Определитель 3 порядка как считать: Определитель третьего порядка

Содержание

3. Определитель третьего порядка. Вычисление определителя с помощью алгеб-раических дополнений (вывод).

Определителем матрицы 3-го порядка это число равное сумме произведений элементов любой строки (столбца) на алгебраические дополнения элементов этой строки ((-1)^ikA_ik).

При вычисление определителя 3-го порядка удобно пользоваться правилом треугольника.

Минором некоторого элемента a_ij определителя k-го порядка называется определитель

n-1 порядка получающегося из одной путем вычеркивания строки и столбца на пересечение которых находятся элементы a_ij . Алгебраическим дополнением a_ijназывается минор умноженный на (-1)ⁱ⁺^jA_ij=(-1)ⁱ⁺^j*M_ij.

Знаки миноров:

Разложение определителя по элементам строки или столбца: Определитель = сумме произведений элементов некоторой строки (столбца) на соответствующие алгебраические дополнения.

4. Обратная матрица (определение, вывод формулы).

Если определитель квадратной матрицы не равен 0, то такая матрица называется не выраженной, в противном случае выраженной. Матрица обратная квадратной матрице А – это квадратная матрица В удовлетворяющая равенству АВ=ВА. Обратная матрица существует только для квадратной и имеет тот же порядок. Обозначается А^-1.

АА^-1=А^-1А=Е. Алгоритм нахождения обратной матрицы: 1) Найти определитель матрицы А(∆А). Если ∆А = 0, то А^-1не существует. Если ∆А≠0, то А^-1существует, то переходим к п.2. 2) Составляем матрицу алгебраических дополнений элементов матрицы А. 3) Записать обратную матрицу А^-1А^-1= 1/∆A*Ã

5. Системы линейных уравнений, основные понятия.

Системой линейных уравнений (СЛУ) состоящий из m – уравнений и n – неизвестных называется система вида:

(1)

где a_ij (i=1,m , j=1,n) – коэффициенты, b_i – свободные члены, x_j – неизвестное.

Систему (1) можно записывать в матричной форме (А*Х=В) (2), где

Расширенной матрицей системы (1) называется матрица (Ã(А|В)) дополненная свободным столбцам.

Решить систему значит найти все её неизвестные. Решением системы называют такой набор значений x₁=  ₁, x₂=  ₂, … , x_n=  _n, при котором все уравнения систем (1) обращаются в верные равенства. Решение систем можно так же записать матрицу столбца. СЛУ называется совместной, если она имеет хотя бы 1 решение и не совместной если она не имеет решений.

6. Решение систем линейных уравнений матричным способом.

Матричный способ: А*Х=В (2) домножим обе части равенства (2) на матрицу А^-1 слева.

А^-1*А*Х= А^-1*В ≡ Е*Х= А^-1*В ≡ Х= А^-1*В (3). Отыскивание решения по формуле (3) называется матричным способом.

7. Решение систем линейных уравнений методом Крамера (вывод).

Для решения СЛУ при m=n можно использовать метод Крамера. Рассмотрим случай m=n=3:

если ∆≠0, то решение существует и одно ( )
если ∆=0, но ∆₁≠0, ∆₂≠0, ∆₃≠0, то решения нет
если все ∆=∆₁=∆₂=∆₃=0, то решений бесконечное множество.

8. Ранг матрицы, вычисление ранга матрицы.

Минором k-го порядка произвольной матрицы А называется определитель, составленный из элементов матрицы, расположенных на пересечении каких либо

k-строк k-столбцов. Рангом матрицы А называется наибольший из порядков её миноров отличных от нуля.

Теорема 1:

При элементарных преобразованиях ранг матрицы не изменяется.

Теорема 2:

Ранг ступенчатой матрицы равен количеству её не нулевых строк

Следствие:

Ранг произвольной матрицы равен рангу соответствующей ей ступенчатой матрицы.

9. Решение систем линейных уравнений методом Жордана-Гаусса. Теорема Кронекера-Капелли.

Метод Гаусса – это универсальный способ решения СЛУ с произвольным количеством уравнений и неизвестных.

