Площадь любого четырехугольника формула: параллелограмма, трапеции, ромба, прямоугольника, квадрата.

Площадь четырехугольника по периметру. Формулы вычисления площади произвольного четырёхугольника

Начальный уровень

Определение площади

Что такое площадь? Странный вопрос — не правда ли? В обычной жизни мы привыкли к тому, что у всяких плоских фигур (таких как поверхность стола, стула, пол наших квартир и т.д.) есть не только длина и ширина, но и какая-то еще характеристика, которую мы, не задумываясь, называем площадью. А теперь вот давай задумаемся: что же все-таки такое площадь?

Давай начнем с самого простого. За основу берется тот факт, что:

Другими словами, площадь квадрата со стороной метр мы считаем одним «метром площади».

Посмотри внимательно на картинку и убедись, что там действительно нарисован — «метр квадратный»! И запомни обозначение.

А вот теперь хитрый вопрос: а что такое? Площадь квадрата со стороной? А вот и нет!

Смотри: квадрат со стороной.

А чтобы получить квадратных метра (то есть,), мы должны нарисовать, например так:

А как получить, скажем, ? Ну например так:

Да и вообще, если мы возьмем прямоугольник, у которого стороны равны метров и метров, то в этом прямоугольнике:

Поместится ровно квадратных метров. Посмотри внимательно: у нас есть «слоев», в каждом из которых ровно квадратных метров.

Значит, всего в прямоугольнике размером x поместилось квадратных метров. Вот это число, сколько квадратных метров поместилось в прямоугольнике, и есть его площадь .

А если фигура — вовсе не прямоугольник, а какая-то абракадабра?

Удивлю тебя — бывают такие ужасные абракадабры, для которых совершенно невозможно установить сколько там квадратных метров. Даже приблизительно! К сожалению нарисовать такие фигуры — невозможно.

Но они есть! Они похожи, например, на такую «расческу» с очень мелкими зубьями.

И вот, для нормальных фигур можно интуитивно (то есть для себя) считать,что площадь фигуры — это такое число, сколько в этой фигуре «поместится» квадратных единиц (метров, сантиметров и т.д.) Более строгое, «настоящее» определение площади смотри в следующих уровнях теории.

И представь себе, математики для многих фигур научились выражать площади через какие-то линейные (те, что можно измерить линейкой) элементы фигур. Эти выражения называются «формулы площади». Формул этих довольно много — математики долго старались. Ты постарайся запомнить сначала самые простые и основные формулы, а потом уже те, что посложнее.

Формулы площади

Квадрат

Прямоугольник

Прямоугольный треугольник

Треугольник (произвольный)

Для треугольника есть сразу несколько формул площади.

Основная формула

Вторая основная формула

Третья формула

Какую же формулу выбрать для твоей задачки? Основными являются формулы 1 и 2. Третью формулу нужно применять, если тебе все дано: и три стороны, и радиус вписанной окружности. Но так ведь не бывает, верно? Поэтому формулу 3 мы используем , скорее наоборот, для нахождения радиуса вписанной окружности

. Тогда нужно найти площадь по одной из формул 1, 2 или 4, а потом уже радиус: .

Ну и формула 4 позволяет по -м сторонам с помощью длиннющей арифметики находить площадь. И не ошибайся в арифметике, когда будешь применять формулу Герона!

Произвольный четырехугольник

Для произвольного четырехугольника больше ничего нет, а вот для «хороших» четырехугольников — есть другие формулы.

Параллелограмм

Основная формула

Вторая формула

Ромб

У ромба диагонали перпендикулярны, поэтому основной для него становится формула:

Вторая формула

А дополнительной формулой становится

Трапеция

Основная формула

Вторая формула

«Хитрые вопросы о площади»

Кроме задачек, в которых просят просто найти площадь, встречаются еще всякие вопросики. Ну вот например:

Давай ответим на этот вопрос двумя способами. Первый способ — формальный: используем формулу площади квадрата. Итак, было, значит — площадь увеличилась в раз!

В случае с квадратами есть и второй способ «пощупать» и убедится напрямую в этом числе.

Рисуем:

Если же у тебя не квадрат, то остается только подставлять новые значения в формулы — и не удивляйся, если вдруг числа получатся довольно большими.

ПЛОЩАДЬ ТРЕУГОЛЬНИКА И ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКА. КОРОТКО О ГЛАВНОМ

Прямоугольный треугольник

I. Предисловие

Вот ведь незадача: проболев две недели, вы пришли в школу и узнали, что пропустили очень важную тему, задачи по которой будут на экзаменах в 9 классе — «Треугольники, четырехугольники и их площадь». Вот тут бы кинуться к учителю геометрии с вопросами: «Как найти площадь четырехугольника?» Но половина учеников боится подходить к учителям, чтобы их не сочли отстающими, а вторая половина встречает от учителей «помощь», похожую на «Посмотри в учебник, там все написано!» или «Не надо было пропускать уроки!» Но в учебнике вообще нет никакой информации по поводу правил нахождения площади треугольников и четырехугольников. А уроки были пропущены по уважительной причине, есть справка от врача. Но многие учителя только махнут на эти доводы рукой. Конечно, их можно понять: им не платят за дополнительное вбивание материала урока в головы ничего не понимающих учеников. Многие ученики бросают это бесполезное дело и через год проваливаются на экзамене, не добрав десяток баллов за задачу по нахождению площади треугольников и четырехугольников.

И только некоторые ходят в библиотеки и к знакомым с вопросом: «Как найти площадь четырехугольника?» А разные люди и книги дают разные ответы, и получается большая путаница правил. Ниже я назову основные способы нахождения площадей треугольников и четырехугольников.

