Равенство доказано.
У Гантмахера сказано также:
Формула (Iб) была получена в предположении $%\left| A \right| \ne 0$%, а формула (IIб) при условии $%\left| D \right| \ne 0$%. Однако, исходя из соображений непрерывности, эти ограничения можно отбросить.
Должен признаться, что смысл последнего предложения мне не ясен. Может быть, кто-нибудь может объяснить?
[1]: http:// http://sernam.ru/book_matrix.php?id=12&filter=images&num=51 )
Что такое блочный определитель? : Чулан (М)
KaHDal |
| ||
10/12/11 |
| ||
| |||
ivanhabalin |
| ||
12/11/11 |
| ||
| |||
ИСН |
| |||
18/05/06 |
| |||
| ||||
PAV |
| |||||
29/07/05 |
| |||||
| ||||||
ewert |
| |||
11/05/08 |
| |||
| ||||
Евгений Машеров |
| |||
11/03/08 |
| |||
| ||||
Показать сообщения за: Все сообщения1 день7 дней2 недели1 месяц3 месяца6 месяцев1 год Поле сортировки АвторВремя размещенияЗаголовокпо возрастаниюпо убыванию |
Страница 1 из 1 | [ Сообщений: 6 ] |
Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы
Определитель блочной матрицы
Марко Табога, доктор философии
Многие доказательства в линейной алгебре значительно упрощаются, если можно легко с определителями блочных матриц, то есть матриц, которые подразделяются на блоки, сами матрицы.
Содержание
Обзор блочных матриц
Определитель блочно-диагональной матрицы с тождественными блоками
Определяющая среда блока-триангулярной матрицы
Общий случай
Решенные упражнения
Упражнение 1
Обзор Блок
9Обзор Блок
888. Блочная матрица (также называемая секционированная матрица) представляет собой матрицу доброе место , , и матрицы, называемые блоками, такие, что:
и иметь одинаковое количество рядов;
и иметь одинаковое количество рядов;
и иметь одинаковое количество столбцов;
и имеют одинаковое количество столбцов.
В идеале блочная матрица получается путем разрезания матрицы по вертикали и горизонтально. Каждая из получившихся частей представляет собой блок.
Пример матрица может быть записан в виде блока матрица, где
Пример матрица может быть записан в виде блока матрицагде
Важным фактом о блочных матрицах является то, что их умножение могут выполняться так, как если бы их блоки были скалярами, используя стандартный правило для матрицы умножение:
Единственное предостережение состоит в том, что все блоки, участвующие в умножении (например, , , ) должны быть созвучны. Например, количество столбцов и количество рядов должны совпадать.
Определитель блочно-диагональной матрицы с единичными блоками
Первый результат касается блочных матриц навсегда обозначает единичную матрицу, это матрица, все элементы которой равны нулю и является квадратной матрицей.
Блочные матрицы, все недиагональные блоки которых равны нулю, называются блочно-диагональные, потому что их структура похожа на структуру диагональные матрицы.
Не только две приведенные выше матрицы являются блочно-диагональными, но и одна из их диагональных блоков является единичной матрицей. Мы назовем их блочно-диагональными. матрицы с блоками идентичности .
Справедливо следующее предложение.
Предложение Позволять быть одной из двух блочно-диагональных матриц с единичными блоками, определенными выше. Затем
Доказательство
Сначала установим результат для случая в который и является , то есть, . Предполагать является . Затем является . Мы используем определение определительгде это множество всех перестановок первого натуральные числа. Термин отличен от 0 и, в частности, равен 1 только тогда, когда . Кроме того, признак перестановки, в которых определяется только потому что не определяет инверсию. Таким образом, мы естьгде это множество всех перестановок первого натуральные числа. Результат для случая, когда не является доказывается рекурсивно. Например, если является , мы иметь и аналогично для больших размеров. Доказательство для второго случая, в который аналогичный только что приведенному.
Определитель блочно-треугольной матрицы
Блочно-верхнетреугольная матрица — это матрица формагде и являются квадратными матрицами.
Предложение Позволять — блочно-верхнетреугольная матрица, как определено выше. Тогда
Доказательство
Предположим, что является и является , так что является и является . В дальнейшем будем обозначать через а тождественная матрица и по ан нулевая матрица. Примечание таким образом, где: в ногу мы использовали тот факт, что определитель произведения квадратных матриц равен равны произведению их определителей; в ногу мы использовали результат об определителе блочно-диагональных матриц с ранее подтвержденные блоки идентичности; в ногу мы воспользовались фактом что потому что мы имеем дело с треугольной матрицей, все диагональные элементы которой равны до 1.
Блочно-нижнетреугольная матрица — это матрица формагде и являются квадратными матрицами.
Предложение Позволять — блочная нижнетреугольная матрица, как определено выше. Тогда
Доказательство
Предположим, что является и является , так что является и является . В дальнейшем будем обозначать через а тождественная матрица и по ан нулевая матрица. Примечание чтоТаким образом, аналогично предыдущему доказательство,
Общий случай
Теперь мы можем доказать общий случай, используя приведенные выше результаты.
