Определитель блочной матрицы: линейная-алгебра / Определитель блочной матрицы. / Математика

2}} \right). $$

Равенство доказано.

У Гантмахера сказано также:

Формула (Iб) была получена в предположении $%\left| A \right| \ne 0$%, а формула (IIб) при условии $%\left| D \right| \ne 0$%. Однако, исходя из соображений непрерывности, эти ограничения можно отбросить.

Должен признаться, что смысл последнего предложения мне не ясен. Может быть, кто-нибудь может объяснить?

[1]: http:// http://sernam.ru/book_matrix.php?id=12&filter=images&num=51 )

Что такое блочный определитель? : Чулан (М)

KaHDal	Что такое блочный определитель? 20.01.2012, 13:25
10/12/11 30 Уфа	Всем доброго времени суток. Что такое блочный определитель? Кто нить знает, а то вопрос в билетах есть такой, перерыл лекции вроде не давали такое.

ivanhabalin	Re: Что такое 20.01.2012, 13:35
12/11/11 2353	А в поисковике7 там что-то есть.

ИСН	Re: Что такое 20.01.2012, 13:44
Заслуженный участник 18/05/06 13404 с Территории	Нет никакого блочного определителя. Есть блочные матрицы.

PAV	Re: Что такое 20.01.2012, 14:53
Супермодератор 29/07/05 8248 Москва	!  А написать в заголовке «Что такое блочный определитель» вместо абстрактного «Что такое» — что, рука отвалится?!

ewert	Re: Что такое блочный определитель? 20. 01.2012, 15:18
Заслуженный участник 11/05/08 32139	Если матрица блочно-треугольная, то её определитель равен произведению определителей диагональных блоков (независимо от размеров этих блоков). Вряд ли могло иметься в виду что-то ещё.

Евгений Машеров	Re: Что такое блочный определитель? 21. 01.2012, 20:00
Заслуженный участник 11/03/08 8574 Москва	Может, речь об определителе блочной матрицы?

Показать сообщения за: Все сообщения1 день7 дней2 недели1 месяц3 месяца6 месяцев1 год Поле сортировки АвторВремя размещенияЗаголовокпо возрастаниюпо убыванию

Страница 1 из 1

[ Сообщений: 6 ]

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы

Определитель блочной матрицы

Марко Табога, доктор философии

Многие доказательства в линейной алгебре значительно упрощаются, если можно легко с определителями блочных матриц, то есть матриц, которые подразделяются на блоки, сами матрицы.

Содержание

1. Обзор блочных матриц

2. Определитель блочно-диагональной матрицы с тождественными блоками

3. Определяющая среда блока-триангулярной матрицы

4. Общий случай

5. Решенные упражнения

   1. Упражнение 1

Обзор Блок

9

Обзор Блок

888. Блочная матрица (также называемая секционированная матрица) представляет собой матрицу доброе место , , и матрицы, называемые блоками, такие, что:

• и иметь одинаковое количество рядов;

• и иметь одинаковое количество рядов;

• и иметь одинаковое количество столбцов;

• и имеют одинаковое количество столбцов.

В идеале блочная матрица получается путем разрезания матрицы по вертикали и горизонтально. Каждая из получившихся частей представляет собой блок.

Пример матрица может быть записан в виде блока матрица, где

Пример матрица может быть записан в виде блока матрицагде

Важным фактом о блочных матрицах является то, что их умножение могут выполняться так, как если бы их блоки были скалярами, используя стандартный правило для матрицы умножение:

Единственное предостережение состоит в том, что все блоки, участвующие в умножении (например, , , ) должны быть созвучны. Например, количество столбцов и количество рядов должны совпадать.

Определитель блочно-диагональной матрицы с единичными блоками

Первый результат касается блочных матриц навсегда обозначает единичную матрицу, это матрица, все элементы которой равны нулю и является квадратной матрицей.