II. Четырехугольники

Начнем с четырехугольников. В школах и на экзаменах рассматриваются только выпуклые четырехугольники, так что поговорим о них. На среднем уровне образования изучают площади параллелограммов и трапеции. Параллелограммы бывают нескольких видов: прямоугольник, квадрат, ромб и произвольный параллелограмм, в котором соблюдаются только основные его признаки: стороны попарно параллельны и равны, сумма соседних углов 180 о. Но способы нахождения площадей у всех этих фигур разные. Рассмотрим каждую по отдельности.

1. Прямоугольник

S прямоугольника находится по формуле: S = а * b, где а — горизонтальная сторона, b — вертикальная сторона.*

2. Площадь квадратов

S квадрата находится по формуле: S = а * а, где a — сторона квадрата.

3. Площадь ромбов

S ромба находится по формуле: S = 0,5 * (d 1 * d 2), где d 1 — большая дианогональ,** d 2 — меньшая диагональ.

4. Площадь произвольного параллелограмма

S произвольного параллелограмма находится по формуле:

S = a * h a , a — сторона параллелограмма, h a

Еще не все?

С параллелограммами мы закончили. «Надо выучить всего лишь это?» — облегченно спросите вы. Отвечаю: из параллелограммов — да, всего лишь это. Но еще остались трапеция и треугольники. Так что продолжаем.

III. Трапец ия

Площадь трапеции

S трапеции можно находить одной формулой, будь она обычной или равнобедренной: S = ((а + b) : 2) * h, где a, b — ee основания, h — ee высота. Это все, что касается трапеции. Теперь на вопрос: «Как найти площадь четырехугольника?» — вы можете не только ответить сами, но и просветить других. А теперь переходим к треугольникам.

IV. Треугольник

В геометрии для нахождения их площади выделили три формулы: для прямоугольного, равностороннего и произвольного треугольников.

1. Площадь треугольника

S произвольного треугольника вычисляется по формуле: S = 0,5а * h a, a — сторона треугольника, h a — высота, проведенная к этой стороне.

2. Площадь равносторонних треугольников

S равностороннего треугольника можно найти по формуле: S = 0,5a * h, где a — основание треугольника, h — высота этого треугольника.

3. Площадь прямоугольных треугольников

Площадь прямоугольных треугольников находится по формуле: S = (а * b) : 2, где а — 1-й катет, b — 2-й катет.

Заключение

Ну вот, это, по-моему, все. Про треугольники тоже немного учить надо, не правда ли? А теперь обозрите все, что я здесь написала. «Елки-палки, чтобы это выучить, месяц понадобится!» — наверное, восклицаете вы. А кто говорил, что всё учится быстро? Но зато, когда вы все это выучите, вам не будут страшны вопросы по теме «Как найти площадь четырехугольника» или «Площадь произвольного треугольника» на аттестации в 9 классе. Так что, если вы хотите вообще хоть куда-нибудь поступить, учите, учитесь и будьте учеными!

___________________________________

Примечание

* — a и b не обязательно должны быть на поставленных мною местах. При решении задач можно вертикальную сторону назвать a , а горизонтальную — b;

** — диагонали можно поменять местами и изменить их названия так же, как и в примечании. *

Данный онлайн калькулятор помогает произвести расчет, определение и вычисление площади земельного участка в онлайн режиме. Представленная программа способна правильно подсказать, как выполнить расчет площади земельных участков неправильной формы.

Важно! Важ участок должен приблизительно вписываться в окружность. Иначе расчеты будут не совсем точными.

Указываем все данные в метрах

A B, D A, C D, B C — Размер каждой стороны делянки.

Согласно введен данным, наша программа в онлайн режиме выполнить расчет и определить, площадь земельных угодий в квадратных метрах, сотках, акрах и гектарах.

Методика определения размеров участка ручным методом

Чтобы правильно выполнить расчет площади делянок, не нужно использовать сложные инструменты. Мы берем деревянные колышки или металлические прутья и устанавливаем их в углах нашего участка. Далее при помощи измерительной рулетки определяем ширину и длину делянки. Как правило, достаточно выполнить замер одной ширины и одной длины, для прямоугольных или равносторонних участков. Для примера, у нас получились следующие данные: ширина – 20 метров и длина – 40 метров.

Далее переходим к расчету площади делянки. При правильной форме участка, можно использовать геометрическую формулу определения площади (S) прямоугольника.

Согласно этой формуле, нужно выполнить умножение ширины (20) на длину (40) , то есть произведение длин двух сторон. В нашем случае S=800 м².

После того, как мы определили нашу площадь, мы можем определить количество соток на земельном участке. Согласно общепринятым данным, в одной сотке – 100 м². Далее при помощи простой арифметики, мы разделим наш параметр S на 100. Готовый результат и станет равен размеру делянки в сотках. Для нашего примера, этот результат – 8. Таким образом, получаем, что площадь участка составляет восемь соток.

В том случае, когда территория угодий очень большая, то лучше всего выполнять все измерения в других единицах – в гектарах. Согласно общепринятым единицам измерения – 1 Га = 100 соток. К примеру, если наша земельная делянка согласно полученным измерениям составляем 10 000 м², то в этом случае его площадь равна 1 гектару или 100 соткам.

Если Ваш участок неправильной формы, то в этом случае количество соток напрямую зависит от площади. Именно по этой причине при помощи онлайн калькулятора Вы сможете правильно рассчитать параметр S делянки, и после этого разделив полученный результат на 100. Таким образом, Вы получите расчеты в сотках. Такой метод предоставляет возможность измерять делянки сложных форм, что весьма удобно.

