Показательные неравенства
| 12+ Свидетельство СМИ ЭЛ № ФС 77 — 70917 Лицензия на образовательную деятельность №0001058 | Пользовательское соглашение Контактная и правовая информация |
Педагогическое сообщество | Бесплатные всероссийские конкурсы | Бесплатные сертификаты | Нужна помощь? Инструкции для новых участников | Бесплатная онлайн-школа для 1-4 классов |
Всё для аттестацииПубликация в сборникеВебинарыЛэпбукиПрофтестыЗаказ рецензийНовости
Библиотека
▪Методические разработки
▪Уроки
Материал опубликовала
5
#11 класс #Математика #ФГОС #1957 #Методические разработки #Урок #Учитель-предметник #Школьное образование
Учитель математики МБОУ «Гимназия №1 им.
Р.Фахреддина» г.Альметьевск РТ Закирова М.А.
11б класс. Тема: Показательные неравенства
Тип урока: Урок формирования новых знаний
Цели урока:
— познакомить обучающихся с показательными неравенствами, формирование знаний об основных методах решения показательных неравенств.
– развитие умений сравнивать, выявлять закономерность, обобщать, развитие логики, памяти.
– воспитание ответственного отношения к учебному труду, внимательности.
Оборудование: проектор, презентация «Показательные неравенства», карточки
Этапы урока и их содержание
1. Организационный этап. На уроке будут рассмотрены показательные неравенства, решение которых требует хорошего знания теоретического материала. Данные неравенства ежегодно присутствуют в вариантах ЕГЭ по математике.
2.Проверка домашнего задания. №12.18; 12.23; 12.25
3. Актуализация знаний. А)Теоретический опрос: слайд 1
1) функцию какого вида называют показательной;
2) какова область определения показательной функции;
3) каково множество значений показательной функции;
4) что можно сказать о монотонности показательной функции в зависимости от основания а;
5) уравнение какого вида называется показательным;
Б) Среди заданных функций укажите те, которые являются показательными: слайд 2
В) Какие из заданных функций являются возрастающими, какие убывающими?
г).
Ответ: а) 3; б) 2; в)2; г)6.
4.Изучение новой темы
Определение: Показательными неравенствами называются неравенства вида , где а>0 и а≠1. Слайд 5
Используя свойство монотонности показательной функции делаем вывод, что неравенство при равносильно неравенству а при равносильно неравенству
Простейшие показательные неравенства имеют вид (слайды 9,10,11)
решений не имеет, а неравенство выполняется при всех значениях аргумента, поскольку
Способы решения показательных уравнений и неравенств: слайд 8
Уравнивание оснований
Введение новой переменной (замена переменной)
Вынесение общего множителя за скобку
Деление на показательную функцию
Графический способ
Рассмотрим 1 способ – способ уравнивания оснований
1.
слайд 12
2) Рассмотрим решение ещё нескольких показательных неравенств:( слайды 14,15)
а)
б)
в)
3.) А теперь рассмотрим решение двойных неравенств: слайд 16
Ответ: (- 4; -1).
Рассмотрим 2 способ —
А теперь рассмотрим решение показательных неравенств методом введения новой переменной или замены переменной: слайды 17,18
Пример 1: Сведение к квадратному неравенству.
Примеры некоторых заданий профильного уровня ЕГЭ- 2015 из сайта «Алексарин Ларин», которые решаются методом замены переменной.
(разобрать образцы 17 задания ЕГЭ-2015 профильного уровня)
Пример 2: Сведение к рациональному неравенству, которое решаем применяя метод интервалов для непрерывных функций.
Ответ:
4.Закрепление изученной темы:
Решить устно №13.1; №13.2
Решить письменно №13.3; №13.5; 13.8
5.Самостоятельная работа по карточкам (слайд 22)
6. Домашнее задание. Прочитать п 13; решить № 13.4; 13.6; 13.8
7.Итоги урока.
Опубликовано в группе «Математика -царица наук»
Чтобы написать комментарий необходимо авторизоваться.
Показательные неравенства на ЕГЭ по математике
Знакомство с этой темой мы начнем с самых простых показательных неравенств.
1. 2x > 8
Так же, как и при решении простейших показательных уравнений, представим правую часть в виде степени числа 2:
2x > 23
Когда я спрашиваю школьников, что делать дальше, они обычно отвечают: «Убрать основания!» Я не против такой формулировки, просто надо четко представлять себе, почему мы так делаем. А для этого — вспомним, как выглядит график показательной функции y = 2
Видим, что эта функция монотонно возрастает, то есть большему значению x отвечает большее значение y. И наоборот, если 2x1 > 2x2, то x1 > x2 . Итак, от неравенства 2x > 23 можно перейти к алгебраическому неравенству x > 3.
Ответ: .
2. Следующее неравенство:
2x > 7
Так же, как и в предыдущем примере, представим правую часть в виде значения показательной функции. Как это сделать? С помощью логарифма, конечно:
7 = 2log27.
Получаем:
2x > 2log27;
x > log27.
3. Еще одно неравенство:
Здесь правую часть удобно представить как .
.
