Страница не найдена — ПриМат
По данному адресу ничего не найдено. Попробуйте воспользоваться поиском.
Искать:© 2012-2016: Нохум-Даниэль Блиндер (11), Анастасия Лозинская (10), Игорь Любинский (8), Юлия Стерлянко (8), Денис Стехун (8), Валентин Малявко (8), Елизавета Савицкая (8), Олег Шпинарев (7), Александр Базан (7), Анна Чалапчий (7), Константин Берков (7), Кирилл Волков (6), Татьяна Корнилова (6), Влад Радзивил (6), Максим Швандт (6), Людмила Рыбальченко (6), Александр Онищенко (5), Андрей Метасов (5), Денис Базанов (5), Александр Ковальский (5), Александр Земсков (5), Марина Чайковская (5), Екатерина Шибаева (5), Мария Корень (5), Анна Семененко (5), Мария Илларионова (5), Сергей Черкес (5), Алиса Ворохта (5), Валерия Заверюха (5), Елизавета Снежинская (5), Вадим Покровский (5), Даниил Радковский (5), Влад Недомовный (5), Андрей Лисовой (4), Полина Сорокина (4), Кирилл Демиденко (4), Дмитрий Стеценко (4), Александр Рапчинский (4), Святослав Волков (4), Иван Мясоедов (4), Владислав Стасюк (4), Алёна Гирняк (4), Николай Царев (4), Валентин Цушко (4), Павел Жуков (4), Роман Бронфен-Бова (4), Артём Романча (4), Анна Шохина (4), Иван Киреев (4), Никита Савко (4), Кондрат Воронов (4), Алина Зозуля (4), Иван Чеповский (4), Артем Рогулин (4), Игорь Чернега (4), Даниил Кубаренко (4), Ольга Денисова (4), Татьяна Осипенко (4), Яков Юсипенко (4), Ольга Слободянюк (4), Руслан Авсенин (4), Екатерина Фесенко (4), Дмитрий Заславский (4), Алина Малыхина (4), Константин Мысов (3), Мария Карьева (3), Константин Григорян (3), Колаев Демьян (3), Станислав Бондаренко (3), Ильдар Сабиров (3), Владимир Дроздин (3), Кирилл Сплошнов (3), Карина Миловская (3), Дмитрий Козачков (3), Мария Жаркая (3), Алёна Янишевская (3), Александра Рябова (3), Дмитрий Байков (3), Павел Загинайло (3), Томас Пасенченко (3), Виктория Крачилова (3), Таисия Ткачева (3), Владислав Бебик (3), Илья Бровко (3), Максим Носов (3), Филип Марченко (3), Катя Романцова (3), Илья Черноморец (3), Евгений Фищук (3), Анна Цивинская (3), Михаил Бутник (3), Станислав Чмиленко (3), Катя Писова (3), Дмитрий Дудник (3), Дарья Кваша (3), Игорь Стеблинский (3), Артем Чернобровкин (3), Виктор Булгаков (3), Дмитрий Мороз (3), Богдан Павлов (3), Игорь Вустянюк (3), Андрей Яроцкий (3), Лаура Казарян (3), Екатерина Мальчик (3), Анатолий Осецимский (3), Иван Дуков (3), Дмитрий Робакидзе (3), Вячеслав Зелинский (3), Данила Савчак (3), Дмитрий Воротов (3), Стефания Амамджян (3), Валерия Сиренко (3), Георгий Мартынюк (3), Виктор Иванов (3), Вячеслав Иванов (3), Валерия Ларикова (3), Евгений Радчин (3), Андрей Бойко (3), Милан Карагяур (3), Александр Димитриев (3), Иван Василевский (3), Руслан Масальский (3), Даниил Кулык (3), Стас Коциевский (3), Елизавета Севастьянова (3), Павел Бакалин (3), Антон Локтев (3), Андрей-Святозар Чернецкий (3), Николь Метри (3), Евелина Алексютенко (3), Константин Грешилов (3), Марина Кривошеева (3), Денис Куленюк (3), Евгений Рудницкий (2), Олег Сторожев (2), Евгения Максимова (2), Алексей Пожиленков (2), Юрий Молоканов (2), Даниил Кадочников (2), Александр Колаев (2), Александр Гутовский (2), Павел Мацалышенко (2), Таня Спичак (2), Радомир Сиденко (2), Владислав Шиманский (2), Илья Балицкий (2), Алина Гончарова (2), Владислав Шеванов (2), Андрей Сидоренко (2), Александр Мога (2), Юлия Стоева (2), Александр Розин (2), Надежда Кибакова (2), Майк Евгеньев (2), Евгений Колодин (2), Денис Карташов (2), Александр Довгань (2), Нина Хоробрых (2), Роман Гайдей (2), Антон Джашимов (2), Никита Репнин (2), Инна Литвиненко (2), Яна Юрковская (2), Гасан Мурадов (2), Богдан Подгорный (2), Алексей Никифоров (2), Настя Филипчук (2), Гук Алина (2), Михаил Абабин (2), Дмитрий Калинин (2), Бриткариу Ирина (2), Никита Шпилевский (2), Алексей Белоченко (2), Юлиана Боурош (2), Никита Семерня (2), Владимир Захаренко (2), Дмитрий Лозинский (2), Яна Колчинская (2), Юрий Олейник (2), Кирилл Бондаренко (2), Елена Шихова (2), Татьяна Таран (2), Наталья Федина (2), Настя Кондратюк (2), Никита Гербали (2), Сергей Запорожченко (2), Николай Козиний (2), Георгий Луценко (2), Владислав Гринькив (2), Александр Дяченко (2), Анна Неделева (2), Никита Строгуш (2), Настя Панько (2), Кирилл Веремьев (2), Даниил Мозгунов (2), Андрей Зиновьев (2), Андрей Данилов (2), Даниил Крутоголов (2), Наталия Писаревская (2), Дэвид Ли (2),
Ранг матрицы | это.
