Определенный интеграл формула: Определенный интеграл и методы его вычисления с примерами решения

Формулы и уравнения определенных интегралов

1. Формула Ньютона-Лейбница:
   , где
2. Формула интегрирования по частям в определенном интеграле:
   
3. Замена переменной в определенном интеграле:
   Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b], а функция x=ϕ(t) непрерывно дифференцируема на отрезке [α;β], где a=ϕ(α), b=ϕ(β), то
   
4. Интегралы с бесконечными пределами:
   
5. Признаки сходимости интегралов с бесконечными пределами (признаки сравнения):
   1. Если a≤x≤+∞, 0≤f(x)≤g(x), то из сходимости
   сходимость
   ≤
   из расходимости расходимость
   2. Если при a≤x≤+∞, f(x)>0, g(x)>0 и существует конечный предел ≠0, то интегралы сходятся или расходятся одновременно.
   Эталоном сравнения служит интеграл:
   он сходится при p>1 и расходится при p≤1.
6. Интегралы от неограниченных функций:
   Если функция f(x) непрерывна при a≤x<b и
   , то
   .
7. Признаки сходимости несобственных интегралов от неограниченных функций:
   Аналогичны признакам сходимости интегралов с бесконечными пределами. Эталоном сравнения служит интеграл он сходится при 0<p<1 и расходится при p>1.

Приложения определенного интеграла
1. Площадь плоской фигуры
   1.1. Фигура ограничена графиком функции y=f(x)(f(x)≥0), прямыми x=a, x=b и осью Ox:
   .
   1.2. Фигура ограничена графиками функций y=f₁(x) и y=f₂(x), f₁(x)≤2f₂(x), и прямыми x=a, x=b:
   .
   1.3. Фигура ограничена кривой, имеющей параметрические уравнения x=x(t), y=y(t), прямыми x=a, x=b и осью Ox:
   , где f=x(t₁), b=x(t₂), y(t)≥0 на отрезке [t₁
   ; t₂].
   1.4. Площадь криволинейного сектора, ограниченного графиком непрерывной функции ρ=ρ(ϕ), лучами ϕ=α, ϕ=β, где ϕ и ρ — полярные координаты:
   .
2. Длина дуги кривой
   2.1. Гладкая кривая задана явно, y=f(x), a≤x≤b:
   .
   2.2. Кривая задана параметрически, x=x(t), y=y(t), z=z(t), t₁≤t≤t₂:
   (для плоской кривой z(t)≡0).
   2.3. Кривая задана в полярных координатах, ρ=ρ(ϕ), α≤ϕ≤β:
   .
3. Площадь поверхности вращения, образованной вращением вокруг оси Ox дуги кривой
   3.1. Дуга задана явно, y=f(x), a≤x≤b:
   .
   3.2. Дуга задана параметрически, x=x(t), y=y(t), t₁≤t≤t₂:
   .
   3.3. Дуга задана в полярных координатах, ρ=ρ(ϕ), α≤ϕ≤β:
   .
4. Объем тела
   4.1. Тело заключено между плоскостями x=a и x=b, площадь сечения тела плоскостью, перпендикулярной оси Ox – известная функция S=f(x), непрерывная на отрезке [a; b], f(x)≥0:
   .
   4.2. Криволинейная трапеция, ограниченная кривой y=f(x), a≤x≤b вращается вокруг оси Ox:
   .
   4.3. Криволинейная трапеция, ограниченная кривой x=g(y), c≤y≤d вращается вокруг оси Oy:
   .

Сообщество Экспонента

• вопрос
• 19.10.2022

Математика и статистика, Цифровая обработка сигналов, Финансы

 u = (y³)/3 + 8xy — 9y — 4x² — 10 Справка

 u = (y³)/3 + 8xy — 9y — 4x² — 10 Справка

• вопрос
• 19.10.2022

Математика и статистика, Цифровая обработка сигналов, Финансы, Другое

 u = (y³)/3 + 8xy — 9y — 4x² — 10

 u = (y³)/3 + 8xy — 9y — 4x² — 10

2 Ответа

• Публикация
• 18.10.2022

Другое

Введение            В настоящее время существует три основных подхода при построении криптографической системы: — алгоритмы с открытыми ключами; — симметричные алгоритмы с закрытыми ключами (блочные шифры)…

Аннотация статьи
            Разработан алгоритм генерации ключей шифрования в симметричных криптографических системах с закрытыми ключами, без использования передачи ключей по сетям связи.

            An algorithm has been developed for generating encryption keys in symmetric cryptographic systems with private keys, without using key transmission over communication networks.

           

            Ключевые слова: шифрование, симметричные криптографические системы, одноразовые блокноты, алгоритм генерации ключей, интернет вещи, (IoT), приемно-контрольные приборы.