Общие данные

Расчет площади земельных участков базируется на классических расчетах, которые выполняются согласно общепринятым геодезическим формулам.

Всего доступно несколько методов для расчета площади земельных угодий – механический (рассчитывается по плану при помощи мерных палеток), графический (определяется по проекту) и аналитический (при помощи формулы площади по измеренным линиям границ).

На сегодняшний день самым точным способом заслуженно считается – аналитический. Используя данный метод, ошибки при расчетах, как правило, появляются из-за погрешностей на местности измеренных линий. Данный способ является также и достаточно сложным, если границы криволинейные или количество углом на делянке больше десяти.

Немного проще по расчетам является графическим способ. Его лучше всего использовать в том случае, когда границы участка представлены в виде ломанной линии, с небольшим количеством поворотов.

И самый доступный и простой способ, и наиболее популярный, но и в тоже время самой большой погрешностью – механический способ. Используя данный метод, Вы сможете легко и быстро выполнить расчет площади земельных угодий простой или сложной формы.

Среди серьезных недостатков механического или графического способа, выделяют следующее, кроме погрешностей при измерении участка, при расчетах добавляется погрешность из-за деформации бумаги или погрешность при составлении планов.

Если на плоскости последовательно начертить несколько отрезков так, чтобы каждый следующий начинался в том месте, где закончился предыдущий, то получится ломаная линия. Эти отрезки называют звеньями, а места их пересечения — вершинами. Когда конец последнего отрезка пересечется с начальной точкой первого, то получится замкнутая ломаная линия, делящая плоскость на две части. Одна из них является конечной, а вторая бесконечной.

Простая замкнутая линия вместе с заключенной в ней частью плоскости (той, которая конечна) называют многоугольником. Отрезки являются сторонами, а образованные ими углы — вершинами. Количество сторон любого многоугольника равно числу его вершин. Фигура, которая имеет три стороны, называется треугольником, а четыре — четырехугольником. Многоугольник численно характеризуется такой величиной, как площадь, которая показывает размер фигуры. Как найти площадь четырехугольника? Этому учит раздел математики — геометрия.

Чтобы найти площадь четырехугольника, нужно знать к какому типу он относится — выпуклому или невыпуклому? весь лежит относительно прямой (а она обязательно содержит какую-либо из его сторон) по одну сторону. Кроме того, есть и такие виды четырехугольников, как параллелограмм с попарно равными и параллельными противоположными сторонами (разновидности его: прямоугольник с прямыми углами, ромб с равными сторонами, квадрат со всеми прямыми углами и четырьмя равными сторонами), трапеция с двумя параллельными противоположными сторонами и дельтоид с двумя парами смежных сторон, которые равны.

Площади любого многоугольника находят, применяя общий метод, который заключается в том, чтобы разбить его на треугольники, для каждого вычислить площадь произвольного треугольника и сложить полученные результаты. Любой выпуклый четырехугольник делится на два треугольника, невыпуклый — на два или три его в этом случае может складываться из суммы и разности результатов. Площадь любого треугольника вычисляют как половину произведения основания (a) на высоту (ħ), проведенную к основанию. Формула, которая применяется в этом случае для вычисления, записывается как: S = ½ . a . ħ.

Как найти площадь четырехугольника, например, параллелограмма? Нужно знать длину основания (a), длину боковой стороны (ƀ) и найти синус угла α, образованного основанием и боковой стороной (sinα), формула для расчета будет выглядеть: S = a . ƀ . sinα. Так как синус угла α есть произведение основания параллелограмма на его высоту (ħ = ƀ) — линию перпендикулярная основанию, то его площадь вычисляют, умножив на высоту его основание: S = a . ħ. Для расчета площади ромба и прямоугольника также подходит эта формула. Так как у прямоугольника боковая сторона ƀ совпадает с высотой ħ, то его площадь вычисляют по формуле S = a . ƀ. потому что a = ƀ, будет равняться квадрату его стороны: S = a . a = a². вычисляется как половина суммы его сторон, умноженная на высоту (она проводится к основанию трапеции перпендикулярно): S = ½ . (a + ƀ) . ħ.

Как найти площадь четырехугольника, если неизвестны длины его сторон, но известны его диагонали (e) и (f), а также синус угла α? В этом случай площадь вычисляют, как половину произведения его диагоналей (линии, которые соединяют вершины многоугольника), умноженное на синус угла α. Формула может быть записана в таком виде: S = ½ . (e . f) . sinα. В частности в этом случае будет равняться половине произведения диагоналей (линии, соединяющие противоположные углы ромба): S = ½ . (e . f).

Как найти площадь четырехугольника, который не является параллелограммом или трапецией, его обычно принято называть произвольный четырехугольник. Площадь такой фигуры выражают через его полупериметр (Ρ — сумма двух сторон с общей вершиной), стороны a, ƀ, c, d и сумму двух противоположных углов (α + β): S = √[(Ρ — a) . (Ρ — ƀ) . (Ρ — c) . (Ρ — d) — a . ƀ . c . d . cos² ½ (α + β)].

Если а φ = 180о, то для расчета его площади используют формулу Брахмагупты (индийский астроном и математик, живший в 6—7 веках нашей эры): S = √[(Ρ — a) . (Ρ — ƀ) . (Ρ — c) . (Ρ — d)]. Если четырехугольник описан окружностью, то (a + c = ƀ + d), а его площадь вычисляют: S = √[ a . ƀ . c . d] . sin ½ (α + β). Если четырехугольник одновременно является описанным одной окружностью и вписанным в другую окружность, то для вычисления площади используют следующую формулу: S = √.

