Тема 4. Производная
Определение Производной функции в точке (обозначается или ) называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента при , если этот предел существует:
Операция нахождения производной называется дифференцированием.
Для освоения техники дифференцирования, то есть нахождения производных, необходимо использовать правила дифференцирования и таблицу производных наиболее часто встречающихся функций.
Основные правила дифференцирования
1.
2. ( – постоянная)
3.
4.
5. Производная сложной функции: если , то , где производные функций в правой части равенства берутся по аргументам и соответственно.
1.
(
–
постоянная)
2.
3.
4. ( – постоянная)
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
Определение Логарифмической производной функции называется производная от логарифма этой функции: , при y > 0. Нахождение производных от многих функций значительно упрощается, если эти функции предварительно прологарифмировать, а затем воспользоваться логарифмической производной. При этом логарифмическую производную применяют формально, не учитывая, что формула имеет смысл лишь при
y > 0. Определение Функция y(x)
называется неявной, если зависимость
между х и у выражена уравнением F(x,y)=0,
неразрешенным относительно у.
Чтобы найти производную от неявной функции, надо данное уравнение продифференцировать, считая у функцией от х, а затем полученное уравнение решить относительно производной
Определение Внутренняя точка интервала называется точкой максимума (минимума) функции , если существует такое , что для всех из интервала , содержащегося внутри интервала , выполняется неравенство ( ). Точки максимума и минимума называют точками экстремума (локального экстремума) функции. Точки, в которых производная обращается в ноль, называют стационарными точками.
Приведем формулировки теорем, используемых при исследовании функций.
Достаточное условие строгого возрастания (убывания) функции:
Если (
)
в интервале
,
то строго возрастает (убывает) в этом
интервале. Промежутки, в которых функция
возрастает (убывает), называются промежутками
монотонности функции.
Чтобы найти промежутки
монотонности функции необходимо:
Найти область определения функции;
Найти производную функции;
Приравнять производную к нулю и определить ее корни (стационарные точки), а также найти точки, в которых производная не существует, а функция определена;
Определить знак производной в каждом из промежутков, на которые разбивается полученными точками область определения функции.
Необходимое условие экстремума функции:
Если функция дифференцируема в точке и достигает в этой точке максимума (минимума), то .
Точками
экстремума могут быть только те точки,
в которых производная равна нулю, либо
не существует. Точки, в которых производная
равна нулю или не существует, называют
точками, подозрительными на экстремум,
или критическими точками.
Достаточные условия экстремума функции:
Если при переходе через точку , подозрительную на экстремум, производная меняет знак, то точка является точкой экстремума. При этом если в некоторой окрестности точки для и для , то является точкой максимума. Если же в этой окрестности для и для , то – точка минимума.
Другим достаточным признаком существования экстремума в стационарной точке является условие (тогда это точка максимума) и (тогда это точка минимума). При этом считается, что имеет непрерывную вторую производную в некоторой окрестности точки .
Определение График функции называется выпуклым в интервале , если он расположен ниже касательной проведенной в любой точке этого интервала.
Определение График функции
называется вогнутым в интервале
,
если он расположен выше касательной,
проведенной в любой точке этого
интервала.
Достаточные условия выпуклости (вогнутости) графика функции:
Если в интервале , то график функции является выпуклым в этом интервале; если же , то в интервале график функции вогнутый.
Точка графика функции, отделяющая его выпуклую часть от вогнутой, называется точкой перегиба. Если ─ абсцисса точки перегиба графика функции , то вторая производная равна нулю или не существует в этой точке. Точки, в которых или не существует, называются критическими точками второго рода.
Если при переходе через критическую точку второго рода вторая производная меняет знак, то точка есть точка перегиба.
Определение Прямая l называется асимптотой кривой y = f(x),
если расстояние точки М(х,у) на кривой
от прямой l стремится к нулю при неограниченном
удалении этой точки по кривой от начала
координат, (т.
Прямая является вертикальной асимптотой кривой y = f(x), если:
или
Прямая является горизонтальной асимптотой кривой y = f (x), если существует или
Прямая является наклонной асимптотой кривой y = f(x), если существуют пределы:
или
При исследовании функции и построении ее графика удобно придерживаться следующего плана:
Найти область определения функции.
Определить четность (нечетность), периодичность функции.
Найти точки разрыва.
Определить точки пересечения графика с осями координат.
Найти точки экстремума и вычислить значения функции в этих точках.
Определить интервалы возрастания и убывания функции.
Найти точки перегиба, интервалы выпуклости и вогнутости.
Определить асимптоты.
Найти предельные значения функции при аргументе, стремящемся к границам области определения.
Тест по русскому языку Предлог 7 класс
Тест по русскому языку Предлог 7 класс с ответами. Тест включает в себя 2 варианта, в каждом варианте 10 заданий (в части А — 6 заданий, в части В — 3 задания, в части С — 1 задание).
1 вариант
A1. Укажите неверное утверждение.
1) предлог — служебная часть речи
2) предлог употребляется с существительными, местоимениями и числительными
3) предлог является членом предложения
4) предлоги бывают простыми и составными
А2.
1) по поводу статьи, в связи с отъездом, около реки
2) по мере прохождения, несмотря на неурядицы, в продолжение каникул
3) из-за болезни, вблизи горы, над полкой
4) у двери, в течение полугодия, при школе
А3. В каких предложениях использованы производные предлоги?
А. Благодаря ранней весне на полях уже колосилась пшеница.
Б. В следствии по этому делу много неясного.
В. Около нашего дома разбили красивый парк.
Г. Несмотря на непогоду, спортивный матч состоялся.