• шифрование

18.10.2022

• Отвеченный вопрос
• 17.10.2022

Изображения и видео, Цифровая обработка сигналов, Верификация и валидация, Математика и статистика, Системы управления, Другое, Автоматизация испытаний

Здравствуйте,Необходимо смоделировать теплопередачу в емкости с водой, через которую проложена труба. Имеется разница температур жидкости в трубе и в емкости. Подскажите инструменты, статиьи, видео и…

Здравствуйте,Необходимо смоделировать теплопередачу в емкости с водой, через которую проложена труба. Имеется разница температур жидкости в трубе и в емкости. Подскажите инструменты, статиьи, видео и…

2 Ответа

• MATLAB
• теплопередача
• теплообмен

17.10.2022

• вопрос
• 15.10.2022

Цифровая обработка сигналов, Автоматизация испытаний, Системы управления, Электропривод и силовая электроника

Всем привет! Мультиметр не выдает окна с графиками после моделирования, может кто сталкивался таким? Желаемые измеряемые величины естественно  перенес в правый  столбец и ничего( Симулинк ве…

Всем привет! Мультиметр не выдает окна с графиками после моделирования, может кто сталкивался таким? Желаемые измеряемые величины естественно  перенес в правый  столбец и ничего( Симулинк ве…

1 Ответ

• моделирование

15.10.2022

• Публикация
• 12.10.2022

Системы управления, Математика и статистика, Цифровая обработка сигналов

clear all clc NumVar = 10; %1. -5;…

Сроду не программировал и сразу кинули в matlab. Не знаю в чем здесь проблема. Буду рад если поможете. Извиняюсь за такое кол-во строк кода 🙁

• Построение пилота

12.10.2022

• вопрос
• 11.10.2022

Математика и статистика, Радиолокация, Робототехника и беспилотники, Цифровая обработка сигналов, ПЛИС и СнК, Глубокое и машинное обучение(ИИ), Системы управления, Биология, Изображения и видео, Системы связи, Автоматизация испытаний, Другое, Финансы, Встраиваемые системы, Электропривод и силовая электроника

1. Вопрос глобальный. Зачем он нужен?2. Если я создаю pcode функции, внутри которой вызываются другие функции, код которых содержится в других файлах, то в итоговом файле будет всё, или надо делать pc…

1. Вопрос глобальный. Зачем он нужен?2. Если я создаю pcode функции, внутри которой вызываются другие функции, код которых содержится в других файлах, то в итоговом файле будет всё, или надо делать pc. ..

1 Ответ

• MATLAB

11.10.2022

• вопрос
• 22.09.2022

Математика и статистика, Системы управления, Изображения и видео, Робототехника и беспилотники, Глубокое и машинное обучение(ИИ), Другое

Коллеги, добрый день.   Необходимо использовать corrcoef, а массивы разной длины.   Как сделать кол-во элементов одинаково?

Коллеги, добрый день.   Необходимо использовать corrcoef, а массивы разной длины.   Как сделать кол-во элементов одинаково?

7 Ответов

• вопрос
• 20.09.2022

Другое, Встраиваемые системы, Цифровая обработка сигналов, Системы управления

Здравствуйте!Возникла необходимость менять некоторое строчки в сишном файле автоматически, используя матлабовский скрипт. Прошерстил весь интернет, в т.ч. англоязычные форумы, не смог ничего найт…

Здравствуйте!Возникла необходимость менять некоторое строчки в сишном файле автоматически, используя матлабовский скрипт.  Прошерстил весь интернет, в т.ч. англоязычные форумы, не смог ничего найт…

1 Ответ

• MATLAB

20.09.2022

• Публикация
• 15.09.2022

Системы управления, Другое

Видел видос на канале экспоненты по созданию топливной системы. Вопрос заключается в наличии более полного описания готового примера или соответсвующее документации. Я новичок в симулинке и ещё многого не знаю. Адекватных и раскрытых пособий по созданию гидрав…

Моделирование гидравлических систем в simulink

Интегральные формулы

— триггер, определенные интегралы — класс 12

Последнее обновление: 22 августа 2019 г., Teachoo

Проверьте формулу интеграции.

Темы включают

1. Основные формулы интегрирования
2. Интеграл специальных функций
3. Интеграл от частных дробей
4. Интеграция по частям
5. Другие специальные интегралы
6. Площадь как сумма
7. Свойства определенного интегрирования

Здесь упоминаются интегрирование тригонометрических функций, свойства определенного интегрирования.

