формула, как по координатам его концов, блок схема
Содержание:
- Что такое середина отрезка
-
Правила нахождения координат середины отрезка, формулы
- Середина отрезка на координатной прямой
- Середина отрезка на плоскости
- Середина отрезка в пространстве
- Метод с использованием координат радиус-векторов концов отрезка
- Примеры решения задач
Содержание
- Что такое середина отрезка
-
Правила нахождения координат середины отрезка, формулы
- Середина отрезка на координатной прямой
- Середина отрезка на плоскости
- Середина отрезка в пространстве
- Метод с использованием координат радиус-векторов концов отрезка
- Примеры решения задач
Что такое середина отрезка
Отрезок — это геометрическая фигура, представляющая собой ограниченный с двух сторон участок прямой.
Пусть точки A и B не совпадают. Если провести через них прямую, то образуется отрезок AB или BA, который ограничен точками A и B. Данные точки являются концами отрезка.
Длина отрезка — это расстояние между двумя точками, ограничивающими данный отрезок. Длина отрезка AB обозначается как модуль данной геометрической фигуры, то есть |AB|.
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
Серединой отрезка является такая точка C, принадлежащая отрезку AB, которая расположена в центре данного отрезка, то есть |AC|=|CB|.
Правила нахождения координат середины отрезка, формулы
Середина отрезка на координатной прямой
Предположим, что несовпадающие точки A и B лежат на координатной прямая Ох. Известно, что A и B соответствуют действительные числа xA и xB, а точка С делит AB пополам.
Определите координату xC, соответствующую С.
Так как C — это середина AB, то справедливо следующее равенство:
\(\left|AC\right|=\left|CB\right|\)
Вычислим расстояние между A и C, а также между C и B. Для этого определим модуль разницы их координат. На математическом языке это будет иметь вид:
\(\left|AC\right|=\left|CB\right|\Leftrightarrow\left|x_C-x_A\right|=\left|x_B-x_C\right|\)
Опустим знак модуля и получим справедливость двух выражений:
\(x_C-x_A=x_B-x_C\)
\(x_C-x_A=-\left(x_B-x_C\right)\)
Исходя из первого равенства, получим формулу нахождения xC
, согласно которой координата точки С равна половине суммы координат A и B:\(x_C=\frac{x_A+x_B}2\)
Следствием второго равенства будет следующее утверждение:
\(x_A=x_B\)
Это противоречит заданным условиям, следовательно, формула определения координат середины отрезка выглядит так:
\(x_C=\frac{x_A+x_B}2\)
Середина отрезка на плоскости
В декартовой системе координат Oxy расположены две точки A(xA,yA) и B(xB,yB), которые не совпадают между собой.
Точка C является центром AB. Необходимо произвести вычисление координат xC и yC, соответствующих С.
Пусть произвольные точки А и В лежат на одной координатной прямой, а также не принадлежат прямым, располагающимся перпендикулярно к оси абсцисс или ординат. Опустим от заданных точек A, B, C перпендикуляры на ось x на ось y. Полученные точки пересечения с осями координат A
По построению прямые AAx, BBx, CCx относительно друг друга находятся параллельно. Прямые AAy, BBy, CCy не пересекаются, то есть являются параллельными. Согласно равенству AB=BC, далее применим теорему Фалеса и получим:
\(A_xC_x=C_xB_x\)
\(A_yC_y=C_yB_y\)
Это значит, что Cx и Cy являются серединами отрезков AxBx и AyBy соответственно.
Теперь воспользуемся формулой определения координат середины отрезка на координатной прямой и получим:
\(x_C=\frac{x_A+x_B}2\)
\(y_C=\frac{y_A+y_B}2\)
Данные формулы подходят для вычисления координат середины отрезка в случае его расположения на осях абсцисс и ординат, а также при перпендикулярности одной из них. Следовательно, координаты центра отрезка AB, находящегося в плоскости и ограниченного точками A(x A,yA) и B(xB,yB), вычисляются следующим образом:
\(\left(\frac{x_A+x_B}2,\frac{y_A+y_B}2\right)\)
Середина отрезка в пространстве
Допустим, что в трехмерной системе координат Oxyz любые две точки с соответствующими им координатами A(xA, yA, zA) и B(xB, yB, zB). C(xC, yC, zC) — это центр АВ. Задание заключается в том, чтобы определить xC, yC, zC.
