертикальная палочка не несет никакого математического смысла, по сути – это просто отчёркивание. Зачем нужна сама запись ? Подготовка для применения формулы Ньютона-Лейбница.

2) Подставляем значение верхнего предела в первообразную функцию: .

3) Подставляем значение нижнего предела в первообразную функцию: .

4) Рассчитываем (без ошибок!) разность , то есть, находим число.

Всегда ли существует определенный интеграл? Нет, не всегда.

Например, интеграла не существует, поскольку отрезок интегрирования не входит в область определения подынтегральной функции (значения под квадратным корнем не могут быть отрицательными). А вот менее очевидный пример: . Такого интеграла тоже не существует, так как в точках , отрезка не существует тангенса. Кстати, кто еще не прочитал методический материал Графики и основные свойства элементарных функций – самое время сделать это сейчас. Будет здорово помогать на протяжении всего курса высшей математики.

Для того чтобы определенный интеграл вообще существовал, необходимо чтобы подынтегральная функция быланепрерывнойна отрезке интегрирования .

Из вышесказанного следует первая важная рекомендация: перед тем, как приступить к решению ЛЮБОГО определенного интеграла, нужно убедиться в том, что подынтегральная функция непрерывна на отрезке интегрирования . По студенческой молодости у меня неоднократно бывал казус, когда я подолгу мучался с нахождением трудной первообразной, а когда наконец-то ее находил, то ломал голову еще над одним вопросом: «что за ерунда получилась?». В упрощенном варианте ситуация выглядит примерно так:

???!!!

Нельзя подставлять отрицательные числа под корень!

Если для решения (в контрольной работе, на зачете, экзамене) Вам предложен несуществующий интеграл вроде

то нужно дать ответ, что интеграла не существует и обосновать – почему.

Может ли определенный интеграл быть равен отрицательному числу? Может. И отрицательному числу. И нулю. Может даже получиться бесконечность, но это уже будетнесобственный интеграл , коим отведена отдельная лекция.

Может ли нижний предел интегрирования быть больше верхнего предела интегрирования? Может, и такая ситуация реально встречается на практике.

– интеграл преспокойно вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница.

Без чего не обходится высшая математика? Конечно же, без всевозможных свойств. Поэтому рассмотрим некоторые свойства определенного интеграла.

В определенном интеграле можно переставить верхний и нижний предел, сменив при этом знак:

Например, в определенном интеграле перед интегрированием целесообразно поменять пределы интегрирования на «привычный» порядок:

– в таком виде интегрировать значительно удобнее.

Как и для неопределенного интеграла, для определенного интеграла справедливы свойства линейности:

– это справедливо не только для двух, но и для любого количества функций.

В определенном интеграле можно проводить замену переменной интегрирования , правда, по сравнению с неопределенным интегралом тут есть своя специфика, о которой мы еще поговорим.

Для определенного интеграла справедлива формула интегрирования по частям :

Пример 1

Решение:

(1) Выносим константу за знак интеграла.

(2) Интегрируем по таблице с помощью самой популярной формулы . Появившуюся константу целесообразно отделить от и вынести за скобку. Делать это не обязательно, но желательно – зачем лишние вычисления?

(3) Используем формулу Ньютона-Лейбница

.

Сначала подставляем в верхний предел, затем – нижний предел. Проводим дальнейшие вычисления и получаем окончательный ответ.

Пример 2

Вычислить определенный интеграл

Это пример для самостоятельно решения, решение и ответ в конце урока.

Немного усложняем задачу:

Пример 3

Вычислить определенный интеграл

Решение:

(1) Используем свойства линейности определенного интеграла.

(2) Интегрируем по таблице, при этом все константы выносим – они не будут участвовать в подстановке верхнего и нижнего предела.