что значит в геометрии, теорема, формула нахождения, как выглядит

Четырехугольник — основные определения

Определение 1

Четырехугольник — это фигура, состоящая из четырех точек и четырех отрезков, последовательно их соединяющих; причем ни одна из трех данных точек не лежит на одной прямой, а отрезки, соединяющие их, не пересекаются.

Источник: matematikkolay.net

Четырехугольником называется фигура, которая состоит из четырех точек (вершин) и четырех отрезков (сторон), последовательно соединяющих вершины. При этом никакие три из данных точек не должны лежать на одной прямой, а соединяющие их отрезки не должны пересекаться.

Четырехугольник называется выпуклым, если он расположен в одной полуплоскости относительно прямой, которая содержит любую из его сторон.

Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 360°:

∠A+∠B+∠C+∠D=360°

Примечание 1

Не существует четырехугольников, у которых все углы острые или все углы тупые.

Каждый угол четырехугольника всегда меньше суммы трех остальных углов:

∠A < ∠B+∠C+∠D, ∠B < ∠A+∠C+∠D,
∠C < ∠A+∠B+∠D, ∠D < ∠A+∠B+∠D.

Каждая сторона четырехугольника всегда меньше суммы трех остальных сторон:

a < b+c+d, b < a+c+d,
c < a+b+d, d < a+b+c.
Площадь произвольного выпуклого четырехугольника равна:

S=√((p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-abcd*〖cos2A+C/2;

S=√((p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-abcd*〖cos2B+D/2.

Источник: matematikkolay.net

Диагоналями четырехугольника называются отрезки, соединяющие его противолежащие вершины.

Диагонали выпуклого четырехугольника пересекаются, а невыпуклого — нет.

Площадь произвольного выпуклого четырехугольника:

S=1/2d1d2*sinφ

Источник: matematikkolay.net

Если M, N, P, Q — середины сторон выпуклого четырехугольника ABCD, а R, S — середины его диагоналей, то четырехугольники MNPQ, MRPS, NSQR являются параллелограммами и называются параллелограммами Вариньона.

Примечание 2

Форма и размеры параллелограммов Вариньона связаны с формой и размерами данного четырехугольника ABCD. Так, MNPQ — прямоугольник, если диагонали четырехугольника ABCD перпендикулярны; MNPQ — ромб, если диагонали четырехугольника ABCD равны; MNPQ — квадрат, если диагонали четырехугольника ABCD перпендикулярны и равны;

SABCD = 2SMNPQ.

Источник: matematikkolay.net

Отрезки MP, NQ и RS называются первой, второй и третьей средними линиями выпуклого четырехугольника.

В параллелограмме, и только в нем, середины диагоналей совпадают, и потому третья средняя линия вырождается в точку. Для других четырехугольников средние линии — отрезки.

Примечание 3

Все средние линии четырехугольника пересекаются в одной точке и делятся ею пополам:

MG=GP, NG=GQ, RG=GS.

Сумма квадратов средних линий четырехугольника равна четверти суммы квадратов всех его сторон и диагоналей:

 MP2+ NQ2+ RS 2= ¼(AB2+BC2+CD2+AD2+AC2+BD2).

 Если β — угол между первой и второй средними линиями четырехугольника, то его площадь:

SABCD = MP·NQ·sinβ.

Источник: matematikkolay.net

Равными плитками, которые имеют форму произвольного, необязательно выпуклого, четырехугольника можно замостить плоскость так, чтобы не было наложений плиток друг на друга и не осталось непокрытых участков плоскости. 

Виды четырехугольников, свойства

Определение 2

Трапеция — это четырехугольник, две стороны которого параллельны, а две другие — не параллельны. Параллельные стороны называются основаниями трапеции, а не параллельные — боковыми сторонами.  

Источник: studopedia.net

1. В трапеции сумма углов, прилежащих к боковой стороне равна 180°: А+В=180°, C+D=180°

2. Биссектриса любого угла трапеции отсекает на ее основании отрезок, равный боковой стороне: AB=BE

Источник: studopedia.net

3. Биссектрисы смежных углов трапеции пересекаются под прямым углом.

 

 

Источник: studopedia.net

4. Трапеция называется равнобедренной, если ее боковые стороны равны:

В равнобедренной трапеции

• углы при основании равны;
• проекции боковых сторон на основание равны: AE=FD.

Источник: studopedia.net

5. Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту:

Определение 3

Параллелограмм — это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны: 

Источник: studopedia.net

В параллелограмме:

• противоположные стороны и противоположные углы равны;
• диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам:

Источник: studopedia. net

Соответственно, если четырехугольник обладает этими свойствами, то он является параллелограммом.

Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту:

 S=bh

или произведению сторон на синус угла между ними:

S=ab*sin a

 

Источник: studopedia.net

Определение 4

Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны

Источник: studopedia.net

В ромбе:

• противоположные углы равны;
• диагонали точкой пересечения делятся пополам;
• диагонали взаимно перпендикулярны;
• диагонали ромба являются биссектрисами углов.

Площадь ромба равна половине произведения диагоналей:

Источник: studopedia.net

или произведению квадрата стороны на синус угла между сторонами:

Источник: studopedia.net

Определение 5

Прямоугольник — это параллелограмм, у которого все углы прямые:

 Источник: studopedia. net

1. Диагонали прямоугольника равны.
2. Диагонали точкой пересечения делятся пополам.

Площадь прямоугольника равна произведению его сторон:

S=AB*AD

Определение 6

Квадрат — это ромб, у которого все углы прямые.

