По каким точкам строится парабола: Построение параболы, с примерами

Построение параболы, с примерами

Алгоритм построения графика параболы

Если парабола задана уравнением , то чтобы построить ее график, понадобится:

1. Выяснить направление ветвей параболы: если коэффициент , то ветви направлены вверх, а если – вниз.
2. Определить координаты вершины параболы. Чтобы определить абсциссу вершины параболы пользуются формулой

      

   Для определения ординаты вершины параболы нужно подставить в уравнение параболы вместо найденное в предыдущем шаге значение :

      

3. Нанести полученную точку на график и провести через неё ось симметрии, параллельно координатной оси .
4. Найти точки пересечения с осями координат:

– с осью – найти корни уравнения , если уравнение не имеет действительных корней, то график не пересекает ось абсцисс,

– с осью – подставить в уравнение значение и вычислить значение .

5. Найти координаты произвольной точки , которая принадлежит параболе. Для этого возьмем произвольное значение и подставим его в уравнение параболы.
6. Соединить полученные точки на графике плавной линией и продолжить график за крайние точки, до конца координатной оси.

Примеры решения задач

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Квадратичная функция и ее график

В этой статье мы поговорим о том, что такое квадратичная функция, научимся строить ее график и определять вид графика в зависимости от знака дискриминанта и знака старшего коэффициента.

Итак.

Функция вида , где  называется квадратичной функцией.

В уравнении квадратичной функции:

a — старший коэффициент

b — второй коэффициент

с  — свободный член.

Графиком квадратичной функции является квадратичная парабола, которая для функции  имеет вид:

Обратите внимание на точки, обозначенные зелеными кружками — это, так называемые «базовые точки». Чтобы найти координаты этих точек для функции , составим таблицу:

Внимание! Если в уравнении квадратичной функции старший коэффициент , то график квадратичной функции имеет ровно такую же форму, как график функции  при любых значениях остальных коэффициентов.

График  функции  имеет вид:

Для нахождения координат базовых точек составим таблицу:

 

Обратите внимание, что график функции  симметричен графику функции относительно оси ОХ.

Итак, мы заметили:

Если старший коэффициент a>0, то ветви параболы напрaвлены вверх.

Если старший коэффициент a<0, то ветви параболы напрaвлены вниз.

Второй параметр для построения графика  функции — значения х, в которых функция равна нулю, или нули функции. На графике нули функции  — это точки пересечения графика функции с осью ОХ.

Поскольку ордината (у) любой точки, лежащей на оси ОХ равна нулю, чтобы найти координаты  точек  пересечения графика функции с осью ОХ, нужно решить уравнение .

В случае квадратичной функции  нужно решить квадратное уравнение .

Теперь внимание!

В процессе решения квадратного уравнения мы находим дискриминант: , который определяет число корней квадратного уравнения.

И здесь возможны три случая:

1. Если ,то уравнение  не имеет решений, и, следовательно, квадратичная парабола  не имеет точек пересечения с осью ОХ. Если ,то график функции выглядит как-то так:

2. Если ,то уравнение  имеет одно решение, и, следовательно, квадратичная парабола   имеет одну точку пересечения с осью ОХ. Если ,то график функции выглядит примерно так:

3.  Если ,то уравнение  имеет два решения, и, следовательно, квадратичная парабола   имеет две точки пересечения с осью ОХ:

,  

Если ,то график функции выглядит примерно так:

Следовательно, зная направление ветвей параболы и знак дискриминанта, мы уже можем в общих чертах определить, как выглядит график нашей функции.

Следующий важный параметр графика квадратичной функции — координаты вершины параболы:

 

Прямая, проходящая через вершину параболы параллельно оси OY является осью симметрии параболы.

И еще один параметр, полезный при построении графика функции — точка пересечения параболы  с осью OY.

Поскольку абсцисса любой точки, лежащей на оси OY равна нулю, чтобы найти точку пересечения параболы  с осью OY, нужно в уравнение параболы вместо х подставить ноль: .

То есть точка пересечения параболы с осью OY имеет координаты (0;c).

Итак, основные параметры графика квадратичной функции показаны  на рисунке:

Рассмотрим несколько способов построения квадратичной параболы. В зависимости от того, каким образом задана квадратичная функция, можно выбрать наиболее удобный.

1. Функция задана формулой .

Рассмотрим общий алгоритм построения графика квадратичной параболы на примере построения графика функции 

1. Направление ветвей параболы.

Так как ,ветви параболы направлены вверх.

2. Найдем дискриминант квадратного трехчлена 

 

Дискриминант квадратного трехчлена больше нуля, поэтому парабола имеет две точки пересечения с осью ОХ.

Для того, чтобы найти их координаты, решим уравнение: 

,  

3.   Координаты  вершины параболы:

4. Точка пересечения параболы с осью OY: (0;-5),и ей симметричная относительно оси симметрии параболы.

