Первый замечательный: Первый замечательный предел, следствия, примеры

Содержание

примеры нахождения, задачи и подробные решения

Первый замечательный предел выглядит следующим образом: limx→0sin xx=1.

В практических примерах часто встречаются модификации первого замечательного предела: limx→0sink·xk·x=1, где k – некоторый коэффициент.

Поясним: limx→0sin(k·x)k·x=пусть t=k·xиз x→0 следует t→0 =limt→0sin(t)t=1.

Следствия первого замечательного предела:

limx→0xsin x=limx→0=1sin xx=11=1

limx→0k·xsin k·x=limx→01sin (k·x)k·x=11=1

Указанные следствия достаточно легко доказать, применив правило Лопиталя или замену бесконечно малых функций.

Рассмотрим некоторые задачи на нахождение предела по первому замечательному пределу; дадим подробное описание решения.

Пример 1

Необходимо определить предел, не используя правило Лопиталя: limx→0sin(3x)2x.

Решение

Подставим значение:

limx→0sin(3x)2x=00

Мы видим, что возникла неопределенность нуль делить на нуль. Обратимся к таблице неопределенностей, чтобы задать метод решения. Сочетание синуса и его аргумента дает нам подсказку об использовании первого замечательного предела, однако для начала преобразуем выражение. Произведем умножение числителя и знаменателя дроби на 3x и получим:

limx→0sin(3x)2x=00=limx→03x·sin(3x)3x·(2x)=limx→0sin (3x)3x·3x2x==limx→032·sin (3x)3x

Опираясь на следствие из первого замечательного предела, имеем: limx→0sin (3x)3x=1.

Тогда приходим к результату:

limx→032·sin (3x)3x=32·1=32

Ответ: limx→0sin (3x)3x=32.

Пример 2

Необходимо найти предел limx→01-cos(2x)3×2.

Решение

Подставим значения и получим:

limx→01-cos(2x)3×2=1-cos (2·0)3·02=1-10=00

Мы видим неопределенность нуль делить на нуль. Произведем преобразование числителя с использованием формул тригонометрии:

limx→01-cos(2x)3×2=00=limx→02sin2(x)3×2

Видим, что теперь здесь возможно применение первого замечательного предела:

limx→02sin2(x)3×2=limx→023·sin xx·sin xx=23·1·1=23

Ответ: limx→01-cos (2x)3×2=23.

Пример 3

Необходимо произвести вычисление предела limx→0arcsin(4x)3x.

Решение

Подставим значение:

limx→0arcsin(4x)3x=arcsin(4·0)3·0=00

Мы видим неопределенность делить нуль на нуль. Произведем замену:

пусть

arcsin (4x)=t⇒sin (arcsin(4x))=sin (t)4x=sin (t)⇒x=14sin (t)limx→0(arcsin(4x))=arcsin(4·0)=0, значит t→0 при x→0.

В таком случае, после замены переменной, предел принимает вид:

limx→0arcsin(4x)3x=00=limt→0t3·14sin(t)==limt→043·tsin t=43·1=43

Ответ: limx→0arcsin(4x)3x=43.

Для более полного понимания материала статьи следует повторить материал темы «Пределы, основные определения, примеры нахождения, задачи и решения».

Автор: Ирина Мальцевская

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

08.2. Первый замечательный предел

Первый замечательный предел

В математике получено не так уж много результатов, название которых сопровождается такой восторженной оценкой. Однако строгое построение математической теории иногда все-таки допускает эмоциональный всплеск по поводу достигнутого результата. Чем же замечателен предел

Который нам предстоит изучить?

Поведение функции

(9. 25)

Легко угадывается для достаточно больших по модулю значений x. Однако при малых по абсолютной величине значениях аргумента предвидеть поведение этой функции трудно: и числитель , и знаменатель x стремятся к 0 при . Даже самые современные ЭВМ, достигнув своего порога возможностей, уже не смогут осуществить вычисление функции (9.25). Мы можем лишь предположить, что близок к 1 или, может, даже равен 1. Не исключено, однако, что этим пределом могло бы быть, к примеру, число 0,9999999993 или же 1,000000002.

Непосредственные расчеты просто не позволяют в точности это установить, какими бы мощными вычислительными средствами мы ни располагали. Алгебраическая операция недопустима. Но рассмотреть предельный переход в такой ситуации возможно. Теория пределов характеризует этот случай как раскрытие неопределенности, обозначаемой

Существуют еще и другие неопределенности, которые мы изучим в дальнейшем.

Докажем, что

Раскрыв при этом указанную неопределенность.

Рис. 9.10. График функции .

Функция (рис. 9.10) четна, поэтому доказательство существования предела достаточно провести только для положительных значений x. Рассмотрим дугу BmC единичной окружности (рис. 9.11), соответствующую углу x радиан. Построим и хорду BC. Площадь сектора OBmC больше площади треугольника OBC, но меньше площади треугольника OBA. Используя этот факт, получим:

(9. 26)

Рис. 9.11. Сравнение площадей вспомогательных фигур, используемое для доказательства первого
Замечательного предела.

Функции и , входящие в последнее двойное неравенство, являются четными, поэтому оно справедливо для любого . Следовательно, при предел отношения заключен между 1 и .

