Неравенства в числовой прямой — GCSE
Здесь мы узнаем о неравенствах в числовой строке, в том числе о том, как представлять неравенства в числовой строке, интерпретировать неравенства из числовой строки и перечислять целочисленные значения из неравенства.
В рабочих листах с числовыми строками также есть неравенства, основанные на экзаменационных вопросах Edexcel, AQA и OCR, а также дополнительные указания о том, что делать дальше, если вы все еще застряли.
Что такое неравенства на числовой прямой?
Неравенства на числовой прямой позволяют нам визуализировать значения, представленные неравенством.
Чтобы представить неравенства на числовой прямой, мы показываем диапазон чисел, рисуя прямую линию и обозначая конечные точки либо незаштрихованными, либо закрытыми окружностями.
Незакрашенный кружок показывает, что не включает значение.
Закрашенный кружок показывает, что действительно включает значение.
Набор решений этих чисел — все действительные числа от 1 до 5 .
Поскольку 1 имеет незакрашенный круг, он не включает в себя «1» , но включает в себя все, что выше, вплоть до , включая 5 , так как эта конечная точка обозначена закрытым кружком.
Мы можем представить это с помощью неравенства 1 < x \leq5
Мы также можем указать целых значений (целых чисел), представленных неравенством.
В этом примере целые числа 2, 3, 4 и 5 больше 1, но меньше или равны 5 .
Набор решений может представлять все действительные числа, показанные в пределах диапазона, и эти значения также могут быть отрицательными числами.
Что такое неравенства на числовой прямой?
Как представить неравенства в числовой строке
Чтобы представить неравенства в числовой строке:
- Определите значение(я), которое необходимо указать в числовой строке.
- Решите, нужен ли ему открытый круг или закрытый круг;
< или > потребуется открытый кружок
\leq или \geq потребуется замкнутый кружок. - Укажите набор решений прямой линией слева или справа от числа или прямой линией между кружками.
Представляет x < 3 в числовой строке
Незаштрихованный кружок должен быть обозначен на «3» в числовой строке.
Поскольку x < 3 означает ‘x меньше 3’, значения слева от круга должны быть обозначены линией.
Напр.
Представляет 2<{x}\leq{6} в числовой строке.
Незакрашенный кружок должен быть указан над «2», а закрытый кружок должен быть указан над «6».
Затем нарисуйте линию между кругами, чтобы указать любое значение между этими кругами.
Объясните, как представлять неравенства на числовой прямой
Неравенства на рабочем листе с числовой линией
Получите бесплатно Неравенства на рабочем листе с числовой линией из 20+ вопросов и ответов.
Включает рассуждения и прикладные вопросы.
СКАЧАТЬ БЕСПЛАТНО
ИксНеравенства на рабочем листе с числовой линией
Получите бесплатно Неравенства на рабочем листе с числовой линией из 20+ вопросов и ответов. Включает рассуждения и прикладные вопросы.
СКАЧАТЬ БЕСПЛАТНО
Связанные уроки по неравенствам
Неравенства на числовой прямой является частью нашей серии уроков, посвященных пересмотру неравенств . Возможно, вам будет полезно начать с основного урока о неравенстве, чтобы получить краткое изложение того, чего ожидать, или использовать пошаговые руководства ниже для получения более подробной информации по отдельным темам. Другие уроки в этой серии включают в себя:
- Неравенства
- Решение неравенств
- Квадратные неравенства
- Неравенства на графе
Примеры неравенств на числовой прямой
Пример 1: отдельные значения
Представляют x > 3 на числовой прямой.
- Определите значение, которое должно быть в числовой строке.
В этом примере это 3 .
2Решите, нужно ли это обозначать открытым или закрытым кружком.
Поскольку символ >, то это будет открытый круг.
3Решите, нужно ли провести прямую линию справа или слева от круга.
Поскольку x больше 3, необходимо провести прямую линию справа от круга, чтобы показать набор решений со значениями больше 3 .
Пример 2: отдельные значения
Представляют −2\geq{x} на числовой прямой.
Определите значение, которое должно быть в числовой строке.
В этом примере это −2 .
Решите, нужно ли обозначать это открытым или закрытым кружком.
Так как символ \geq, то это будет замкнутый круг.
Решите, нужно ли провести прямую линию справа или слева от круга.
Поскольку x меньше или равно -2, необходимо провести прямую линию к левой стороне круга, чтобы показать набор решений со значениями меньше -2 .