Нанесем эти точки на координатную плоскость, и соединим их плавной кривой:

Этот способ можно несколько упростить.

1. Найдем координаты вершины параболы.

2. Найдем координаты точек, стоящих справа и слева от вершины.

Воспользуемся результатами построения графика функции

Кррдинаты вершины параболы

Ближайшие к вершине точки, расположенные  слева от вершины имеют абсциссы соответственно -1;-2;-3

Ближайшие к вершине точки, расположенные справа имеют абсциссы  соответственно 0;1;2

Подставим значения х в уравнение функции, найдем ординаты этих точек и занесем их  в таблицу:

Нанесем эти точки на координатную плоскость и соединим плавной линией:

2.  Уравнение квадратичной функции имеет вид  — в этом уравнении — координаты вершины параболы

или в уравнении квадратичной функции  , и второй коэффициент — четное число.

Построим для примера график функции .

Вспомним линейные преобразования графиков функций. Чтобы построить график функции , нужно

• сначала построить график функции ,
• затем одинаты всех точек графика умножить на 2,
• затем сдвинуть его вдоль оси ОХ на 1 единицу вправо,
• а затем вдоль оси OY на 4 единицы вверх:

Теперь рассмотрим построение  графика функции . В уравнении этой функции , и второй коэффициент — четное число.

Выделим в уравнении функции полный квадрат: 

Следовательно,  координаты вершины параболы: . Старший коэффициент равен 1, поэтому построим по шаблону параболу с вершиной в точке (-2;1):

3.  Уравнение квадратичной функции имеет вид y=(x+a)(x+b)

Построим для примера график функции y=(x-2)(x+1)

1. Вид уравнения функции позволяет легко найти нули функции — точки пересечения графика функции с осью ОХ:

(х-2)(х+1)=0, отсюда 

2. Координаты вершины параболы:

3. Точка пересечения с осью OY: с=ab=(-2)(1)=-2 и ей симметричная.

Нанесем эти точки на  координатную плоскость и построим график:

 

График квадратичной функции.

Перед вами график квадратичной функции вида .

Кликните по чертежу.
Подвигайте движки.
Исследуйте зависимость
— ширины графика функции от значения коэффициента ,
— сдвига графика функции вдоль оси от значения  

,

— сдвига графика функции вдоль оси от значения  
— направления ветвей параболы от знака коэффициента
— координат вершины параболы

от значений и :

Скачать таблицу квадратичная функция

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Что такое парабола, каноническое уравнение, как найти координаты вершины параболы формула, построение оси симметрии по квадратному уравнению

Что такое парабола знают, пожалуй, все. А вот как ее правильно, грамотно использовать при решении различных практических задач, разберемся ниже.

Сначала обозначим основные понятия, которые дает этому термину алгебра и геометрия. Рассмотрим все возможные виды этого графика.

Узнаем все основные характеристики этой функции. Поймем основы построения кривой (геометрия). Научимся находить вершину, другие основные величины графика данного типа.

Узнаем: как правильно строится искомая кривая по уравнению, на что надо обратить внимание. Посмотрим основное практическое применение этой уникальной величины в жизни человека.

Что такое парабола и как она выглядит

Алгебра: под этим термином понимается график квадратичной функции.

Геометрия: это кривая второго порядка, имеющая ряд определенных особенностей:

1. Любая прямая пересекает на плоскости искомую линию в 2-х точках – так называемые, «нули» (кроме основного экстремума графика).
2. Множество точек плоскости ХОY (М), расстояние FM которых до F = расстоянию MN до прямой Где F – фокус, AN – директриса. Эти понятия рассмотрим ниже.

Каноническое уравнение параболы

На рисунке изображена прямоугольная система координат (XOY), экстремум, направление ветвей чертежа функции вдоль оси абсцисс.

Каноническое уравнение имеет вид:

y2 = 2 * p * x,

где коэффициент p – фокальный параметр параболы (AF).

В алгебре оно запишется иначе:

y = a x2 + b x + c (узнаваемый шаблон: y = x2).

Свойства и график квадратичной функции

Функция обладает осью симметрии и центром (экстремум). Область определения – все значения оси абсцисс.

Область значений функции – (-∞, М) или (М, +∞) зависит от направления ветвей кривой. Параметр М тут означает величину функции в вершине линии.

Как определить, куда направлены ветви параболы

Чтобы найти направление кривой такого типа из выражения, нужно определить знак перед первым параметром алгебраического выражения. Если а ˃ 0, то они направлены вверх. Если наоборот – вниз.

Как найти вершину параболы по формуле

Нахождение экстремума является основным этапом при решении множества практических задач. Конечно, можно открыть специальные онлайн калькуляторы, но лучше это уметь делать самому.

