Это решение было сделано с помощью калькулятора, представленного на сайте.Вычислим определитель A с помощью элементарных преобразований.
Элементы столбца 1, умноженные на -1, добавляются к соответствующим элементам столбца 5. подробнее
Элементы строки 2, умноженные на 4, добавляются к соответствующим элементам строки 5.
Expand определитель по столбцу 5. подробнее
The elements of row 1 добавляются к соответствующим элементам строки 3.
The elements столбца 3, умноженные на 3, добавляются к соответствующим элементам столбца 2. подробнее
Элементы столбца 3 добавляются к соответствующим элементам столбца 4.
Разложить определитель по 3 строке. | -2 | 7 | 6 | ) = | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 3 | 4 | 5 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 4 | 32 | 20 |
| = 4 * | -2 | 7 | 6 | = | ||
| 3 | 4 | 5 | ||||
| 4 | 0004 3220 |
Элементы строки 2, умноженные на -4, добавляются к соответствующим элементам строки 3.
подробнее
| = 4 * | -2 | 7 | 6 | = | ||
| 3 | 4 | 5 | ||||
| -8 | 16 | 0 |
The elements of column 1 multiplied by 2 are добавлены к соответствующим элементам столбца 2. подробнее
| = 4 * | -2 | 3 | 6 | = | |||||||||||||
| 3 | 10 | 5 | |||||||||||||||
| -8 | 0 | 7||||||||||||||||
| -8 | 0 | 7||||||||||||||||
| -8 | 0 | 7||||||||||||||||
| -8 | 0. | 7||||||||||||||||
| -8 | 0 | ||||||||||||||||
| -8 | 0,0012 | ||||||||||||||||
| -8 | 0,0012 | ||||||||||||||||
| -8 | . информация
| = 4 * (-1) 3 + 1 * (-8) * | 3 | 6 | = | ||
| 10 | 5 |
| = — 32 * | 3 | 6 | = | ||
| 10 | 5 |
= — 32 * (3 * 5 — 6 * 10) =
= — 32 * (15-60) =
=8 =.= 1440
Видео с вопросами: Решение системы трех уравнений с помощью определителей
Стенограмма видео
Решить систему с помощью определителей 𝑥 минус пять 𝑦 плюс три 𝑧 равно пяти, три 𝑥 минус четыре 𝑦 плюс два 𝑧 равно минус пять, а минус 𝑥 плюс три 𝑦 минус два 𝑧 равно минус пять.
В этом вопросе нам дана система из трех линейных уравнений с тремя неизвестными. И нас просят решить эту систему с помощью определителей. И мы можем вспомнить, чтобы использовать определители для решения системы уравнений, нам нужно использовать правило Крамера. Итак, начнем с того, что вспомним сокращенную версию правила Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными. Это говорит нам, что если определитель матрицы коэффициентов △ отличен от нуля, то 𝑥 равно △ sub 𝑥 над △, 𝑦 равно △ sub 𝑦 над △, а 𝑧 равно △ sub 𝑧 над △ является единственным решением к системе уравнений. Таким образом, мы можем использовать правило Крамера для решения системы уравнений с помощью определителей.
Итак, начнем с поиска △. Помните, что △ является определителем матрицы коэффициентов. И это матрица три на три, которую мы получаем, взяв элементы в качестве коэффициентов наших переменных. И очень важно при написании △ убедиться, что мы включили знаки всех коэффициентов. Получаем, что △ равно определителю матрицы три на три один, минус пять, три, три, минус четыре, два, минус один, три, минус два.
Теперь мы можем вычислить этот определитель, развернув первую строку. Получаем один раз определитель матрицы два на два минус четыре, два, три, минус два минус минус пять умножить на определитель матрицы два на два три, два, минус один, минус два плюс три раза определитель матрицы два на два три, минус четыре, минус один, три. Теперь все, что нам нужно сделать, это оценить определитель этих трех матриц два на два. И мы делаем это, взяв разность в произведении диагоналей.
Теперь нам просто нужно вычислить это выражение. Получаем два минус 20 плюс 15, что равно минус три. Поэтому мы показали, что значение △ равно отрицательному трем. В частности, мы показали, что △ не равно нулю. Итак, эта система уравнений имеет единственное решение, и мы можем найти его, используя правило Крамера. Итак, давайте освободим немного места и запомним тот факт, что △ равно минус трем, и определим значения △ sub 𝑥, △ sub 𝑦 и △ sub 𝑧.