Проведем от исходных точек перпендикуляры к прямым Ox, Oy и Oz.
Образовавшиеся точки пересечения с координатными осями — Ax, A
Воспользуемся теоремой Фалеса:
\(\left|A_xC_x\right|=\left|C_xB_x\right|\)
\(\left|A_yC_y\right|=\left|C_yB_y\right|\)
\(\left|A_zC_z\right|=\left|C_zB_z\right|\)
Исходя из полученных равенств следует, что Cx, Cy, Cz — делят AxBx, AyBy, AzBz пополам, то есть являются серединами перечисленных отрезков. Значит, для определения координат центра AB с концами A(xA,yA,zA) и B(xB,yB,zB) используем формулу:
\(\left(\frac{x_A+x_B}2,\frac{y_A+y_B}2,\;\frac{z_A+z_B}2\right)\)
Метод с использованием координат радиус-векторов концов отрезка
Трактовка векторов в алгебре позволяет составить формулу для расчета координат середины отрезка.
Дано: прямоугольная система координат Oxy, в которой лежат произвольные точки A(xA,yA) и B(xB,yB), а также C, делящая пополам отрезок, ограниченный A и B.
По определению действий над вектором в геометрии:
\((1)\;\overrightarrow{OC}=\frac12\times\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\right)\)
В рассматриваемой ситуации в точке C пересекаются диагонали параллелограмма с основаниями: \(\overrightarrow{OA},\;\overrightarrow{OB} \).
Это значит, что С — это центр диагоналей.
Поскольку координаты радиус вектора совпадают с координатами точки, имеем: \(\overrightarrow{OA}=\left(x_A,\;y_A\right),\;\overrightarrow{OB}=\left(x_B,\;y_B\right) \).
Произведем подстановку в формулу (1):
\(\overrightarrow{OC}=\frac12\times\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\right)=\left(\frac{x_A+x_B}2,\;\frac{y_A+y_B}2\right) \).
Получили формулу определения координат середины отрезка, находящегося в декартовой системе координат:
\(\left(\frac{x_A+x_B}2,\;\frac{y_A+y_B}2\right)\)
По аналогично схеме можно вывести формулу для расчета координат центра отрезка, лежащего в пространстве:
\(\left(\frac{x_A+x_B}2,\frac{y_A+y_B}2,\;\frac{z_A+z_B}2\right)\)
Примеры решения задач
Задача № 1
Дано: в декартовой системе координат имеются точки M(5,4) и N(1,−2).
Найти координаты середины отрезка MN.
Решение:
Пусть точка O — центр MN. Тогда вычислим ее координаты, подставив в формулы:
\(x_O=\frac{x_A+x_B}2=\frac{5+1}2=\frac62=3\)
\(y_O=\frac{y_A+y_B}2=\frac{4+\left(-2\right)}2=\frac{4-2}2=\frac22=1\)
Точка O имеет координаты (3,1).
Ответ: (3,1).
Задача № 2
Дано: треугольник ABC лежит в прямоугольной системе координат. Известны координаты его вершин: A(7,3), B(−3,1), C(2,4). Вычислите длину медианы АМ.
Решение:
Поскольку АМ является медианой треугольника ABC, то точка М делит сторону ВС на два равных отрезка, то есть является серединой отрезка ВС. Отсюда можно вычислить координат точки М:
\(x_М=\frac{x_В+x_С}2=\frac{-3+2}2=\frac{-1}2=-0,5\)
\(y_М=\frac{y_В+y_С}2=\frac{1+4}2=\frac52=2,5\)
Теперь, зная координаты начала и конца отрезка АМ, применим формулу нахождения расстояния между точками:
\(AM=\sqrt{\left(x_M-x_A\right)^2+\left(y_M-y_A\right)^2}=\sqrt{\left(-0,5-7\right)^2+\left(-2,5-3\right)^2}=\sqrt{-7,5^2+\left(-5,5\right)^2}=\sqrt{56,25+30,25}=\sqrt{86,5}
\).
Ответ: √86,5.
Насколько полезной была для вас статья?
У этой статьи пока нет оценок.
Найти координаты середины ав. Формулы деления отрезка в данном отношении
В статье ниже будут освещены вопросы нахождения координат середины отрезка при наличии в качестве исходных данных координат его крайних точек. Но, прежде чем приступить к изучению вопроса, введем ряд определений.
