как найти для сложной функции и в квадрате, таблица
Что такое интеграл от натурального логарифма
Натуральным логарифмом называют такой логарифм, основание которого представляет собой число е или число Эйлера с приближенным значением в 2,71.
Получение интеграла натурального логарифма возможно с применением формулы интегрирования по частям. По итогам вычислений получают уравнение:
\(\int \ln x dx = x\ln x — x + C\)
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
Данная формула является результатом использования методики интегрирования по частям уравнения, записанного ниже, к заданному интегралу:
\(\ \int u d v=u v-\int v d u\)
Таким образом, выражение является равным:\(\ \int \ln x d x\left\|\begin{array}{ll}{u=\ln x} & {d v=d x} \\ {d u=\frac{d x}{x}} & {v=x}\end{array}\right\|=x \ln x-\int x \cdot \frac{d x}{x}=x \ln x-\int d x=x \ln x-x+C \).
В том случае, когда \(u=\phi _{1}(x)\) и \(v=\phi _{2}(x)\) являются дифференцируемыми функциями от х в скобках, можно использовать уравнение для дифференциала умножения пары функций:
\(d (uv) = udv + vdu\)
В результате получим формулу интегрирования по частям:
\(\int udv=uv-\int vdu\)
Данная закономерность имеет смысл при условии равенства подынтегральной функции произведению алгебраической и трансцендентной функции.
В роли u, как правило, используют функцию, упрощенную в результате дифференцирования. Обозначение dv соответствует оставшейся части подынтегрального выражения, которое содержит dx и позволяет найти v с помощью метода интегрирования.
Примечание
В особых случаях, чтобы свести рассматриваемый интеграл к табличной форме, целесообразно использовать выведенную формулу не один, а несколько раз. В редких ситуациях интеграл можно определить из алгебраического уравнения, которое является результатом интегрирования по частям.
2 x — 2x\ln x + 2x + C\)Задача
Необходимо решить интеграл: \(\ \int \ln (x+1) d x\)
Решение:
В первую очередь требуется заменить переменные в рассматриваемом выражении:\(\ \int \ln (x+1) d x\left\|\begin{array}{c}{ | x+1=t \|} \\ {d x=d t}\end{array}\right\|=\int \ln t d t=t \ln t-t+C \).
Обратившись к начальной интегральной переменной х, можно записать следующее уравнение:
\(\ \int \ln (x+1) d x=(x+1) \ln (x+1)-x-1+C\)
\(Ответ: \ \int \ln (x+1) d x=(x+1) \ln (x+1)-x-1+C\)
Первообразная ln x — формула, доказательство, примеры, часто задаваемые вопросы
Первообразная ln x равна разности x ln x и x плюс постоянная интегрирования. Математически мы можем записать первообразную ln x как ∫ ln x dx = x ln x — x + C, где C — постоянная интегрирования. Поскольку интегрирование есть не что иное, как обратный процесс дифференцирования, поэтому интеграл от ln x совпадает с первообразной от ln x.
Далее в этой статье мы вычислим первообразную ln x методом интегрирования по частям и определим ее формулу. Мы также определим первообразную ln x в квадрате и ln x по x вместе с некоторыми решенными примерами для лучшего понимания концепции.
1. | Что такое первообразная ln x? |
2. | Антипроизводная формулы | ln x
3. | Первообразная ln x с использованием интегрирования по частям |
4. | Первообразная ln x Square |
5. | Часто задаваемые вопросы по первообразной ln x |
Что такое первообразная ln x?
Первообразная ln x является интегралом натурального логарифма и определяется как x ln x — x + C, где C — постоянная интегрирования. Чтобы найти первообразную ln x, нам нужно определить значение ∫ln x dx, где интегрирование производится по переменной x.
Интегрирование ln x математически записывается как ∫ln x dx = x ln x — x + C. Эту первообразную ln x можно вычислить с помощью одного из важных методов интегрирования, называемого методом интегрирования по частям. Теперь давайте пройдемся по его формуле, приведенной в следующем разделе.Антипроизводная формулы ln x
Поскольку мы знаем, что первообразная ln x равна x ln x — x + C, следовательно, ее формула записывается как ∫ln x dx = x ln x — x + C, где dx показывает, что интегрирование производится по x, ∫ — символ интегрирования, а dx показывает, что первообразная ln x равна w.r.t. к х. На изображении ниже показана формула интеграла от ln x:
Первообразная ln x с использованием интегрирования по частям
Теперь, когда мы знаем первообразную ln x, докажем ее формулу методом интегрирования по частям. Для вычисления ∫ ln x dx воспользуемся формулой интегрирования по частям ∫u dv = uv − ∫vdu. Предположим, что u = ln(x) и dv = dx ⇒ v = x.