Как же ее определить? Есть специальная формула. Когда b не равно 0, надо искать координаты этой точки.

Формулы нахождения вершины:

• x0 = -b / (2 * a),
• y0 = y (x0).

Пример.

Имеется функция у = 4 * x2 + 16 * x – 25. Найдём вершины этой функции.

Для такой линии:

• х = -16 / (2 * 4) = -2,
• y = 4 * 4 — 16 * 2 — 25 = 16 — 32 — 25 = -41.

Получаем координаты вершины (-2, -41).

Смещение параболы

Классический случай, когда в квадратичной функции y = a x2 + b x + c, второй и третий параметры равны 0, а = 1 – вершина находится в точке (0, 0).

Движение по осям абсцисс или ординат обусловлено изменением параметров b и c соответственно. Сдвиг линии на плоскости будет осуществляться ровно на то количество единиц, чему равно значение параметра.

Пример.

Имеем: b = 2, c = 3.

Это означает, что классический вид кривой сдвинется на 2 единичных отрезка по оси абсцисс и на 3 по оси ординат.

Как строить параболу по квадратному уравнению

Школьникам важно усвоить, как правильно начертить параболу по заданным параметрам.

Анализируя выражения и уравнения, можно увидеть следующее:

1. Точка пересечения искомой линии с вектором ординат будет иметь значение, равное величине с.
2. Все точки графика (по оси абсцисс) будут симметричны относительно основного экстремума функции.

Кроме того, места пересечения с ОХ можно найти, зная дискриминант (D) такой функции:

D = (b2 4 * a * c).

Для этого нужно приравнять выражение к нулю.

Наличие корней параболы зависит от результата:

• D ˃ 0, то х1, 2 = (-b ± D0,5) / (2 * a),
• D = 0, то х1, 2 = -b / (2 * a),
• D ˂ 0, то нет точек пересечения с вектором ОХ.

Получаем алгоритм построения параболы:

• определить направление ветвей,
• найти координаты вершины,
• найти пересечение с осью ординат,
• найти пересечение с осью абсцисс.

Пример 1.

Дана функция у = х2 5 * х + 4. Необходимо построить параболу. Действуем по алгоритму:

1. а = 1, следовательно, ветви направлены вверх,
2. координаты экстремума: х = (-5) / 2 = 5/2, y = (5/2)2 — 5 * (5/2) + 4 = -15/4,
3. с осью ординат пересекается в значении у = 4,
4. найдем дискриминант: D = 25 — 16 = 9,
5. ищем корни:

• Х1 = (5 + 3) / 2 = 4, (4, 0),
• Х2 = (5 — 3) / 2 = 1, (1, 0).

По полученным точкам можно построить параболу.

Пример 2.

Для функции у = 3 * х2 2 * х 1 нужно построить параболу. Действуем по приведенному алгоритму:

1. а = 3, следовательно, ветви направлены вверх,
2. координаты экстремума: х = (-2) / 2 * 3 = 1/3, y = 3 * (1/3)2 — 2 * (1/3) — 1 = -4/3,
3. с осью у будет пересекаться в значении у = -1,
4. найдем дискриминант: D = 4 + 12 = 16. Значит корни:

• Х1 = (2 + 4) / 6 = 1, (1,0),
• Х2 = (2 — 4) / 6 = -1/3, (-1/3, 0).

По полученным точкам можно построить параболу.

Директриса, эксцентриситет, фокус параболы

Исходя из канонического уравнения, фокус F имеет координаты (p/2, 0).

Прямая АВ – директриса (своего рода хорда параболы определенной длины). Ее уравнение: х = -р/2.

Эксцентриситет (константа) = 1.

Заключение

Мы рассмотрели тему, которую изучают школьники в средней школе. Теперь вы знаете, глядя на квадратичную функцию параболы, как найти её вершину, в какую сторону будут направлены ветви, есть ли смещение по осям, и, имея алгоритм построения, сможете начертить её график.

Построение графика квадратичной функции — Youclever.org

Важное замечание!
Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

Чтобы понять то, что здесь будет написано, тебе нужно хорошо знать, что такое квадратичная функция, и с чем ее едят. Если ты считаешь себя профи по части квадратичных функций, добро пожаловать. Но если нет, тебе стоит прочитать тему «Квадратичная функция».

Начнем с небольшой проверки:

1. Как выглядит квадратичная функция в общем виде (формула)?
2. Как называется график квадратичной функции?
3. Как влияет старший коэффициент на график квадратичной функции?

Если ты сходу смог ответить на эти вопросы, продолжай читать. Если хоть один вопрос вызвал затруднения, перейди по ссылке.

Итак, ты уже умеешь обращаться с квадратичной функцией, анализировать ее график и строить график по точкам.

Ну что же, вот она:  .

Давай вкратце вспомним, что делают коэффициенты.