.. Что такое Ранг матрицы?Рангом системы строк (столбцов) матрицы с строк и столбцов называется максимальное число линейно независимых строк (столбцов). Несколько строк (столбцов) называются линейно независимыми, если ни одна из них не выражается линейно через другие. Ранг системы строк всегда равен рангу системы столбцов, и это число называется рангом матрицы.
Ранг матрицы — наивысший из порядков миноров этой матрицы, отличных от нуля.
Обычно ранг матрицы обозначается () или . Оба обозначения пришли к нам из иностранных языков, потому и употребляться могут оба. Последний вариант свойственен для английского языка, в то время как первый — для немецкого, французского и ряда других языков.
Содержание
|
Определение
Пусть — прямоугольная матрица.
Тогда по определению рангом матрицы является:
- нуль, если — нулевая матрица;
- число , где — минор матрицы порядка , а — окаймляющий к нему минор порядка , если они существуют.
Теорема (о корректности определения рангов). Пусть все миноры матрицы порядка равны нулю (). Тогда , если они существуют. |
Связанные определения
- Ранг матрицы размера называют полным, если .
- Базисный минор матрицы — любой ненулевой минор матрицы порядка , где .
- Строки и столбцы, на пересечении которых стоит базисный минор, называются базисными строками и столбцами. (Они определены неоднозначно в силу неоднозначности базисного минора.)
Свойства
- Теорема (о базисном миноре): Пусть — базисный минор матрицы , тогда:
- базисные строки и базисные столбцы линейно независимы;
- любая строка (столбец) матрицы есть линейная комбинация базисных строк (столбцов).
- Следствия:
- Если ранг матрицы равен , то любые строк или столбцов этой матрицы будут линейно зависимы.
- Если — квадратная матрица, и , то строки и столбцы этой матрицы линейно зависимы.
- Пусть , тогда максимальное количество линейно независимых строк (столбцов) этой матрицы равно .
- Теорема (об инвариантности ранга при элементарных преобразованиях): Введём обозначение для матриц, полученных друг из друга элементарными преобразованиями. Тогда справедливо утверждение: Если , то их ранги равны.
- Теорема Кронекера — Капелли: Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы равен рангу её расширенной матрицы. В частности:
- Количество главных переменных системы равно рангу системы.
- Совместная система будет определена (её решение единственно), если ранг системы равен числу всех её переменных.
Линейное преобразование и ранг матрицы
Пусть — матрица размера над полем (или ).
Пусть — линейное преобразование, соответствующее в стандартном базисе; это значит, что . Ранг матрицы — это размерность области значений преобразования .
Методы
Существует несколько методов нахождения ранга матрицы:
- Метод элементарных преобразований
- Ранг матрицы равен числу ненулевых строк в матрице после приведения её к ступенчатой форме при помощи элементарных преобразований над строками матрицы.
- Метод окаймляющих миноров
- Пусть в матрице найден ненулевой минор -го порядка . Рассмотрим все миноры -го порядка, включающие в себя (окаймляющие) минор ; если все они равны нулю, то ранг матрицы равен . В противном случае среди окаймляющих миноров найдется ненулевой, и вся процедура повторяется.
линейная алгебра — Как вычислить ранг матрицы?