Докажем, что

(9. 27)

Рассмотрим неравенство

И найдем соответствующую проколотую D–Окрестность нуля:

(9. 28)

Согласно неравенствам (9.26),

Поэтому

Это означает, что значения x, при которых справедливо неравенство

, (9. 29)

Удовлетворяют и неравенствам (9.28).

Еще раз отметим, что нас интересует не точная оценка всех значений x, обеспечивающих выполнение неравенства , а всего лишь факт существования проколотой D–Окрестности, охватывающей, возможно, и не все значения x, при которых это неравенство справедливо.

Поэтому, решая более простое неравенство (9.29), получаем

Значит, по любому положительному числу можно выбрать D–Окрестность, полагая, что

Доказан для , измеряемых в радианах. Где этот факт использован при выводе? Каким будет этот предел, если угол измеряется в градусах?

Итак, предел (9.27) существует. Таким образом, по теореме о пределе промежуточной функции, тоже равен 1, что и требовалось доказать.

< Предыдущая		Следующая >

Замечательно | Первый закон вики

в: Персонажи, северяне

Замечательный

Псевдоним

Замечательный странный

Титул

Секундант Керндена Кроу
Военачальник Блэка Колдера (позднее)

Член

Дюжина Керндена Кроу

Культура

Северяне

Семья

Без имени (муж)
Без имени (дети)

Книги

Герои
Острые концы
Немного ненависти
Проблемы с миром (упоминается)

»	Кернден Кроу: Давайте их убьём, а не наоборот. Замечательно: Лучший чертов совет о войне, который я когда-либо слышал.	”
–Кернден Кроу и Чудесный, Герои

Чудесный — многострадальный второй из дюжины Кернден Кроу и Именованный Человек с Севера.

Содержание

1 Внешний вид и личность
2 История
- 2.1 Герои
- 2.2 Немного ненависти
- 2.3 Проблемы с миром

Внешность и характер[]

У Чудесной есть длинный шрам на сбритых щетиной волосах. Она крепка, как кремень, крепка, как любой мужчина, и умеет обращаться как с мечом, так и с луком. Она склонна к саркастическим, ехидным, иногда причудливым комментариям.

История[]

Чудесная и ее семья владели фермой к северу от Уффрита. Когда с Бетодом начались проблемы, она обрила волосы и взялась за меч. Когда Радд Тритри и Карнден Кроу прибыли, ожидая найти фермы сожженными, они обнаружили, что люди Бетода попали в засаду, а Чудотворец во главе. Тридеревья сказали: « Удивительно странно, что во главе стоит женщина. Некоторое время они называли ее Чудесной Стрэндж, но вскоре странность исчезла.

С тех пор Вандерфул был членом дюжины Керндена Кроу, в конце концов став его вторым. В

Sharp Ends , мы видим их на миссии за Кринной, чтобы найти загадочный объект. В перерывах между работой Вандерфул все еще навещает мужа и детей на ферме.

Герои []

Зобиная дюжина была послана, чтобы обезопасить холм возле деревни Осрунг, увенчанный древними стоячими камнями, известными как Герои. Им удается осуществить это без насилия, но затем они теряют его, когда прибывает основная армия Союза.

Замечательные бои с Кроу Дюжина, когда северяне отбивают Героев у Союза. Когда старый секундант Блэк Доу Сплитфут убит, а Кроу назвал своего нового секунданта, останки дюжины отдаются Чудесному. После битвы Кроу уходит с поста второго, а Уандерфул назначает нового секунданта Доу. Когда Кроу уходит, она рассказывает, что ее муж и дети собрали вещи и уехали много лет назад, и она не могла никому рассказать.

Вандерфул держал щит для Блэка Доу в поединке в кругу с Колдером, где Колдер побеждает благодаря вмешательству Кола Шиверса. Брат Колдерса Скейл становится новым королем северян, а Чудесный становится одним из их военачальников вместе с Бледным-как-Снег и Кэирмом Айронхедом.

Маленькая ненависть []

Замечательный теперь уважаемый ветеран. Черный Колдер отправляет ее секунданткой к своему своенравному сыну, попытайтесь научить Стур Сумрачный налет некоторой осторожности. Это не помогает, и Чудесная вскоре рвет на себе волосы от укола. Даже если к нам присоединится товарищ-ветеран, Джонас Кловер, это не сработает. Пара сблизилась во время войны с Союзом, и, в конце концов, Кловер просит Чудесного присоединиться к нему на пенсии в качестве учителя фехтования. Однако их планы прерываются, когда Великий Волк решает, что больше не хочет быть будущим королем, убивает Чешуйчатого Железнорукого и забирает цепь Бетода. Затем Стаур насмехается над Клевером, говоря, что он начал уважать его, но ему нужно продемонстрировать лояльность. Вы должны распознать свой момент, когда он наступит, и воспользоваться им. Клевер сразу же наносит удар Чудесной в сердце и держит ее, пока она умирает.

Проблемы с миром []

Джонас Кловер предает короля северян Стур Сумрачный налет после возвращения на Север после поражения в битве при Штоффенбеке. Прежде чем его уводят, Кол Шиверс использует нож, чтобы перерезать сухожилия за обоими коленями Стаура. Кловер испытывает удовлетворение, видя, как страдает Стаур, поскольку он все еще скучает по своему другу Чудесному , которого Стаур заставил его убить.

Контент сообщества доступен по лицензии CC-BY-SA, если не указано иное.