Первообразная от натурального логарифма: Mathway | Популярные задачи

Содержание

как найти для сложной функции и в квадрате, таблица

Что такое интеграл от натурального логарифма

Натуральным логарифмом называют такой логарифм, основание которого представляет собой число е или число Эйлера с приближенным значением в 2,71.

Получение интеграла натурального логарифма возможно с применением формулы интегрирования по частям. По итогам вычислений получают уравнение:

\(\int \ln x dx = x\ln x — x + C\)

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Данная формула является результатом использования методики интегрирования по частям уравнения, записанного ниже, к заданному интегралу:

\(\ \int u d v=u v-\int v d u\)

Таким образом, выражение является равным:\(\ \int \ln x d x\left\|\begin{array}{ll}{u=\ln x} & {d v=d x} \\ {d u=\frac{d x}{x}} & {v=x}\end{array}\right\|=x \ln x-\int x \cdot \frac{d x}{x}=x \ln x-\int d x=x \ln x-x+C \).

В том случае, когда \(u=\phi _{1}(x)\) и \(v=\phi _{2}(x)\) являются дифференцируемыми функциями от х в скобках, можно использовать уравнение для дифференциала умножения пары функций:

\(d (uv) = udv + vdu\)

В результате получим формулу интегрирования по частям:

\(\int udv=uv-\int vdu\)

Данная закономерность имеет смысл при условии равенства подынтегральной функции произведению алгебраической и трансцендентной функции.

В роли u, как правило, используют функцию, упрощенную в результате дифференцирования. Обозначение dv соответствует оставшейся части подынтегрального выражения, которое содержит dx и позволяет найти v с помощью метода интегрирования.

Примечание

В особых случаях, чтобы свести рассматриваемый интеграл к табличной форме, целесообразно использовать выведенную формулу не один, а несколько раз. В редких ситуациях интеграл можно определить из алгебраического уравнения, которое является результатом интегрирования по частям.

2 x — 2x\ln x + 2x + C\)

Задача

Необходимо решить интеграл: \(\ \int \ln (x+1) d x\)

Решение:

В первую очередь требуется заменить переменные в рассматриваемом выражении:\(\ \int \ln (x+1) d x\left\|\begin{array}{c}{ | x+1=t \|} \\ {d x=d t}\end{array}\right\|=\int \ln t d t=t \ln t-t+C \).

Обратившись к начальной интегральной переменной х, можно записать следующее уравнение:

\(\ \int \ln (x+1) d x=(x+1) \ln (x+1)-x-1+C\)

\(Ответ: \ \int \ln (x+1) d x=(x+1) \ln (x+1)-x-1+C\)

Первообразная ln x — формула, доказательство, примеры, часто задаваемые вопросы

Первообразная ln x равна разности x ln x и x плюс постоянная интегрирования. Математически мы можем записать первообразную ln x как ∫ ln x dx = x ln x — x + C, где C — постоянная интегрирования. Поскольку интегрирование есть не что иное, как обратный процесс дифференцирования, поэтому интеграл от ln x совпадает с первообразной от ln x.

Далее в этой статье мы вычислим первообразную ln x методом интегрирования по частям и определим ее формулу. Мы также определим первообразную ln x в квадрате и ln x по x вместе с некоторыми решенными примерами для лучшего понимания концепции.

ln x

1.	Что такое первообразная ln x?
2.	Антипроизводная формулы
3.	Первообразная ln x с использованием интегрирования по частям
4.	Первообразная ln x Square
5.	Часто задаваемые вопросы по первообразной ln x

Что такое первообразная ln x?

Первообразная ln x является интегралом натурального логарифма и определяется как x ln x — x + C, где C — постоянная интегрирования. Чтобы найти первообразную ln x, нам нужно определить значение ∫ln x dx, где интегрирование производится по переменной x.

Интегрирование ln x математически записывается как ∫ln x dx = x ln x — x + C. Эту первообразную ln x можно вычислить с помощью одного из важных методов интегрирования, называемого методом интегрирования по частям. Теперь давайте пройдемся по его формуле, приведенной в следующем разделе.

Антипроизводная формулы ln x

Поскольку мы знаем, что первообразная ln x равна x ln x — x + C, следовательно, ее формула записывается как ∫ln x dx = x ln x — x + C, где dx показывает, что интегрирование производится по x, ∫ — символ интегрирования, а dx показывает, что первообразная ln x равна w.r.t. к х. На изображении ниже показана формула интеграла от ln x:

Первообразная ln x с использованием интегрирования по частям

Теперь, когда мы знаем первообразную ln x, докажем ее формулу методом интегрирования по частям. Для вычисления ∫ ln x dx воспользуемся формулой интегрирования по частям ∫u dv = uv − ∫vdu. Предположим, что u = ln(x) и dv = dx ⇒ v = x.