(3) Для каждого из трёх слагаемых применяем формулу Ньютона-Лейбница:

СЛАБОЕ ЗВЕНО в определенном интеграле – это ошибки вычислений и часто встречающаяся ПУТАНИЦА В ЗНАКАХ. Будьте внимательны! Особое внимание заостряю на третьем слагаемом:

– первое место в хит-параде ошибок по невнимательности, очень часто машинально пишут

(особенно, когда подстановка верхнего и нижнего предела проводится устно и не расписывается так подробно). Еще раз внимательно изучите вышерассмотренный пример.

Следует заметить, что рассмотренный способ решения определенного интеграла – не единственный. При определенном опыте, решение можно значительно сократить. Например, я сам привык решать подобные интегралы так:

Здесь я устно использовал правила линейности, устно проинтегрировал по таблице. У меня получилась всего одна скобка с отчёркиванием пределов:

(в отличие от трёх скобок в первом способе). И в «целиковую» первообразную функцию, я сначала подставил сначала 4, затем –2, опять же выполнив все действия в уме.

Какие недостатки у короткого способа решения? Здесь всё не очень хорошо с точки зрения рациональности вычислений, но лично мне всё равно – обыкновенные дроби я считаю на калькуляторе.
Кроме того, существует повышенный риск допустить ошибку в вычислениях, таким образом, студенту-чайнику лучше использовать первый способ, при «моём» способе решения точно где-нибудь потеряется знак.

Несомненными преимуществами второго способа является быстрота решения, компактность записи и тот факт, что первообразная

находится в одной скобке.

Определенный интеграл: Определение, Пример — Статистика Как

Что такое определенный интеграл?

Посмотрите видео или прочитайте ниже:

Определенный интеграл

Посмотрите это видео на YouTube.

Видео не видно? Кликните сюда.

Определенные интегралы дают результат (число, представляющее площадь), в отличие от неопределенных интегралов, которые представлены формулами.

В то время как суммы Римана могут дать вам точную площадь, если вы используете достаточное количество интервалов, определенные интегралы дают вам точный ответ — и вам потребуется меньше времени, чтобы вычислить площадь, используя суммы Римана (вы можете думать об определенном интеграле как о бесконечном количестве интервалов в сумме Римана). Определенный интеграл также известен как интеграл Римана (поскольку вы получите тот же результат, используя суммы Римана).

Формальное определение определенного интеграла:

Пусть f — функция, непрерывная на отрезке [a,b]. Определенный интеграл от f от a до b предел:

Где:

сумма Римана f на [a,b].

Формальное определение определенного интеграла выглядит довольно пугающе, но все, что вам нужно сделать, это вычислить площадь между функцией и осью x. Вам нужно будет понять, как применять правила для неопределенных интегралов, чтобы вычислить определенный интеграл.

Как найти определенный интеграл

Особый случай: Если уравнение, с которым вы имеете дело, содержит как функцию, так и производную этой функции, то вам, вероятно, следует использовать u-подстановку вместо выполнения описанных ниже шагов. Например:

Пример задачи:

Пример задачи №1: Вычислить площадь между x = 0 и x = 1 для f(x) = x ² .

Шаг 1: Настройте запись интеграла , поместив меньшее число внизу, а большее вверху:

Шаг 2: Найдите интеграл , используя обычные правила интегрирования. Здесь вы примените правило степени для интегралов:

∫ xndx = x ^{n + 1} ⁄(n + 1) + c , где n ≠ 0

Однако обратите внимание, что, поскольку вы находите определенный интеграл (в отличие от неопределенного), вам не понадобится этот «+ c» в конце. Применение этого правила дает:
∫ xndx = x ^{2 + 1} ⁄(2 + 1)
= x ³ / 3

Записав это немного более аккуратно, с включенными пределами интегрирования (0, 1):

Шаг 3: Подставьте верхнее число вместо x и затем решите:

Шаг 4: Добавьте знак вычитания , а затем подставьте вместо x нижнее число , решив интеграл:

Вот и все!

