Полином лежандра это: Полином Лежандра — это… Что такое Полином Лежандра?

Содержание

Полином Лежандра - это... Что такое Полином Лежандра?

Полином Лежандра

Многочлены Лежандра — определённая ортогональная система многочленов, на отрезке [ − 1,1] по мере Лебега. Многочлены Лежандра могут быть получены из многочленов ортогонализацией Грама ― Шмидта.

Названы по имени французского математика Адриен Мари Лежандра.

Определение

Многочлены Лежандра определяются по формуле (называемой формулой Родрига)

часто записываемой в виде

Они также могут быть вычислены по рекуррентной формуле

Присоединённые многочлены Лежандра определяются по формуле

которую также можно представить в виде

При m = 0 функция совпадает с Pn.

Примеры

Первые четыре многочлена Лежандра равны:

  1. P0(x) = 1
  2. P1(x) = x

Свойства

  • При каждом m > 0 система присоединённых функций Лежандра полна в L2( − 1,1).
  • В зависимости от m и n присоединённые многочлены Лежандра могут быть как чётными, так и нечётными функциями:

Функции Лежандра

Многочлены Лежандра (вместе с присоединёнными функциями Лежандра Pn,m(x)) естественно возникают в теории потенциала. Сферические функции — это функции (в сферических координатах r,θ,φ) вида

  и   ,

где  — присоединённые многочлены Лежандра. Сферические функции удовлетворяют уравнению Лапласа всюду в (при n < 0 — всюду, кроме нуля) и служат ортогональным базисом для функций.

Литература

  • В.С. Владимиров, В.В. Жаринов. Уравнения математической физики. — М.: Физматлит, 2004. — ISBN 5-9221-0310-5

Wikimedia Foundation. 2010.

  • Полином Лагранжа
  • Полином Чебышева

Полином Лежандра - это.

.. Что такое Полином Лежандра?
Полином Лежандра

Многочлены Лежандра — определённая ортогональная система многочленов, на отрезке [ − 1,1] по мере Лебега. Многочлены Лежандра могут быть получены из многочленов ортогонализацией Грама ― Шмидта.

Названы по имени французского математика Адриен Мари Лежандра.

Определение

Многочлены Лежандра определяются по формуле (называемой формулой Родрига)

часто записываемой в виде

Они также могут быть вычислены по рекуррентной формуле

Присоединённые многочлены Лежандра определяются по формуле

которую также можно представить в виде

При m = 0 функция совпадает с Pn.

Примеры

Первые четыре многочлена Лежандра равны:

  1. P0(x) = 1
  2. P1(x) = x

Свойства

  • При каждом m > 0 система присоединённых функций Лежандра полна в L2( − 1,1).
  • В зависимости от m и n присоединённые многочлены Лежандра могут быть как чётными, так и нечётными функциями:

Функции Лежандра

Многочлены Лежандра (вместе с присоединёнными функциями Лежандра Pn,m(x)) естественно возникают в теории потенциала. Сферические функции — это функции (в сферических координатах r,θ,φ) вида

  и   ,

где  — присоединённые многочлены Лежандра. Сферические функции удовлетворяют уравнению Лапласа всюду в (при n < 0 — всюду, кроме нуля) и служат ортогональным базисом для функций.

Литература

  • В.С. Владимиров, В.В. Жаринов. Уравнения математической физики. — М.: Физматлит, 2004. — ISBN 5-9221-0310-5

Wikimedia Foundation. 2010.

  • Полином Лагранжа
  • Полином Чебышева

Полиномы Лежандра и их производные

Полиномы Лежандра и их производные

Полиномы Лежандра и их производные

Рекуррентное соотношение для вычисления полиномов Лежандра высших порядков запишем в виде:

с начальными условиями

Возможны два варианта применения рекуррентной формулы.

  1. Вычисление значения функции для произвольного при заданном числовом значении аргумента .
  2. Нахождение численных значений коэффициентов полинома при различных степенях аргумента .

Преимущество рекуррентных соотношений заключается в скорости достижения результата, недостатком является возможная потеря вычислительной точности при вычитании больших чисел.

Первый вариант может быть проверен с помощью тождеств

Расчёты показали, что в результате использования формулы (1) с начальными условиями (2) и аргументами тождества (3) справедливы с точностью до 15 знаков после запятой при всех порядках полинома Лежандра от .

Второй способ проверки состоит в использовании формулы для производящей функции полиномов Лежандра:

Расчёты показали (табл.1), что при различных численных значениях параметра и аргумента значение суммы в правой части выражения (4) соответствует значению функции в левой части с точностью до 12 значащих цифр.

Целое число в последней колонке означает наибольший порядок полинома в сумме (4). Значение характерно для объектов с высотой полёта 300 километров над поверхностью Земли.

Для параметра , присущего геодезическим спутникам с высотой полёта более 700 километров, значение .

Вывод:
для заданных значений аргумента численные значения полиномов с помощью рекуррентного алгоритма определяются практически без потери вычислительной точности.

Второй вариант используется на предварительной стадии преобразования возмущающей функции.

Пусть - численные коэффициенты полинома

Сумма коэффициентов полинома любого порядка всегда равна единице

но величины коэффициентов достигают больших значений.

В табл.2 приводятся числовые значения некоторых коэффициентов:

Большое количество нулей после восемнадцатой значащей цифры каждого числа возникает как следствие ограниченности разрядной сетки компьютера.

Вывод:
алгоритм (5) определения значений коэффициентов полинома при различных степенях аргумента

приводит к потере вычислительной точности в случае полиномов высоких порядков. Для погрешность может оказаться в пятом знаке после запятой. При значениях нет смысла использовать полученные коэффициенты.

