Pi d 2 4: Формулы, как найти площадь круга

1) Используя площадь параллелограмма

Пусть данный круг разделен на 16 равных секторов и затем расположен примерно в виде параллелограмма. Суммарная площадь круга будет равна сумме площадей параллелограмма. Поскольку каждый сектор имеет одинаковую площадь, каждый сектор будет иметь одинаковую длину дуги. В совокупности половина круга изображается одним цветом, а другая половина — другим цветом. Чем больше количество секторов, тем больше фигура похожа на параллелограмм с длиной, равной πr, и шириной, равной r.

Таким образом,

Площадь параллелограмма = Площадь круга

Площадь круга = πr × r = πr ^{2 6 2) Используя площадь 9 треугольника}

2) вывести формулу площади круга, разделив круг радиусом «r» на несколько концентрических окружностей, а затем разложив линии, образуя треугольник. Основание треугольника будет равно длине окружности, а высота равна радиусу окружности.

• геометрия
• объем
• объемная геометрия
• сферы

$\endgroup$

6

$\begingroup$

Помимо уже упомянутых методов исчисления, Паппа и Архимеда, для подобных задач может быть полезен принцип Кавальери.

Предположим, у вас есть две сплошные фигуры, выстроенные рядом друг с другом, каждая из которых помещается между одними и теми же двумя параллельными плоскостями. (Например, две стопки монет одной высоты, лежащие на столе). Затем рассмотрите возможность разрезания двух твердых тел плоскостью, параллельной данным двум и находящейся между ними. Если образованная таким образом площадь поперечного сечения каждого из тел одинакова для любой такой плоскости, то объемы тел одинаковы.

$\endgroup$

4

$\begingroup$

Добавлю китайскую версию для интереса.

У древних китайцев был другой способ расчета этого объема.

Принцип тот же, что и принцип Кавальери; разница заключается в использовании пересечения двух перпендикулярных цилиндров, «бицилиндра», для упаковки сферы. Китайское название этой формы — 牟合方蓋 или «моухефангай» (что означает два квадратных зонтика). 92}=\dfrac{\pi}{4}$.

Теперь встает вопрос расчета объема бицилиндра (белого цвета). Это тоже очень сложно, поэтому добавьте куб (красный), упаковывающий бицилиндр (белый). Теперь, когда плоскость пересекает куб, он образует еще один квадрат большего размера. Дополнительная площадь в большом квадрате (большой квадрат из куба минус меньший квадрат из бицилиндра) такая же, как $4$ маленьких квадратов (синие). При движении плоскости, пересекающей твердые тела, эти синие квадраты образуют в углах куба $4$ маленьких пирамиды со сторонами равнобедренного треугольника и вершиной на краю куба. При перемещении по всему бицилиндру получается всего $8$ пирамид. 93$.

Теперь вы можете видеть, что $3$ — это пирамиды, а $4$ — кубы! Они не случайны.

На этом рисунке показаны геометрические соотношения.

$\endgroup$

$\begingroup$

Теорема Паппа о центроиде (вторая теорема) утверждает, что объем твердого тела, образованного вращением области вокруг оси, равен произведению площади области на расстояние, пройденное центром тяжести области при ее вращении. 3$. 91}{3!!} = \frac{4 \pi}{3}$.

Смысл этого в том, чтобы показать вам, что общая формула также включает множители в знаменателе и что формула для $n=3$ не является «случайной», а скорее соответствует общей схеме.

$\endgroup$

1

$\begingroup$

На приведенной ниже диаграмме слева будем считать, что размер $\треугольника PQR$ бесконечно мал по сравнению с $\треугольником PNO$, и, таким образом, зеленая дуга и отрезок $\overline{PR}$ равны практически равны по длине. Обратите внимание, что $\angle NPO$ и $\angle QPR$ дополняют $\angle OPQ$ и, следовательно, равны. Таким образом, прямоугольные треугольники $\triangle PNO$ и $\triangle PQR$ подобны (соответствующие стороны окрашены одинаково). Поскольку $\треугольник PNO$ и $\треугольник PQR$ подобны, $$ \overline{NP}\cdot\overline{PR}=\overline{OP}\cdot\overline{PQ}\tag{1} $$ Внутренняя окружность зеленого кольца на сфере справа равна $2\pi\overline{NP}$, а внешняя окружность равна $2\pi\left(\overline{NP}+\overline{QR}\right)$, а его ширина $\overline{PR}$.