Соответственно, квадрат обладает свойствами ромба и прямоугольника:

 

Источник: studopedia.net

В квадрате:

• все углы равны 90°;
• диагонали точкой пересечения делятся пополам;
• диагонали взаимно перпендикулярны;
• диагонали  являются биссектрисами углов;
• диагонали равны.

Площадь квадрата равна квадрату его стороны.

Площадь квадрата равна половине произведения диагоналей.

Теорема, формула нахождения

Площади четырехугольников

Площадь параллелограмма

Источник: ankolpakov.ru

 1) S=a*ha=b*hb

произведение основания на высоту

 2) S=a*b*Sin∠A

произведение сторон на синус угла между ними

 3) S= 12 AC*BD*Sin∠COD

полупроизведение диагоналей на синус угла между ними.  

Площадь трапеции

Источник: ankolpakov.ru

1) S=BC+AD2 * BH

произведение полусуммы оснований на высоту

 2) S=MN * BH

 3) S=12 AC * BD*Sin ∠ COD

полупроизведение диагоналей на синус угла между ними

Площадь произвольного четырехугольника

Источник: dl5.ankiweb.net

S=12 AC * BD * Sin ∠ COD

Площадь произвольного четырехугольника равна полупроизведению его диагоналей на синус угла между ними

Свойства параллелограмма

Источник: lh4.googleusercontent.com

В параллелограмме:

• противолежащие стороны и углы равны;
• диагонали пересекаются и в точке пересечения делятся пополам;
• сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон, то есть.

 AC2+BD=2AB2-2BC2

Средняя линия в трапеции

 

Источник: urok.1sept.ru

Теорема 1

Теорема о средней линии

Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Средняя линия в равнобедренной трапеции

Средняя линия в равнобедренной трапеции равна отрезку нижнего основания, соединяющему вершину основания с снованием проведенной к ней высоты.

Теорема 2

Четыре замечательные точки в трапеции

В любой трапеции точка пересечения диагоналей, точка пересечения продолжений боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.

Примеры решения задач

Задача

Найти углы четырехугольника, если они относятся как 2 : 3 : 3 : 4.

Решение

Задачи, в которых известно соотношение всех элементов и их сумма, решаются по одной схеме. Обозначим величины углов как 2х, 3х, 3х, 4х (см. рис. 1).

Рис. 1. Иллюстрация к задаче 1

Источник: answer-id.com

Сумма углов четырехугольника равна 360°

2x+3x+3x+4x=360°

12x=360°

x=30°

Следовательно, величины углов равны: первый угол 2x=60°, второй и третий углы 3x=90°, четвертый угол 4x=120°.

Ответ: 60°‚ 90°‚ 90°‚ 120°.

Как вычислить площадь четырехугольника

Если известны диагональ и длины перпендикуляров, проведенных из вершин, площадь четырехугольника можно определить следующим образом: Площадь = 12 × длина диагонали × сумма длин сторон перпендикулярно.

Четырехугольник представляет собой замкнутую фигуру с четырьмя отрезками, определяющими его. Существуют правильные или неправильные четырехугольники. Правильный четырехугольник – это тот, у которого все четыре стороны имеют одинаковую длину. Неправильный четырехугольник – это четырехугольник, который не является правильным.

Площадь четырехугольника

Площадь четырехугольника определяется как площадь, ограниченная сторонами четырехугольника. Он измеряется в квадратных единицах, таких как м2, см2, дюйм2 и так далее. Метод вычисления площади четырехугольника зависит от типа четырехугольника и доступной информации. Если четырехугольник не принадлежит ни к одному из перечисленных выше видов, его площадь можно найти, разделив его на два треугольника или воспользовавшись методом получения площади четырехугольника с четырьмя сторонами (называемым формулой Бретшнейдера). Формулы для вычисления площади четырехугольника, не входящего ни в одну из обычных категорий, можно найти здесь.

Формула площади четырехугольника

Разделение на два треугольника:

Площадь=12 ×d×(h2+h3)

Формула площади четырехугольника с использованием сторон четырехугольник, если известны стороны и два противоположных угла. Рассмотрим четырехугольник со сторонами a, b, c и d и противолежащими углами 1 и 2.

Площадь четырехугольника = s-as-bs-cs-d-abcθ/2

периметр=(а+b+с+d)/2

And θ= 1+2

Площадь четырехугольника по формуле Герона

по формуле Герона. Используя формулу Герона, мы можем вычислить площадь четырехугольника.

Площадь треугольника с 3 сторонами определяется как: Площадь = ss-as-bs-c

Здесь s — полупериметр, который задается как s=(a+b+c)/2

Используя a диагональ, разделите ее на два треугольника (используйте диагональ, длина которой известна).

Чтобы найти площадь каждого треугольника, используйте формулу Герона.

Площадь четырехугольника вычисляется путем сложения площадей двух треугольников.

Площадь четырехугольника Примеры

Четырехугольники и их площади имеют множество практических применений в области дизайна, сельского хозяйства и архитектуры. Эта идея чрезвычайно полезна при сложном создании навигационных карт, которые точно масштабируются в соответствии с реальными расстояниями и площадями. Количество единичных квадратов, которые могут поместиться внутри четырехугольника, определяет его площадь.

Пример

Вычислите площадь четырехугольника, диагональ которого равна 15 см, а сумма высот двух треугольников равна 12 см.

Раствор.

Площадь четырехугольника определяется как Площадь = 12 × диагонали × (сумма высот двух треугольников)

Итак, Площадь = 12 × 12 × 15

 Площадь = 90 см2

 Что такое четырехугольник?