Пример 3: значения в диапазоне
Представляют 2\leq{x}\leq{7} в числовой строке.
Определите значения, которые необходимо указать в числовой строке.
В этом примере это 2 и 7 .
Решите, должны ли они быть обозначены открытыми или закрытыми кружками.
Поскольку оба символа совпадают, будет два замкнутых круга.
Проведите прямую линию между кружками, чтобы обозначить набор решений.
Пример 4: значения в диапазоне
Представляют −2<{x}\leq{3} в числовой строке.
Определите значения, которые необходимо указать в числовой строке.
В этом примере это −2 и 3 .
Решите, должны ли они быть обозначены открытыми или закрытыми кружками.
Так как символы < и \leq, то будет открытый круг и замкнутый круг.
Проведите прямую линию между кружками, чтобы обозначить набор решений.
Пример 5: запись неравенства из числовой строки
Запишите неравенство, показанное в этой числовой строке.
Определите указанное значение.
В данном примере это «4».
Решите, какой символ неравенства использовать.
Поскольку круг замкнут и указанные значения больше 4, мы используем неравенство x\geq{4}
Пример 6: запись неравенства из числовой строки
Определите значения, указанные в числовой строке.
В этом примере это −2 и 4 .
Решите, какой символ неравенства использовать.
Поскольку круг над −2 замкнут, мы включаем −2 и используем -2\leq{x}.
Поскольку круг над 4 открыт, мы не включаем 4 и используем x < 4 .
Сложите неравенства.
-2\leq{x}<4
Пример 7: перечисление целочисленных значений в наборе решений
Перечислите целые значения, удовлетворяющие неравенству -4\leq{x}<2
Определите значения, указанные в числовой строке.
В этом примере это −4 и 2 .
−4 включено, так как за ним следует \leq
2 не включено, так как < стоит перед ним.
Список целых значений.
−4, −3, −2, −1, 0, 1
Пример 8: перечисление целочисленных значений в наборе решений из числовой строки
Перечислите целочисленные значения, удовлетворяющие неравенству, показанному в числовой строке ниже.
Определите значения, указанные в числовой строке.
В этом примере это -2 и 4 .
−2 не включен, так как он представлен незаштрихованным кружком.
4 включен, поскольку он представлен закрытым кружком.
Список целых значений.
−1, 0, 1, 2, 3, 4
Распространенные заблуждения
- Неправильная идентификация символов неравенства
Распространенной ошибкой является путаница незакрашенных кружков и закрытых кружков:
Незакрашенные кружки не включают значение, поэтому требуется знак «<».
Закрытые кружки содержат значение, поэтому требуется ‘\leq’
- Неправильный порядок отрицательных чисел
Распространенной ошибкой является нераспознавание симметрии относительно «0» на числовой прямой и, следовательно, неправильное сравнение размера отрицательных чисел.
Напр.
5 больше единицы, так как они упорядочены 1 , 2, 3, 4, 5 в числовой строке.
Но -5 меньше -1, так как они упорядочены -5 , -4, -3, -2, -1 , 0, 1, 2, 3 на числовой прямой.
- Неверная интерпретация символа неравенства
Направление знака неравенства показывает, является ли набор решений «больше» или «меньше». Это можно спутать, если поменять местами обе части неравенства. Например, x > 8 — это то же самое, что 8 < x, а «x» больше 8, поскольку знак неравенства открыт в сторону «x».
- Не все возможные значения в наборе решений
Обычно целочисленные значения запрашиваются для перечисления в наборе решений.
«0» иногда можно забыть.
- Без учета действительных чисел
В неравенстве -2\leq{x}<4 наибольшее целочисленное значение, удовлетворяющее неравенству, равно «3». Однако действительные числа больше 3, но меньше 4 также удовлетворяются этому неравенству.
Упражнения на неравенство в числовой прямой Вопросы
5 не включены в набор решений, так как это «>», поэтому необходим открытый кружок. Знак неравенства открыт к «x», что указывает на то, что он имеет значения больше 5, поэтому линия проводится с правой стороны круга.
7 включен в набор решений, поскольку он «\leq», поэтому необходим замкнутый круг. Знак неравенства закрыт по направлению к «x», что указывает на то, что он имеет значения меньше 7, поэтому линия проводится с левой стороны круга.
1 не включен в набор решений, так как это «<», поэтому необходим открытый кружок.