Для этого нам сначала нужно вспомнить, что мы подразумеваем под △ sub 𝑥, 𝑦 и 𝑧. И начнем с △ sub 𝑥. △ sub 𝑥 — это определитель матрицы коэффициентов, где мы заменяем столбец для коэффициентов 𝑥 столбцом, заданным ответами на нашу систему уравнений. В частности, это означает, что мы можем найти выражение для △ sub 𝑥, заменив первый столбец в нашем выражении для △ столбцом, заданным ответами на нашу систему уравнений. Итак, мы заменим первый столбец на пять, минус пять, минус пять.
Теперь мы можем вычислить этот определитель, расширив первую строку. Получаем пятикратный определитель матрицы два на два минус четыре, два, три, минус два минус минус пять, умноженный на определитель матрицы два на два минус пять, два, минус пять, минус два плюс три умножить на определитель матрицы два на два минус пять, минус четыре, минус пять, три. И теперь мы можем вычислить определитель этих трех матриц, используя разницу в произведении диагоналей. Получим пять раз восемь минус шесть плюс пять раз 10 плюс 10 плюс три, умноженное на минус 15 минус 20. Теперь мы можем просто вычислить это выражение. Мы получаем пять раз два плюс пять раз 20 плюс три, умноженные на минус 35, что упрощает и дает нам 10 плюс 100 минус 105, что как раз равно пяти.
Итак, △ sub 𝑥 равно пяти. А это значит, что мы можем определить значение 𝑥. Это △ к югу от 𝑥 больше △, что равно пяти, разделенным на минус три. Однако нам также нужно найти значения △ sub 𝑦 и △ sub 𝑧. Итак, давайте освободим место и определим значение △ sub 𝑦. А для этого нам нужно вспомнить, что △ sub 𝑦 является определителем матрицы коэффициентов, где мы заменяем столбец для коэффициентов 𝑦 значениями ответов нашей системы уравнений. Итак, чтобы написать выражение для △ sub 𝑦, мы начнем со второго столбца. Это столбец пять, отрицательная пятерка, отрицательная пятерка, константы в наших одновременных уравнениях. И тогда наши первый и третий столбцы остаются без изменений. Они все еще просто коэффициенты 𝑥 и 𝑧. Таким образом, △ sub 𝑦 является определителем матрицы три на три один, пять, три, три, минус пять, два, минус один, минус пять, минус два.
И снова мы можем вычислить этот определитель, разложив его по первой строке. Получаем определитель матрицы два на два минус пять, два, минус пять, минус два минус пять раз определитель матрицы два на два три, два, минус один, минус два плюс три умножить на определитель матрицы два на два три, минус пять, минус один, минус пять. И теперь все, что осталось сделать, это вычислить это выражение. Чтобы вычислить определитель этих матриц, мы берем разность в произведении диагоналей. Это дает нам один раз 10 плюс 10 минус пять, умноженный на минус шесть плюс два плюс три раза минус 15 минус пять. И тогда мы можем вычислить это выражение. Он равен отрицательному значению 20,9.0008
Итак, давайте запомним тот факт, что △ sub 𝑦 равно минус 20, и применим этот процесс еще раз, чтобы определить значение △ sub 𝑧. И начнем с того, что первые два столбца в нашем выражении для △ sub 𝑧 останутся без изменений. Они будут коэффициентами 𝑥 и 𝑦 в уравнениях, соответственно. Затем третий столбец в △ sub 𝑧 должен быть константами в наших одновременных уравнениях. Это пять, минус пять, минус пять. Таким образом, △ sub 𝑧 является определителем матрицы три на три один, минус пять, пять, три, минус четыре, минус пять, минус один, три, минус пять. И снова мы можем оценить этот определитель, развернув первую строку. Мы получаем один раз определитель матрицы два на два минус четыре, минус пять, три, минус пять минус минус пять раз определитель матрицы два на два три, минус пять, минус один, минус пять плюс пять умножить на определитель матрицы два на два три, минус четыре, минус один, три.