Рекуррентное соотношение для вычисления производных высших порядков от полиномов Лежандра запишем в виде:

с начальными условиями для всех значений

Каждая из производных представляет из себя полином относительно аргумента порядка .

Точность вычисления производных при заданном числовом значении аргумента можно проверить с помощью соотношений:

Расчёты показали, что в результате использования формулы

(6) с различными значениями аргумента тождества (8) справедливы с точностью до 17 значащих цифр при всех порядках полинома Лежандра от до .

Вывод:
рекуррентные формулы (6), (7) можно применять для вычисления мгновенных значений правых частей в алгоритме численного интегрирования уравнений движения.

В аналитическом подходе надо знать числовые значения коэффициентов полиномов

Алгоритм имеет вид:

Сравним по порядку величины две пары коэффициентов:

Вывод:
в процессе вычисления производных 6-го порядка от

на основе полученных значений коэффициентов точность будет ограничена пятью или шестью значащими цифрами. Для производных 22-го порядка точность окажется ограниченной десятью значащими цифрами.

Здесь можно вернуться на страницу Тексты и алгоритмы


Полином - лежандр - Большая Энциклопедия Нефти и Газа, статья, страница 1

Полином - лежандр

Cтраница 1

Полиномы Лежандра образуют ортогональную систему на отрезке [ - 1, 1], т.е. 1 Pn ( x) Pm ( x) dx 0 при гпфп.  [1]

Полиномы Лежандра тесно связаны с оператором Лапласа и могут быть определены следующим способом.  [2]

Полиномы Лежандра представляют собой специальные функции, связанные с решением дифференциального уравнения Лежандра.  [3]

Полиномы Лежандра являются лишь частными случаями тех полиномов, которые получаются, когда гипергеометрический ряд обрывается и превращается в полином.  [4]

Полиномы Лежандра четных степеней - ф-ции четные; нечетных - нечетные.  [5]

Хотя полиномы Лежандра Pk ( x) табулированы, можно все же получить более удобное разложение в форме ряда Фурье.  [6]

Система полиномов Лежандра замкнута.  [7]

Для полиномов Лежандра имеет место следующая теорема сложения.  [8]

Вместо полиномов Лежандра для описания зависимости g ( хг) могут быть использованы и любые другие полиномы, в частности, полиномы Чебышева. Строго говоря, наибольшим преимуществом обладают полиномы, ортогональные в точках отрезка, так как для них коэффициенты полиномов независимы. Одна из причин, почему предпочтение было отдано полиномам Лежандра, состоит в том, что первые их члены по своей форме практически совпадают с первыми членами корреляционного уравнения Ред-лиха - Кистера, которое традиционно используют для описания зависимости коэффициентов активности от состава.  [9]

Для полиномов Лежандра имеет место следующая теорема сложения.  [10]

Применение полиномов Лежандра, как уже указывалось выше, сопряжено с некоторыми трудностями. Чтобы избежать их, для решения некоторых задач теории управления целесообразно применять ортонормированные функции Уолша и блоч-но-импульсные функции. К классу таких задач следует отнести прежде всего те, которые требуют удержания в разложениях сигналов по базисам нескольких десятков членов разложения.  [11]

Корни полиномов Лежандра используются в качестве узлов при численном интегрировании методом Гаусса ( гл.  [12]

Так как полиномы Лежандра - ортогональные функции, то это равенство может выполняться только в том случае, если коэффициенты при полиномах равны нулю.  [13]

Так как полиномы Лежандра имеют все корни различ ные и вещественные, то система гиперболическая.  [14]

Я обозначает полином Лежандра п-го порядка.  [15]

Страницы:      1    2    3    4

ПОЛИНОМЫ ЛЕЖАНДРА И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ В РАЗЛОЖЕНИИ ПОТЕНЦИАЛОВ ТЕЛА

Движение искусственных спутников Земли

9 Движение спутников планет и искусственных спутников Земли 9 Возмущающие факторы в движении естественных спутников планет Возмущающие факторы в движении искусственных спутников Земли В движении естественных

Подробнее

ω n =, а коэффициенты a n и

Интеграл Фурье Действительная и комплексная формы записи интеграла Фурье Пусть f () непериодическая функция, определенная на всей числовой оси и удовлетворяющая условиям Дирихле на любом конечном промежутке

Подробнее

Закон сохранения момента импульса

Закон сохранения момента импульса Введем две новые физические величины. Сначала формально определим их а затем выявим связи и закономерности. Момент силы F относительно начала (некоторой точки пространства)

Подробнее

Теоретическая справка к лекции 2

Теоретическая справка к лекции Кинематика вращательного движения материальной точки. Траектория движения окружность. На рисунке к задаче необходимо четко показать положение центра окружности и ее радиус.

Подробнее

Рис. 36. f(x, y) dx dy = dx f(x, y) dy

Двойные интегралы Примеры решения задач 1. Свести двойной интеграл f(x, y) dx dy к повторному двумя способами (по формуле (1) и по формуле (2)), если G область, ограниченная кривыми x = 1, y = x 2, y =

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Определённый интеграл Краткий конспект лекций Составитель В. А.Чуриков Кандидат физ.-мат. наук, доцент кафедры Высшей математики Томского политехнического университета. Национальный

Подробнее

Всего 66 вопросов. 1 год обучения. Модули 1 2.