Мы будем использовать формулу для производной ln x, определяемую как d(ln x)/dx = 1/x. Следовательно, имеем

∫ln(x) dx = x ln(x) − ∫x.(ln(x))′ dx

⇒ ∫ln(x) dx = x ln(x) − ∫x × ( 1/x) dx [Поскольку d(ln x)/dx = 1/x]

⇒ ∫ln(x) dx = x ln(x) − ∫dx

⇒ ∫ln(x) dx = x ln(x) − x + C

Следовательно, у нас есть первообразная ln x, которая определяется выражением ∫ln(x) dx = x ln(x) − x + С

Первообразная от ln x Square Используя первообразную от ln x

В этом разделе мы найдем первообразную ln x в квадрате, то есть [ln x] ², используя первообразную ln x. Оценим первообразную [ln x] ² методом интегрирования по частям ∫u dv = uv − ∫vdu. Для этого предположим u = [ln x]

2 и dv = dx. Отсюда следует, что v = x и du = 2 (ln x)/x. Следовательно, имеем

∫ [ln x] ² dx = x [ln x] ² — ∫x [2 (ln x)/x] dx

= x [ln x] ² — 2 ∫ln x dx

= x [ln x] ² — 2(x ln x — x + C) [Поскольку первообразная ln x равна ∫ln(x) dx = x ln(x) — x + C ]

= x [ln x] ² — 2x ln x + 2x + 2C

= x [ln x] ² — 2x ln x + 2x + K, где K = 2C — постоянная интегрирования.

Следовательно, первообразная ln x в квадрате определяется выражением ∫ [ln x] ² dx = x [ln x] ² — 2x ln x + 2x + K.

Важные замечания по первообразной ln x

Первообразная ln x является интегралом натурального логарифма и определяется как x ln x — x + C.
Первообразную ln x можно вычислить методом интегрирования по частям.

∫ [ln x] ² dx = x [ln x] ² — 2х пер х + 2х + К

☛ Связанные темы:

Формулы журнала
Интегральное исчисление
Применение интегралов

Часто задаваемые вопросы по первообразной ln x

Что такое первообразная ln x в исчислении?

Производная от ln x является интегралом натурального логарифма и выражается как x ln x — x + C, где C — постоянная интегрирования. Математически мы можем записать первообразную ln x как ∫ ln x dx = x ln x — x + C, где C — постоянная интегрирования.

Как найти первообразную ln x?

Мы можем найти первообразную ln x, используя один из распространенных методов интегрирования. Его можно определить с помощью метода интегрирования по частям и используемой нами формулы ∫u dv = uv − ∫vdu, где мы можем считать u = ln x и dv = dx.

Что такое первообразная (ln x)

² ?

Первообразная ln x квадрат равна ∫ [ln x] ² dx = x [ln x] ² — 2x ln x + 2x + K, где K – постоянная интегрирования. Эту первообразную можно определить методом интегрирования по частям ∫u dv = uv − ∫vdu.

Является ли первообразная от ln x тем же, что и интеграл от ln x?

Поскольку интегрирование функции есть не что иное, как процесс обратного дифференцирования функции, поэтому можно сказать, что первообразная от ln x совпадает с интегралом от ln x.

Что такое Первообразная ln x по x?

Производная ln x по x определяется формулой ∫(1/x) ln x dx = (ln x) ² /2 + C, которую можно вычислить с помощью метода подстановки.

7.1: Логарифм, определенный как интеграл

Последнее обновление
Сохранить как PDF

Идентификатор страницы: 8169

Цели обучения

Запишите определение натурального логарифма как интеграла.
Распознать производную натурального логарифма.
Интегрируйте функции, содержащие натуральный логарифм.
Определить число \(e\) через интеграл.

Распознать производную и интеграл экспоненциальной функции.
Докажите свойства логарифмов и показательных функций, используя интегралы.
Выражайте общие логарифмические и экспоненциальные функции в терминах натуральных логарифмов и экспонент.