Блочные матрицы, все недиагональные блоки которых равны нулю, называются блочно-диагональные, потому что их структура похожа на структуру диагональные матрицы.

Не только две приведенные выше матрицы являются блочно-диагональными, но и одна из их диагональных блоков является единичной матрицей. Мы назовем их блочно-диагональными. матрицы с блоками идентичности .

Справедливо следующее предложение.

Предложение Позволять быть одной из двух блочно-диагональных матриц с единичными блоками, определенными выше. Затем

Доказательство

Сначала установим результат для случая в который и является , то есть, . Предполагать является . Затем является . Мы используем определение определительгде это множество всех перестановок первого натуральные числа. Термин отличен от 0 и, в частности, равен 1 только тогда, когда . Кроме того, признак перестановки, в которых определяется только потому что не определяет инверсию. Таким образом, мы естьгде это множество всех перестановок первого натуральные числа. Результат для случая, когда не является доказывается рекурсивно. Например, если является , мы иметь и аналогично для больших размеров. Доказательство для второго случая, в который аналогичный только что приведенному.

Определитель блочно-треугольной матрицы

Блочно-верхнетреугольная матрица — это матрица формагде и являются квадратными матрицами.

Предложение Позволять — блочно-верхнетреугольная матрица, как определено выше. Тогда

Доказательство

Предположим, что является и является , так что является и является . В дальнейшем будем обозначать через а тождественная матрица и по ан нулевая матрица. Примечание таким образом, где: в ногу мы использовали тот факт, что определитель произведения квадратных матриц равен равны произведению их определителей; в ногу мы использовали результат об определителе блочно-диагональных матриц с ранее подтвержденные блоки идентичности; в ногу мы воспользовались фактом что потому что мы имеем дело с треугольной матрицей, все диагональные элементы которой равны до 1.

Блочно-нижнетреугольная матрица — это матрица формагде и являются квадратными матрицами.

Предложение Позволять — блочная нижнетреугольная матрица, как определено выше. Тогда

Доказательство

Предположим, что является и является , так что является и является . В дальнейшем будем обозначать через а тождественная матрица и по ан нулевая матрица. Примечание чтоТаким образом, аналогично предыдущему доказательство,

Общий случай

Теперь мы можем доказать общий случай, используя приведенные выше результаты.

Предложение Позволять быть блочной матрицей формагде и являются квадратными матрицами. Если обратим, то

Доказательство

Как доказано в лекции по Шур дополняет, если обратима, матрица может быть факторизован каксогласно к приведенным выше результатам об определителях блочно-треугольных матриц мы иметьПоэтому

Предложение Позволять быть как указано выше. Если обратим, то

Доказательство

Как доказано в лекции по Шуру дополняет, если обратима, матрица может быть факторизован каксогласно к приведенным выше результатам об определителях блочно-треугольных матриц мы Поэтому

Решенные упражнения

Ниже вы можете найти несколько упражнений с поясненными решениями.

Упражнение 1

Используйте правила определителей блочных матриц, чтобы вычислить определитель матрицы

Решение

Матрица блочно-нижняя треугольный:гдеПоэтому

Как цитировать

Пожалуйста, указывайте как:

Taboga, Marco (2021). «Определитель блочной матрицы», Лекции по матричной алгебре. https://www.statlect.com/matrix-алгебра/детерминант-блочной-матрицы.

Определитель блочной матрицы

Марко Табога, доктор философии

Многие доказательства в линейной алгебре значительно упрощаются, если можно легко с определителями блочных матриц, то есть матриц, которые подразделяются на блоки, сами матрицы.

Содержание

1. Обзор блочных матриц

2. Определитель блочно-диагональной матрицы с единичными блоками0003

3. Общий случай. Блочная матрица (также называемая секционированная матрица) представляет собой матрицу доброе место , , и матрицы, называемые блоками, такие, что:

   • и иметь одинаковое количество рядов;

   • и иметь одинаковое количество рядов;

   • и иметь одинаковое количество столбцов;

   • и имеют одинаковое количество столбцов.