Основная формула

1. ∫х ^н = х ^п+1 /n+1 + С
2. ∫cos х = грех х + С
3. ∫sin х = -cos х + С
4. ∫сек ² Икс = загар х + С
5. ∫косек ² Икс = -кроватка х + С
6. ∫сек х тангенс х = сек х + С
7. ∫cosec x кроватка x = -косек х  + С
8. ∫dx/√ 1- x ² = грех ^-1 х + С
9. ∫dx/√ 1- x ² = -cos ^-1 х + С
10. ∫dx/√ 1+ x ² = загар ^-1 х + С
11. ∫dx/√ 1+ x ² = -кроватка ^-1 х + С
12. ∫е ^Икс = е ^Икс + С
13. ∫а ^Икс = а ^Икс / лог а + С
14. ∫дх/х √ х ² — 1= сек ^-1 х + С
15. ∫дх/х √ х ² — 1= косек ^-1 х + С
16. ∫1/х = лог | х | + с
17. ∫тангенс х = журнал |сек х| + с
18. ∫кроватка х = журнал | грех х | + с
19. ∫сек х = журнал | сек х + тангенс х | + с
20. ∫косек х = log |cosec x — кроватка x| + с

Упражняться Основные вопросы Формулы — Часть 1 а также Основные вопросы Формулы — Часть 2.

Интегралы от немного специальный функция с

1. ∫dx/(x ² — а ² ) = 1/2a log⁡ |(x — a) / (x + a)| + с
2. ∫dx/(а ² — Икс ² ) = 1/2a log⁡ |(a + x) / (a ​​- x)| + с
3. ∫dx/(x ² + а ² ) = 1/а тангенс ^(-1) ⁡ х / а + с

4. ∫dx / √(x ² — а ² ) = log |»x» + √(x ² -а ² )| + С

5. 1.∫dx / √(a ² — Икс ² ) = sin-1 х/а + с

6. ∫dx / √(x ² + а ² ) = log |»x» + √(x ² + а ² )| + С

Проверять Практические вопросы

Интегралы от неполных дробей

1. (px + q) / ((x — a) (x — b)) = A/(x — a) + B / (x — b)

2. (px + q) / (x — а) ² = А/(х — а) + В / (х — а) ²

3. (пикс. ² + qx + r) / (x — a) (x — b) (x — c)  = A / (x — a) + B / (x — b) + C / (x — c)
4. (пикс. ² + дх + г) / ((х — а) ² (х — б) ) = А / (х — а) + В / (х — а) ² + С / (х — б)
5. (пикс. ² + qx + r) / (x — a) (x ² + bx + c)  = A / (x — a) + (Bx + C) / (x ² + бх + в)

   Где х ² + bx + c не могут быть далее разложены на множители.

Проверять Практические вопросы

Интеграция по частям

1. ∫𝒇(𝒙) 𝒈⁡(𝒙)  𝒅𝒙 = 𝒇(𝒙) ∫𝒈 (𝒙) 𝒅𝒙− ∫(𝒇 ‘ (𝒙) ∫𝒈(𝒙) 𝒅𝒙) 𝒅𝒙

   Чтобы решить первую функцию. Мы используем

   я → Обратный (пример sin ^(-1) ⁡х)

   л → Журнал (пример журнала ⁡x)

   А → Алгебра (Пример x ² , Икс ³ )

   Т → Тригонометрия (пример sin ² Икс)

   Е → Экспоненциальный (пример e ^Икс )

2. ∫ex [f (x) + f ′(x)] dx = ∫ex f(x) dx + C

Проверять Практические вопросы

Другие специальные интегралы

1. ∫√ (Икс ² — а ² ) дх = х / 2 √(х ² — а ² ) — а ² / 2 log |x + √(x ² — а ² )| + С

2. ∫ √( Икс ² + а ² ) дх знак равно х / 2 √(х ² + а ² ) + а ² / 2 log |x +√(x ² + а ² )| + С

3. ∫ √( а ² — Икс ² ) дх знак равно х / 2 √ (а ² — Икс ² ) + а ² / 2 грех ¹ х/а + С

Проверять Практические вопросы

Интеграл от в форма ∫ (пкс+д) √( топор ² + бх + с ) дх

Мы решаем это с помощью определенного метода.

1. Сначала мы пишем
        px + q = A (d(√(ax ² + bx + c))/dx) + B
2. Затем находим А и В
3. Наше уравнение становится двумя отдельными тождествами, а затем мы решаем.

