Параболы и их формулы: Ошибка: 404 Материал не найден

Содержание

КВАДАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ

3 марта 2021 , 07:59

Для успешного решения задачи ОГЭ по математике на установление соответствия между формулами и графиками достаточно уметь различать основные элементарные функции. Знать надо и вид формулы, задающей функцию, и то, как выглядит график. Список функций, которые могут встретиться на экзамене в 9 классе, не такой уж большой. Чаще всего это линейные, квадратичные и дробно-рациональные функции.

Составим формулу, соответствующую графику функции на рис. 1. Это парабола, график квадратичной функции, то есть функции вида у = аx² + bx + c. Определим коэффициенты а, b и с. Точка пересечения графика с осью ординат имеет координаты (0; 3), ордината такой точки всегда равна свободному члену с. Вершина параболы – точка с координатами (2; –1). Применяя формулу для вычисления абсциссы вершины параболы , выразим коэффициент b = –4a и получим уравнение –1 = 4а – 8а + 3,

отсюда, а = 1, b = –4.

Тогда формула, соответствующая графику на рис. 1, имеет вид у = х² – 4х + 3.

Если формулы и свойства в нужный момент вспомнить не удаётся, а на графике отчётливо видны хотя бы три точки с целыми координатами, можно подставить их координаты в уравнение у = аx² + bx + c вместо х и у соответственно и получить систему трёх уравнений с тремя неизвестными а, b и с. На рис. 1 в качестве таких точек можем выбрать, например, точки с координатами (1; 0), (3; 0) и (0; 3), тогда система уравнений примет вид: , решение системы (1; –4; 3) определяет искомые значения коэффициентов.

Система координат на чертеже может быть задана парой координатных осей без указания единичного отрезка, но и в этом случае, зная свойства квадратичной функции, можно определить знаки коэффициентов квадратного трёхчлена и дискриминанта. На рис. 2 изображена парабола, ветви которой направлены вниз, это означает, что старший коэффициент

а отрицателен.

Вершина параболы лежит в правой полуплоскости относительно оси ординат, а значит, имеет положительную абсциссу. Это возможно при условии, что первый и второй коэффициенты имеют разные знаки, то есть b > 0. Парабола пересекает ось ординат в точке с положительной ординатой, с > 0. Положение графика в системе координат позволяет также определить и знак дискриминанта квадратного трёхчлена аx² + bx + c. Парабола имеет две общие точки с осью абсцисс, а значит, квадратное уравнение аx² + bx + c = 0 имеет два различных действительных корня, то есть дискриминант положителен. Сравнивая знаки коэффициентов в данных формулах и те, которые найдены по графикам, можно легко установить соответствие между функциями и их графиками.

Елена Евгеньевна Манцирина,
учитель математики школы № 146

Поделиться в социальных сетях:

Парабола: формулы, примеры решения задач

Определение параболы. Параболой называется множество всех точек плоскости, таких, каждая из которых находится на одинаковом расстоянии от точки, называемой фокусом, и от прямой, называемой директрисой и не проходящей через фокус.

Каноническое уравнение параболы имеет вид:

где число p, называемое параметром параболы, есть расстояние от фокуса до директрисы.

На чертеже линия параболы — бордового цвета, директриса — ярко-красного цвета, расстояния от точки до фокуса и директрисы — оранжевого.

В математическом анализе принята другая запись уравнения параболы:

y = ax²,

то есть ось параболы выбрана за ось координат. Можно заметить, что ax² — это квадратный трёхчлен ax² + bx + c, в котором b = 0 и c = 0. График любого квадратного трёхчлена, то есть левой части квадратного уравнения, будет параболой.

Фокус параболы имеет координаты

Директриса параболы определяется уравнением .

Расстояние r от любой точки параболы до фокуса определяется формулой .

Для каждой из точек параболы расстояние до фокуса равно расстоянию до директрисы.

Пример 1. Определить координаты фокуса параболы

Решение. Число p расстояние от фокуса параболы до её директрисы. Начало координат в данном случае — в роли любой точки, расстояния от которой от фокуса до директрисы равны. Находим p:

Находим координаты фокуса параболы:

Пример 2. Составить уравнение директрисы параболы

Решение. Находим p:

Получаем уравнение директрисы параболы:

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!

Пример 3. Составить уравнение параболы, если расстояние от фокуса до директрисы равно 2.