ВОПРОСЫ И ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ к итоговому экзамену по дисциплине «Математический анализ» Прикладная математика На устном экзамене студент получает два теоретических вопроса и две задачи Всего 66 вопросов год

Подробнее

ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ С ПОМОЩЬЮ ВЫЧЕТОВ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Оренбургский государственный

Подробнее

Криволинейные интегралы первого рода

Криволинейные интегралы первого рода Основные понятия и теоремы 1. Определение криволинейного интеграла первого рода. Пусть кривая L на координатной плоскости Оху задана параметрически уравнениями x =

Подробнее

1.5. ВСЕМИРНОЕ ТЯГОТЕНИЕ

15 ВСЕМИРНОЕ ТЯГОТЕНИЕ Согласно закону всемирного тяготения, сила с которой материальная точка массой притягивает материальную точку массой, задается следующим выражением:, (1) где и радиус-векторы точек

Подробнее

Кузьмичев Сергей Дмитриевич

Кузьмичев Сергей Дмитриевич СОДЕРЖАНИЕ ЛЕКЦИИ 7 1. акон всемирного тяготения. Напряжённость гравитационного поля. Потенциальная энергия.. Теорема Гаусса. 3. Гравитационное поле емли: напряжённость, потенциал.

Подробнее

ВСЕМИРНОЕ ТЯГОТЕНИЕ. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ

Лекция 8 ВСЕМИРНОЕ ТЯГОТЕНИЕ. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ Термины и понятия Первая космическая скорость Вторая космическая скорость Третья космическая скорость Вес тела Гелиоцентрическая система Гравитационная

Подробнее

О ПРИЛИВНОЙ СИЛЕ ВНУТРИ КОЛЬЦА ГАУССА

О ПРИЛИВНОЙ СИЛЕ ВНУТРИ КОЛЬЦА ГАУССА Б. П. Кондратьев Государственный астрономический институт им. П.К. Штернберга Московский государственный университет им. М.В.Ломоносова Главная (Пулковская) Астрономическая

Подробнее

Тема 2. Энергия, мощность, работа.

Тема 2. Энергия, мощность, работа. П.1. Энергия. Мощность. П.2. Кинетическая энергия. П.3. Изменение кинетической энергии. Работа П.4. Потенциальная энергия. П.5. Расчет потенциальной энергии для тела

Подробнее

ОСНОВЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

ОСНОВЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ Вектором называется количественная характеристика, имеющая не только числовую величину, но и направление Иногда говорят, что вектор это направленный отрезок Векторная система

Подробнее

Тема 3. Алгебраические выражения.

13.Модуль. Композиция линейной функции и модуля, квадратичной функции и модуля, дробно-линейной функции и модуля. Линейная функция с двумя модулями. Тема 3. Алгебраические выражения. 1. Алгебраические

Подробнее

Тема: Интегралы, зависящие от параметра

Математический анализ Раздел: Определенный интеграл Тема: Интегралы, зависящие от параметра Лектор Рожкова С.В. 2013 г. 6. Интегралы, зависящие от параметра 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра

Подробнее

Глава 7. Сферические функции

Глава 7. Сферические функции 7.. Определение полиномов Лежандра Сферические функции как будет показано в разделе 7.7 непосредственно появляются при решении уравнения Лапласа в сферических координатах.

Подробнее

Якубовский Е.Г.

Происхождение гравитационного поля в СТО и ОТО Якубовский ЕГ -m [email protected] Опишем происхождение силы гравитации Ньютона и происхождение метрического тензора ОТО с помощью гравитонов Объяснение существования

Подробнее

1.

Цилиндрические функции

. Цилиндрические функции.. Определение и взаимосвязь цилиндрических функций Уравнение Бесселя t Z (t + tz (t + ( t ν Z(t =. (. Всякое решение уравнения Бесселя называется цилиндрической функцией. Теорема..

Подробнее

3. Используемые методы обучения

3.2 МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПРЕПОДАВАТЕЛЯМ К ПРАКТИЧЕСКИМ ЗАНЯТИЯМ Семестр I Раздел 1. Векторная и линейная алгебра. Практическое занятие 1 1. Цель: Рассмотреть задачи на вычисление определителей второго

Подробнее

3724 РЯДЫ. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

3724 РЯДЫ КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 1 РАБОЧАЯ ПРОГРАММА РАЗДЕЛОВ «РЯДЫ КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» 11 Числовые ряды Понятие числового ряда Свойства числовых рядов Необходимый признак сходимости

Подробнее

1.

Дивергенция векторного поля.

ЛЕКЦИЯ N Дивергенция векторного поля Циркуляция Ротор отенциальные соленоидальные гармонические поля Операторы Лапласа и Гамильтона Дивергенция векторного поля Соленоидальные поля Циркуляция 4Формула Стокса

Подробнее

ТЕОРИЯ ПРИБЛИЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ

МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕОРИЯ ПРИБЛИЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ Методические указания к выполнению лабораторных работ ПЕНЗА 00

Подробнее

ТЕОРЕМА О ТРЕХ СИЛАХ

ТЕОРЕМА О ТРЕХ СИЛАХ Если твердое тело находится в равновесии под действием трех непараллельных сил, то линии действия этих сил лежат в одной плоскости и пересекаются в одной точке. ТЕОРЕМА О ТРЕХ СИЛАХ

Подробнее

c в разложении функции z

Практическое занятие 8 Вычеты 8 Определение вычета 8 Вычисление вычетов 8 Логарифмический вычет 8 Определение вычета Пусть изолированная особая точка функции в изолированной особой Вычетом аналитической

Подробнее

= Найти область определения функции

Автор теста: Искакова А. М., Меирманова У.Б Название курса: Математический анализ Предназначено для студентов специальности: ИС и ВТиПО ДОТ Количество кредитов: Текст вопроса/варианты ответа P = Q + 4Q

Подробнее

АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА

СОДЕРЖАНИЕ АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА ФУНКЦИИ...10 Основные свойства функций...11 Четность и нечетность...11 Периодичность...12 Нули функции...12 Монотонность (возрастание, убывание)...13 Экстремумы (максимумы

Подробнее

Тема: Степенные ряды.