Совет: Существует еще один вид определенного интеграла, называемый контурным интегралом. Контурные интегралы включают те определенные интегралы, которые берутся на комплексной плоскости (в отличие от реальной линии). Однако вы вряд ли столкнетесь с контурными интегралами на уроках элементарного исчисления.

НАЗВАТЬ ЭТО КАК:
Стефани Глен . «Определенный интеграл: определение, пример» из StatisticsHowTo.com : Элементарная статистика для всех нас! https://www.statisticshowto.com/integrals/definite-integral/

————————————————— ————————-

Нужна помощь с домашним заданием или контрольным вопросом? С Chegg Study вы можете получить пошаговые ответы на свои вопросы от эксперта в данной области. Ваши первые 30 минут с репетитором Chegg бесплатны!

Комментарии? Нужно опубликовать исправление? Пожалуйста, Свяжитесь с нами .

Объяснение урока: Свойства определенных интегралов

В этом объяснении мы узнаем, как использовать свойства определенного интегрирования, такие как порядок пределов интегрирования, пределы нулевой ширины, суммы и разности.

Определенные интегралы представляют собой накопление или сумму определенной величины и тесно связаны с первообразными. Они предоставляют нам мощный инструмент, который помогает нам понять и смоделировать явления реального мира, поскольку они появляются во многих дисциплинах от чистой математики с геометрическими приложениями, такими как площадь поверхности и объем, до физики при определении массы объекта, работа сделано, или давление, оказываемое на объект, и это лишь некоторые из них.

Определенный интеграл функции 𝑓(𝑥) от 𝑥=𝑎 до 𝑥=𝑏 можно интерпретировать как площадь со знаком под кривой 𝑓(𝑥) от 𝑥=𝑎 до 𝑥=𝑏; наглядное представление этого интеграла дано на диаграмме.

Итак, как определяются определенные интегралы? Прежде чем дать точное определение, заметим, что мы можем оценить площадь под кривой для некоторой функции 𝑦=𝑓(𝑥), ограниченной соотношениями 𝑥=𝑎 и 𝑥=𝑏, предварительно разбив интервал [𝑎,𝑏] на 𝑛 подинтервалов одинаковой ширины, [𝑥,𝑥] для 𝑖=1,…,𝑛, как показано на диаграмме.

Это дает 𝑛 прямоугольников одинаковой ширины, Δ𝑥, где высота каждого прямоугольника определяется значением функции в каждой точке, 𝑓(𝑥), от правого конца каждого подынтервала. Площадь каждого прямоугольника равна произведению этой высоты на ширину, 𝑓(𝑥)Δ𝑥. Мы можем оценить площадь под кривой 𝑓(𝑥), суммируя площади каждого прямоугольника как площадь≈𝑓(𝑥)Δ𝑥+⋯+𝑓(𝑥)Δ𝑥=𝑓(𝑥)Δ𝑥.

Это также известно как правая сумма Римана. По мере увеличения количества прямоугольников 𝑛 и уменьшения ширины Δ𝑥 эта оценка будет приближаться к истинной площади под кривой. Фактически, определенный интеграл, который дает точную площадь под кривой, определяется путем ограничения этой суммы по мере того, как число прямоугольников приближается к бесконечности.

Определение: определенный интеграл

Учитывая непрерывную функцию 𝑓, определенную на интервале [𝑎,𝑏], мы можем разделить интервал на 𝑛 подинтервалов [𝑥,𝑥] одинаковой ширины, Δ𝑥, и выберите точки выборки 𝑥∈[𝑥,𝑥]∗. Определенный интеграл от 𝑥=𝑎 до 𝑥=𝑏 определяется через сумму Римана как 𝑓(𝑥)𝑥=𝑓𝑥Δ𝑥,→∞∗dlim куда 𝑥=𝑎+𝑖Δ𝑥, Δ𝑥=𝑏−𝑎𝑛=𝑥−𝑥 при условии, что предел существует и дает одно и то же значение для всех точек выборки 𝑥∈[𝑥,𝑥]∗.