Вспомним, как выглядит график функции :
Эта функция монотонно убывает (так как основание степени меньше единицы), поэтому большее значение функции соответствует меньшему значению аргумента. То есть из неравенства следует, что x < 4. Знак неравенства меняется!
4. Решите неравенство
Умножим обе части неравенства на
Сделаем замену Получили квадратичное неравенство относительно переменной t.
Внимание. Сначала решаем неравенство относительно переменной t. Только после этого возвращаемся к переменной х. Запомнили?
Разложим левую часть неравенства на множители.
где и — корни квадратного уравнения Получим:
Только теперь возвращаемся к переменной х.
«Отбрасываем» основания степеней и получаем ответ.
Ответ:
5. Решите неравенство:
Сделаем замену переменной:
Обратите внимание, что возвращаться к переменной х еще рано. Сначала решим неравенство с переменой t методом интервалов:
Поскольку получим:
Тогда
Обратите внимание, как мы представили 4 и 9 в виде степеней с основанием 7. Мы применили основное логарифмическое тождество.
Ответ:
6. 4x − 2 · 52x − 10x > 0.
Заметим, что 4x = 22x, 10x=5x·2x, и запишем неравенство в виде:
22x − 5x·2x − 2 · 52x > 0.
Разделим обе части на положительную величину 5 2x и обозначим . Получим квадратное неравенство:
t2 − t − 2 > 0.
Кроме того, t > 0.
Графиком функции y = t2 − t − 2 является парабола, ветви которой направлены вверх.
Решая квадратное уравнение t2 − t − 2 = 0, получим t1 = −1, t2 = 2. В этих точках наша парабола пересекает ось t.
Отметим на числовой прямой промежутки, являющиеся решениями неравенств t2 − t − 2 > 0 и t > 0.
Видим, что обоим неравенствам удовлетворяют значения t > 2.
Но решение еще не закончено! Нам нужно вернуться к переменной x. Вспомним, что и получим:
Представим 2 в виде степени с основанием :
Получим: x <
7. Решите неравенство
Здесь присутствуют степени с основаниями 3 и 5. Поделим на 3 обе части неравенства:
Возьмем логарифмы от левой и правой частей неравенства по основанию 3.
Логарифм произведения запишем как сумму логарифмов.
Разложим на множители
Ответ:
8. Решите неравенство:
Эта задача составлена Анной Малковой для одного из вариантов Математических тренингов.
Мы видим, что неравенство комбинированное. Надо уметь решать и иррациональные неравенства, и показательные.
Сделаем замену
Получим:
Запишем решение как цепочку равносильных переходов.
Мы получили, что
Значит, Это ответ.
Теперь подробно о каждом действии.
Посмотрим на неравенство Область его допустимых значений:
В левой его части — квадратный корень, величина неотрицательная. А вот правая часть может быть и больше нуля, и меньше, и равна нулю. Значит, возможны два случая:
1) Если правая часть неравенства тоже неотрицательна, обе части неравенства можно возвести в квадрат. Получим систему:
2) Если правая часть неравенства отрицательна, то неравенство выполняется для всех х, принадлежащих ОДЗ. Получим:
Вот откуда в решении взялась совокупность двух систем.
Квадратичное неравенство из первой системы решаем стандартным способом. Находим корни уравнения
Его дискриминант , корни
Объединяем решения обоих систем на числовой прямой.
Получаем, что значит,
Ответ:
Подведем итоги.
Каким бы ни было показательное неравенство — его надо упростить до неравенства Знак здесь может быть любой: . Важно, чтобы слева и справа в неравенстве находились степени с одинаковыми основаниями.
И после этого «отбрасываем» основания! При этом, если основание степени , знак неравенства остается тем же. Если основание такое, что , знак неравенства меняется на противоположный.
Смотри также: Логарифмические неравенства
Спасибо за то, что пользуйтесь нашими публикациями.
Информация на странице «Показательные неравенства на ЕГЭ по математике» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.
Публикация обновлена: 07.04.2023
{x}=17[/латекс]. Мы не знаем, до какого числа [латекс]3[/латекс] нужно увеличить, чтобы получить [латекс]17[/латекс]. Все, что мы знаем, это то, что он больше, чем [latex]2[/latex], и меньше, чем [latex]3[/latex]. Нам нужно использовать свойство математического объекта, называемое логарифмом , чтобы уменьшить [латекс]х[/латекс] и изолировать его на одной стороне уравнения. Возможно, вы уже изучали логарифмы раньше, но даже если вы этого не сделали, вы все равно можете использовать свойство числа : логарифмирование с обеих сторон. Давайте разовьем этот навык, начав с некоторых определений.A ЛОГАРИФМ
A логарифм число. В частности, это показатель.
Логарифм — это число [латекс]\log_{b}(M)[/латекс] , до которого мы должны возвести основание [латекс]b[/латекс] , чтобы получить [латекс ]М[/латекс] .
Мы называем [латекс]b[/латекс] основанием и [латекс]М[/латекс] аргумент логарифма.
Когда [латекс]b=10[/латекс], мы называем логарифм десятичным логарифмом и сокращаем его [латекс]\log M[/латекс].