Мы уже рассматривали экспоненциальные функции и логарифмы в предыдущих главах. Тем не менее, мы упустили некоторые ключевые детали в предыдущих обсуждениях. Например, мы не изучали, как обращаться с экспоненциальными функциями с иррациональными показателями. Определение числа e — еще одна область, в которой предыдущее развитие было несколько неполным. Теперь у нас есть инструменты для работы с этими понятиями более математически строгим способом, и мы делаем это в этом разделе.

Для целей этого раздела предположим, что мы еще не определили натуральный логарифм, число \(e\) или какие-либо формулы интегрирования и дифференцирования, связанные с этими функциями. К концу раздела мы изучим эти понятия математически строгим образом (и мы увидим, что они согласуются с понятиями, которые мы изучили ранее). Мы начнем раздел с определения натурального логарифма через интеграл. Это определение составляет основу раздела. Из этого определения мы выводим формулы дифференцирования, определяем число \(e\) и расширяем эти понятия до логарифмов и показательных функций любого основания.

91_x\dfrac{1}{t}\,dt, \nonumber \]

, поэтому в данном случае это отрицательная площадь под кривой от \(x\) до \(1\) (см. следующий рисунок ).

Рисунок \(\PageIndex{1}\): (a) Когда \(x>1\), натуральный логарифм представляет собой площадь под кривой \(y=1/t\) от \(1\) до \ (Икс\). (b) Когда \(x<1\), натуральный логарифм равен отрицательному значению площади под кривой от \(x\) до \(1\).

Обратите внимание, что \(\ln 1=0\). Кроме того, функция \(y=\dfrac{1}{t}>0\) для \(x>0\). Поэтому по свойствам интегралов видно, что \(\ln x\) возрастает при \(x>0\).

Свойства натурального логарифма

Из-за того, как мы определили натуральный логарифм, следующая формула дифференцирования сразу выпадает из основной теоремы исчисления.

Определение: производная натурального логарифма

Для \(x>0\) производная натурального логарифма определяется выражением

\[ \dfrac{d}{dx}\Big( \ln x \Big) = \dfrac{1}{x}. \nonumber \]

Следствие из производной натурального логарифма 93)}{х}\)

Обратите внимание: если мы используем функцию абсолютного значения и создаем новую функцию \(\ln |x|\), мы можем расширить область значений натурального логарифма, включив в нее \(x<0\). Тогда \(\dfrac{d}{dx}\Big(\ln x \Big)=\dfrac{1}{x}\). Это приводит к известной формуле интегрирования.

Интеграл от \(\frac{1}{u} \, du\)

Натуральный логарифм является первообразной функции \(f(u)=\dfrac{1}{u}\):

\[∫\dfrac{1}{u}\,du=\ln |u|+C. \номер\] 9r)=r\ln x\) и доказательство завершено. Обратите внимание, что мы можем распространить это свойство на иррациональные значения \(r\) позже в этом разделе.

Часть III. следует из части II. и IV. и доказательство остается за вами.

□

Пример \(\PageIndex{3}\): Использование свойств логарифмов

Используйте свойства логарифмов, чтобы упростить следующее выражение до единого логарифма:

\( \ln 9−2 \ln 3+\ ln \left(\tfrac{1}{3}\right).\)

Решение 9{−1})=2\ln 3−2\ln 3−\ln 3=−\ln 3.\)

Упражнение \(\PageIndex{3}\)

Используйте свойства логарифмов, чтобы упростить следующее выражение в одинарный логарифм:

\( \ln 8−\ln 2−\ln \left(\tfrac{1}{4}\right)\)

Подсказка

Применение свойств логарифмов.

Ответить: \(4\ln 2\)

Определение номера e

Теперь, когда мы определили натуральный логарифм, мы можем использовать эту функцию для определения числа \(e\).

Определение: \(e\)

Число \(e\) определяется как действительное число, такое что

\[\ln e=1\nonnumber \]

Другими словами, площадь под кривой \(y=1/t\) между \(t=1\) и \(t=e\) находится \(1\) (рисунок). Доказательство того, что такое число существует и уникально, остается за вами. (Подсказка: используйте теорему о промежуточном значении, чтобы доказать существование, и тот факт, что \(\ln x\) возрастает, чтобы доказать единственность.) 9Икс\). Обратите внимание, что натуральный логарифм один к одному и, следовательно, имеет обратную функцию. Пока мы обозначаем эту обратную функцию через \(\exp x\). Тогда

\[ \exp(\ln x)=x \nonumber \]

для \(x>0\) и

\[ \ln (\exp x)=x \nonumber \]

для все \(х\).