Не имеет значения, какая точка отсчета 𝑥∗ в подынтервале [𝑥,𝑥] принимается за. Поскольку разность или ширина слагаемых ∆𝑥→0, то же самое и разница между любыми двумя точками в интервале. Это связано с тем, что выбор 𝑥∗ произволен, что может привести к разным суммам Римана, которые сходятся к одному и тому же значению. В частности, общий выбор задается следующим образом:

• Если 𝑥=𝑥∗, то есть функция 𝑓 вычисляется на правом конце каждого подынтервала, то мы имеем правильную сумму Римана. Определенный интеграл от этой суммы равен 𝑓(𝑥)𝑥=𝑓(𝑥)Δ𝑥.→∞dlim Это выбор, который большинство людей используют при нахождении конкретной суммы Римана или определенного интеграла для простоты, и он соответствует приведенному выше примеру с оценкой площади под кривой с использованием 𝑛 прямоугольников одинаковой ширины и диаграммы с пределом как 𝑛→∞.
• Если 𝑥=𝑥∗, то есть функция 𝑓 вычисляется на левом конце каждого подынтервала, то мы имеем левую сумму Римана.
• Если 𝑥=(𝑥+𝑥)2∗, то есть функция 𝑓 вычисляется в середине каждого подынтервала, то мы имеем среднюю сумму Римана.

Определенный интеграл всегда дает площадь под кривой со знаком; площадь, заданная определенным интегралом выше оси 𝑥, всегда положительна, а площадь ниже оси 𝑥 всегда отрицательна, как показано на диаграмме.

Если в интервале [𝑎,𝑏] есть части кривой, расположенные ниже и выше оси 𝑥, то определенным интегралом будет площадь над осью 𝑥 за вычетом площади под осью 𝑥 в пределах интервал [𝑎,𝑏].

На практике определенные интегралы обычно оцениваются с использованием основной теоремы исчисления путем вычисления первообразной подынтегральной функции и нахождения разности, оцененной в предельных точках.

Теорема: вторая часть основной теоремы исчисления (аксиома Ньютона–Лейбница)

Пусть 𝑓 — функция с действительным знаком на отрезке [𝑎,𝑏] и 𝐹 — первообразная от 𝑓 в [𝑎,𝑏]: 𝐹′(𝑥)=𝑓(𝑥).

Если 𝑓 интегрируема по Риману на [𝑎,𝑏], то 𝑓(𝑡)𝑡=[𝐹(𝑡)]=𝐹(𝑏)−𝐹(𝑎).d

По первой части теоремы первообразные 𝑓 всегда существуют, когда 𝑓 непрерывно, но вторая часть основной теоремы исчисления несколько сильнее, поскольку не предполагает непрерывности 𝑓.

Определенные интегралы также обладают определенными свойствами, подобными неопределенным интегралам, производным и пределам. Давайте вспомним эти свойства, которые будут в центре внимания этого объяснения.