Достоинство:

1. Менее трудоемкий чем другие методы

2. Позволяет однозначно установить наличие или отсутствие решения, а в случае совместимости найти единственное решение ии бесконечное множество решений.

3. Определяет ранг матрицы системы.

В методе Гаусса применяют прямой и обратный ход. Прямой ход: расширенная матрица системы приводится к ступенчатому виду. Обратный ход: последовательное определения неизвестных из ступенчатой системы соответствующей ступенчатой матрицы.

Теорема Кронекера – Капели: СЛУ (1) совместно имеет решение тогда и только тогда, когда ранг матрицы систем равен рангу расширенной матрицы этой системы.

rang(A) = rang(A|B)

Решение приведением только расширенной матрицы к ступенчатому виду, результаты исследования можно представить в виде схемы:

Если r < n т.е. количество ненулевых строк, а значит количество уравнений меньше количества неизвестных. Пусть r переменных: x₁,x₂,…,x_r соответствуют найденному рангу, тогда их называют основными (или базисными) оставшиеся n-r переменных x_r₊₁,x_r₊₂,…,x_n называются неосновными или свободными. Свободные переменные могут принимать произвольные значения. Если всем свободным значениям придать значение = 0, то найденное решение называется базисным. Выражая все базисные переменные через свободные можно получить общее решение системы придовая при этом свободным переменным произвольные значения, тогда общее решение будет иметь вид:

Правило Сарруса: вычисление определителей третьего порядка

Теперь посмотрим, как вычислить определитель матрицы $3 x 3$$. Правило Сарруса применимо только для определителей третьего порядка.

У нас есть определитель любой матрицы $$3 \times 3$$, например:

$$$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9 \ end{pmatrix}$$$

Перепишем первые две строки, занимая гипотетические четвертую и пятую строки соответственно:

$$$\left|\begin{matrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9 \end{matrix}\right| \\ \begin{matrix}\\ 1 & 2 & 3 \\ 4& 5 & 6 \end{matrix}$$$

После этого определитель вычисляется следующим образом:

Умножить диагональ элементы.
Нисходящая диагональ слева направо имеет знак $$+$$, а нисходящая диагональ справа налево имеет знак $$-$$.

$$$\begin{matrix} \left| \begin {матрица} 1 и 2 и 3\\ 4 и 5 и 6\\ 7 и 8 и 9\конец{матрица}\право| \\ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 4& 5 & 6 \end{matrix}\end{matrix}= 1 \cdot 5 \cdot 9+4 \cdot 8\cdot 3+7\cdot 2 \ cdot 6 -3\cdot 5 \cdot 7 -6 \cdot 8 \cdot 1 — 9 \cdot 2 \cdot 4 = 0$$$

Теперь взгляните на следующий пример,

$$$\left| \begin{matrix} 9 & 1 & 5\\ 3 & 4 & 7\\ 8 & 2 & 0 \end{matrix}\right| \rightarrow \begin{matrix} \left|\begin{matrix} 9 & 1 & 5\\ 3 & 4 & 7\\ 8 & 2 & 0 \end{matrix}\right| \\ \begin{матрица} 9& 1 & 5 \\ 3 & 4 & 7 \end{matrix}\end{matrix}= 9 \cdot 4 \cdot 0+3 \cdot 2 \cdot 5+8\cdot 1 \cdot 7 -5\cdot 4 \cdot 8 -7 \cdot 2 \cdot 9 — 0 \cdot 1 \cdot 3 =$$$

$$$= 86-286=-200$$$

Как видите, метод очень прост, хотя количество операций для выполнения велико, как и возможность ошибки в расчетах.

Существуют определенные свойства, ускоряющие вычисления, хотя для вычисления определителей также принято использовать мощные калькуляторы.

Похожие темы

Общий метод расчета определителей
Вычисление определителей первого и второго порядка

Решенные задачи правила Сарруса: вычисление определителей третьего порядка

Посмотреть проблемы

Теория математики в твоем мобильном

Скачать бесплатно

определителей, линейное уравнение | Реальная статистика с использованием Excel

Определение 1 : Определитель , det A, также обозначаются | А | , из N × N квадратная матрица A определяется рекурсивно следующим образом:

, если A — 1 × 1 матрица [ A ] (т. е. = . В противном случае

, где A _ij — это матрица A с удаленными строками i и столбцом j .