Предложение Позволять быть блочной матрицей формагде и являются квадратными матрицами. Если обратим, то
Доказательство
Как доказано в лекции по Шур дополняет, если обратима, матрица может быть факторизован каксогласно к приведенным выше результатам об определителях блочно-треугольных матриц мы иметьПоэтому
Предложение Позволять быть как указано выше. Если обратим, то
Доказательство
Как доказано в лекции по Шуру дополняет, если обратима, матрица может быть факторизован каксогласно к приведенным выше результатам об определителях блочно-треугольных матриц мы Поэтому
Решенные упражнения
Ниже вы можете найти несколько упражнений с поясненными решениями.
Упражнение 1
Используйте правила определителей блочных матриц, чтобы вычислить определитель матрицы
Решение
Матрица блочно-нижняя треугольный:гдеПоэтому
Как цитировать
Пожалуйста, указывайте как:
Taboga, Marco (2021). «Определитель блочной матрицы», Лекции по матричной алгебре. https://www.statlect.com/matrix-алгебра/детерминант-блочной-матрицы.
Определитель блочной матрицы
Марко Табога, доктор философии
Многие доказательства в линейной алгебре значительно упрощаются, если можно легко с определителями блочных матриц, то есть матриц, которые подразделяются на блоки, сами матрицы.
Содержание
Обзор блочных матриц
Определитель блочно-диагональной матрицы с единичными блоками0003
Общий случай. Блочная матрица (также называемая секционированная матрица) представляет собой матрицу доброе место , , и матрицы, называемые блоками, такие, что:
и иметь одинаковое количество рядов;
и иметь одинаковое количество рядов;
и иметь одинаковое количество столбцов;
и имеют одинаковое количество столбцов.
В идеале блочная матрица получается путем разрезания матрицы по вертикали и горизонтально. Каждая из получившихся частей представляет собой блок.
Пример матрица может быть записан в виде блока матрица, где
Пример матрица может быть записан в виде блока матрицагде
Важным фактом о блочных матрицах является то, что их умножение могут выполняться так, как если бы их блоки были скалярами, используя стандартный правило для матрицы умножение:
Единственное предостережение состоит в том, что все блоки, участвующие в умножении (например, , , ) должны быть созвучны. Например, количество столбцов и количество рядов должны совпадать.
Определитель блочно-диагональной матрицы с единичными блоками
Первый результат касается блочных матриц навсегда обозначает единичную матрицу, это матрица, все элементы которой равны нулю и является квадратной матрицей.
Блочные матрицы, все недиагональные блоки которых равны нулю, называются блочно-диагональные, потому что их структура похожа на структуру диагональные матрицы.
Не только две приведенные выше матрицы являются блочно-диагональными, но и одна из их диагональных блоков является единичной матрицей. Мы назовем их блочно-диагональными. матрицы с блоками идентичности .
Справедливо следующее предложение.
Предложение Позволять быть одной из двух блочно-диагональных матриц с единичными блоками, определенными выше. Затем
Доказательство
Сначала установим результат для случая в который и является , то есть, . Предполагать является . Затем является . Мы используем определение определительгде это множество всех перестановок первого натуральные числа. Термин отличен от 0 и, в частности, равен 1 только тогда, когда . Кроме того, признак перестановки, в которых определяется только потому что не определяет инверсию. Таким образом, мы естьгде это множество всех перестановок первого натуральные числа. Результат для случая, когда не является доказывается рекурсивно. Например, если является , мы иметь и аналогично для больших размеров. Доказательство для второго случая, в который аналогичный только что приведенному.
Определитель блочно-треугольной матрицы
Блочно-верхнетреугольная матрица — это матрица формагде и являются квадратными матрицами.
Предложение Позволять — блочно-верхнетреугольная матрица, как определено выше. Тогда
Доказательство
Предположим, что является и является , так что является и является . В дальнейшем будем обозначать через а тождественная матрица и по ан нулевая матрица. Примечание таким образом, где: в ногу мы использовали тот факт, что определитель произведения квадратных матриц равен равны произведению их определителей; в ногу мы использовали результат об определителе блочно-диагональных матриц с ранее подтвержденные блоки идентичности; в ногу мы воспользовались фактом что потому что мы имеем дело с треугольной матрицей, все диагональные элементы которой равны до 1.
Блочно-нижнетреугольная матрица — это матрица формагде и являются квадратными матрицами.
Предложение Позволять — блочная нижнетреугольная матрица, как определено выше. Тогда
Доказательство
Предположим, что является и является , так что является и является . В дальнейшем будем обозначать через а тождественная матрица и по ан нулевая матрица. Примечание чтоТаким образом, аналогично предыдущему доказательство,
Общий случай
Теперь мы можем доказать общий случай, используя приведенные выше результаты.
Предложение Позволять быть блочной матрицей формагде и являются квадратными матрицами. Если обратим, то
Доказательство
Как доказано в лекции по Шур дополняет, если обратима, матрица может быть факторизован каксогласно к приведенным выше результатам об определителях блочно-треугольных матриц мы иметьПоэтому
Предложение Позволять быть как указано выше. Если обратим, то
Доказательство
Как доказано в лекции по Шуру дополняет, если обратима, матрица может быть факторизован каксогласно к приведенным выше результатам об определителях блочно-треугольных матриц мы Поэтому
Решенные упражнения
Ниже вы можете найти несколько упражнений с поясненными решениями.