Четырехугольник представляет собой замкнутую фигуру, полученную путем объединения четырех точек, любые три из которых не лежат на одной прямой. Четырехугольник состоит из четырех сторон, четырех углов и четырех вершин. Термин «четырехугольник» происходит от латинской фразы, означающей «четыре стороны» и «квадра». Четыре стороны четырехугольника могут быть, а могут и не быть равными. Многоугольник с четырьмя сторонами, четырьмя углами и четырьмя вершинами называется четырехугольником. При именовании четырехугольника важно помнить порядок вершин.

Свойства четырехугольника

Каждый из четырехугольников, упомянутых выше, имеет свой уникальный набор характеристик. Однако есть несколько качеств, присущих всем четырехугольникам. Ниже приведены подробности.

• У них четыре стороны.

• Их четыре.

• Они разделены на две диагонали.

• Сумма всех внутренних углов составляет 360 градусов.

Выпуклые, вогнутые и пересекающиеся четырехугольники

Измерения углов и длин сторон четырехугольников используются для их классификации. Все эти формы четырехугольников имеют четыре стороны, а сумма их углов составляет 360 градусов, так как термин «квадрат» означает «четыре».

Другой способ классифицировать четырехугольники состоит в использовании следующих терминов:

• Четырехугольники, полностью содержащиеся в фигуре, известны как выпуклые четырехугольники.

• Вогнутые четырехугольники имеют по крайней мере одну диагональ, которая частично или полностью выходит за пределы фигуры.

• Пересекающиеся четырехугольники — это не простые четырехугольники с несмежными сторонами, которые пересекаются. Самопересекающиеся или скрещенные четырехугольники — это тип четырехугольника, который пересекает сам себя.

 

Мы видим множество замкнутых фигур с четырьмя сторонами различной формы, длины и ширины. Четырехугольники составляют эти четырехсторонние фигуры. Таким образом, четырехугольник представляет собой базовую замкнутую плоскую форму с четырьмя сторонами. Четырехугольники различной формы обладают разнообразными качествами, и некоторые из этих свойств делают их уникальными. Однако сумма внутренних углов всех четырехугольников будет одинаковой. К четырехугольникам относятся квадраты, прямоугольники, параллелограммы, ромбы, трапеции и воздушные змеи. Площадь четырехугольника определяется как Площадь = 12 × диагональ × (сумма высот двух треугольников)

 

Трапеция представляет собой четырехугольник только с одним набором параллельных противоположных сторон. Основания трапеции — ее параллельные стороны. Медиана — это отрезок, соединяющий середины непараллельных сторон.

 

Стороны и площади четырехугольника. Доктора математики

В прошлый раз мы рассматривали применение формулы Герона к задачам о площади треугольника, где для определения площади достаточно знать длины сторон; было мимолетное упоминание о том, что для четырехугольников нужно больше. Мы начнем с повторения этой идеи, а затем рассмотрим несколько частных случаев.

Четырех сторон недостаточно

Сначала рассмотрим вопрос из 1996 года:

 Площадь неправильного многоугольника с заданной длиной стороны
У меня вопрос: я пытаюсь определить площадь  квадратных метров участка  . Проблема в том, что он не прямоугольный. Размеры 4-х сторон по часовой стрелке сверху: 43,61, 133,64, 146,96 и 110,85. Я попытался разделить его на 3 части (2 прямоугольных треугольника и прямоугольник) и попробовал несколько разных формул, которые я нашел на вашей странице, но  кажется, у меня недостаточно информации, не зная хотя бы одного из углов  . 

Доктор Том ответил:

 Вы правы - нельзя определить площадь четырехугольника только по длинам сторон. Представьте, что у вас есть стержни указанной выше длины, которые соединены друг с другом на концах шарнирными соединениями. Должно быть ясно, что  все это может изгибаться таким образом, что могут образовываться совершенно разные формы  .  Если у вас есть длина любой из диагоналей или любого из углов, и вы знаете, вогнутый он или выпуклый, вы можете вычислить его. Только с боками вам не повезло. 

Чтобы проиллюстрировать, вот одна из возможных конфигураций свойства Пола (сплошные линии, площадь 9935,25) и другая (пунктирные линии, площадь 10 405,58), полученные путем перемещения вершин C и D так, чтобы сохранить все одинаковые длины:

Любой дополнительной информации, такой как угол, было бы почти , чтобы исправить форму. Но только если мы знаем, что он выпуклый. Вот еще вариант, зеленый, вогнутый, но с такими же сторонами и одним углом (явно с меньшей площадью, а именно 6140,14):

Итак, в общем случае для определения четырехугольника нам действительно понадобится 6 фактов.

Глядя на крайности

В качестве другой иллюстрации этой идеи рассмотрим вопрос из 2008 года:

 Имеют ли фигуры с равными сторонами одинаковую площадь?
Если у вас есть прямоугольник (рисунок A) со сторонами X и Y и площадью = X x Y, и вы не меняете длину сторон, а изменяете угол, образованный сторонами X и Y (т. е. уменьшаете с 90 до 85 градусов ) чтобы сделать цифру B,  почему площадь фигуры В  (рассчитанной по формуле 1/2 В x Н)  теперь меньше фигуры А?  Это кажется нелогичным, поскольку длины сторон обеих фигур A и B по-прежнему одинаковы. 