8 включен в набор решений, поскольку он ‘ \leq ‘ , поэтому необходим замкнутый круг. Между кружками проведена линия, указывающая, что все значения между ними находятся в наборе решений.
-3 и 4 не включены в набор решений, так как оба знака «<», поэтому нужны незакрашенные кружки. Между кружками проведена линия, указывающая, что все значения между ними находятся в наборе решений.
x \leq 6
x \geq 6
6 обозначено закрытым кружком, поэтому это значение включено в набор решений. Стрелка направлена влево, чтобы указать значения меньше 6 .
-4 < x < 2
-4<{x}\leq{2}
-4\leq{x}\leq{2}
-4\leq{x}<2
-4 обозначается незакрашенным кружком, поэтому это значение не включено в набор решений, поэтому требуется символ «<». 2 обозначен закрытым кружком, поэтому это значение включено в набор решений, поэтому требуется символ «\leq». Линия между кружками указывает на то, что все значения между ними находятся в наборе решений.
-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4
-2, -1, 0, 1, 2, 3
-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3
-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4
‘<' следует за -3, что означает, что это значение не включено в набор решений. «\leq» стоит перед 4, что означает, что это значение включено в набор решений. Все целые числа от -3 до 4 включительно входят в набор решений.
-4, -3, -2, -1, 0, 1
-5, 4, -3, -2, -1, 0, 1
-4, -3, -2, -1, 0
-5, 4, -3, -2, -1, 0
Оба знака неравенства «<», что означает, что эти значения не включены в набор решений. Все целые числа больше -4 и меньше -1 входят в набор решений.
-1, 0, 1, 2, 3, 4
0, 1, 2, 3
0, 1, 2, 3, 4
-1, 0, 1, 2, 3
-1 обозначено закрытым кружком, поэтому это значение включено в набор решений. 4 обозначен незакрашенным кружком, поэтому это значение не включено в набор решений. Все целые числа от -1 до 4 включительно включены в набор решений.
-1, 0, 1, 2
1, 0, 1
0, 1, 2
И -1, и 2 обозначены черными кружками, поэтому эти значения включены в набор решений.
Все целые числа больше -1 включительно и до 2 включительно включены в набор решений.
Неравенства на числовой прямой Вопросы GCSE
1. Джон покупает x бананов и y груш.
Он покупает
- Минимум 5 бананов
- Не более 9 груш
- Он покупает больше груш, чем бананов
Одним из неравенств для этой информации является x \ geq5
Записать еще две неравенства для этой информации
(2 балла)
Показать ответ
y \ leq9
(1)
y>x
(1)
2.
(a) Покажите неравенство x > 4 на этой числовой прямой.
(b) Запишите неравенство для x, которое показано в этой числовой строке
(3 балла)
Показать ответ
(a)
Открытый круг при 4
(1)
.
(б)
х\leq7
(1)
3.
(a) Запишите неравенство для x, показанное на этой числовой прямой
(b)
(i) Запишите неравенство -3\leq{x} <2 в этой числовой строке.
(ii) Перечислите целые числа, входящие в набор решений
(6 баллов)
Показать ответ
(a)
2 < x or x\leq 7
3 9
2 (1) (B) Закрытый круг при -3 или для открытого круга при 2 (1) (1) -2, -1, 0, 1 (1) -3, -2, -1, 0, 1 (1) Теперь вы научились: строка Подготовьте своих учеников KS4 к успешной сдаче выпускных экзаменов по математике с помощью программы Third Space Learning. Узнайте больше о нашей программе повторения GCSE по математике. Указание решения неравенства, такого как x≥4x\ge 4x≥4 , может быть достигнуто несколькими способами. Мы можем использовать числовую прямую, как показано на рисунке 2. Синий луч начинается с x=4x=4x=4 и, как показано стрелкой, продолжается до бесконечности, что показывает, что набор решений включает все действительные числа больше или равные 4,9Рисунок 2 «все действительные числа x такие, что x больше или равно 4″. Обратите внимание, что фигурные скобки используются для обозначения набора. Третий метод представляет собой обозначение интервала , в котором наборы решений обозначаются скобками или квадратными скобками. x≥4x\ge 4x≥4 представлены в виде [4,∞)\влево[4,\infty \вправо)[4,∞) . Это, пожалуй, самый полезный метод, так как