Обратите внимание, что если A = , то мы используем обозначение для det A .

Функции Excel : Excel предоставляет следующую функцию для вычисления определителя квадратной матрицы:

MDETERM ( A ): если A является квадратным массивом, то MDETERM( A 90 det) = 90 det А . Это не функция массива.

Функция реальной статистики DET ( A ) обеспечивает эквивалентную функциональность.

Собственность 1 :

det A ^T = det A
Если A диагональная матрица, то det A = произведение элементов на главной диагонали A

Доказательство: оба эти свойства являются простым следствием определения 1

Свойство 2: = г. н.э. и свойство 2 следует, что

Конечно, мы можем получить тот же ответ, используя функцию Excel MDETERM( A ).

Собственность 3 : если A и B

являются квадратными матрицами того же размера, затем DET AB = DET A ∙ DET B
СВОБОДА 4 : квадратная матрица
. обратима тогда и только тогда, когда det A ≠ 0. Если A обратима, то
Первое утверждение эквивалентно тому, что квадратная матрица A является сингулярным тогда и только тогда, когда det A = 0.
Свойство 5 : Правила вычисления определителей:
Определитель треугольной матрицы является произведением элементов на диагонали.
Если мы поменяем местами две строки, определитель новой матрицы будет отрицательным значением старой.
Если мы умножаем одну строку на константу, определитель новой матрицы равен определителю старой, умноженному на константу.
Если мы добавим одну строку к другой, умноженной на константу, определитель новой матрицы будет таким же, как у старой.
Наблюдение : Правил свойства 5 достаточно для вычисления определителя любой квадратной матрицы. Идея состоит в том, чтобы преобразовать исходную матрицу в треугольную матрицу, а затем использовать правило 1 для вычисления значения определителя.
Теперь мы представляем основанный на Свойстве 5 алгоритм вычисления det A , где A = [ a _ij ] является n × n матрицей. Начните с установки значения определителя на 1, а затем выполните шаги с 1 по n следующим образом.
Шаг k – часть 1(a): Если a _kk ≠ 0, умножьте текущее значение определителя на a _kk и затем разделите все 90 элементов в строке k a _kk (правило 3 свойства 5).
Шаг K — Часть 1 (B): если A _KK = 0, Exchange Row K с любой строкой M ниже (т. е. K < M ≤ N ) для которого a _mk ≠ 0, умножьте текущее значение определителя на -1 (правило 2), а затем выполните шаг 1(a) выше. Если такой строки не существует, то завершаем алгоритм и возвращаем значение 0 для определителя.
Шаг k – часть 2: для каждого ряда м под строкой k , добавьте – a _mk умножить строку k до строки m (правило 4). Это гарантирует, что a _ij = 0 для всех i > k и j ≤ k .
После завершения шага n у нас будет треугольная матрица, диагональ которой содержит все единицы, и поэтому по правилу 1 определитель равен текущему значению определителя.
Пример 2 : Используя свойство 5, найдите
Шаги представлены слева направо, а затем сверху вниз на рисунке 1. Для каждого шага указано используемое правило, а также множитель определителя, рассчитанный до него. точка.
Рисунок 1. Вычисление определителя в примере 2
Это показывает, что определитель равен -5, тот же ответ дается при использовании функции MDETERM в Excel.
Наблюдение : На этапе k — часть 1(b) описанной выше процедуры, мы меняем две строки, если a _kk = 0. Учитывая, что нам нужно иметь дело с ошибками округления, что произойдет, если a _kk мало, но не совсем равно нулю ? Чтобы уменьшить влияние ошибок округления, мы должны изменить шаг k – часть 1 следующим образом:
Шаг k – часть 1: найти m ≥ k так, чтобы абсолютное значение a _mk самый большой. Если это a _mk ≈ 0 (т. е. | a _mk |< ϵ, где ϵ – некоторое предопределенное малое значение), затем завершите процедуру. Если m > k , то поменять местами строки m и k .
No related posts.