Математический анализ Раздел: Числовые и функциональные ряды Тема: Степенные ряды. Разложение функции в степенной ряд Лектор Рожкова С.В. 3 г. 34. Степенные ряды Степенным рядом рядом по степеням называется

Подробнее

Полиномы Лежандра. Функции Лежандра - Энциклопедия по машиностроению XXL

Полиномы Лежандра. Функции Лежандра  [c.368]

Подставим (2. 4. 10), (2. 4. И) в уравнения (2. 4. 2), (2. 4. 4) и, используя свойство ортогональности полиномов II функций Лежандра, после несложных преобразований получим уравнения для коэффициентов разложения / ( ), g ii) для каждого п = 1, 2,. . .  [c.32]

Представим функцию Р 1,т) вида (5) в форме двойного ряда по четным полиномам Лежандра. Функции д (р) и Я (г) также разложим в ряды по полиномам Лежандра. Имеем  [c.261]


Таким образом, коэффициенты разложения в ряд по полиномам Лежандра функции нагрузки, соответствующей приложению сосредоточенных сил в полюсах 0 = 0 и = тг, будут  [c.363]

Методы, обсуждаемые в настоящей главе, основаны на представлении угловой зависимости потока нейтронов, т. е. зависимости Ф от направления й, в виде ряда по полной системе ортогональных функций (полиномы Лежандра в простых геометриях и сферические гармоники в общем случае). Эти разложения ограничиваются несколькими членами, что позволяет получить решаемые на практике уравнения. Пространственную зависимость потока нейтронов обычно получают не в виде непрерывных пространственных функций, а с помощью введения дискретной пространственной сетки и вычисления потока в узлах этой сетки.  [c.100]

Здесь Р, — полиномы Лежандра — функции, часто встречающиеся в математической физике (см. приложение И).  [c.190]

Широко используется также при решении задач теории - переноса излучения метод сферических гармоник, т. е. метод разложения интенсивности излучения по полиномам Лежандра. При этом уравнение переноса сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений относительно весовых функций разложения.  [c.143]

Если функцию формы F В, t) представить в виде ряда по полиномам Лежандра, из соотношения (2. 6. 8) будет следовать, что только член, пропорциональный P (6) os t, даст отличный от нуля вклад в амплитуду в. Соотношение (2. 6. 9) означает, что функция F (0, t) всегда ортогональна функции (0) sin i и, следовательно, зависимость фазы колебаний от времени имеет вид os t.  [c.53]

Соотношения (2. 6. 26), (2. 6. 27) с учетом свойств ортогональности полиномов Лежандра и тригонометрических функций приводят к следующему виду функции в, i)  [c.56]

Интегралы в (2. 6. 42), обозначенные угловыми скобками, представляют собой хорошо известные 3/- и 6/-символы для сферических гармонических функций [16]. Эти символы обозначают результат интегрирования трех, четырех полиномов Лежандра и их производных  [c.58]

Это уравнение можно решить стандартным способом с помощью разложения по сферическим функциям (полиномам Лежандра) >  [c.89]

Полиномы Лежандра Ph(z) являются собственными функциями дифференциального оператора, стоящего в правой части (5.135) (см. приложение V)  [c.89]

Из соотношения (1) легко получить теоремы сложения для сферических функций полиномов Лежандра.[c.224]

Это уравнение Лежандра ). Два его фундаментальных решения, для обозначения которых используются обычно символы (.г) и функциями Лежандра первого и второго рода. При /г О, 1, 2, 3. .. функции Р х) представляют собой полиномы Лежандра  [c.388]


Формулы Гаусса. Если на отрезке интегрирования в качестве искомых параметров квадратурной формулы рассматривать (7V + 1) коэффициенте,- и (jV + 1) узел Xi, то получим 2N + 2) неизвестных. Эти параметры можно выбрать так, чтобы квадратурная формула была точна для любого многочлена степени не выше (2N + 1). Решение такой задачи известно расположение узлов J вычисляется с по-мощ,ью корней полиномов Лежандра. Узлы х, и весовые коэффициенты i для различных N приведены в [2]. Построенные таким образом квадратурные формулы называют формулами Гаусса или формулами наивысшей алгебраической точности. Для гладких функций эти формулы дают очень высокую точность.  [c.61]

Упругие свойства 1 (2-я) —166 Ледебурит 3 — 321, 337 Ледебуритная сталь 3 — 337, 359 Лежандра полиномы 1 (1-я) — 99, 267 Лежандра функции 1 (1-я)—140 Лейбница формула 1 (1-я)—155 Лемешные плуги — см. Плуги лемешные Лемехи — Построение контура 12—10 Построение поверхности 12 — 12  [c.130]

Функции Бесселя, полиномы Лежандра, Чебышева, Якоби, Эрмита, Лагерра представляют коэфициенты разложений по степеням z (или тригонометрических разложений) некоторых функций F(x,z), называемых производящими функциями.  [c.142]

Коэфициенты наилучшего приближения в интервале — 1 среднему квадратическому отклонению) имеют вид  [c.267]

Для я целого (и я = 0) решениями являются полиномы Лежандра я-й степени шаровые функции)  [c.223]

Но ИЗ разложения функций ряд полиномов Лежандра )  [c.218]

Функции /[, ф[,, /,,, задаются в виде полиномов Лежандра или Чебышева, функции ф,, ф , — ортонормированные полиномы, подчиненные геометрическим условиям жесткого закрепления на краю интервала.  [c.113]

