Первый и второй замечательный пределы: Первый и второй замечательные пределы

{3x}=1$.

Вернуться к списку тем

Задать вопрос на форуме

Записаться на занятия

Онлайн-занятия по высшей математике

примеры нахождения, задачи и подробные решения

Формула второго замечательного предела имеет вид limx→∞1+1xx=e. Другая форма записи выглядит так:  limx→0(1+x)1x=e.

Когда мы говорим о втором замечательном пределе, то нам приходится иметь дело с неопределенностью вида 1∞, т.е. единицей в бесконечной степени.

Рассмотрим задачи, в которых нам пригодится умение вычислять второй замечательный предел.

Пример 1

Найдите предел limx→∞1-2×2+1×2+14.

Решение

Подставим нужную формулу и выполним вычисления.

limx→∞1-2×2+1×2+14=1-2∞2+1∞2+14=1-0∞=1∞

У нас в ответе получилась единица в степени бесконечность. Чтобы определиться с методом решения, используем таблицу неопределенностей. Выберем второй замечательный предел и произведем замену переменных.

t=-x2+12⇔x2+14=-t2

Если x→∞, тогда t→-∞.

Посмотрим, что у нас получилось после замены:

limx→∞1-2×2+1×2+14=1∞=limx→∞1+1t-12t=limt→∞1+1tt-12=e-12

Ответ: limx→∞1-2×2+1×2+14=e-12.

Пример 2

Вычислите предел limx→∞x-1x+1x.

Решение 

Подставим бесконечность и получим следующее.

limx→∞x-1x+1x=limx→∞1-1×1+1xx=1-01+0∞=1∞

В ответе у нас опять получилось то же самое, что и в предыдущей задаче, следовательно, мы можем опять воспользоваться вторым замечательным пределом. Далее нам нужно выделить в основании степенной функции целую часть:

x-1x+1=x+1-2x+1=x+1x+1-2x+1=1-2x+1

После этого предел приобретает следующий вид:

limx→∞x-1x+1x=1∞=limx→∞1-2x+1x

Заменяем переменные. Допустим, что t=-x+12⇒2t=-x-1⇒x=-2t-1; если x→∞, то t→∞.

После этого записываем, что у нас получилось в исходном пределе:

limx→∞x-1x+1x=1∞=limx→∞1-2x+1x=limx→∞1+1t-2t-1==limx→∞1+1t-2t·1+1t-1=limx→∞1+1t-2t·limx→∞1+1t-1==limx→∞1+1tt-2·1+1∞=e-2·(1+0)-1=e-2

Чтобы выполнить данное преобразование, мы использовали основные свойства пределов и степеней.

Ответ: limx→∞x-1x+1x=e-2.

Пример 3

Вычислите предел limx→∞x3+1×3+2×2-13x42x3-5.

Решение

limx→∞x3+1×3+2×2-13x42x3-5=limx→∞1+1×31+2x-1x332x-5×4==1+01+0-030-0=1∞

После этого нам нужно выполнить преобразование функции для применения второго замечательного предела. У нас получилось следующее:

limx→∞x3+1×3+2×2-13x42x3-5=1∞=limx→∞x3-2×2-1-2×2+2×3+2×2-13x42x3-5==limx→∞1+-2×2+2×3+2×2-13x42x3-5

Далее нам нужно домножить показатель на x3+2×2-1-2×2+2, после чего разделить на то же выражение, используя свойства степеней.

limx→∞1+-2×2+2×3+2×2-13x42x3-5=limx→∞1+-2×2+2×3+2×2-1×3+2×2-1-2×2+2-2×2+2×3+2×2-13x42x3-5==limx→∞1+-2×2+2×3+2×2-1×3+2×2-1-2×2+2-2×2+2×3+2×2-13x42x3-5

Поскольку сейчас у нас есть одинаковые показатели степени в числителе и знаменателе дроби (равные шести), то предел дроби на бесконечности будет равен отношению данных коэффициентов при старших степенях.

limx→∞1+-2×2+2×3+2×2-1×3+2×2-1-2×2+2-2×2+2×3+2×2-13x42x3-5==limx→∞1+-2×2+2×3+2×2-1×3+2×2-1-2×2+2-62=limx→∞1+-2×2+2×3+2×2-1×3+2×2-1-2×2+2-3

При замене t=x2+2×2-1-2×2+2 у нас получится второй замечательный предел. Значит, что:

limx→∞1+-2×2+2×3+2×2-1×3+2×2-1-2×2+2-3=limx→∞1+1tt-3=e-3

Ответ:limx→∞x3+1×3+2×2-13x42x3-5=e-3.

Неопределенность 1∞, т.е. единица в бесконечной степени, является степенной неопределенностью, следовательно, ее можно раскрыть, используя правила нахождения пределов показательно степенных функций.

Советуем также изучить материалы, посвященные пределам, основным определениям и задачам на их нахождение.

Автор: Ирина Мальцевская

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Чудесные пределы в математике: Часть 2 | by Nadzeya Hut

В предыдущей части мы говорили о некоторых пределах в теории пределов, которые считаются замечательными. Если вы еще не читали, позвольте мне дать вам краткий обзор. Термин «Чудесные пределы» широко известен в постсоветских странах, и таких пределов два. Второй:

Этот лимит представляет собой введение номера e . Вы знаете, показатель степени — это «волшебное» число в математике, поэтому этот предел еще называют чудесным.