Определение 1
Отрезок – прямая линия, соединяющая две произвольные точки, называемые концами отрезка. В качестве примера пусть это будут точки A и B и соответственно отрезок A B .
Если отрезок A B продолжить в обе стороны от точек A и B , мы получим прямую A B . Тогда отрезок A B – часть полученной прямой, ограниченный точками A и B . Отрезок A B объединяет точки A и B , являющиеся его концами, а также множество точек, лежащих между. Если, к примеру, взять любую произвольную точку K , лежащую между точками A и B , можно сказать, что точка K лежит на отрезке A B .
Определение 2
Длина отрезка – расстояние между концами отрезка при заданном масштабе (отрезке единичной длины). Длину отрезка A B обозначим следующим образом: A B .
Определение 3
Середина отрезка – точка, лежащая на отрезке и равноудаленная от его концов. Если середину отрезка A B обозначить точкой C , то верным будет равенство: A C = C B
Исходные данные: координатная прямая O x и несовпадающие точки на ней: A и B . Этим точкам соответствуют действительные числа x A и x B . Точка C – середина отрезка A B: необходимо определить координату x C .
Поскольку точка C является серединой отрезка А В, верным будет являться равенство: | А С | = | С В | . Расстояние между точками определяется модулем разницы их координат, т.е.
| А С | = | С В | ⇔ x C — x A = x B — x C
Тогда возможно два равенства: x C — x A = x B — x C и x C — x A = — (x B — x C)
Из первого равенства выведем формулу для координаты точки C: x C = x A + x B 2 (полусумма координат концов отрезка).
Из второго равенста получим: x A = x B , что невозможно, т.к. в исходных данных — несовпадающие точки. Таким образом, формула для определения координат середины отрезка A B с концами A (x A) и B (x B):
Полученная формула будет основой для определения координат середины отрезка на плоскости или в пространстве.
Исходные данные: прямоугольная система координат на плоскости О x y , две произвольные несовпадающие точки с заданными координатами A x A , y A и B x B , y B . Точка C – середина отрезка A B . Необходимо определить координаты x C и y C для точки C .
Возьмем для анализа случай, когда точки A и B не совпадают и не лежат на одной координатной прямой или прямой, перпендикулярной одной из осей. A x , A y ; B x , B y и C x , C y — проекции точек A , B и C на оси координат (прямые О х и О y).
Согласно построению прямые A A x , B B x , C C x параллельны; прямые также параллельны между собой. Совокупно с этим по теореме Фалеса из равенства А С = С В следуют равенства: А x С x = С x В x и А y С y = С y В y , и они в свою очередь свидетельствуют о том, что точка С x – середина отрезка А x В x , а С y – середина отрезка А y В y .
И тогда, опираясь на полученную ранее формулу, получим:
x C = x A + x B 2 и y C = y A + y B 2
Этими же формулами можно воспользоваться в случае, когда точки A и B лежат на одной координатной прямой или прямой, перпендикулярной одной из осей. Проводить детальный анализ этого случая не будем, рассмотрим его лишь графически:
Резюмируя все выше сказанное, координаты середины отрезка A B на плоскости с координатами концов A (x A , y A) и B (x B , y B) определяются как :
(x A + x B 2 , y A + y B 2)
Исходные данные: система координат О x y z и две произвольные точки с заданными координатами A (x A , y A , z A) и B (x B , y B , z B) . Необходимо определить координаты точки C , являющейся серединой отрезка A B .
A x , A y , A z ; B x , B y , B z и C x , C y , C z — проекции всех заданных точек на оси системы координат.
Согласно теореме Фалеса верны равенства: A x C x = C x B x , A y C y = C y B y , A z C z = C z B z
Следовательно, точки C x , C y , C z являются серединами отрезков A x B x , A y B y , A z B z соответственно.
Тогда, для определения координат середины отрезка в пространстве верны формулы:
x C = x A + x B 2 , y c = y A + y B 2 , z c = z A + Z B 2
Полученные формулы применимы также в случаях, когда точки A и B лежат на одной из координатных прямых; на прямой, перпендикулярной одной из осей; в одной координатной плоскости или плоскости, перпендикулярной одной из координатных плоскостей.
Определение координат середины отрезка через координаты радиус-векторов его концов
Формулу для нахождения координат середины отрезка также можно вывести согласно алгебраическому толкованию векторов.