спросил
Изменено 2 года, 10 месяцев назад
Просмотрено 90 тысяч раз
$\begingroup$
Мне нужно вычислить ранг матрицы $A$, показанной ниже: $$ А= \begin{bmatrix} 3 и 2 и -1\\ 2 и -3 и -5\\ -1 & -4 & — 3 \end{bmatrix} $$
Я знаю, что мне нужно вычислить $\det(A)$ и если $\det(A)\neq 0$, то ранг будет равен $3$, но в этом случае я обязан обнулить- вывести первый столбец матрицы $A$, используя элемент $a_{31} = -1$.
- линейная алгебра
- матрицы
- ранг матрицы
$\endgroup$
0
$\begingroup$
Второй столбец — первый столбец является последним столбцом, поэтому ранг $<3$.
Первые два столбца линейно независимы, поэтому их ранг равен $2$.
$\endgroup$
$\begingroup$
Просто используйте сокращение строк : ранг — это количество ненулевых строк после того, как вы выполнили сокращение строк:
\начать{выравнивать}
&\begin{bmatrix}
3&2&-1\\2&-3&-5\\-1&-4&-3
\end{bmatrix}\rightsquigarrow
\begin{bmatrix}
1&4&3\\3&2&-1\\2&-3&-5
\end{bmatrix}\rightsquigarrow
\begin{bmatrix}
1&4&3\\0&-10&-10\\0&-11&-11
\end{bmatrix}\\[1ex]
\rightsquigarrow&\begin{bmatrix}
1&4&3\\0&1&1\\0&-11&-11
\end{bmatrix}\rightsquigarrow
\begin{bmatrix}
1&4&3\\0&1&1\\0&0&0
\end{bmatrix}
\end{выравнивание}
Таким образом, ранг равен $2$.
Обратите внимание, что это было очевидно после второго шага.
$\endgroup$
$\begingroup$
Ключевое слово — ступенчатая форма строки.
$\endgroup$
$\begingroup$
Вы можете применить линейные преобразования к $A$ и найти верхнюю треугольную матрицу. Количество ненулевых строк этой матрицы даст вам ранг $A$ 9.0005
$\endgroup$
Зарегистрируйтесь или войдите в систему
Зарегистрируйтесь с помощью Google
Зарегистрироваться через Facebook
Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль
Опубликовать как гость
Электронная почта
Требуется, но никогда не отображается
Опубликовать как гость
Электронная почта
Требуется, но не отображается
Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie
.
линейная алгебра — Как я могу быстро узнать ранг этой/любой другой матрицы?
Задавать вопрос
спросил
Изменено 5 лет, 8 месяцев назад
Просмотрено 7к раз
$\begingroup$
Я искал это на нескольких сайтах, но они сбили меня с толку, потому что некоторая предоставленная информация была неправильной / неясной / противоречащей чему бы то ни было.
Надеюсь, вы расскажете мне обо всех/наиболее важных способах вычисления ранга матрицы.
В качестве примера возьму матрицу
$$A = \begin{pmatrix} 1 и 2 и 3\\ 0 и 5 и 4\\ 0 и 10 и 2 \end{pmatrix}$$
Теперь несколько сайтов включили эту информацию, так что это должно быть правдой: Если, мы смотрим на этот пример, нет строки только с нулями, ранг этой матрицы будет $3$.
(?)
Вот в чем проблема. Потребуется время, чтобы сформировать эту матрицу, чтобы увидеть, будут ли строки только с нулями. Для этого я могу использовать Исключение Гаусса .
Я проверил это с этим Гауссом, и мне не удалось получить строку только с нулями, поэтому я делаю вывод, что эта матрица $rank(A)=3$.
Это, однако, кажется очень неэффективным способом, я надеюсь, вы подскажете мне лучшие способы?
- линейная алгебра
- матрицы
- теория чисел
- элементарная теория чисел
$\endgroup$
2
$\begingroup$
Если определитель $A \ne равен 0$, то это «полный ранг».
Это легко запрограммировать. Однако, если вы работаете с ручкой и бумагой, вероятно, не самое простое.
Далее операции со строками.
Очевидно, что строка 1 независима от строк 2 и 3, поскольку это единственная строка с ненулевым значением в первом столбце.
2 и 3 независимы друг от друга? Да. (одно не кратно другому)
Эта матрица имеет полный ранг.
$\endgroup$
1
$\begingroup$
Если вас интересует только ранг , на самом деле существует множество способов явно оценить его или проверить, имеет ли он максимум:
- Вычислить определитель:
+: Это полезный номер, например. решение линейных уравнений.
-: Сам определитель вообще очень сложно вычислить, любой быстрый алгоритм использует либо вероятностные методы (очень частные случаи), либо операции со строками. (например, тот, который вы назвали гауссовым)
Операция «ряд-столбец»:
Если вас интересует только ранг, вы можете просто снабдить свои операции со строками операциями со столбцами. Это очень быстро делается руками, хотя и не так далеко от обычного исключения Гаусса в компьютере.