Через Рп ( os 0) и Р ( os 0) обозначены соответственно полиномы Лежандра степени п и присоединенные полиномы Лежандра (первого рода) порядка п и ранга т. Для справки приводим значения функций, входящих в (7.3.19)  [c.346]

Возвращаясь к уравнению (VI. 1.5) при тФО, можно непосредственной проверкой убедиться, что функция (ц) связана с п-и полиномом Лежандра соотношением  [c.896]

Это — известное разложение функции f((i) в ряд по полиномам Лежандра,  [c.901]

Здесь Рп и Qn — полиномы Лежандра и функции Лежандра второго рода соответственно. Таблицы допустимых значений fej и соответствующих значений Я ( 1) (п = О, 1,..... N) для различных значений а> п N приведены в работе [27].  [c.367]

Jn x) — функции Бесселя Pi (х) — присоединенные полиномы Лежандра F (0, сферические функции Г(х) — гамма-функция  [c.7]

В случае эллипсоида вращения аналитические функции допускают разложения по полиномам и функциям Лежандра Р (С/с), QJV ), i PniW ), (п-  [c.253]

Полиномы, полученные выше, известны как присоединенные полиномы Лежандра степени / и порядка m и обозначаются символом Pf x) или P ( os0). 8.8 Т + Г-Е к = 1 Где c0-вложенная константа X w Y. С этим вложением (см. Определение 3).

  • Это U. D означает плотность системы O в пространстве Pr и измерения. 1.Система степеней 1, х, Х2,…на хп…(58.15)) Он полон пространством C [B, b], Cb [a, B\, 1 p + Oo и[a, b]в любом сегменте[a, b].фактически, из-за теоремы Вейерштрасса(см. теорему 8 55.8) указанная схема мощности полна в пространстве C [a, b]и, согласно (58.14), она вложена в $ 58.Стабильности и расширения Четыреста восемьдесят Введите пространство T, 2 [a, b] и плотно в it. So, с Леммой 3 в этом разделе Система ордеров (58.15) полностью находится в пространстве b2 [a, b]. С той же Леммой эта система также полна в любом 1 пространственном Cp [a, b], потому что C [a, b]встроен в Cp [a, b]и плотнее (см. (58.13)).

Обратное неверно. Например, система степеней (58.15) образует полную линейную независимую систему в Банаховом пространстве C [a, b], но не является ее основой. Функции в пространстве C [a, b]/ ОО Разберите в соответствии со степенью системы(58. XkPk(х). (58.16)) 6 = о Так, если система образования (58.15) идеально подходит в квази-норма пространства X, т. е. для любого элемента/ Ex и любого е 0, Л / С? Полином типа 2 = (} (x), то (58,16) благодаря / «2 КР 8. Я * = 0 || Это означает полноту полиномиальной системы Лежандра в пространстве X. 3.Подпространство пространства непрерывной функции C [i, i] обозначается C * [i, i].оно состоит из функций, которые принимают одинаковое значение на обоих концах отрезка[—i, i]. /(я)-/(я). (58.17) Тригонометрическая система (58.2) 1, C08X, 8ШX,…,0808ПХ, 8ЮПХ,…、 58.3.Целостная система 481. Он полон пробелами C * [i, i] и b2 [i, i].Полнота тригонометрической системы в пространстве C * [I, I]была доказана ранее. См. теорему 55.8 7. C [i, i] обозначает подпространство пространства C * [i, i].

Смотрите также:

Решение задач по математическому анализу

Полином Лежандра - обзор

5.2 Ортогонализация Грама-Шмидта

Решающее значение для выполнения обсуждаемых расширений и преобразований - наличие полезных ортонормированных наборов функций. Поэтому мы переходим к описанию процесса, посредством которого набор функций, который не является ни ортогональным, ни нормализованным, может использоваться для построения ортонормированного набора, охватывающего одно и то же функциональное пространство. Есть много способов выполнить эту задачу. Мы представляем здесь метод, называемый процессом ортогонализации Грама-Шмидта .

Процесс Грама-Шмидта предполагает наличие набора функций χ μ и правильно определенного скалярного произведения 〈 f | г 〉. Мы ортонормировали последовательно , чтобы сформировать ортонормированные функции φ ν , то есть мы делаем первую ортонормированную функцию, φ 0 , из χ 0 , следующую, φ 1 , от χ 0 и χ 1 и т. д.Если, например, χ μ являются степенями x μ , ортонормированная функция φ ν будет полиномом степени ν от x . Поскольку процесс Грама-Шмидта часто применяется к степеням, мы решили пронумеровать наборы × и × , начиная с нуля (а не с 1).

Таким образом, наша первая ортонормированная функция будет просто нормализованной версией χ 0 .В частности,

(5.33) φ0 = χ0 〈χ0 | χ0〉 1/2.

Чтобы проверить, что уравнение. (5.33) верно, получаем

〈φ0 | φ0〉 = 〈χ0 〈χ0 | χ0〉 1/2 | χ0 〈χ0 | χ0〉 1/2〉 = 1.

Далее, начиная с φ 0 и χ 1 , формируем функцию, ортогональную φ 0 . Мы используем 900 0 , а не χ 0 , чтобы соответствовать тому, что мы будем делать на более поздних этапах процесса. Таким образом, мы пишем

(5.34) ψ1 = χ1 − a1,0φ0.

То, что мы делаем здесь, - это удаление из χ 1 его проекции на φ 0 , оставляя остаток, который будет ортогонален φ 0 . Помня, что φ 0 нормализовано («единичной длины»), эта проекция идентифицируется как 〈 φ 0 | χ 1 φ 0 , так что

(5,35) a1,0 = 〈φ0 | χ1〉.