Свойство: свойства определенных интегралов

1. Переменная 𝑥, которая появляется в определенных интегралах, называется фиктивной переменной, и мы можем заменить ее другой, чтобы получить тот же результат: 𝑓(𝑥)𝑥=𝑓(𝑡)𝑡 .dd
2. Определенный интеграл от константы 𝑐∈ℝ пропорционален ширине интервала: 𝑐𝑥=𝑐(𝑏−𝑎).d
3. Предел нулевой ширины, когда следует, что0154
4. Определенные интегралы можно разделить на сумму или разность: (𝑓(𝑥)±𝑔(𝑥))𝑥=𝑓(𝑥)𝑥±𝑔(𝑥)𝑥. ddd
5. Мы можем вынести константу 𝑐∈ℝ из определенных интегралов: 𝑐𝑓(𝑥)𝑥=𝑐𝑓(𝑥)𝑥.dd
6. Мы также можем разбить интеграл с пределами [𝑎,𝑏 ] для некоторого значения 𝑐∈ℝ на двух соседних интервалах [𝑎,𝑐] и [𝑐,𝑏]: 𝑓(𝑥)𝑥=𝑓(𝑥)𝑥+𝑓(𝑥)𝑥. ддд
7. Если 𝑓(𝑥)≥0, то 𝑓(𝑥)𝑥≥0.d
8. Если 𝑓(𝑥)≥𝑔(𝑥), то 𝑓(𝑥)𝑸𝑥≥ 𝑥.дд
9. У нас также есть ограниченное свойство; если 𝑚≤𝑓(𝑥)≤𝑀, то 𝑚(𝑏−𝑎)≤𝑓(𝑥)𝑥≤𝑀(𝑏−𝑎).d
10. Свойство модуля определяется выражением ||||𝑓( 𝑥)𝑥||||≤|𝑓(𝑥)|𝑥.dd
11. Наконец, у нас есть свойство для четных и нечетных функций при интегрировании по интервалу [−𝑎,𝑎].
    Для четных функций 𝑓(−𝑥)=𝑓(𝑥) имеем 𝑓(𝑥)𝑥=2𝑓(𝑥)𝑥.dd Для нечетных функций 𝑓(−𝑥)=−𝑓(𝑥) имеем 𝑓(𝑥)𝑥=0,d

Второе свойство соответствует определенному интегралу постоянной функции 𝑓(𝑥)= 𝑐 между 𝑥=𝑎 и 𝑥=𝑏, как показано на диаграмме.

Определенный интеграл дает площадь со знаком под кривой, равную площади прямоугольника с длинами |𝑐| и |𝑏−𝑎| с точностью до знака.

Другие свойства определенных интегралов можно показать непосредственно из основной теоремы исчисления; например, используя седьмое свойство, мы можем разделить интеграл и применить основную теорему исчисления, чтобы получить 𝐹(𝑎))+(𝐹(𝑏)−𝐹(𝑐))=𝐹(𝑏)−𝐹(𝑎).ddd

Это интуитивное свойство, поскольку площади каждого из части составляют общую площадь над [𝑎,𝑏]. Это можно представить следующим образом.

Когда нам дана конкретная функция для интегрирования по интервалу [𝑎,𝑏], мы можем использовать эти свойства, чтобы помочь вычислить интеграл, упростив его, часто с последующим применением фундаментальной теоремы исчисления.

Теперь давайте оценим определенный интеграл от 𝑓(𝑥)=𝑥5+𝑥 от 𝑥=−7 до 𝑥=7, как показано на графике.

Функция 𝑓 нечетна, поскольку удовлетворяет условию 𝑓(−𝑥)=−𝑓(𝑥). Поэтому, используя 12-е свойство определенных интегралов для нечетных функций, имеем 𝑥5+𝑥𝑥=0.d

Это также можно понять из графика графика, поскольку интеграл с правой стороны оси (𝑥>0) в точности сокращает интеграл с левой стороны (𝑥0), так как последний ниже оси 𝑥 будет дать отрицательное значение.

Предположим, мы хотим найти определенный интеграл от 𝑓(𝑥)=𝑥𝑥cos от 𝑥=−𝜋 до 𝑥=𝜋, как показано на графике.

Если нам дан интеграл 𝑥𝑥𝑥=−2𝜋,cosd, который мы можем найти, дважды интегрируя по частям, то мы можем вычислить интеграл по интервалу [−𝜋,𝜋], используя тот факт, что функция 𝑓 четная, так как она удовлетворяет 𝑓(−𝑥)=𝑓(𝑥). Следовательно, используя 12-е свойство определенных интегралов для четных функций, имеем0007

Это также можно понять из графика графика, поскольку интеграл с правой стороны оси (𝑥>0) точно такой же, как и интеграл с левой стороны (𝑥0).

Теперь давайте рассмотрим несколько примеров, чтобы попрактиковаться и углубить наше понимание свойств определенных интегралов.