1. Старший коэффициент   отвечает за «крутизну» параболы, или, по-другому, за ее ширину: чем больше  , тем парабола у́же (круче), а чем   меньше, тем парабола шире (более пологая).
2. Свободный член   – это координата пересечения параболы с осью ординат.
3. А коэффициент   каким-то образом отвечает за смещение параболы от центра координат. Вот об этом сейчас подробнее.

С чего мы всегда начинаем строить параболу? Какая у нее есть отличительная точка?

Это вершина. А как найти координаты вершины, помнишь?

Абсцисса ищется по такой формуле:

 .

Вот так: чем больше  , тем левее смещается вершина параболы.

Ординату вершины можно найти, подставив   в функцию:

 .

Подставь сам и посчитай. Что получилось?

Если сделать все правильно и максимально упростить полученное выражение, получится:

 .

Получается, что чем   больше по модулю, тем выше будет вершина параболы.

Перейдем, наконец, к построению графика.
Самый простой способ – строить параболу, начиная с вершины.

Пример:

Построить график функции  .

Решение:

Для начала определим коэффициенты:  .

Теперь вычислим координаты вершины:

 

 

А теперь вспоминаем: все параболы с одинаковым старшим коэффициентом выглядят одинаково. Значит, если мы построим параболу   и переместим ее вершиной в точку  , получится нужный нам график:

Просто, правда?

Остается только один вопрос: как быстро рисовать параболу? Даже если мы рисуем параболу с вершиной в начале координат, все равно приходится строить ее по точкам, а это долго и неудобно. А ведь все параболы выглядят одинаково, может, есть способ ускорить их рисование?

Когда я учился в школе, учительница математики сказала всем вырезать из картона трафарет в форме параболы, чтобы быстро ее чертить. Но с трафаретом везде ходить не получится, да и на экзамен его взять не разрешат. Значит, не будем пользоваться посторонними предметами, а будем искать закономерность.

Рассмотрим простейшую параболу  . Построим ее по   точкам:

Закономерность здесь такая. Если из вершины сместиться вправо (вдоль оси  ) на  , и вверх (вдоль оси  ) на  , то попадем в точку параболы. Дальше: если из этой точки сместиться вправо на   и вверх на  , снова попадем в точку параболы. Дальше: вправо на   и вверх на  . Дальше что? Вправо на   и вверх на  . И так далее: смещаемся на   вправо, и на следующее нечетное число вверх. То же самое потом проделываем с левой веткой (ведь парабола симметрична, то есть ее ветви выглядят одинаково):

Отлично, это поможет построить из вершины любую параболу со старшим коэффициентом, равным  . Например, нам стало известно, что вершина параболы находится в точке  . Построй (самостоятельно, на бумаге) эту параболу.

Построил?

Должно получиться так:

Теперь соединяем полученные точки:

Вот и все.

ОК, ну что же, теперь строить только параболы с  ?

Конечно, нет. Сейчас разберемся, что с ними делать, если  .

Рассмотрим несколько типичных случаев.

1.  .

   То есть функция выглядит как  . Ну что же здесь сложного? Просто переворачиваем параболу рогами вниз, и все.То есть, теперь будем двигаться так:

   •   вправо –  вниз
   •   вправо –  вниз
   •   вправо –    вниз
   • и т.д.

   И то же самое, только влево:
   

2.  .

   Что делать, если, например,  ?Все просто: начинаем так же:   вправо, но когда дело доходит до «вверх», любое число увеличиваем в   раза:

   •   вправо –   вверх
   •   вправо –   вверх
   •   вправо –   вверх
   • и т.д.

   Аналогично в случае  :

   •   вправо –   вниз
   •   вправо –   вниз
   •   вправо –   вниз
   • и т.д.

   В общем случае так:   вправо –   вверх   вправо –   вверх   вправо –   вверх и т.д.

   Если  , то вместо «вверх» делаем «вниз».

3. А если  ?
   Принцип тот же: каждый шаг вправо или влево сопровождается шагом вверх или вниз, равным какому-то нечетному числу, умноженному на  . Но отмерять нецелые (дробные) отрезки всегда лень. Поэтому иногда удобнее сделать по-другому: шаг вправо или влево делать не  , а  . Тогда вверх/вниз придется смещаться на целые  ,  ,  ,  , … клеток.

   Например: построим график  . Будем откладывать:

   • вправо   – вниз  
   • вправо   – вниз  
   • вправо   – вниз  

   и затем то же самое влево.

   

Отлично, параболу рисовать научились, давай теперь потренируемся на настоящих функциях.

Итак, нарисуй графики таких функций:

1.  
2.  
3.  
4.  

Ответы:

1.  :

2.  

3. Вершина:  .

Помнишь, что делать, если старший коэффициент меньше  ?