∫ln(x) dx = x ln(x) − ∫x.(ln(x))′ dx
⇒ ∫ln(x) dx = x ln(x) − ∫x × ( 1/x) dx [Поскольку d(ln x)/dx = 1/x]
⇒ ∫ln(x) dx = x ln(x) − ∫dx
⇒ ∫ln(x) dx = x ln(x) − x + C
Следовательно, у нас есть первообразная ln x, которая определяется выражением ∫ln(x) dx = x ln(x) − x + С
Первообразная от ln x Square Используя первообразную от ln x
В этом разделе мы найдем первообразную ln x в квадрате, то есть [ln x] 2 , используя первообразную ln x. Оценим первообразную [ln x] 2 методом интегрирования по частям ∫u dv = uv − ∫vdu. Для этого предположим u = [ln x] 2 и dv = dx. Отсюда следует, что v = x и du = 2 (ln x)/x. Следовательно, имеем
∫ [ln x] 2 dx = x [ln x] 2 — ∫x [2 (ln x)/x] dx
= x [ln x] 2 — 2 ∫ln x dx
= x [ln x] 2 — 2(x ln x — x + C) [Поскольку первообразная ln x равна ∫ln(x) dx = x ln(x) — x + C ]
= x [ln x] 2 — 2x ln x + 2x + 2C
= x [ln x] 2 — 2x ln x + 2x + K, где K = 2C — постоянная интегрирования.
Следовательно, первообразная ln x в квадрате определяется выражением ∫ [ln x] 2 dx = x [ln x] 2 — 2x ln x + 2x + K.
Важные замечания по первообразной ln x
- Первообразная ln x является интегралом натурального логарифма и определяется как x ln x — x + C.
- Первообразную ln x можно вычислить методом интегрирования по частям.
- ∫ [ln x] 2 dx = x [ln x] 2 — 2х пер х + 2х + К
☛ Связанные темы:
- Формулы журнала
- Интегральное исчисление
- Применение интегралов
Часто задаваемые вопросы по первообразной ln x
Что такое первообразная ln x в исчислении?
Производная от ln x является интегралом натурального логарифма и выражается как x ln x — x + C, где C — постоянная интегрирования. Математически мы можем записать первообразную ln x как ∫ ln x dx = x ln x — x + C, где C — постоянная интегрирования.
Как найти первообразную ln x?
Мы можем найти первообразную ln x, используя один из распространенных методов интегрирования. Его можно определить с помощью метода интегрирования по частям и используемой нами формулы ∫u dv = uv − ∫vdu, где мы можем считать u = ln x и dv = dx.
Что такое первообразная (ln x)
2 ?Первообразная ln x квадрат равна ∫ [ln x] 2 dx = x [ln x] 2 — 2x ln x + 2x + K, где K – постоянная интегрирования. Эту первообразную можно определить методом интегрирования по частям ∫u dv = uv − ∫vdu.
Является ли первообразная от ln x тем же, что и интеграл от ln x?
Поскольку интегрирование функции есть не что иное, как процесс обратного дифференцирования функции, поэтому можно сказать, что первообразная от ln x совпадает с интегралом от ln x.
Что такое Первообразная ln x по x?
Производная ln x по x определяется формулой ∫(1/x) ln x dx = (ln x) 2 /2 + C, которую можно вычислить с помощью метода подстановки.
7.1: Логарифм, определенный как интеграл
- Последнее обновление
- Сохранить как PDF
- Идентификатор страницы
- 8169
Цели обучения
- Запишите определение натурального логарифма как интеграла.
- Распознать производную натурального логарифма.
- Интегрируйте функции, содержащие натуральный логарифм.
- Определить число \(e\) через интеграл.
- Распознать производную и интеграл экспоненциальной функции.
- Докажите свойства логарифмов и показательных функций, используя интегралы.
- Выражайте общие логарифмические и экспоненциальные функции в терминах натуральных логарифмов и экспонент.