Исходные данные: прямоугольная декартова система координат O x y , точки с заданными координатами A (x A , y A) и B (x B , x B) . Точка C – середина отрезка A B .
Согласно геометрическому определению действий над векторами верным будет равенство: O C → = 1 2 · O A → + O B → . Точка C в данном случае – точка пересечения диагоналей параллелограмма, построенного на основе векторов O A → и O B → , т.
е. точка середины диагоналей.Координаты радиус-вектора точки равны координатам точки, тогда верны равенства: O A → = (x A , y A) , O B → = (x B , y B) . Выполним некоторые операции над векторами в координатах и получим:
O C → = 1 2 · O A → + O B → = x A + x B 2 , y A + y B 2
Следовательно, точка C имеет координаты:
x A + x B 2 , y A + y B 2
По аналогии определяется формула для нахождения координат середины отрезка в пространстве:
C (x A + x B 2 , y A + y B 2 , z A + z B 2)
Примеры решения задач на нахождение координат середины отрезка
Среди задач, предполагающих использование полученных выше формул, встречаются, как и те, в которых напрямую стоит вопрос рассчитать координаты середины отрезка, так и такие, что предполагают приведение заданных условий к этому вопросу: зачастую используется термин «медиана», ставится целью нахождение координат одного из концов отрезка, а также распространены задачи на симметрию, решение которых в общем также не должно вызывать затруднений после изучения настоящей темы.
Рассмотрим характерные примеры.
Пример 1
Исходные данные: на плоскости – точки с заданными координатами А (- 7 , 3) и В (2 , 4) . Необходимо найти координаты середины отрезка А В.
Решение
Обозначим середину отрезка A B точкой C . Координаты ее буду определяться как полусумма координат концов отрезка, т.е. точек A и B .
x C = x A + x B 2 = — 7 + 2 2 = — 5 2 y C = y A + y B 2 = 3 + 4 2 = 7 2
Ответ : координаты середины отрезка А В — 5 2 , 7 2 .
Пример 2
Исходные данные: известны координаты треугольника А В С: А (- 1 , 0) , В (3 , 2) , С (9 , — 8) . Необходимо найти длину медианы А М.
Решение
- По условию задачи A M – медиана, а значит M является точкой середины отрезка B C . В первую очередь найдем координаты середины отрезка B C , т.е. точки M:
x M = x B + x C 2 = 3 + 9 2 = 6 y M = y B + y C 2 = 2 + (- 8) 2 = — 3
- Поскольку теперь нам известны координаты обоих концов медианы (точки A и М), можем воспользоваться формулой для определения расстояния между точками и посчитать длину медианы А М:
A M = (6 — (- 1)) 2 + (- 3 — 0) 2 = 58
Ответ: 58
Пример 3
Исходные данные: в прямоугольной системе координат трехмерного пространства задан параллелепипед A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 .
Заданы координаты точки C 1 (1 , 1 , 0) , а также определена точка M , являющаяся серединой диагонали B D 1 и имеющая координаты M (4 , 2 , — 4) . Необходимо рассчитать координаты точки А.
Решение
Диагонали параллелепипеда имеют пересечение в одной точке, которая при этом является серединой всех диагоналей. Исходя из этого утверждения, можно иметь в виду, что известная по условиям задачи точка М является серединой отрезка А С 1 . Опираясь на формулу для нахождения координат середины отрезка в пространстве, найдем координаты точки А: x M = x A + x C 1 2 ⇒ x A = 2 · x M — x C 1 = 2 · 4 — 1 + 7 y M = y A + y C 1 2 ⇒ y A = 2 · y M — y C 1 = 2 · 2 — 1 = 3 z M = z A + z C 1 2 ⇒ z A = 2 · z M — z C 1 = 2 · (- 4) — 0 = — 8
Ответ: координаты точки А (7 , 3 , — 8) .
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Очень часто в задаче C2 требуется работать с точками, которые делят отрезок пополам. Координаты таких точек легко считаются, если известны координаты концов отрезка.
Итак, пусть отрезок задан своими концами — точками A = (x a ; y a ; z a) и B = (x b ; y b ; z b). Тогда координаты середины отрезка — обозначим ее точкой H — можно найти по формуле:
Другими словами, координаты середины отрезка — это среднее арифметическое координат его концов.