В первом примере мы будем вычислять определенный интеграл, используя свойство обращения пределов интегрирования и вынесение константы из интеграла.

Пример 1. Вычисление определенного интеграла с использованием свойства обращения пределов интегрирования

Если 𝑔(𝑥)𝑥=10d, определить значение 7𝑔(𝑥)𝑥d.

Ответ

В этом примере мы хотим вычислить определенный интеграл, используя свойство обращения пределов интегрирования и вынесения константы из интеграла.

Свойства определенных интегралов, которые мы будем использовать, следующие: dddd

Применяя эти свойства, мы можем определить значение данного интеграла как 10=-70.ddd

Теперь давайте рассмотрим пример, в котором мы будем вычислять определенный интеграл, используя свойство сложения двух функций и интеграл от константы на одном и том же интервале.

Пример 2. Вычисление определенного интеграла с использованием свойства сложения интеграла двух функций на одном и том же интервале

Функция 𝑓 непрерывна на [−4,4] и удовлетворяет условию д. Определить [𝑓(𝑥)−6]𝑥d.

Ответ

В этом примере мы хотим вычислить определенный интеграл, используя свойство сложения интеграла от двух функций и интеграла от константы на одном и том же интервале.

Свойства определенных интегралов, которые мы будем использовать, следующие: ,𝑐∈ℝ. dddd

Применяя эти свойства, мы можем определить значение данного интеграла как [𝑓(𝑥)−6]𝑥=𝑓(𝑥)𝑥− 6𝑥=9−6(4−0)=−15.ddd

В следующем примере мы будем вычислять определенный интеграл, используя свойство сложения двух определенных интегралов и вынося константу из интеграл.

Пример 3. Вычисление определенного интеграла с использованием свойства сложения двух определенных интегралов на одном интервале

Если 𝑓(𝑥)𝑥=82d и 𝑔(𝑥)𝑥=74d, найти [2𝑓(𝑥)−4𝑔(𝑥)]𝑥d.

Ответ

В этом примере мы хотим вычислить определенный интеграл, используя свойство сложения интеграла двух функций и вынося константу из интеграла.

Свойства определенных интегралов, которые мы будем использовать, следующие: 𝑓(𝑥)𝑥,𝑐∈ℝ.dddddd

Применяя эти свойства, мы можем определить значение данного интеграла как [2𝑓(𝑥)−4𝑔(𝑥)] 𝑥=2𝑓(𝑥)𝑥+−4𝑔(𝑥)𝑥=2𝑓(𝑥)𝑥−4𝑔(𝑥)𝑥=2×82−4×74=−132. ддддд

Теперь давайте рассмотрим пример, где мы найдем границы интеграла, где значения подынтегральной функции лежат в определенном интервале.

Пример 4. Вычисление определенного интеграла с использованием ограниченного свойства интегралов

Предположим, что на [−2,5] значения 𝑓 лежат в интервале [𝑚,𝑀]. Между какими границами лежит 𝑓(𝑥)𝑥d?

Ответ

В этом примере мы хотим найти границы интеграла, используя свойство, при котором значения 𝑓 лежат в определенном интервале.

В частности, следующее свойство утверждает, что если 𝑚≤𝑓(𝑥)≤𝑀, то 𝑚(𝑏−𝑎)≤𝑓(𝑥)𝑥≤𝑀(𝑏−𝑎).d

При применении этого свойство с 𝑎=−2 и 𝑏=5, имеем 𝑏−𝑎=7. Таким образом, 7𝑚≤𝑓(𝑥)𝑥≤7𝑀.d

В следующем примере мы будем вычислять определенный интеграл, используя свойство разбивать интеграл по двум соседним интервалам.

Пример 5. Вычисление определенного интеграла с использованием свойства сложения двух определенных интегралов на двух соседних интервалах

Если 𝑓(𝑥)𝑥=−2,4d и d, найти 𝑓(𝑥)𝑥d.

Ответ

В этом примере мы хотим вычислить определенный интеграл, используя свойство разделения интеграла между двумя соседними интервалами.