Смотрим на знаменатель дроби: он равен  . Значит, будем двигаться так:

•   вправо –   вверх
•   вправо –   вверх
•   вправо –   вверх

и так же влево:

4. Вершина:  .

Ой, а что с этим делать? Как отмерять клетки, если вершина где-то между линиями?..

А мы схитрим. Нарисуем сперва параболу, а уже потом переместим ее вершиной в точку  . Даже нет, поступим еще хитрее: нарисуем параболу, а потом переместим оси:   – на   вверх, а   – на   вправо:

Этот прием очень удобен в случае любой параболы, запомни его.

Рассмотрим еще один способ записи квадратичной функции: выделение полного квадрата. Этот способ был подробно описан в теме «Квадратные уравнения».

Напомню, что мы можем представить функцию   в таком виде:

 .

Например:  .

Или:  .

Что это нам дает?

Дело в том, что число, которое вычитается из   в скобках ( ) – это абсцисса вершины параболы, а слагаемое за скобками ( ) – ордината вершины.

Это значит, что, построив параболу  , нужно будет просто сместить ось   на   влево и ось   на   вниз.

Пример: построим график функции  .

Выделим полный квадрат:

 .

Какое число вычитается из   в скобках? Это   (а не  , как можно решить, не подумав).

Итак, строим параболу  :

Теперь смещаем ось   на   вниз, то есть на   вверх:

А теперь –   на   влево, то есть на   вправо:

Вот и все. Это то же самое, как переместить параболу   вершиной из начала координат в точку  , только прямые оси двигать намного легче, чем кривую параболу.

Теперь, как обычно, сам:

1.  
2.  

И не забывай стирать ластиком старые оси!

Я в качестве ответов для проверки напишу тебе ординаты вершин этих парабол:

1.  ;
2.  .

Все сошлось?

Если да, то ты молодец! Уметь обращаться с параболой – очень важно и полезно, и здесь мы выяснили, что это совсем не трудно.

ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА КВАДРАТИЧНОЙ ФУНКЦИИ. КОРОТКО О ГЛАВНОМ

Квадратичная функция — функция вида  , где  ,   и   ­– любые числа (коэффициенты),   – свободный член.

График квадратичной функции — парабола.

Если коэффициент  , ветви параболы направлены вниз, если   — ветви параболы направлены вверх. Чем больше значение   (по модулю), тем у́же становится парабола (ветви становятся более крутыми). И наоборот, чем меньше  , тем парабола шире.

Вершина параболы: 
 , т.е. чем больше b, тем левее смещается вершина параболы.
Подставляем   в функцию   и получаем:
 , т.е. чем b больше по модулю, тем выше будет вершина параболы

Свободный член   – это координата пересечения параболы с осью ординат.

ОСТАВШИЕСЯ 2/3 СТАТЬИ ДОСТУПНЫ ТОЛЬКО УЧЕНИКАМ YOUCLEVER!

Стать учеником YouClever,

Подготовиться к ОГЭ или ЕГЭ по математике по цене «чашка кофе в месяц», 

А также получить бессрочный доступ к учебнику «YouClever», Программе подготовки (решебнику) «100gia», неограниченному пробному ЕГЭ и ОГЭ, 6000 задач с разбором решений и к другим сервисам YouClever и 100gia.

можно кликнув по этой ссылке.

 

 

 

 

Квадратичная функция. Как построить параболу?

Квадратичная функция – это функция вида \(y=ax^2+bx+c\). График квадратичной функции – парабола.

Примеры:

\(y= x^2+6x+5\)		\(y=x^2-4x+5\)
\(y=-2x^2-4x+4\)		\(y=-3x^2+21x-34\)

«Анатомия» квадратичной функции:

\(x_в\) и \(y_в\) – координаты вершины параболы. \(x_в\) можно найти с помощью формулы: \(x_в=\frac{-b}{2a}\). \(y_в\) можно найти подставив в формулу квадратичной функции вместо \(x\) значение \(x_в: y_в=ax_в^2+bx_в+с\)
Ось симметрии проходит через вершину параболы и параллельна оси \(y\) (ординат). \(x_1\) и \(x_2\) – нули функции. Их можно найти, приравняв формулу функции к нулю и решив соответствующее квадратное уравнение.

3 параметра позволяющих сопоставить формулу квадратичной функции и график:

1.	\(a>0\) — ветви параболы направлены вверх
	\(a<0\) — ветви параболы направлены вниз
2.	\(c\) равна ординате точки пересечения графика с осью \(y\)
3.	координата вершины параболы \(x_в=-\frac{b}{2a}\)

Пример (задание из ОГЭ). На рисунке изображён график квадратичной функции \(y=ax^2+bx+c\)

Какие знаки параметров \(a\) и \(c\)?