Я ответил на этот более общий вопрос, приведя аналогичный пример в более простом случае:

 Это только нелогично, если ваша «интуиция» ошибочно предполагает, что фигуры с одинаковыми сторонами должны иметь одинаковую площадь. Есть несколько способов  развить интуицию , чтобы убедиться, что истинный результат совершенно естественен.
Во-первых,  представьте себе прямоугольник, сделанный из соединенных между собой кусков металла , шарнирно закрепленных по углам. Он начинается как прямоугольник,
  о------------------о
  | |
  | |
  | |
  | |
  о------------------о
а потом становится
      о------------------о
     //
    //
   //
  о------------------о
что не так высоко, но  может показаться вам примерно такой же площадью  .  Отодвиньте его дальше и продолжайте смотреть:
           о------------------о
        //
     //
  о------------------о
            о------------------о
       //
  о------------------о
              о------------------о
  о------------------о
  о------------о-----о------------о
Теперь его площадь равна нулю! Есть ли какие-либо сомнения в том, что область все время менялась?  Это было не так очевидно, когда ты не заходил так далеко. 
Это метод, используемый математиками: проверить, может ли что-то быть  верно при любых обстоятельствах  (например, идея о том, что площадь не должна изменяться),  доведите это до крайности  и посмотрите, имеет ли это все еще смысл.
Другой способ сделать это немного более интуитивным — это подход, который ведет к исчислению. Думайте о прямоугольнике как о виде сбоку стопки карт:
  -----------------------
  -----------------------
  -----------------------
  -----------------------
  -----------------------
  -----------------------
Если вы переместите его так, чтобы сторона наклонилась, он сохранит ту же высоту, а не потеряет высоту, как это сделал наш другой прямоугольник; так как она все еще сделана из тех же карт, эта новая фигура должна иметь ту же площадь:
       -----------------------
      -----------------------
     -----------------------
    -----------------------
   -----------------------
  -----------------------
На этот раз, независимо от того, как далеко вы ее толкнете, высота останется прежней (хотя свая станет немного неустойчивой), а площадь останется прежней. 
                      -----------------------
                  -----------------------
              -----------------------
          -----------------------
      -----------------------
  -----------------------
Более того,  длина наклонной стороны увеличивается  ; так что вы можете видеть, что если вы сдвинете прямоугольник и сохраните длину этой стороны той же, вы потеряете площадь - некоторые карты должны быть удалены, чтобы сохранить длину.
Это помогает? 

Мы обсуждали тренировку интуиции в посте «Когда математика не имеет смысла».

Теперь давайте найдем некоторые фактические области, где у нас действительно достаточно информации!

Четырех сторон достаточно для трапеции

Вот хороший вопрос из 2008 года, который будет использовать наши идеи из прошлого раза:

 Площадь трапеции по длинам только сторон
Как бы вы нашли площадь трапеции без высоты, но когда все стороны известны, и вам не говорят, какие стороны параллельны?
Бывший.  длина сторон данной трапеции равна 1, 2, 3 и 4. Найдите площадь.
Как найти площадь без высоты? 

Мы знаем, что можем найти площадь трапеции, используя длины двух оснований и высоту (хотя этого недостаточно для определения ее формы!), используя формулу \(K = \displaystyle \frac{h (b_1 + b_2)}{2}\).

Итак, четырех сторон должно быть достаточно… за исключением той части, что неизвестно, какие стороны параллельны. Хм…

Я ответил:

 Интересный вопрос!
Вы можете найти площадь, не зная высоты заранее, но вы должны знать, какие стороны параллельны.  Различные пары параллельных сторон могут давать разные площади. 
Чтобы найти площадь 90 126, зная только стороны И, которые параллельны 90 127, вы можете нарисовать параллелограмм внутри трапеции:
      +---------+
     // \
    // \
   // \
  +---------+-----------+
Теперь вы знаете все три стороны треугольника, по которым можно найти его высоту. 

То есть мы могли бы использовать формулу Герона, чтобы найти площадь треугольника, а затем использовать высоту треугольника, чтобы найти площадь параллелограмма (или просто подставить эту высоту в формулу трапеции). Мы выполним это, как только выясним стороны ниже. Я начал исследовать, сделав обнадеживающее предположение:

 Давайте попробуем сделать это с очевидным первым выбором 2 и 4 для параллельных сторон:
           2
      +---------+
     // \
   1/ 1/ \3
   / 2 / 2 \
  +---------+-----------+
             4
Присмотревшись к треугольнику, мы видим, что это невозможно!  Теорема о неравенстве треугольника  утверждает, что  сумма любых двух сторон должна быть больше другой стороны  , но 1+2 = 3. Таким образом, 2-я и 4-я стороны не могут быть параллельны. 

Обратите внимание, как я нарисовал общий рисунок без учета фактической длины, просто чтобы дать мне подумать о процессе; но изображение, обозначенное как абсурд, так как треугольник действительно был бы отрезком. (Попробуйте нарисовать фигуру в масштабе, если вы не видите, что не так.)

Затем я проделал некоторую работу, чтобы определить, какие конфигурации дадут правильную цифру, которую я позволю вам прочитать самостоятельно, если вы хотите интересно. 2) = 3 Попробуйте решить это; вы получите довольно хорошее радикальное выражение после довольно тяжелой работы. Затем вы можете использовать это в формуле площади трапеции, чтобы найти нужную площадь. Альтернативный способ получить площадь — 92 = \frac{49}{9}\\ h = \sqrt{\frac{32}{9}} = \frac{4}{3}\sqrt{2}.$$

Наконец, площадь:

$$K = \frac{h(b_1 + b_2)}{2} = \frac{1}{2}\frac{4}{3}\sqrt{2}(1 + 4) = \frac{ 10}{3}\sqrt{2}.$$

Вызвать метод, описанный выше, метод высоты-первая или метод радикального уравнения .