В случае уравнения.(5.35) не является интуитивно очевидным, мы можем подтвердить это, написав требование, чтобы ψ 1 было ортогонально φ 0 :

〈φ0 | ψ1〉 = 〈φ0 | (χ1 − a1,0φ0 )〉 = 〈Φ0 | χ1〉 −a1,0 〈φ0 | φ0〉 = 0,

, что, поскольку φ 0 нормализовано, сводится к уравнению. (5.35). Функция ψ 1 в целом не нормирована. Чтобы нормализовать его и получить φ 1 , сформируем

(5.36) φ1 = ψ1 〈ψ1 | ψ1〉 1/2.

Чтобы продолжить, нам нужно сделать из φ 0 , φ 1 и χ 2 функцию, которая ортогональна как φ 0 , так и φ 1 . Он будет иметь вид

(5.37) ψ2 = χ2 − a0,2φ0 − a1,2φ1.

Последние два члена уравнения. (5.37) соответственно удаляют из χ 2 его проекции на φ 0 и φ 1 ; эти проекции независимы, потому что 900 0 и 12 1 ортогональны.Таким образом, либо исходя из наших знаний о проекциях, либо путем обнуления скалярных произведений 〈 φ i | ψ 2 〉 ( i = 0 и 1), получаем

(5.38) a0,2 = 〈φ0 | χ2〉, a1,2 = 〈φ1 | χ2〉.

Наконец, сделаем φ2 = ψ2 / 〈ψ2 | ψ2〉 1/2.

Обобщение, для которого приведенное выше является несколькими первыми членами, состоит в том, что, учитывая предварительное образование φ i , i = 0,…, n - 1, ортонормированная функция φ n получается из χ n с помощью следующих двух шагов:

(5.39) ψn = χn − ∑μ = 0n − 1 〈φμ | χn〉 φμ, φn = ψn 〈ψn | ψn〉 1/2.

Рассматривая описанный выше процесс, мы отмечаем, что разные результаты были бы получены, если бы мы использовали один и тот же набор × и , но просто взяли их в другом порядке. Например, если бы мы начали с χ 3 , одна из наших ортонормированных функций была бы кратной χ 3 , в то время как построенное нами множество дало 10 3 как линейную комбинацию χ мкм , мкм = 0, 1, 2, 3.

Пример 5.2.1

Полиномы Лежандра

Сформируем ортонормированный набор, взяв χ μ как x μ , и сделав определение

(5.40) 〈f | g〉 = ∫− 11f * (x) g (x) dx.

Это определение скалярного произведения приведет к тому, что члены нашего набора будут ортогональными с единичным весом в диапазоне (-1, 1). Более того, поскольку χ µ являются действительными, комплексно-сопряженная звездочка здесь не имеет практического значения.

Первая ортонормированная функция, φ 0 , равна

φ0 (x) = 1 〈1 | 1〉 1/2 = 1 [∫ − 11dx] 1/2 = 12.

Чтобы получить φ 1 , сначала получаем ψ 1 , вычисляя

ψ1 (x) = x− 〈φ0 | x〉 φ0 (x) = x,

, где скалярное произведение обращается в нуль, поскольку φ 0 - это четная функция x , тогда как x - нечетная, а диапазон интеграции - четный. Затем находим

φ1 (x) = x [∫ − 11x2dx] 1/2 = 32 x.

Следующий шаг менее тривиален. Образуем

ψ2 (x) = x2− 〈φ0 | x2〉 φ0 (x) - 〈φ1 | x2〉 φ1 (x) = x2− 〈12 | x2〉 (12) = x2−13,

, где мы использовали симметрию, чтобы установить 〈φ1 | x2〉 равным нулю, и вычислили скалярное произведение

〈12 | x2〉 = 12∫ − 11x2dx = 23.

Тогда

φ2 (x) = x2−13 [∫ − 11 (x2−13) 2dx] 1/2 = 52 (32 x2−12).

Продолжение еще одной ортонормированной функции дает

φ3 (x) = 7252x3−32x.

Ссылка на главу 15 покажет, что

(5,41) φn (x) = 2n + 12Pn (x),

, где P n ( x ) - полином Лежандра n -й степени. Наш процесс Грама-Шмидта предоставляет возможный, но очень громоздкий метод генерации полиномов Лежандра; существуют другие, более эффективные подходы.

Многочлены Лежандра, за исключением знака и масштаба, однозначно определяются процессом Грама-Шмидта, использованием последовательных степеней x и определением, принятым для скалярного произведения.Изменяя определение скалярного произведения (другой вес или диапазон), мы можем сгенерировать другие полезные наборы ортогональных многочленов. Некоторые из них представлены в таблице 5.1. По разным причинам большинство этих полиномиальных наборов не нормированы на единицу. Формулы скалярного произведения в таблице дают обычные нормализации и являются формулами явных формул, на которые есть ссылки в таблице.

Таблица 5.1. Ортогональные многочлены, порожденные Грамом-Шмидтом Ортогонализация un (x) = xn, n = 0, 1, 2,….

Полиномы Скалярные произведения Таблица
Лежандр

∫ − 11Pn (x) Pm (x) dx = 2δmn / (2n 903,150

Сдвинутый Лежандр

∫01Pn * (x) Pm * (x) dx = δmn / (2n + 1)

Таблица 15. 2
Чебышев И

∫ − 11Tn (x) Tm (x) (1 − x2) −1 / 2dx = δmnπ / (2 − δn0)

Таблица 18.4
Сдвинутый Чебышев I

∫01Tn * (x) Tm * (x) [x (1 − x) ] −1 / 2dx = δmnπ / (2 − δn0)

Таблица 18.5
Чебышев II

∫ − 11Un (x) Um (x) (1 − x2) 1 / 2dx = δmnπ / 2

Таблица 18.4
Laguerre ∞L x) Lm (x) e − xdx = δmn

Таблица 18.2
Ассоциированный Laguerre

∫0∞Lnk (x) Lmk (x) e − xdx = δmn (n + k)! / n!