Решение. Параметр p — это и есть данное расстояние от фокуса до директрисы. Подставляем и получаем:

Траектория камня, брошенного под углом к горизонту, летящего футбольного мяча или артиллерийского снаряда будет параболой (при отсутствии сопротивления воздуха). Зона достижимости для пущенных камней вновь будет параболой. В данном случае речь идёт об огибающей кривой траекторий камней, выпущенных из данной точки под разными углами, но с одной и той же начальной скоростью.

Парабола обладает следующим оптическим свойством: все лучи, исходящие из источника света, находящегося в фокусе параболы, после отражения оказываются направленными параллельно её оси. Это свойство параболы используется при изготовлении прожекторов, автомобильных фар, карманных фонариков, зеркала которых имеют вид параболоидов вращения (фигур, получающихся при вращении параболы вокруг оси).

Пучок параллельных лучей, двигающийся вдоль оси параболы, отражаясь, собирается в её фокусе.

Назад

Листать

Вперёд>>>

К началу страницы

Пройти тест по теме Кривые второго порядка

Поделиться с друзьями

Другие материалы по теме Кривые второго порядка

Эллипс

Гипербола

Парабола

Парабола — это набор точек на плоскости, которые находятся на одинаковом расстоянии от данной точки и данной линии на этой плоскости. Данная точка называется фокусом , , а линия называется директрисой . Середина перпендикулярного отрезка из фокуса к директрисе называется

вершиной параболы. Линия, проходящая через вершину и фокус, называется осью симметрии (см. рис. 1)

Рисунок 1. Две возможные параболы.

Уравнение параболы можно записать в двух основных формах:

Форма 1: y = a ( x – h ) ² + k
Форма 2: x = a ( y – k ) ² + h

В форме 1 парабола раскрывается вертикально. (Открывается в « y ”направление.) Если a > 0, открывается вверх. См. рисунок 1(а). Если a < 0, он открывается вниз. Расстояние от вершины до фокуса и от вершины до направляющей линии одинаковы. Это расстояние равно

Парабола с вершиной в ( h , k ), раскрывающаяся вертикально, будет иметь следующие свойства.

Фокус будет в .
Директриса будет иметь уравнение .
Ось симметрии будет иметь уравнение х = ч .
Его форма будет y = a ( x – h ) ² + k .

В форме 2 парабола открывается горизонтально. (Открывается в направлении « x ».) Если a > 0, открывается вправо. См. рисунок 1(б). Если a < 0, он открывается влево.

Парабола с вершиной в ( h , k ), открывающаяся горизонтально, будет иметь следующие свойства.

Фокус будет на .
Директриса будет иметь уравнение .
Ось симметрии будет иметь уравнение y = k .
Его форма будет x = a ( y – k ) ² + h .

Пример 1

Нарисуйте график числа y = x ² . Укажите, в каком направлении открывается парабола, и определите ее вершину, фокус, директрису и ось симметрии.

Уравнение y = x ² можно записать как

y = 1( x – 0) ² + 0

, поэтому a = 1, h = 0, и k = 0. , его направление вверх (см. рис. 2).

Вершина: ( h , k ) = (0, 0)

Фокус: .

Директриса: .

Ось симметрии:

Рис. 2. Свойства парабол.

Пример 2

График . Укажите, в каком направлении открывается парабола, и определите ее вершину, фокус, директрису и ось симметрии.

Уравнение такое же, как .

Поскольку a < 0 и парабола открывается горизонтально, эта парабола открывается влево (см. рис. 3).

Вершина: ( h , k ) = (–3, –2)

Фокус:

Директриса:

Ось симметрии:

Рис. 3. График примера. пример 3 х = a ( у – к ) ² + ч

Определение направления раскрытия, вершины, фокуса, директрисы и оси симметрии.

х = 5 у ² – 30 y + 11

Вычтите коэффициент при y ² из слагаемых, содержащих y , чтобы получить квадрат.

x = 5( y ² – 6 y ) + 11

Заполнение квадрата в скобках добавляет 5(9) = 45 к правой стороне. Добавьте это количество в левую часть, чтобы уравнение было сбалансированным.

Вычтите 45 с обеих сторон.

x = 5( y – 3) ² – 34

Направление: Открывается вправо ( a > 0, открывается горизонтально)

Вершина: ( h

–34, 3)

Фокус:

Направляющая:

Ось симметрии:

Определение, формула и уравнение для параболы

В математике любая плоская кривая, которая является зеркально-симметричной и обычно имеет U-образную форму, называется парабола. В этой статье об уравнении параболы мы постараемся узнать об определении параболы, общих и стандартных уравнениях параболы, геометрическом месте, уравнении касательной и нормали к параболе, а также о различных формулах параболы, связанных терминах и решенных примерах.