Окружность красной полосы на цилиндре справа равна $2\pi\overline{OP}$, а ширина — $\overline{PQ}$. Следовательно, его площадь равна $2\pi\overline{OP}\cdot\overline{PQ}$.

Согласно $(1)$, разница между площадью зеленого кольца на сфере и красной полосой на цилиндре меньше $2\pi\overline{QR}\cdot\overline{PR}$. Суммирование $\overline{QR}$ при движении вниз по сфере дает $2\overline{OP}$ (один при увеличении $\overline{NP}$ и один при уменьшении), таким образом, разница между площадью сферы и площадь цилиндра меньше, чем $4\pi\overline{OP}\cdot\max\overline{PR}$, которую можно сделать равной нулю, сделав $\overline{PR}$ сколь угодно малой. 93\тег{2} $$

$\endgroup$

0

$\begingroup$

Это впервые «угадал» Архимед, на какую долю объема цилиндра приходится сфера.

В наши дни это можно сделать с помощью математических инструментов. Один из способов — использовать [Метод диска] над графом полукруга. Другой вариант — использовать сферические координаты и вычислить 3D-интеграл. 93$. Но это может быть то, что вы сказали, но просто уточняю.

$\endgroup$

$\begingroup$

Я хотел опубликовать это как комментарий к ответу Джастина Л., но это моя первая публикация здесь, поэтому я не смог. Архимед так гордился своим доказательством того, что объем сферы составляет две трети объема цилиндра той же высоты и диаметра, что попросил поставить на его могиле скульптуру, иллюстрирующую это. Позже гробница была найдена римским оратором Цицероном, который описывает ее следующим образом:

«Мне удалось разыскать его могилу. Сиракузяне ничего о ней не знали, да и отрицали, что что-то подобное существовало.

Американский художник Бенджамин Уэст представил себе эту сцену на своей картине 1797 года «Цицерон, обнаруживающий гробницу Архимеда».

$\endgroup$

0

$\begingroup$

Чтобы расширить то, что сказал anosov_diffeomorphism:

Предположим, мы согласны с тем, что площадь поверхности сферы равна 4 π r ² (Если мы не согласны с этим, это был бы отличный вопрос, чтобы задать на этом сайте , а затем кто-то может отредактировать этот ответ, чтобы сослаться на него!). {r_2}$ 4 π r 93$.

(Хотя должен признать, что мне это больше нравилось как способ вывести формулу площади поверхности из объема.)

$\endgroup$

5

$\begingroup$

Архимед обнаружил, что объем мяча составляет 2/3 объема окружающего его цилиндра: внутри помещается шляпная коробка с баскетбольным мячом. Почему именно

Каков объем цилиндра ?

V _C  = площадь основного диска × высота

1. Площадь основного диска π  r ² . Архимед также нашел этот результат и доказал его. Примем это пока.
2. Высота цилиндра равна общей высоте шара, поэтому 2  r .

So V _C  = π r ²  × 2  92 .t$ действителен при использовании школьной математики и без исчисления.

Смоделируем сферу (радиус $R$) как набор концентрических, соприкасающихся оболочек общей толщины $t$. Самая внешняя оболочка определяется внешней сферой (нулевой толщины) радиуса $R$ и внутренней сферой (нулевой толщины) радиуса $R-t$. Самая внутренняя оболочка определяется внешней (нулевой толщины) сферой радиуса $t$, а ее внутренней границей является центр сферы; поэтому самая внутренняя оболочка представляет собой небольшую сферу. 93$.