Таблица 18.3
Эрмит

∫ − ∞∞Hn (x) Hm (x) e − x2dx = 2nδmnπ1 / 2n!

Таблица 18.1

Интервалы, веса и обычная нормализация могут быть выведены из форм скалярных произведений.Таблицы явных формул для первых нескольких многочленов каждого типа включены в указанные таблицы, появляющиеся в главах 15 и 18, глава 15, глава 18 этой книги. 3.В нотации Дирака эти векторы (записанные как матрицы столбцов) равны

| a1〉 = 11−2, | a2〉 = 12−3.

Наша задача - покрыть это многообразие ортонормированным базисом.

Мы действуем точно так же, как и для функций: наш первый ортонормированный базисный вектор, который мы называем b 1 , будет нормализованной версией a 1 и, следовательно, сформирован как

| b1〉 = a1 〈a1 | a1〉 1/2 = 161/2 | a1〉 = 161 / 211−2.

Ненормализованная версия второй ортонормированной функции будет иметь вид

| b2 ′〉 = | a2〉 - 〈b1 | a2〉 | b1〉 = | a2〉 −961/2 | b1〉 = - 1/21/20.

Нормализуя, получаем

| b2〉 = b2 ′ 〈b2 ′ | b2 ′〉 1/2 = 12−110.

Упражнения

Для построений Грама-Шмидта в упражнениях с 5.2.1 по 5.2.6 используйте скалярное произведение формы, приведенной в уравнении. (5.7) с указанным интервалом и весом.

5.2.1

Следуя процедуре Грама-Шмидта, постройте набор полиномов Pn * (x), ортогональных (единичный весовой коэффициент) в диапазоне [0, 1] из набора [1, x , x 2 ,…]. Масштабируйте так, чтобы Pn * (1) = 1.

АНС . Pn * (x) = 1, P1 * (x) = 2x − 1, P2 * (x) = 6x2−6x + 1, P3 * (x) = 20x3−30x2 + 12x − 1.

Это первые четыре сдвинутых полиномов Лежандра.

Примечание . «*» - это стандартное обозначение для «сдвинутого»: [0, 1] вместо [-1, 1]. Это означает, что , а не , означает комплексное сопряжение.

5.2.2

Примените процедуру Грама-Шмидта, чтобы сформировать первые три полинома Лагерра:

un (x) = xn, n = 0,1,2,…, 0≤x <∞, w ( х) = е-х.

Обычная нормализация:

0∞Lm (x) Ln (x) e − xdx = δmn.

АНС .

L0 = 1, L1 = (1 − x), L2 = 2−4x + x22.

5.2.3

Вам дается

(a)

набор функций un (x) = xn, n = 0,1,2,…,

(b)

интервал (0, ∞),

(c)

весовая функция w ( x ) = xe - x . Используйте процедуру Грама-Шмидта для построения первых трех ортонормированных функций из набора u n ( x ) для этого интервала и этой весовой функции.

АНС . φ0 (x) = 1, φ1 (x) = (x − 2) / 2, φ2 (x) = (x2−6x + 6) / 23.

5.2.4

Используя процедуру ортогонализации Грама-Шмидта, постройте три младших полинома Эрмита:

un (x) = xn, n = 0,1,2,…, −∞ Для этого набора многочленов обычная нормализация равна

∫∞ − ∞Hm (x) Hn (x) w (x) dx = δmn2mm! π1 / 2.

АНС . H0 = 1, h2 = 2x, h3 = 4x2−2.

5.2.5

Используйте схему ортогонализации Грама-Шмидта, чтобы построить первые три полинома Чебышева (тип I):

un (x) = xn, n = 0,1,2,…, −1≤ х≤1, w (х) = (1-х2) -1/2.

Возьмем нормализацию

∫ − 11Tm (x) Tn (x) w (x) dx = δmn {π, m = n = 0, π2, m = n≥1.

Подсказка . Необходимые интегралы приведены в упражнении 13. 3.2.

АНС . T0 = ​​1, T1 = x, T2 = 2x2−1, (T3 = 4x3−3x).

5.2.6

Используйте схему ортогонализации Грама-Шмидта для построения первых трех многочленов Чебышева (тип II):

un (x) = xn, n = 0,1,2,…, −1≤x≤1, w (х) = (1 - х2) +1/2.

Возьмем нормировку

∫ − 11Um (x) Un (x) w (x) dx = δmnπ2.

Подсказка .

∫ − 11 (1 − x2) 1 / 2x2ndx = π2 × 1⋅3⋅5 ⋯ (2n − 1) 4⋅6⋅8 ⋯ (2n + 2), n = 1,2,3,… = π2 , п = 0.

АНС . U0 = 1, U1 = 2x, U2 = 4x2−1.

5.2.7

Как модификация упражнения 5.2.5, примените процедуру ортогонализации Грама-Шмидта к множеству un (x) = xn, n = 0, 1, 2,…, 0 ≤ x <∞. Возьмем w ( x ) как exp (- x 2 ). Найдите первые два ненулевых многочлена. Нормализуйте так, чтобы коэффициент максимальной степени x был равен единице. В упражнении 5.2.5 интервал (−∞, ∞) привел к многочленам Эрмита. Найденные здесь функции определенно не являются полиномами Эрмита.