Решение:

Ветви параболы направлены вниз, значит \(a<0\)
График функции пересекает ось \(y\) в точке лежащий ниже оси \(x\), значит \(c<0\)

Ответ: \(a<0\),\(c<0\)

Пример (задание из ОГЭ). Установите соответствие между квадратичными функциями и их графиками:

Решение:
Во втором графике ветви параболы направлены вниз, значит \(a<0\). Под этот график подходит только функция под буквой В.
Во втором и третьем графике \(a>0,c=1\) – по этим параметрам нам определить их функции. Тогда найдем \(x_в\) функций под буквой А и Б:

А. \(y=x^2-5x+1\)      \(x_в=\frac{5}{2}=2,5\) так же как на графике 1
Б. \(y=x^2+5x+1\)      \(x_в= \frac{-5}{2}=-2,5\) так же как на графике 3

Ответ:  

Как построить график квадратичной функции (параболу)?

Квадратичную функцию можно строить, как и все остальные, выбирая точки наугад (подробнее можно прочитать здесь). Но есть способ позволяющий строить параболу быстрее, выбирая точки осмысленно.

1. Найдите координаты вершины параболы. Поставьте точку вершины на координатной плоскости и проведите через неё ось симметрии параболы.
2. Найдите точку пересечения графика с осью \(y\): \(x=0;y=c\). Постройте точку симметричную точке \((0;c)\) относительно оси параболы.
3. Найдите координату целой точки, лежащей вблизи оси параболы.  Отметьте  симметричную ей точку на плоскости.


4. Соедините точки плавной линией.

\(a=2\), \(b=8\), \(c=2\) 1. \(x_в=\frac{-b}{2a}=\frac{-8}{2 \cdot 2}=-2\) \(y_в=2 \cdot (-2)^2+8 \cdot (-2)+2=2 \cdot 4-16+2=-6\)
2. \(x=0, y=2\)
3. При \(x=-3\), \(y=2 \cdot (-3)^2+8 \cdot (-3)+2=2 \cdot 9-24+2=20-24=-4\)
Готово!

Связь квадратичной функции и квадратных уравнений:

Давайте сравним общий вид квадратичной функции и общий вид квадратного уравнения:

\(y=ax^2+bx+c\)

\(ax^2+bx+c=0\)

И там, и там есть квадратный трехчлен \(ax^2+bx+c\). Разница в том, что в функции мы исследуем все возможные значения трехчлена, а в уравнении мы ищем \(x\), при которых значение трехчлена будет равно нулю или при каких \(x\), \(y=0\). Поэтому по графику функции \(y=ax^2+bx+c\) легко определить корни уравнения \(ax^2+bx+c=0\).

Пример:

\(y=x^2+6x+5\)	\(y=x^2-4x+5\)
Судя по графику, корнями уравне- ния \(x^2+6x+5=0\) будут \(x_1=-5\) и \(x_2=-1\)	У уравнения \(x^2-4x+5=0\) нет корней, т.к. нету \(x\) при которых y будет равен нулю (функция не пересекает ось \(x\))

Смотрите также:
Линейная функция
Виды графиков функций
Квадратные неравенства

Скачать статью

Как построить параболу | Алгебра

Как построить параболу? Существует несколько способов построения графика квадратичной функции. Каждый из них имеет свои плюсы и минусы. Рассмотрим два способа.

Начнём с построения графика квадратичной функции вида y=x²+bx+c и y= -x²+bx+c.

График квадратичной функции y=x²+bx+c — парабола, ветви которой направлены вверх. Для построения графика достаточно найти координаты вершины параболы. Абсцисса вершины параболы находится по формуле

   

для нахождения ординаты можно подставить в формулу y=x²+bx+c вместо каждого x найденное значение хₒ: yₒ=xₒ²+bxₒ+c. От вершины (хₒ; yₒ ) строим параболу y=x².

Пример.

Построить график функции y=x²+2x-3.

Решение:

y=x²+2x-3 — квадратичная функция. График — парабола ветвями вверх. Координаты вершины параболы

   

   

От вершины (-1;-4) строим график параболы y=x²(как от начала координат. Вместо (0;0) — вершина (-1;-4). От (-1;-4) идём вправо на 1 единицу и вверх на 1 единицу, затем влево на 1 и вверх на 1; далее: 2 — вправо, 4 — вверх, 2- влево, 4 — вверх; 3 — вправо, 9 — вверх, 3 — влево, 9 — вверх. Если этих 7 точек недостаточно, далее — 4 вправо, 16 — вверх и т. д.).

y=x²+2x-3

  График квадратичной функции y= -x²+bx+c — парабола, ветви которой направлены вниз. Для построения графика ищем координаты вершины и от неё строим параболу y= -x².

Пример.

Построить график функции y= -x²+2x+8.   