Вот моя альтернатива, которую мы можем назвать методом , основанным на площади, или методом Герона :

. У треугольника есть стороны 2, 3 и 3, поэтому \(\displaystyle s = \frac{2 +3+3}{2} = 4\), а по формуле Герона его площадь равна $$\sqrt{4(4-2)(4-3)(4-3)} = \sqrt{4\cdot2\ cdot1\cdot1} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}.$$

Поскольку это равно \(\frac{1}{2}bh = \frac{3}{2}h,\), мы имеем \(h = \frac{2}{3}A = \frac{ 2}{3}2\sqrt{2} = \frac{4}{3}\sqrt{2}\), как и раньше, и мы получим ту же площадь. 2) Затем я добавил их вместе. (На моей картинке те же два треугольника, что и на вашей.)

Но есть и другие способы сделать это:

 Я также заметил, что мою альтернативную идею можно улучшить для этого конкретного случая, потому что мой треугольник оказался равнобедренным:
      +
    1/ \
    + . \3
  1/ч.\
  +-----------+
        3
Сначала мы можем найти площадь треугольника, взяв основание 2 и найдя высоту до этого основания, как показано выше, по теореме Пифагора.
      +
     /: \
   2/: ч \3
   / : \
  +---+-------+
        3
Затем, взяв за основу 3, как показано здесь, мы можем использовать известную площадь, чтобы найти высоту h, и использовать ее, чтобы найти площадь параллелограмма. 92} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2},\), поэтому площадь треугольника равна $$K = \frac{1}{2}bh = \frac{1}{2}2\cdot2 \sqrt{2} = 2\sqrt{2}.$$ Дальнейшая работа выполняется так же, как в методе Герона. Назовите этот метод  равнобедренного специального случая  . 
 
 Можете ли вы найти другие способы сделать это? 
  
 Самый большой четырехугольник с заданными сторонами 
  
 Есть еще одна вещь, которую следует сказать о попытках найти площадь четырехугольника, зная только стороны: мы можем, по крайней мере, определить наибольшую возможную площадь.  Я иногда делал это для кого-то, кто знал только стороны своей собственности; часто площадь будет достаточно близкой к максимальной, так что об этом стоит сказать им. Вот одно из двух обсуждений, которые у нас были по этому поводу с 2001 года: 
 
 Максимальная площадь четырехугольника
Вот вопрос: для данного четырехугольника со сторонами длины a, b, c и d,  доказать, что его площадь максимальна, когда противоположные углы являются дополнительными .
Я сидел над этим вопросом неделями. Я попробовал исчисление, используя площадь как a * b * sin (угол между ними) и взяв производную. Я застрял со слишком большим количеством переменных. Я часто видел этот факт, но не как его доказать.
Мой последний шанс? Доктор Математика! 
 Вот картинка:
 Доктор Рик принял вызов: 92 (бета))
Возьмите производную от K по альфе, используя формулу производной от cos(beta) по альфе там, где вам это нужно. Вы закончите с
 dK/d(альфа) = a*b/(2*sin(бета))*sin(альфа+бета) 

Все это было дано Мартину в качестве инструкций, чтобы он мог выполнить работу сам, но это уже давно устарело. 2 + 2ab \ cos \ alpha} {2cd} = — \ frac {ab} {cd} \ sin \ альфа$$ 92\beta}}\cdot -\frac{ab}{cd}\sin\alpha =\\ \frac{1}{2}ab\left(\cos\alpha + \frac{\cos\beta}{\ sin\beta}\sin\alpha\right) = \frac{1}{2}ab \frac{\sin(\alpha+\beta)}{\sin\beta}.$$

 Производная равна нулю, когда альфа +бета = 180 градусов. Приложив немного больше усилий, я уверен, вы сможете показать, что это условие дает максимум K. 

Итак, у нас есть условие для возможной максимальной площади, которая на самом деле оказывается максимальной.

Теорема Бретшнайдера: вписанные четырехугольники

Доктор Рик закончил со ссылкой на следующую страницу из 2000 года, которая дает геометрический/тригонометрический подход к вопросу о максимальной площади:

 Теорема Бретшнайдера и циклические четырехугольники
Мой преподаватель исчисления III поднял эту задачу в классе:  Докажите, что максимизация любого четырехугольника со сторонами ABCD означает вписывание его в окружность  . 2)).
Когда этот четырехугольник был вписан, я увидел, что противоположные углы будут дополнительными, и, следовательно, площадь будет максимальной, потому что член косинуса будет равен 0.
Мой профессор похлопал меня по спине и сказал: «Теперь докажите теорему. И пока вы это делаете, объясните, почему определение четырехугольника с дополнительными противоположными углами означает, что его можно вписать в окружность».
Любое понимание доказательства этой теоремы было бы полезно. Я не знаю, с чего начать. Также я знаю, что четырехугольник, вписанный в круг, имеет противоположные углы, сумма которых составляет 180 градусов, но я не знаю, как показать обратное, что если четырехугольник имеет дополнительные противоположные углы, то его можно поместить внутри круга. 92\frac{A+C}{2}};$$, так как квадрат косинуса всегда положителен, эта площадь наименьшая, когда косинус равен нулю, так что \(\frac{A+C}{2}\) 90°, так что \(A+C = 180°\). 
 
 Я опускаю доказательство теоремы доктора Роба (этот пост уже достаточно длинный), но вот что он сказал о вписанности четырехугольника в окружность: 
 
 Чтобы показать, что когда противоположные углы являются дополнительными, четырехугольник является циклическим не слишком сложно.  Выберите один из двух углов, скажем 
 Итак, у самого большого четырехугольника для данного набора сторон все вершины лежат на окружности.
 Давайте применим это к первой проблеме, которую мы рассмотрели.
No related posts.