Мы будем использовать свойство определенных интегралов: при заданных значениях имеем dddd, что при перестановке дает 𝑓(𝑥)𝑥=−2.4+1.4=−1.d

Теперь давайте рассмотрим пример, в котором мы будем использовать свойство разбиения интеграла по смежным интервалам для выражения сумма трех определенных интегралов как один интеграл. Мы также будем использовать свойство, чтобы обратить вспять пределы интегрирования.

Пример 6. Выражение суммы трех определенных интегралов на соседних интервалах в виде одного интеграла

Функция 𝑓 непрерывна на ℝ. Запишите 𝑓(𝑥)𝑥+𝑓(𝑥)𝑥−𝑓(𝑥)𝑥ddd в форме 𝑓(𝑥)𝑥d.

Ответ

В этом примере мы хотим вычислить определенный интеграл, используя свойство инвертировать пределы интегрирования и разделить интеграл между двумя соседними интервалами.

Свойства определенных интегралов, которые мы будем использовать, следующие: ддддд

Мы можем объединить первые два члена, используя первое свойство как 𝑓(𝑥)𝑥+𝑓(𝑥)𝑥=𝑓(𝑥)𝑥ddd, а третий член переписать как  𝑓(𝑥)𝑥=−𝑓(𝑥)𝑥. dd

Следовательно, снова применяя первое свойство к оставшимся двум слагаемым, получаем 𝑓(𝑥)𝑥+𝑓(𝑥) 𝑥−𝑓(𝑥)𝑥=−𝑓(𝑥)𝑥+𝑓(𝑥)𝑥+𝑓(𝑥)𝑥=𝑓(𝑥)𝑥+𝑓(𝑥)𝑥=𝑓(𝑥) 𝑥.ddddddddd

В следующем примере мы будем использовать свойство определенных интегралов для четных функций на интервале [− 𝑎,𝑎] для вычисления интеграла по заданному значению.

Пример 7. Определенное интегрирование четных функций

Если четная функция 𝑓 непрерывна на интервале [−4,4], где 𝑓(𝑥)𝑥=2d, определить значение 𝑓( 𝑥)𝑥d.

Ответ

В этом примере мы хотим вычислить определенный интеграл, используя свойство интеграла четных функций на интервале [−𝑎,𝑎].

Свойство определенных интегралов, которое мы будем использовать для четных функций 𝑓(−𝑥)=𝑓(𝑥), равно 𝑓(𝑥)𝑥=2𝑓(𝑥)𝑥.dd

Применяя это свойство, мы можем определить значение данного интеграла как будет использовать свойство определенных интегралов для нечетных функций на интервале [−𝑎,𝑎] для вычисления интеграла по заданному значению. Мы также будем использовать свойство разбивать интеграл по двум соседним интервалам.

Пример 8. Нахождение определенного интегрирования нечетной функции с использованием свойств определенного интегрирования

Функция 𝑓 нечетна, непрерывна на [−1,7] и удовлетворяет 𝑓(𝑥)𝑥=−17d. Определить 𝑓(𝑥)𝑥d.

Ответ

В этом примере мы хотим вычислить определенный интеграл, используя свойство интеграла нечетных функций по интервалу [−𝑎,𝑎] и разделив интеграл между двумя соседними интервалами.

Свойства определенных интегралов, которые мы будем использовать для нечетных функций 𝑓(−𝑥)=−𝑓(𝑥), таковы: 𝑓(𝑥)𝑥.dddd

Применяя эти свойства, мы можем определить значение данного интеграла как 𝑓(𝑥)𝑥=𝑓(𝑥)𝑥+𝑓 (𝑥)𝑥=0−17=−17.ddd

В следующем примере мы будем использовать свойство определенных интегралов для четных функций на интервале [−𝑎,𝑎], чтобы вычислить интеграл по заданным значениям. Мы также будем использовать свойство обращения пределов интегралов и разбиения интеграла на два соседних интервала.