Ученые продемонстрировали, что снаряды, падающие под действием силы тяжести, движутся по траектории, называемой параболической траекторией. Кроме того, парабола является проекцией окружности. Многие естественные движения тел развиваются по криволинейной траектории, имеющей форму параболы. Все конические сечения, такие как Парабола, Эллипс и Гипербола, имеют такую криволинейную траекторию. Мы начнем наше обсуждение с ответа на вопрос Что такое парабола?

Что такое парабола?
Парабола — это график квадратичной функции. С точки зрения математики парабола называется уравнением кривой таким образом, что точка на кривой равноудалена от фиксированной точки и фиксированной линии. Неподвижная точка называется фокусом параболы, а неподвижная линия называется направляющей параболы.
Уравнения параболы
Параболическое уравнение в коническом сечении помогает описать общую форму параболического пути на плоскости. Давайте изучим различные уравнения, связанные с уравнением параболы; то есть общее уравнение, стандартное уравнение, уравнение касательной и уравнение нормали к параболе. Начиная с общего уравнения.
Общее уравнение параболы
Общее уравнение параболы выглядит следующим образом: 9{2}\), тогда ось симметрии проходит вдоль оси Y
Узнайте о формуле раздела в связанной статье!
Уравнение касательной к параболе
На данный момент мы знаем уравнение параболы в общем и стандартном виде. Теперь давайте разберемся с уравнениями касательной к параболе в другой форме, т.е. Линия, соединяющая параболу точно в одной точке, называется касательной к параболе. 92\).
Точно так же, если вы хотите узнать об уравнении гиперболы, ознакомьтесь со статьей по ссылке!
Уравнение нормали к параболе
В предыдущей рубрике мы читали об уравнении касательной к параболе. Теперь давайте узнаем об уравнении нормали к параболе. Нормаль к параболе определяется как перпендикуляр к касательной параболы. Различные формы уравнения нормали к параболе:
Форма точки 92 = -4AY \) Эксцентричность E = 1 E = 1 E = 1 E = 1 COARDINATE 0) (0, 0) (0, 0) Координаты фокуса (а, 0) (-а, 0) (0, а) -a) Уравнение директрисы x = – a x = a y = – a Y = A Длина латус -прямой кишки 4A 4A 4A 4A 4A 4A 4A эллипс, парабола и гипербола. В этой конкретной статье мы сосредоточимся на уравнении параболы. Подводя итог этой теме, следует помнить несколько важных ключевых выводов.
Можно утверждать, что когда ось симметрии проходит вдоль оси абсцисс, данная парабола раскрывается либо влево, либо вправо в зависимости от значения коэффициента при х. 92=-4ay\)
Уравнения касательной и нормали к параболе представлены в трех различных формах, а именно; точечная форма, форма наклона и параметрическая форма.
Решенные примеры в уравнениях параболы
Хорошо известны различные формулы для параболы, включая общее уравнение, стандартное уравнение, за которым следует точка, наклон и параметрическая форма касательной и нормали. Давайте потренируемся на некоторых решенных примерах для большей ясности темы.
92 = 20у\).
Мы надеемся, что приведенная выше статья об уравнении параболы поможет вам понять и подготовиться к экзамену. Оставайтесь с нами в приложении Testbook, чтобы получать больше обновлений по связанным с математикой темам и другим подобным предметам. Кроме того, обратитесь к серии тестов, доступных для проверки ваших знаний по нескольким экзаменам.
Часто задаваемые вопросы по уравнению параболы
В.1 Что такое парабола в коническом сечении?
Ответ 1 92+h,\ где\ (h,k)\ обозначает\ вершину.\)
Q.4 Что такое фокус параболы?
Ответ 4 Парабола представляет собой набор всех точек на плоскости, которые находятся на равном расстоянии от данной точки и заданной линии. Точка называется фокусом параболы, а линия — директрисой.
Q.5 Что такое вершина параболы?
Ответ 5 Вершина параболы – это точка пересечения параболы с ее линией симметрии.
Q.6 Что такое парабола простыми словами?
Ответ 6 Парабола — это плоская кривая, образованная точкой, движущейся так, что ее расстояние от фиксированной точки равно ее расстоянию от фиксированной линии. Проще говоря, это форма, определяемая, когда мы запускаем мяч в воздух.
No related posts.