На самом деле, мы не можем просто доказать, что предел равен показателю степени, потому что показатель степени является значением этого предела по определению. Итак, здесь нам нужно доказать , что последовательность (1 + 1/ x ) ˣ имеет предел, когда x приближается к бесконечности . Это доказательство сложнее, чем предыдущее, поэтому, если вы не хотите читать его полностью, можете пропустить эту часть.

Чтобы доказать утверждение, я буду использовать «Теорему о сходимости монотонной ограниченной последовательности действительных чисел» для возрастающей последовательности. В нем указано, что:

Если последовательность действительных чисел является возрастающей и ограниченной сверху, то ее верхняя грань является пределом.

Сначала докажем, что последовательность (1 + 1/ n ) ⁿ ограничивается , когда n стремится к бесконечности, а n является натуральным числом . Это поможет нам получить полное доказательство

По биномиальной теореме мы имеем:

Как вы, возможно, уже знаете, когда n растет, 1/ n уменьшается. Следовательно, если взять противоположные значения, то последовательность (1–1/ n ), (1–2/ n ) … становится все больше. Вот почему (1 + 1/ n ) ⁿ — возрастающая последовательность, и, следовательно, — монотонная. Итак, мы только что доказали, что последовательность удовлетворяет первой части теоремы.

Теперь нам нужно показать, что эта последовательность ограничена:

Используя формулу суммы геометрической прогрессии, мы получаем следующее неравенство для второго компонента правой части приведенного выше неравенства:

Итак, просуммировав части выражения, получим верхнюю границу последовательности:

И вот мы здесь! Последовательность расположена между 2 и 3 на реальной линии. Итак, он ограничен и монотонен ⇒ у него есть предел (назовем его e )

Это довольно сложно. Нам нужно рассмотреть две ситуации: когда x приближается к +∞ и –∞.

Вы знаете, что любое положительное вещественное число расположено между двумя целыми положительными числами (или 0). Например, 37,55435 расположено между 37 и 38. В этом примере 37 — это целая часть нашего числа. Обычно мы пишем это как [ х ]. Итак, x всегда удовлетворяет следующему неравенству: [ x ] ≤ x ≤ [ x ] + 1. Поэтому мы можем утверждать, что:

Таким образом, мы получаем, что:

Мы знаем предел из (1 + 1/ n ) ⁿ , давайте использовать его!

По теореме сжатия мы получаем доказательство нашего утверждения, когда x приближается к + бесконечности.

Здесь заменим — x на на . Итак, получаем:

Наконец-то мы здесь! Это очень длинное доказательство, и не доверяйте веб-сайтам, которые пытаются доказать это вкратце, используя натуральные логарифмы и сам показатель степени. Этот предел является введением в экспоненту, и нам нужно действовать так, как будто мы ничего не знаем об этом «загадочном» числе.

Есть много причин, по которым математики так любят показатель степени, но это тема для другой статьи. Но этот предел прекрасен тем, что знакомит нас с этим числом.

Надеюсь, вам понравилось читать это доказательство (и первую часть тоже)! До встречи в следующих математических статьях!

§ 3.6. Первый замечательный предел и его обобщение

следующий предел существует и равен 1:

.

Доказательство. Взять окружность с центром в начале произвольного радиуса R . Ясно,

у М В А х	. Позволять найдем площади: , ,

. Подставляя их в неравенства и уменьшая на , получаем

.

Позволять разделим эти неравенства на грех х> 0 :

.

Замена отношения в неравенствах на обратные и обращение знаки, получаем

, или ,

откуда

.

К Теорема IV, (3), искомый предел существует:

.

Пример:

(1) ,

2) .

3.6.1 первый обобщенный замечательный предел. первый замечательный предел можно обобщить, а именно записать в более общая форма

(4)

В эта формула,  ( х ) является бесконечно малым; очень важно, что

аргумент синуса и знаменатель должно быть абсолютно идентичный.

Примеры.

(1) ,

(2) .

§ 3.7. Второй замечательный предел

Учитывать лимит

. (5)

Теорема. лимит (5) существует и равен числу е между 2 и 3.

Схема доказательства. Рассмотрите значение для конкретного n . Разлагая его по биномиальной теореме, мы видим, что это значение увеличивается с n .

После анализ каждого члена в разложении и использование геометрического мы показываем, что эта величина никогда не превышает 3 , т. е. б) последовательность ограничена. Теорема V об ограниченном возрастании функций следует существование предела (5). Посмотреть популярные учебники Больше подробностей.

Учитывать предел функции

, (*)

где х это реальное число.

Находить большое число n для что n мы преобразовать выражение и добавить 1:

, .

Мы возведите больший член в большую степень, средний член в среднюю мощности, а меньший член на меньшую мощность:

.

Позволять найдем пределы каждого слагаемого в неравенствах на с помощью (5):

,

.

Таким образом, неравенства принимают вид , что не может быть правдой. Отсюда следует, что неравенства и ( * ).

Сейчас, докажем, что

. (**)

Мы используйте замену

, , ,

Это предел выхода (*), который был найден выше.

также имеет место следующее соотношение:

,

этот доказывается с помощью замены х=–(t+ 1 ).

номер е удовлетворяет неравенства 2 это сокращение от экспонент, т. е., «внешний»; иногда его обозначают е=exp и приблизительно равно и  2,71828 .

у=е ^х есть показательная функция .

формула

,

для изменение основания логарифма приводит к формуле для натуральный логарифм:

.

Примеры. Найдите следующие пределы, используя второй замечательный предел:

(1) ,

(2)

(мы выделить 1 круглую скобку)

.

§ 3.8. Второй обобщенный замечательный предел

второй замечательный предел (*) и его модификацию (**) можно обобщенные, т.

No related posts.