· Задача . Единичный куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 помещен в систему координат так, что оси x, y и z направлены вдоль ребер AB, AD и AA 1 соответственно, а начало координат совпадает с точкой A. Точка K — середина ребра A 1 B 1 . Найдите координаты этой точки.
Решение . Поскольку точка K — середина отрезка A 1 B 1 , ее координаты равных среднему арифметическому координат концов. Запишем координаты концов: A 1 = (0; 0; 1) и B 1 = (1; 0; 1). Теперь найдем координаты точки K:
Ответ : K = (0,5; 0; 1)
· Задача . Единичный куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 помещен в систему координат так, что оси x, y и z направлены вдоль ребер AB, AD и AA 1 соответственно, а начало координат совпадает с точкой A.
Найдите координаты точки L, в которой пересекаются диагонали квадрата A 1 B 1 C 1 D 1 .
Решение . Из курса планиметрии известно, что точка пересечения диагоналей квадрата равноудалена от всех его вершин. В частности, A 1 L = C 1 L, т.е. точка L — это середина отрезка A 1 C 1 . Но A 1 = (0; 0; 1), C 1 = (1; 1; 1), поэтому имеем:
Ответ : L = (0,5; 0,5; 1)
Простейшие задачи аналитической геометрии.
Действия с векторами в координатах
Задания, которые будут рассмотрены, крайне желательно научиться решать на полном автомате, а формулы запомнить наизусть , даже специально не запоминать, сами запомнятся =) Это весьма важно, поскольку на простейших элементарных примерах базируются другие задачи аналитической геометрии, и будет досадно тратить дополнительное время на поедание пешек. Не нужно застёгивать верхние пуговицы на рубашке, многие вещи знакомы вам со школы.
Изложение материала пойдет параллельным курсом – и для плоскости, и для пространства.
По той причине, что все формулы… сами увидите.
После кропотливого труда я вдруг заметил, что размеры веб страниц достаточно велики, и если так пойдёт дальше, то можно тихо мирно озвереть =) Поэтому предлагаю вашему вниманию небольшое эссе, посвященное очень распространённой геометрической задаче –
Данная задача по тем или иным причинам не вписалась в другие уроки, но зато сейчас есть прекрасная возможность рассмотреть её подробно и неторопливо. Приятная новость состоит в том, что мы немного отдохнём от векторов и сконцентрируем внимание на точках и отрезках.
Формулы деления отрезка в данном отношении Понятие деления отрезка в данном отношенииНередко обещанного вовсе ждать не приходится, сразу рассмотрим пару точек и, очевидное невероятное – отрезок :
Рассматриваемая задача справедлива, как для отрезков плоскости, так и для отрезков пространства.
То есть, демонстрационный отрезок можно как угодно разместить на плоскости или в пространстве. Для удобства объяснений я нарисовал его горизонтально.
Что будем делать с данным отрезком? На этот раз пилить. Кто-то пилит бюджет, кто-то пилит супруга, кто-то пилит дрова, а мы начнём пилить отрезок на две части. Отрезок делится на две части с помощью некоторой точки , которая, понятно, расположена прямо на нём:
В данном примере точка делит отрезок ТАКИМ образом, что отрезок в два раза короче отрезка . ЕЩЁ можно сказать, что точка делит отрезок в отношении («один к двум»), считая от вершины .
На сухом математическом языке этот факт записывают следующим образом: , или чаще в виде привычной пропорции: . Отношение отрезков принято стандартно обозначать греческой буквой «лямбда», в данном случае: .
Пропорцию несложно составить и в другом порядке: – сия запись означает, что отрезок в два раза длиннее отрезка , но какого-то принципиального значения для решения задач это не имеет.
Можно так, а можно так.
Разумеется, отрезок легко разделить в каком-нибудь другом отношении, и в качестве закрепления понятия второй пример:
Здесь справедливо соотношение: . Если составить пропорцию наоборот, тогда получаем: .
После того, как мы разобрались, что значит разделить отрезок в данном отношении, перейдём к рассмотрению практических задач.
Если известны две точки плоскости , то координаты точки , которая делит отрезок в отношении , выражаются формулами:
Откуда взялись данные формулы? В курсе аналитической геометрии эти формулы строго выводятся с помощью векторов (куда ж без них? =)). Кроме того, они справедливы не только для декартовой системы координат, но и для произвольной аффинной системы координат (см. урок Линейная (не) зависимость векторов. Базис векторов ). Такая вот универсальная задача.