Мы уже рассматривали экспоненциальные функции и логарифмы в предыдущих главах. Тем не менее, мы упустили некоторые ключевые детали в предыдущих обсуждениях. Например, мы не изучали, как обращаться с экспоненциальными функциями с иррациональными показателями. Определение числа e — еще одна область, в которой предыдущее развитие было несколько неполным. Теперь у нас есть инструменты для работы с этими понятиями более математически строгим способом, и мы делаем это в этом разделе.
Для целей этого раздела предположим, что мы еще не определили натуральный логарифм, число \(e\) или какие-либо формулы интегрирования и дифференцирования, связанные с этими функциями. К концу раздела мы изучим эти понятия математически строгим образом (и мы увидим, что они согласуются с понятиями, которые мы изучили ранее). Мы начнем раздел с определения натурального логарифма через интеграл. Это определение составляет основу раздела. Из этого определения мы выводим формулы дифференцирования, определяем число \(e\) и расширяем эти понятия до логарифмов и показательных функций любого основания.
, поэтому в данном случае это отрицательная площадь под кривой от \(x\) до \(1\) (см. следующий рисунок ).
Рисунок \(\PageIndex{1}\): (a) Когда \(x>1\), натуральный логарифм представляет собой площадь под кривой \(y=1/t\) от \(1\) до \ (Икс\). (b) Когда \(x<1\), натуральный логарифм равен отрицательному значению площади под кривой от \(x\) до \(1\). Обратите внимание, что \(\ln 1=0\). Кроме того, функция \(y=\dfrac{1}{t}>0\) для \(x>0\). Поэтому по свойствам интегралов видно, что \(\ln x\) возрастает при \(x>0\).Свойства натурального логарифма
Из-за того, как мы определили натуральный логарифм, следующая формула дифференцирования сразу выпадает из основной теоремы исчисления.
Определение: производная натурального логарифма
Для \(x>0\) производная натурального логарифма определяется выражением
\[ \dfrac{d}{dx}\Big( \ln x \Big) = \dfrac{1}{x}. \nonumber \]
Следствие из производной натурального логарифма 93)}{х}\)
Обратите внимание: если мы используем функцию абсолютного значения и создаем новую функцию \(\ln |x|\), мы можем расширить область значений натурального логарифма, включив в нее \(x<0\). Тогда \(\dfrac{d}{dx}\Big(\ln x \Big)=\dfrac{1}{x}\). Это приводит к известной формуле интегрирования.
Интеграл от \(\frac{1}{u} \, du\)
Натуральный логарифм является первообразной функции \(f(u)=\dfrac{1}{u}\):
\[∫\dfrac{1}{u}\,du=\ln |u|+C. \номер\] 9r)=r\ln x\) и доказательство завершено. Обратите внимание, что мы можем распространить это свойство на иррациональные значения \(r\) позже в этом разделе.
Часть III. следует из части II. и IV. и доказательство остается за вами.
□
Пример \(\PageIndex{3}\): Использование свойств логарифмов
Используйте свойства логарифмов, чтобы упростить следующее выражение до единого логарифма:
\( \ln 9−2 \ln 3+\ ln \left(\tfrac{1}{3}\right).\)
Решение 9{−1})=2\ln 3−2\ln 3−\ln 3=−\ln 3.\)
Упражнение \(\PageIndex{3}\)
Используйте свойства логарифмов, чтобы упростить следующее выражение в одинарный логарифм:
\( \ln 8−\ln 2−\ln \left(\tfrac{1}{4}\right)\)
- Подсказка
Применение свойств логарифмов.
- Ответить
\(4\ln 2\)
Определение номера e
Теперь, когда мы определили натуральный логарифм, мы можем использовать эту функцию для определения числа \(e\).
Определение: \(e\)
Число \(e\) определяется как действительное число, такое что
\[\ln e=1\nonnumber \]
Другими словами, площадь под кривой \(y=1/t\) между \(t=1\) и \(t=e\) находится \(1\) (рисунок). Доказательство того, что такое число существует и уникально, остается за вами. (Подсказка: используйте теорему о промежуточном значении, чтобы доказать существование, и тот факт, что \(\ln x\) возрастает, чтобы доказать единственность.) 9Икс\). Обратите внимание, что натуральный логарифм один к одному и, следовательно, имеет обратную функцию. Пока мы обозначаем эту обратную функцию через \(\exp x\). Тогда
\[ \exp(\ln x)=x \nonumber \]
для \(x>0\) и
\[ \ln (\exp x)=x \nonumber \]
для все \(х\).