   В идеале блочная матрица получается путем разрезания матрицы по вертикали и горизонтально. Каждая из получившихся частей представляет собой блок.

   Пример матрица может быть записан в виде блока матрица, где

   Пример матрица может быть записан в виде блока матрицагде

   Важным фактом о блочных матрицах является то, что их умножение могут выполняться так, как если бы их блоки были скалярами, используя стандартный правило для матрицы умножение:

   Единственное предостережение состоит в том, что все блоки, участвующие в умножении (например, , , ) должны быть созвучны. Например, количество столбцов и количество рядов должны совпадать.

   Определитель блочно-диагональной матрицы с единичными блоками

   Первый результат касается блочных матриц навсегда обозначает единичную матрицу, это матрица, все элементы которой равны нулю и является квадратной матрицей.

   Блочные матрицы, все недиагональные блоки которых равны нулю, называются блочно-диагональные, потому что их структура похожа на структуру диагональные матрицы.

   Не только две приведенные выше матрицы являются блочно-диагональными, но и одна из их диагональных блоков является единичной матрицей. Мы назовем их блочно-диагональными. матрицы с блоками идентичности .

   Справедливо следующее предложение.

   Предложение Позволять быть одной из двух блочно-диагональных матриц с единичными блоками, определенными выше. Затем

   Доказательство

   Сначала установим результат для случая в который и является , то есть, . Предполагать является . Затем является . Мы используем определение определительгде это множество всех перестановок первого натуральные числа. Термин отличен от 0 и, в частности, равен 1 только тогда, когда . Кроме того, признак перестановки, в которых определяется только потому что не определяет инверсию. Таким образом, мы естьгде это множество всех перестановок первого натуральные числа. Результат для случая, когда не является доказывается рекурсивно. Например, если является , мы иметь и аналогично для больших размеров. Доказательство для второго случая, в который аналогичный только что приведенному.

   Определитель блочно-треугольной матрицы

   Блочно-верхнетреугольная матрица — это матрица формагде и являются квадратными матрицами.

   Предложение Позволять — блочно-верхнетреугольная матрица, как определено выше. Тогда

   Доказательство

   Предположим, что является и является , так что является и является . В дальнейшем будем обозначать через а тождественная матрица и по ан нулевая матрица. Примечание таким образом, где: в ногу мы использовали тот факт, что определитель произведения квадратных матриц равен равны произведению их определителей; в ногу мы использовали результат об определителе блочно-диагональных матриц с ранее подтвержденные блоки идентичности; в ногу мы воспользовались фактом что потому что мы имеем дело с треугольной матрицей, все диагональные элементы которой равны до 1.

   Блочно-нижнетреугольная матрица — это матрица формагде и являются квадратными матрицами.

   Предложение Позволять — блочная нижнетреугольная матрица, как определено выше. Тогда

   Доказательство

   Предположим, что является и является , так что является и является . В дальнейшем будем обозначать через а тождественная матрица и по ан нулевая матрица. Примечание чтоТаким образом, аналогично предыдущему доказательство,

   Общий случай

   Теперь мы можем доказать общий случай, используя приведенные выше результаты.

   Предложение Позволять быть блочной матрицей формагде и являются квадратными матрицами. Если обратим, то

   Доказательство

   Как доказано в лекции по Шур дополняет, если обратима, матрица может быть факторизован каксогласно к приведенным выше результатам об определителях блочно-треугольных матриц мы иметьПоэтому

   Предложение Позволять быть как указано выше. Если обратим, то

   Доказательство

   Как доказано в лекции по Шуру дополняет, если обратима, матрица может быть факторизован каксогласно к приведенным выше результатам об определителях блочно-треугольных матриц мы Поэтому

   Решенные упражнения

   Ниже вы можете найти несколько упражнений с поясненными решениями.

   No related posts.