Решение:

y= -x²+2x+8 — квадратичная функция. График — парабола ветвями вниз. Координаты вершины параболы

   

   

От вершины строим параболу y= -x² (1 — вправо, 1- вниз; 1 — влево, 1 — вниз; 2 — вправо, 4 — вниз; 2 — влево, 4 — вниз и т. д.):

y= -x²+2x+8

Этот способ позволяет построить параболу быстро и не вызывает затруднений, если вы  умеете строить графики функций y=x² и y= -x². Недостаток: если координаты вершины — дробные числа, строить график не очень удобно. Если требуется знать точные значения точек пересечения графика с осью Ох, придется дополнительно решить уравнение x²+bx+c=0 (или —x²+bx+c=0), даже если эти точки непосредственно можно определить по рисунку.

Другой способ построения параболы —  по точкам, то есть можно найти  несколько точек графика и через них провести параболу (с учетом того, что прямая x=хₒ является её осью симметрии). Обычно для этого берут вершину параболы, точки пересечения графика с осями координат и 1-2 дополнительные точки.

Примеры.

Построить график функции y=x²+5x+4.

Решение:

y=x²+5x+4 — квадратичная функция. График — парабола ветвями вверх. Координаты вершины параболы

   

   

то есть вершина параболы — точка (-2,5; -2,25).

Ищем точки пересечения графика с осями координат. В точке пересечения с осью Ох y=0: x²+5x+4=0. Корни квадратного уравнения х1=-1, х2=-4, то есть получили две точки графике (-1; 0) и (-4; 0).

В точке пересечения графика с осью Оy х=0: y=0²+5∙0+4=4. Получили точку (0; 4).

Для уточнения графика можно найти дополнительную точку. Возьмем х=1, тогда y=1²+5∙1+4=10, то есть еще одна точка графика — (1; 10). Отмечаем эти точки на координатной плоскости. С учетом симметрии параболы относительно прямой, проходящей через её вершину, отметим еще две точки: (-5; 6) и (-6; 10) и проведем через них параболу:

 

y=x²+5x+4

Построить график функции y= -x²-3x.

Решение:

y= -x²-3x — квадратичная функция. График — парабола ветвями вниз. Координаты вершины параболы

   

   

Вершина (-1,5; 2,25) — первая точка параболы.

В точках пересечения графика с осью абсцисс y=0, то есть решаем уравнение -x²-3x=0. Его корни — х=0 и х=-3, то есть (0;0) и (-3; 0) — еще две точки графика. Точка (о; 0) является также  точкой пересечения параболы с осью ординат.

При х=1 y=-1²-3∙1=-4, то есть (1; -4) — дополнительная точка для построения графика.

y= -x²-3x

 

Построение параболы по точкам — более трудоёмкий, по сравнению с первым, способ. Если парабола не пересекает ось Oх, дополнительных точек потребуется больше.

Прежде чем продолжить построение графиков квадратичных функций вида y=ax²+bx+c, рассмотрим построение графиков функций с помощью геометрических преобразований. Графики функций вида y=x²+c также удобнее всего строить, используя одно из таких преобразований — параллельный перенос.

Парабола

Парабола, её форма, фокус и директриса.

Определение.

Параболой называется линия, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат определяется каноническим уравнением
$$
y^{2}=2px\label{ref15}
$$
при условии \(p > 0\).

Из уравнения \eqref{ref15} вытекает, что для всех точек параболы \(x \geq 0\). Парабола проходит через начало канонической системы координат. Эта точка называется вершиной параболы.

Форма параболы известна из курса средней школы, где она встречается в качестве графика функции \(y=ax^{2}\). Отличие уравнений объясняется тем, что в канонической системе координат по сравнению с прежней оси координат поменялись местами, а коэффициенты связаны равенством \(2p=a^{-1}\).

Фокусом параболы называется точка \(F\) с координатами \((p/2, 0)\) в канонической системе координат.

Директрисой параболы называется прямая с уравнением \(x=-p/2\) в канонической системе координат (\(PQ\) на рис. 8.11).

Рис. 8.11. Парабола.

---

Свойства параболы.

Утверждение.

Расстояние от точки \(M(x, y)\), лежащей на параболе, до фокуса равно
$$
r=x+\frac{p}{2}.\label{ref16}
$$

Доказательство.

Вычислим квадрат расстояния от точки \(M(x, y)\) до фокуса по координатам этих точек: \(r^{2}=(x-p/2)^{2}+y^{2}\) и подставим сюда \(y^{2}\) из канонического уравнения параболы. Мы получаем
$$
r^{2}=\left(x-\frac{p}{2}\right)^{2}+2px=\left(x+\frac{p}{2}\right)^{2}.\nonumber
$$
Отсюда в силу \(x \geq 0\) следует равенство \eqref{ref16}.

Заметим, что расстояние от точки \(M\) до директрисы также равно
$$
d=x+\frac{p}{2}.\nonumber
$$

Следовательно, мы можем сделать следующий вывод.