Пример 1
Найти координаты точки , делящей отрезок в отношении , если известны точки
Решение : В данной задаче .
По формулам деления отрезка в данном отношении, найдём точку :
Ответ :
Обратите внимание на технику вычислений: сначала нужно отдельно вычислить числитель и отдельно знаменатель. В результате часто (но далеко не всегда) получается трёх- или четырёхэтажная дробь. После этого избавляемся от многоэтажности дроби и проводим окончательные упрощения.
В задаче не требуется строить чертежа, но его всегда полезно выполнить на черновике:
Действительно, соотношение выполняется, то есть отрезок в три раза короче отрезка . Если пропорция не очевидна, то отрезки всегда можно тупо измерить обычной линейкой.
Равноценен второй способ решения : в нём отсчёт начинается с точки и справедливым является отношение: (человеческими словами, отрезок в три раза длиннее отрезка ). По формулам деления отрезка в данном отношении:
Ответ :
Заметьте, что в формулах необходимо переместить координаты точки на первое место, поскольку маленький триллер начинался именно с неё.
Также видно, что второй способ рациональнее ввиду более простых вычислений. Но всё-таки данную задачу чаще решают в «традиционном» порядке. Например, если по условию дан отрезок , то предполагается, что вы составите пропорцию , если дан отрезок , то «негласно» подразумевается пропорция .
А 2-ой способ я привёл по той причине, что частенько условие задачи пытаются намеренно подзапутать. Именно поэтому очень важно выполнять черновой чертёж чтобы, во-первых, правильно проанализировать условие, а, во-вторых, в целях проверки. Обидно допускать ошибки в такой простой задаче.
Пример 2
Даны точки . Найти:
а) точку , делящую отрезок в отношении ;
б) точку , делящую отрезок в отношении .
Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока.
Иногда встречаются задачи, где неизвестен один из концов отрезка:
Пример 3
Точка принадлежит отрезку . Известно, что отрезок в два раза длиннее отрезка . Найти точку , если .
Решение : Из условия следует, что точка делит отрезок в отношении , считая от вершины , то есть, справедлива пропорция: . По формулам деления отрезка в данном отношении:
Сейчас нам неизвестны координаты точки : , но это не является особой проблемой, так как их легко выразить из вышеприведённых формул. В общем виде выражать ничего не стОит, гораздо проще подставить конкретные числа и аккуратно разобраться с вычислениями:
Ответ :
Для проверки можно взять концы отрезка и, пользуясь формулами в прямом порядке, убедиться, что при соотношении действительно получится точка . И, конечно же, конечно же, не лишним будет чертёж. А чтобы окончательно убедить вас в пользе клетчатой тетради, простого карандаша да линейки, предлагаю хитрую задачу для самостоятельного решения:
Пример 4
Точка . Отрезок в полтора раза короче отрезка . Найти точку , если известны координат точек .
Решение в конце урока. Оно, кстати, не единственное, если пойдёте отличным от образца путём, то это не будет ошибкой, главное, чтобы совпали ответы.
Для пространственных отрезков всё будет точно так же, только добавится ещё одна координата.
Если известны две точки пространства , то координаты точки , которая делит отрезок в отношении , выражаются формулами:
.
Пример 5
Даны точки . Найти координаты точки , принадлежащей отрезку , если известно, что .
Решение : Из условия следует отношение: . Данный пример взят из реальной контрольной работы, и его автор позволил себе небольшую шалость (вдруг кто споткнётся) – пропорцию в условии рациональнее было записать так: .
По формулам координат середины отрезка:
Ответ :
Трёхмерные чертежи в целях проверки выполнять значительно сложнее. Однако всегда можно сделать схематический рисунок, чтобы разобраться хотя бы в условии – какие отрезки необходимо соотносить.
Что касается дробей в ответе, не удивляйтесь, обычное дело. Много раз говорил, но повторюсь: в высшей математике принято орудовать обыкновенными правильными и неправильными дробями.
Ответ в виде пойдёт, но вариант с неправильными дробями более стандартен.
Разминочная задача для самостоятельного решения:
Пример 6
Даны точки . Найти координаты точки , если известно, что она делит отрезок в отношении .