он применяется к понятиям, изучаемым позже в этом курсе, и к другим математическим курсам более высокого уровня. Основная концепция, которую следует помнить, заключается в том, что круглые скобки обозначают решения, большие или меньшие, чем число, а скобки представляют решения, которые больше или равны или меньше или равны числу. Используйте круглые скобки для обозначения бесконечности или отрицательной бесконечности, поскольку положительная и отрицательная бесконечность не являются числами в обычном смысле этого слова и, следовательно, не могут быть «приравнены». Несколько примеров интервал или набор чисел, в который попадает решение, равен [−2,6)\left[-2,6\right)[−2,6) , или все числа между − 2-2−2 и 666 , в том числе −2-2−2 , но не включая 666 ; (−1,0)\left(-1,0\right)(−1,0) , все действительные числа между, но не включая −1-1−1 и 000 ; и (−∞,1]\left(-\infty ,1\right](−∞,1] , все действительные числа меньше 111 включительно . {x∣a (а,б)\левый(а,б\правый)(а,б) {х∣х>а}\{х|х>а\}{х∣х>а} (а,∞)\влево(а,\infty \вправо)(а,∞) {x∣x (−∞,b)\влево(-\infty ,b\вправо)(−∞,b) {x∣x≥a}\{x|x\ge a\}{x∣x≥a} [а,∞)\влево[а,\infty \вправо)[а,∞) {x∣x≤b}\{x|x\le b\}{x∣x≤b} (−∞,b]\left(-\infty ,b\right](−∞,b] {x∣a≤x [а,б)\влево[а,б\вправо)[а,б) {x∣a (а,б]\влево(а,б\вправо](а,б] {x∣a≤x≤b}\{x|a\le x\le b\}{x∣a≤x≤b} [а,б]\влево[а,б\вправо][а,б] {x∣x (−∞,a)∪(b,∞)\left(-\infty ,a\right)\cup \left(b,\infty \right)(−∞,a)∪(b,∞) {x∣x все действительные числа}\{x|x\text{ все действительные числа}\}{x∣x все действительные числа} (-∞,∞)\влево(-\infty ,\infty \вправо)(-∞,∞) Используйте обозначение интервала, чтобы указать все действительные числа, большие или равные −2-2−2 . Используйте квадратную скобку слева от −2-2−2 и круглые скобки после бесконечности: [−2,∞)\left[-2,\infty \right)[−2,∞) . Скобка указывает, что −2-2−2 включено в набор со всеми вещественными числами, большими −2-2−2 до бесконечности. Используйте обозначение интервала для обозначения всех действительных чисел между −3-3−3 и 555 Учебный контрольный список
Все еще зависает?
Еженедельные онлайн-уроки повторения GCSE по математике, которые проводят опытные преподаватели математики. Использование интервальной записи | Колледж Алгебра |
Решения задачи
В таблице ниже приведены возможные варианты.
The entries in the tenth row are: all real numbers less than a and greater than b; {x| x < a and x > b}; (negative infinity, a) union (b, infinity). The entries in the eleventh row are: All real numbers; {x| x is all real numbers}; (negative infinity, infinity).»> Набор указан Нотация Set-Builder Обозначение интервала Все действительные числа между a и b , кроме a или b Все действительные числа больше a , но не включая a Все действительные числа меньше b , но не включая b Все действительные числа больше a , включая a Все действительные числа меньше b , включая b Все действительные числа от до и б , в том числе а Все действительные числа между a и b , включая b Все действительные числа между a и b , в том числе а и б Все действительные числа меньше a или больше b Все действительные числа Пример 1.
Использование интервальной нотации для выражения всех действительных чисел, больших или равных a Раствор
Попробуйте 1
0091 .
Решение
Пример 2. Использование интервальной нотации для выражения всех вещественных чисел, меньших или равных
a или больше или равных bЗапишите интервал, выражающий все действительные числа, меньшие или равные
−1-1−1
или большие или равные
111
.
Раствор
Мы должны написать два интервала для этого примера. В первом интервале должны быть указаны все действительные числа, меньшие или равные 1. Итак, этот интервал начинается с
−∞-\infty −∞
и заканчивается на
−1-1−1
, что записывается как
(−∞,−1]\left(-\infty ,-1\right] (−∞,−1]
.
Второй интервал должен отображать все действительные числа, большие или равные
111
, что записывается как
[1,∞)\left[1,\infty \ справа)[1,∞)
.