Утверждение.

Для того чтобы точка \(M\) лежала на параболе, необходимо и достаточно, чтобы она была одинаково удалена от фокуса и от директрисы этой параболы.

Доказательство.

Докажем достаточность. Пусть точка \(M(x, y)\) одинаково удалена от фокуса и от директрисы параболы:
$$
\sqrt{\left(x-\frac{p}{2}\right)^{2}+y^{2}}=x+\frac{p}{2}.\nonumber
$$

Возводя это уравнение в квадрат и приводя в нем подобные члены, мы получаем из него уравнение параболы \eqref{ref15}. Это заканчивает доказательство.

Параболе приписывается эксцентриситет \(\varepsilon=1\). В силу этого соглашения формула
$$
\frac{r}{d}=\varepsilon\nonumber
$$
верна и для эллипса, и для гиперболы, и для параболы.

---

Уравнение касательной к параболе.

Выведем уравнение касательной к параболе в точке \(M_{0}(x_{0}, y_{0})\), лежащей на ней. Пусть \(y_{0} \neq 0\). Через точку \(M_{0}\) проходит график функции \(y=f(x)\), целиком лежащий на параболе. (Это \(y=\sqrt{2px}\) или же \(y=-\sqrt{2px}\), смотря по знаку \(y_{0}\).) Для функции \(f(x)\) выполнено тождество \((f(x))^{2}=2px\), дифференцируя которое имеем \(2f(x)f'(x)=2p\). Подставляя \(x=x_{0}\) и \(f(x_{0})=y_{0}\), находим \(f'(x_{0})=p/y_{0}\) Теперь мы можем написать уравнение касательной к параболе
$$
y-y_{0}=\frac{p}{y_{0}}(x-x_{0}).\nonumber
$$
Упростим его. Для этого раскроем скобки и вспомним, что \(y_{0}^{2}=2px_{0}\). Теперь уравнение касательной принимает окончательный вид
$$
yy_{0}=p(x+x_{0}).\label{ref17}
$$

Заметим, что для вершины параболы, которую мы исключили, положив \(y_{0} \neq 0\), уравнение \eqref{ref17} превращается в уравнение \(x=0\), то есть в уравнение касательной в вершине. Поэтому уравнение \eqref{ref17} справедливо для любой точки на параболе.

Утверждение.

Касательная к параболе в точке \(M_{0}\) есть биссектриса угла, смежного с углом между отрезком, который соединяет \(M_{0}\) с фокусом, и лучом., выходящим из этой точки в направлении оси параболы (рис. 8.12).

Доказательство. Рис. 8.12. Касательная к параболе.

Рассмотрим касательную в точке \(M_{0}(x_{0}, y_{0})\). Из уравнения \eqref{ref17} получаем ее направляющий вектор \(\boldsymbol{v}(y_{0}, p)\). Значит, \((\boldsymbol{v}, \boldsymbol{e}_{1})=y_{0}\) и \(\cos \varphi_{1}=y_{0}/\boldsymbol{v}\). Вектор \(\overrightarrow{FM_{0}}\) имеет компоненты \(x_{0}=p/2\) и \(y_{0}\), а потому
$$
(\overrightarrow{FM_{0}}, \boldsymbol{v})=x_{0}y_{0}-\frac{p}{2}y_{0}+py_{0}=y_{0}(x_{0}+\frac{p}{2}).\nonumber
$$
Но \(|\overrightarrow{FM_{0}}|=x_{0}+p/2\). Следовательно, \(\cos \varphi_{2}=y_{0}/|\boldsymbol{v}|\). Утверждение доказано.

Заметим, что \(|FN|=|FM_{0}|\) (см. рис. 8.12).

Каково уравнение параболы, имеющей вершину в (-4, 2) и проходящей через точку (-7, -34)?

Алгебра

Наука

• Анатомия и физиология
• астрономия
• астрофизика
• Биология
• Химия
• наука о планете Земля
• Наука об окружающей среде
• Органическая химия
• физика

.2, которые наиболее близки к точке (0,3)?

Исчисление

Наука

• Анатомия и физиология
• астрономия
• астрофизика
• Биология
• Химия
• наука о планете Земля
• Наука об окружающей среде

.

Каково уравнение параболы, имеющей вершину в (2, 3) и проходящей через точку (1, 0)?

Алгебра

Наука

• Анатомия и физиология
• астрономия
• астрофизика
• Биология
• Химия
• наука о планете Земля
• Наука об окружающей среде
• Органическая химия
• физика

математический

.2 ближайший к (1,0)?

Исчисление

Наука

• Анатомия и физиология
• астрономия
• астрофизика
• Биология
• Химия
• наука о планете Земля
• Наука об окружающей среде
• Органическая химия

.