Некоторые примеры

• (х + 3) √( 3 — 4х — х ² ) — Посмотреть решение
• Икс √(1 + х — х ² ) дх – Посмотреть решение

Проверять Практические вопросы

Площадь как сумма

∫a→b f (x)  dx = (b — a)  (lim) (n→∞)  1 / n (f (a) + f (a + h) + f (a + 2h)…+ f (a + (н — 1)ч))

Проверять Практические вопросы

Свойства определенного интегрирования

1. п ₀ : ∫а→б f(x)dx = ∫a→b f(t) dt
2. п ₁ : ∫а→б f(x)dx = -∫b→a f(x) dx . В частности, ∫a→a f(x)dx = 0
3. п ₂ : ∫а→б f(x) dx = ∫a→c f(x) dx + ∫c→b f(x) dx
4. п ₃ : ∫a→b f(x) dx= ∫a→b f(a+b-x)dx.
5. п ₄ : ∫0→a f(x)dx = ∫0→a f (а — х) дх
6. п ₅ : ∫0→2а f(x)dx = ∫0→a f(x) dx + ∫0→a f(2a — x) dx
7. п ₆ :  ∫0→2a f(x) = {(2∫0→a f(x) dx, если f (2a — x) = f (x) , если f (2a — x) = -f(x))
8. п ₇ : ∫(-a)→a f(x) = {(2∫0→a f(x) dx, если f(-x) = f(x), если f (-x) = -f(x)

Чек Практические вопросы

Вы также можете скачать pdf здесь

Глава 7 Таблица формул интеграции для класса 12, подготовленная Teachoo. pdf

6.5 Вычисление определенных интегралов – методы исчисления 1

Перейти к содержимому

Цели обучения

• Применение основных формул интегрирования.
• Объясните значение теоремы о чистом изменении.
• Используйте теорему о чистых изменениях для решения прикладных задач.
• Применить интегралы от нечетных и четных функций.

В этом разделе мы используем некоторые основные формулы интегрирования, изученные ранее, для решения некоторых ключевых прикладных задач. Важно отметить, что эти формулы представлены в виде неопределенных интегралов. Хотя определенные и неопределенные интегралы тесно связаны между собой, следует помнить о некоторых ключевых различиях. Определенный интеграл — это либо число (когда пределы интегрирования — константы), либо отдельная функция (когда один или оба предела интегрирования — переменные). Неопределенный интеграл представляет собой семейство функций, каждая из которых отличается на константу. По мере того, как вы будете лучше знакомиться с интегрированием, вы почувствуете, когда использовать определенные интегралы и когда использовать неопределенные интегралы. Вы, естественно, выберете правильный подход к данной проблеме, не слишком задумываясь об этом. Однако до тех пор, пока эти концепции не закрепятся в вашем уме, тщательно подумайте, нужен ли вам определенный интеграл или неопределенный интеграл, и убедитесь, что вы используете правильную запись, основанную на вашем выборе.

Вспомним правило о свойствах определенных интегралов. Рассмотрим несколько примеров применения этих правил.

 

Теорема о чистом изменении

Теорема о чистом изменении рассматривает интеграл скорости изменения . В нем говорится, что при изменении количества новое значение равно первоначальному значению плюс интеграл скорости изменения этого количества. Формула может быть выражена двумя способами. Второй более знаком; это просто определенный интеграл. 9{b}F\text{‘}(x)dx=F(b)-F(a).\hfill \end{array}$$

Вычитание [latex]F(a)[/latex] с обеих сторон из первого уравнения дает второе уравнение. Поскольку это эквивалентные формулы, какую из них мы используем, зависит от приложения.

Значение теоремы о чистом изменении заключается в результатах. Чистое изменение может быть применено к площади, расстоянию и объему, и это лишь некоторые из приложений. Чистое изменение учитывает отрицательные величины автоматически, без необходимости писать более одного интеграла. Чтобы проиллюстрировать это, давайте применим теорему о чистом изменении к функции скорости, результатом которой является смещение.

Мы рассмотрели простой пример этого в разделе «Площадь и определенный интеграл». Предположим, что автомобиль движется прямо на север (в положительном направлении) со скоростью 40 миль в час между 14:00 и 14:00. и 16:00, затем машина движется на юг со скоростью 30 миль в час между 16:00 и 16:00. и 17:00 Мы можем изобразить это движение, как показано на этом рисунке.

Рисунок 6.17 На графике показана зависимость скорости от времени при заданном движении автомобиля.

Подробное описание: Линии y=40 и y=-30 проведены над [2,4] и [4,5] соответственно. Области между линиями и осью x заштрихованы. 9{5}30dt\hfill \\ & =80+30\hfill \\ & =110.\hfill \end{array}$$

Таким образом, между 14:00 и 17:00 машина проехала в общей сложности 110 миль.

Подводя итог, чистый водоизмещение может включать как положительные, так и отрицательные значения. Другими словами, функция скорости учитывает как расстояние вперед, так и расстояние назад. Чтобы найти чистое смещение, проинтегрируйте функцию скорости по интервалу. С другой стороны, общее пройденное расстояние всегда положительно. Чтобы найти общее расстояние, пройденное объектом независимо от направления, нам нужно проинтегрировать абсолютное значение функции скорости.

 

Применение теоремы о чистом изменении

Теорему о чистом изменении можно применить к потоку и потреблению жидкостей, как показано в следующем примере.