Пример 9. Нахождение определенного интегрирования четной функции с использованием свойств определенного интегрирования

Функция 𝑓 четная, непрерывная на [−8,8] и удовлетворяет и 𝑓(𝑥)𝑥=13d. Определить 𝑓(𝑥)𝑥d.

Ответ

В этом примере мы хотим вычислить определенный интеграл, используя свойство интеграла четных функций по интервалу [−𝑎,𝑎], обращая пределы интеграла и разделяя интеграл между двумя соседними интервалами .

Свойства определенных интегралов, которые мы будем использовать для четных функций 𝑓(−𝑥)=𝑓(𝑥), таковы: 𝑓(𝑥)𝑥,𝑓(𝑥)𝑥=𝑓(𝑥)𝑥+𝑓(𝑥)𝑥.дддддд

7 и третье свойство, мы можем записать определенный интеграл в виде dddddd

Мы можем определить каждую из этих частей из интегралов, заданных с помощью симметрии четных функций, заданной как определяем первую часть как 𝑓(𝑥)𝑥=𝑓(𝑥)𝑥=13.dd

Аналогично можно определить вторую часть. Применяя первое свойство, заметим, что имеем 𝑓(𝑥)𝑥=192. d

Следовательно, мы можем определить данный интеграл как 𝑓(𝑥)𝑥=𝑓(𝑥)𝑥−𝑓(𝑥)𝑥=192−13=−72.ddd

Теперь давайте рассмотрим пример, в котором мы будем использовать свойство определенных интегралов для нечетных функций на интервале [−𝑎,𝑎] для вычисления интеграл.

Пример 10. Использование свойств определенного интегрирования нечетной функции для вычисления интеграла

Определить 9𝑥−6𝑥2𝑥+9𝑥d.

Ответ

В этом примере мы хотим вычислить определенный интеграл нечетной функции, как показано на графике, используя свойство интеграла нечетных функций на интервале [−1,1].

Давайте сначала продемонстрируем, что подынтегральная функция действительно является нечетной функцией. Используя 𝑓(−𝑥)=−𝑓(𝑥), мы имеем 𝑓(−𝑥)=9(−𝑥)−6(−𝑥)2(−𝑥)+9=−9𝑥+6𝑥2𝑥+9=−9𝑥 −6𝑥2𝑥+9=−𝑓(𝑥).

Свойство определенных интегралов, которое мы будем использовать для нечетных функций, есть применяя это свойство, мы можем оценить данный интеграл как 9𝑥−6𝑥2𝑥+9𝑥=0. d

. ,𝑎] и фундаментальная теорема исчисления для вычисления определенного интеграла.

Пример 11. Оценка определенного интегрирования степенной функции

Вычисление 𝑥𝑥d.

Ответ

В этом примере мы хотим вычислить определенный интеграл четной функции, как показано на графике, используя свойство интеграла четных функций на интервале [−1,1].

Давайте сначала продемонстрируем, что подынтегральная функция действительно является четной функцией. Используя свойство четной функции, 𝑓(−𝑥)=𝑓(𝑥), мы имеем 𝑓(−𝑥)=(−𝑥)=𝑥=𝑓(𝑥).

Свойство определенных интегралов, которое мы будем использовать для четных функций, имеет вид 𝑥𝑥=2𝑥𝑥.dd

Начнем с нахождения первообразной 𝑥 из неопределенного интеграла: определенного интеграла, мы можем применить основную теорему исчисления, что утверждает, что если 𝑓 непрерывно на [𝑎,𝑏] и 𝐹′(𝑥)=𝑓(𝑥), тогда 𝑓(𝑥)𝑥=[𝐹(𝑥)]=𝐹(𝑏)−𝐹(𝑎).d

Заметим, что константой интегрирования для первообразной 𝐹(𝑥) можно пренебречь, так как она сокращается в разности 𝐹(𝑏)−𝐹(𝑎).