Решение и ответ в конце урока. Если трудно сориентироваться в пропорциях, выполните схематический чертёж.
В самостоятельных и контрольных работах рассмотренные примеры встречаются как сами по себе, так и составной частью более крупных задач. В этом смысле типична задача нахождения центра тяжести треугольника.
Разновидность задания, где неизвестен один из концов отрезка, разбирать не вижу особого смысла, так как всё будет похоже на плоский случай, разве что вычислений чуть больше. Лучше вспомним годы школьные:
Формулы координат середины отрезкаДаже неподготовленные читатели могут помнить, как разделить отрезок пополам. Задача деления отрезка на две равные части – это частный случай деления отрезка в данном отношении.
Двуручная пила работает самым демократичным образом, и каждому соседу за партой достаётся по одинаковой палке:
В этот торжественный час стучат барабаны, приветствуя знаменательную пропорцию . И общие формулы чудесным образом преображаются в нечто знакомое и простое:
Удобным моментом является тот факт, что координаты концов отрезка можно безболезненно переставить:
В общих формулах такой роскошный номер, как понимаете, не проходит. Да и здесь в нём нет особой надобности, так, приятная мелочь.
Для пространственного случая справедлива очевидная аналогия. Если даны концы отрезка , то координаты его середины выражаются формулами:
Пример 7
Параллелограмм задан координатами своих вершин . Найти точку пересечения его диагоналей.
Решение : Желающие могут выполнить чертёж. Граффити особенно рекомендую тем, кто капитально забыл школьный курс геометрии.
По известному свойству, диагонали параллелограмма своей точкой пересечения делятся пополам, поэтому задачу можно решить двумя способами.
Способ первый : Рассмотрим противоположные вершины . По формулам деления отрезка пополам найдём середину диагонали :
Как найти координаты середины отрезка
Для начала разберемся, что такое середина отрезка.
Серединой отрезка считают точку, которая принадлежит данному отрезку и отстоит на одинаковое расстояние от его концов.
Координаты такой точки несложно найти, если известны координаты концов этого отрезка. В таком случае координаты середины отрезка будут равны половине суммы соответствующих координат концов отрезка.
Координаты середины отрезка часто находят, решая задачи на медиану, среднюю линию и т.п.
Рассмотрим вычисление координат середины отрезка для двух случаев: когда отрезок задан на плоскости и задан в пространстве.
Пусть отрезок на плоскости задан двумя точками с координатами и . Тогда координаты середины отрезка РН рассчитываются по формуле:
Пусть отрезок задан в пространстве двумя точками с координатами и .
Тогда координаты середины отрезка РН рассчитываются по формуле:
Пример.
Найти координаты точки К — середины МО, если М (—1; 6) и О (8; 5).
Решение.
Поскольку точки имеют две координаты, значит, отрезок задан на плоскости. Используем соответствующие формулы:
Следовательно, середина МО будет иметь координаты К (3,5; 5,5).
Ответ. К (3,5; 5,5).
Не составляет никакого труда. Для их расчета существует простое выражение, которое легко запомнить. Например, если координаты концов какого-либо отрезка соответственно равняются (х1; у1) и (х2; у2) соответственно, то координаты его середины рассчитываются как среднее арифметическое этих координат, то есть:
Вот и вся сложность.
Рассмотрим расчет координат центра одного из отрезков на конкретном примере, как Вы и просили.
Задача.
Найти координаты некоей точки М, если она является серединой (центром) отрезка КР, концов которого имеют такие координаты: (—3; 7) и (13; 21) соответственно.
Решение.
Используем рассмотренную выше формулу:
Ответ . М (5; 14).
С помощью данной формулы можно также найти не только координаты середины какого-либо отрезка, но и его концов. Рассмотрим пример.
Задача.
Даны координаты двух точек (7; 19) и (8; 27). Найти координаты одного из концов отрезка, если предыдущие две точки являются его концом и серединой.
Решение.
Обозначим концы отрезка К и Р, а его середину S. Перепишем формулу с учетом новых названий:
Подставим известные координаты и вычислим отдельные координаты:
Нахождение вектора положения середины линии, образованной разностью двух векторов
спросил
Изменено 30 дней назад
Просмотрено 4к раз
$\begingroup$
Вопрос, в решении которого мне нужна помощь, относится к части iv)
Решение выглядит следующим образом:
Это векторное уравнение прямой.