1) А, Г
2) А, В
3) Б, В
4) В, Г
А4. В каком ряду все предлоги пишутся раздельно?
1) (по)поводу работы, (в)следствие дождей, (на)перекор стихии
2) (на)встречу друзьям, (в)течение недели, (в)виду экзамена
3) (на)счёт экскурсии, (в)близи леса, (в)след поезду
4) (в)продолжение урока, (в)силу своего характера, (в)течение года
А5. Укажите предложение с грамматической ошибкой.
1) Вдоль дороги стояли высокие дома.
2) Согласно распоряжения начальника цеха субботник переносится на неделю.
3) Юноша оказался из-под Ленинграда.
4) Вокруг невысокого здания росли лиственные деревья.
А6. В каком предложении предлог употреблен неверно?
1) Мальчик пришел со школы.
2) Он принял порошок от головной боли.
3) В аптеке продаются капли для лечения насморка.
4) Группа туристов отправилась на Урал.
B1. Выпишите из предложения производный предлог.
Благодаря своему огромному таланту А. П. Чехов стал всемирно известным писателем.
В2. Выпишите из предложения произвольный предлог, образованный от существительного.
Он не смог приехать вовремя на встречу по причине непредвиденных обстоятельств.
В3. Раскройте скобки, вставьте пропущенную букву.
(В) течени.. часа студенты готовились к сдаче зачёта.
C1. Составьте текст на тему «Школьный день», используя производные предлоги.
2 вариант
A1. Найдите неправильное утверждение.
1) предлог служит для связи простых предложений в составе сложного
2) предлоги не являются членами предложения
3) предлоги выражают различные отношения: временные, причинные и др.
4) некоторые предлоги могут употребляться с несколькими падежами
А2. В каком ряду все предлоги непроизводные?
1) в зале, в целях модернизации, над землёй
2) вследствие невнимательности, около сада, взять под контроль
3) без упрёка, пред ним, через час
4) вокруг поля, поверх пальто, для удобства
А3. В каком ряду все предлоги составные?
1) (по)прибытии поезда, (во)преки обычаю, (по)среди площади
2) (в)доль улицы, (в)виду непрочности, (над)столом
3) (в)течение дня, (из)окна, (на)встречу гостям, (при)театре
4) (в)счёт будущей недели, (в)связи с морозом, (по)поводу реферата
А4. В каком ряду все предлоги пишутся слитно?
1) (во)круг, (из)за, (по)над
2) (в)виду, (в)следствие, (на)перекор
3) (в)доль, (на)счет, (в)продолжение
4) (в)связи, (на)встречу, (в)близи
А5.
В каком предложении предлог употреблен неверно?
1) Инструктор разъяснил нам о правилах поведения на воде.
2) Пришло письмо из Армении.
3) Мне помогли таблетки от бессонницы.
4) Средство для выведения пятен очень действенно.
А6. В каком предложении допущена грамматическая ошибка?
1) Работа ведется согласно графика.
2) Учеба началась раньше вопреки расписанию.
3) Погода из-за циклона установилась дождливая.
4) Аптека находится напротив дома.
B1. Выпишите из предложения производный предлог.
Несмотря на нездоровье, мой брат поехал поступать в университет.
В2. Выпишите из предложения производный предлог, образованный от существительного.
Профессор убеждал студентов в своей правоте путём подбора необходимых аргументов.
В3. Раскройте скобки, вставьте пропущенную букву.
(В)продолжени.. лекции учащиеся старательно записывали материал.
C1.
Составьте текст на тему «Школьный день», используя производные предлоги.
Ответы на тест по русскому языку Предлог 7 класс
1 вариант
А1-3
А2-2
А3-1
А4-4
А5-2
А6-1
В1. благодаря
В2. по причине
В3. в течение
2 вариант
А1-1
А2-3
А3-4
А4-2
А5-1
А6-1
В1. несмотря на
В2. путём
В3. в продолжение
PDF-версия
Тест Предлог 7 класс
(152 Кб)
| 1 | Найти производную — d/dx | бревно натуральное х | |
| 2 | Оценить интеграл | интеграл натурального логарифма x относительно x | |
| 3 | Найти производную — d/dx | 92)||
| 21 | Оценить интеграл | интеграл от 0 до 1 кубического корня из 1+7x относительно x | |
| 22 | Найти производную — d/dx | грех(2x) | |
| 23 | Найти производную — d/dx | 9(3x) по отношению к x||
| 41 | Оценить интеграл | интеграл от cos(2x) относительно x | |
| 42 | Найти производную — d/dx | 1/(корень квадратный из х) | |
| 43 | Оценка интеграла 9бесконечность | ||
| 45 | Найти производную — d/dx | х/2 | |
| 46 | Найти производную — d/dx | -cos(x) | |
| 47 | Найти производную — d/dx | грех(3x) | 92+1|
| 68 | Оценить интеграл | интеграл от sin(x) по x | |
| 69 | Найти производную — d/dx | угловой синус(х) | |
| 70 | Оценить предел | ограничение, когда x приближается к 0 из (sin(x))/x 92 по отношению к х | |
| 85 | Найти производную — d/dx | лог х | |
| 86 | Найти производную — d/dx | арктан(х) | |
| 87 | Найти производную — d/dx | бревно натуральное 5х92 |
исчисление — Найдите уравнение прямой, касательной к кривой $y=\tan(\pi x/4)$ в точке (1,1)
Задавать вопрос
спросил
Изменено 5 лет, 10 месяцев назад
Просмотрено
1к раз
92(\pi x/4)*pi/4$, но когда я устанавливаю его равным нулю, я не знаю, как решить.