ЛОГАРИТМ
Логарифм по основанию 10, [латекс]\log_{10}M[/латекс], называется десятичным логарифмом и сокращенно [латекс]\лог М[/латекс].
Но понимание логарифма не обязательно для того, чтобы использовать его так, как мы хотим, при работе с определенными формулами. Логарифмы обладают определенным свойством: когда они применяются к обеим частям уравнения, они выводят интересующую переменную из показателя степени и преобразуют выражение в произведение показателя степени и логарифма. Мы называем это свойство 9{x}=x\cdot\log2 \приблизительно 0,30103x[/латекс].
Это иногда называют расширением логарифма.
Потренируйтесь вычислять некоторые десятичные логарифмы с помощью калькулятора ниже.
попробуй
Теперь, когда вы научились преобразовывать экспоненциальные выражения с помощью правила степени для десятичных логарифмов и вычислять логарифмы на своем калькуляторе, пришло время научиться применять эти навыки к уравнению, в котором содержится интересующая переменная. в экспоненте. 9{x} = \log 17[/latex] возьмем десятичный логарифм с обеих сторон
[latex]x\log 3= \log 17[/latex] примените правило степени для десятичного логарифма
[позднее х]\dfrac{ x \cancel\log 3}{\cancel\log 3}= \dfrac{\log 17}{\log 3}[/latex] разделить [latex]\log 3[/latex] из обеих частей уравнения
[latex]x=\dfrac{\log 17}{\log 3} \приблизительно 2,579[/latex] используйте кнопку LOG на калькуляторе, чтобы оценить [latex]\dfrac{\log 17}{\log 3}[/ латекс] и округлить до 3 знаков после запятой
Другой логарифм по специальному основанию называется натуральным логарифмом .
Этот логарифм имеет основание [латекс] и [/латекс], иррациональную константу, приблизительно равную 2,718.
НАТУРАЛЬНЫЙ ЛОГАРИФМ
Логарифм по основанию [латекс]е[/латекс], [латекс]\log_{е}М[/латекс] называется натуральным логарифмом и сокращенно [латекс]\ Ин М[/латекс].
Степенное правило с десятичным логарифмом, [latex]\log M[/latex], или натуральным логарифмом, [latex]\ln M[/latex], может использоваться для преобразования показателя степени в произведение. Чтобы вычислить натуральный логарифм, используйте кнопку LN на вашем калькуляторе. Особенностью логарифмов является то, что
[латекс]\dfrac{\log M}{\log N} = \dfrac{\ln M}{\ln N} [/latex]
В следующем видео приведены примеры использования натурального логарифма или десятичного логарифма. решать показательные уравнения.
Иногда вам придется проделать некоторую работу, чтобы изолировать термин, содержащий показатель степени, прежде чем применять правило степени.
См. пример и видео ниже для примеров этих типов уравнений.
попробуйте
Экспоненциальные и логарифмические уравнения
Экспоненциальное уравнение — это уравнение, в котором переменная входит в показатель степени. Логарифмическое уравнение — это уравнение, включающее логарифм выражения, содержащего переменную. Чтобы решить показательные уравнения, сначала посмотрите, можете ли вы записать обе части уравнения в виде степеней одного и того же числа. Если вы не можете, возьмите десятичный логарифм обеих частей уравнения и затем примените свойство 7.
Пример 1
Решите следующие уравнения.
- 3 x = 5
- 6 x – 3 = 2
- 2 3 x – 1 = 3 2 x – 2 9 0006
- Деление обеих сторон на бревно 3,
- Использование калькулятора для приближения,
- Деление обеих сторон на бревно 6,
- Использование калькулятора для приближения,
Используя свойство распределения,
3 x log 2 – log 2 = 2 x log 3 – 2 log 3
Сбор всех членов, включающих переменную, в одной части уравнения,
3 х журнал 2 – 2 x журнал 3 = журнал 2 – 2 журнал 3
Вынесение на множители x ,
x (3 log 2 – 2 log 3) = log 2 – 2 log 3
Разделив обе стороны на 3 log 2 – 2 log 3,
Использование калькулятора для приближения,
x ≈ 12,770
Чтобы решить уравнение с логарифмами, используйте свойства логарифмов, чтобы записать уравнение в форме log b M = N , а затем измените это на показатель степени иальная форма, M = б Н .
Пример 2
Решите следующие уравнения.
- журнал 4 (3 x – 2) = 2
- логарифм 3 x + логарифм 3 ( x – 6) = 3
- log 2 (5 + 2 x ) – log 2 (4 – x ) = 3
- логарифм 5 (7 x – 9) = логарифм 5 ( x 2 – x – 29)
- log 4 (3 x – 2) = 2
Переход к экспоненциальной форме.
Проверьте ответ.
Это верное утверждение. Следовательно, решение x = 6.
Перейдите к экспоненциальной форме.
Проверьте ответы.
Поскольку логарифм отрицательного числа не определен, единственным решением является x = 9. 2 (4 – х ) = 3
Переход к экспоненциальной форме.
Используя свойство перекрестных произведений,
Проверьте ответ.