Из того, что я понял, решение имеет следующую логическую предусмотрительность:
- Векторное уравнение линии позволяет нам найти вектор положения любой точки на заданной линии, который обычно определяется разницей между двумя точками. Например, в $r = a + t(b-a)$ из-за того, как работает сложение векторов, когда мы накладываем вектор $\vec a$ и $\vec {b-a}$ и создаем результирующий вектор, он все равно будет вектор положения на этой линии. Это означает, что скаляр t можно использовать для нахождения положения любой точки на этой линии.
- В случае (iv) нам нужно найти середину прямой $\overline {PQ}$. Мы можем найти любую точку на прямой $\overline {PQ}$, найдя $\vec P — \vec Q$ и применив $r_x = r_1 + t(\vec P — \vec Q)$, чтобы найти любую заданную точку на прямой. линия задана скаляром. Если мы установим константу $t$ в $\frac {1}{2}$, не должно ли это дать нам $X$ на графике?
Однако я не согласен с решением, в первую очередь с графикой. Мои сомнения по поводу этого решения:
- Оба вектора имеют одну и ту же координату $x$, но на графике они кажутся разделенными.
На самом деле, учитывая их координаты, их положение на этом графике не имеет для меня никакого смысла. - Я не понимаю, почему $r_1, r_2$ и $ a$ на графике уменьшены вдвое.
- Если я хочу найти точку на $\overline {PQ}$, которая находится в 3 единицах от X, какое значение $t$ я должен установить?
На самом деле, учитывая их координаты, их положение на этом графике не имеет для меня никакого смысла.Пожалуйста, дайте мне знать, если какое-либо из моих логических предположений было неверным, и почему, и если у вас есть какие-либо ответы на мои сомнения, изложенные выше, особенно на «3 единицы от X».
РЕДАКТИРОВАТЬ: Мне также кажется, что мне нужно использовать $r_x = r_1 + t(\vec Q — \vec P)$ вместо $r_x = r_1 + t(\vec P — \vec Q)$, чтобы получить правильный ответ ? Почему это? Почему $r = a + t(b-a)$ вместо $r = a + t(a-b)$?
- векторные пространства
- векторы
- векторный анализ
$\endgroup$
$\begingroup$
Линия, описываемая $(1-t)P+tQ$, где параметр $t$ взят из интервала $[0,1]$, дает при $t=\frac{1}{2}$ средняя точка у вас была в качестве ответа.
$\endgroup$
1
Зарегистрируйтесь или войдите в систему
Зарегистрируйтесь с помощью Google
Зарегистрироваться через Facebook
Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль
Опубликовать как гость
Электронная почта
Требуется, но никогда не отображается
Опубликовать как гость
Электронная почта
Требуется, но не отображается
Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie
.
Выразите середину вектора
спросил
Изменено 6 лет, 7 месяцев назад
Просмотрено 11 тысяч раз
$\begingroup$
Я борюсь с частью $b$ и $c$ вопроса. Я сделал свою работу до сих пор, однако я не уверен, куда идти оттуда.
Буду признателен за объяснение, так как я пытаюсь изучить процесс, а не только ответ.
Спасибо.
- векторов
$\endgroup$
1
$\begingroup$
(б) правильно!
Для (c):
$O+\mathbf{b}+(\frac{1}{2}\vec{BA})=O+\mathbf{b}+\frac{1}{2}(- \mathbf{b}+\mathbf{a})=O+\underbrace{\frac{1}{2}(\mathbf{b}+\mathbf{a})}_\text{это $\vec{OM }$}=M$.
Если это неясно, вы можете представить это как среднюю точку между $a$ и $b$, поэтому сложите их вместе и разделите на два, чтобы получить тот же результат.
Теперь, когда у нас есть выражение для $M$, мы почти закончили!
$\endgroup$
11
$\begingroup$
Ваш ответ на (b) правильный (но в первой строке есть опечатка — вы должны написать $BM = (1/2)BA$).
Подсказка для (c): начертите параллелограмм с вершинами $O$, $A$, $B$ и … . Затем найдите $OM$ и $ON$.
$\endgroup$
2
$\begingroup$
Подсказка:
Используйте закон параллелограмма для суммы двух векторов $\vec a,\vec b$ и теорему, утверждающую, что две диагонали параллелограмма пересекаются в средней точке (то есть $M$) .