АНС .φ0 = 1, φ1 = x − π − 1/2.

5.2.8

Сформируйте набор из трех ортонормированных векторов с помощью процесса Грама-Шмидта, используя эти входные векторы в указанном порядке:

c1 = 111, c2 = 112, c3 = 102.

Многочлены Лежандра и формула Родрига

Многочлены Лежандра и формула Родрига
Далее: Гамма-функция и Up: Без названия Предыдущая: Функция Грина

Вместо решения рекурсивного соотношения (1-54) для коэффициентов в полиномах Лежандра проще использовать следующий прием:

Рассмотрим функцию


Путем дифференцирования видим, что он удовлетворяет следующему первому порядку дифференциальное уравнение,

Дифференцируя это уравнение, мы получаем дифференциальное уравнение второго порядка.для f n ,
(1- x 2 ) f n '' -2 ( n -1) xf n '+2 nf n = 0 . (22)

Мы хотим дифференцировать это n раз, используя формулу Лейбница,
(23)

Применяя это к (22), легко получаем
(1- x 2 ) f n ( n +2) -2 xf n ( n +1) + n ( n +1) f n ( n ) = 0, (24)

что в точности является дифференциальным уравнением Лергандра (1-49).Это уравнение следовательно, удовлетворяется многочленами
(25)

Полиномы Лежандра P n ( x ) нормализованы требованием P n (1) = 1. С использованием
(26)

мы получили

Это формула Родригеса для функции Лежандра. С помощью биномиальную формулу получаем
(28)

Суммирование начинается с r = 0 и заканчивается, когда n -2 r равно 0 ( n = четное) или 1 ( n = нечетное).При оценке P n проще всего использовать (27) напрямую. Таким образом, .

Далее: Гамма-функция и Up: Без названия Предыдущая: Функция Грина
Метте Лунд
2000-04-27

LEGENDRE_POLYNOMIAL - многочлены Лежандра

LEGENDRE_POLYNOMIAL - полиномы Лежандра

LEGENDRE_POLYNOMIAL это библиотека FORTRAN77, которая вычисляет полином Лежандра и связанные с ним функции.

Многочлен Лежандра P (n, x) можно определить следующим образом:

        Р (0, х) = 1
        P (1, х) = х
        P (n, x) = (2 * n-1) / n * x * P (n-1, x) - (n-1) / n * P (n-2, x)
       
где n - неотрицательное целое число.

N нулей P (n, x) являются абсциссами, используемыми для Гаусса-Лежандра. квадратура интеграла от функции F (X) с весовой функцией 1 на интервале [-1,1].

Полиномы Лежандра ортогональны относительно внутреннего произведения, определенного как интегрирование от -1 до 1:

        Интегральный (-1
    

     

Лицензирование:

Компьютерный код и файлы данных, описанные и доступные на этом веб-страницы распространяются под лицензия GNU LGPL.

Языки:

LEGENDRE_POLYNOMIAL доступен в версия C и версия C ++ и версия FORTRAN77 и версия FORTRAN90 и версия MATLAB и версия Python.

Связанные данные и программы:

BERNSTEIN_POLYNOMIAL, библиотека FORTRAN77, которая оценивает полиномы Бернштейна, полезен для равномерного приближения функций;

ЧЕБЫШЕВ_ПОЛИНОМ, библиотека FORTRAN77, которая рассматривает полиномы Чебышева T (i, x), U (i, x), V (i, x) и W (i, x).Предусмотрены функции для вычисления многочленов, определения их нулей, производят их полиномиальные коэффициенты, производят соответствующие квадратурные правила, проецировать другие функции на эти полиномиальные базисы и интегрировать двойные и тройные произведения многочленов.

HERMITE_POLYNOMIAL, библиотека FORTRAN77, которая оценивает полином Эрмита физика, вероятностный полином Эрмита, функция Эрмита и связанные с ней функции.

JACOBI_POLYNOMIAL, библиотека FORTRAN77, которая вычисляет полином Якоби и связанные с ним функции.

LAGUERRE_POLYNOMIAL, библиотека FORTRAN77, которая вычисляет многочлен Лагерра, обобщенный многочлен Лагерра, и функция Лагерра.

LEGENDRE_EXACTNESS, программа FORTRAN77, которая проверяет мономиальную точность квадратурных правил для задачи Лежандра интегрирования функции с плотностью 1 на интервале [-1, + 1].

LEGENDRE_PRODUCT_POLYNOMIAL, библиотека FORTRAN77, которая определяет полиномы произведения Лежандра, создавая многомерное полином как произведение одномерных полиномов Лежандра.

LEGENDRE_RULE, программа FORTRAN77, которая вычисляет одномерное квадратурное правило Гаусса-Лежандра.

ПОЛПАК, библиотека FORTRAN77, которая оценивает множество математических функций.

TEST_VALUES, библиотека FORTRAN77, которая предоставляет тестовые значения различных математических функций.

Справка:

  1. Теодор Чихара,
    Введение в ортогональные многочлены,
    Gordon and Breach, 1978,
    ISBN: 0677041500,
    LC: QA404.5 C44.
  2. Уолтер Гаучи, Ортогональные многочлены
    : вычисление и приближение,
    Оксфорд, 2004 г.,
    ISBN: 0-19-850672-4,
    LC: QA404.5 G3555.
  3. Фрэнк Олвер, Даниэль Лозье, Рональд Бойсверт, Чарльз Кларк,
    Справочник по математическим функциям NIST,
    Cambridge University Press, 2010,
    ISBN: 978-0521192255,
    LC: QA331.N57.
  4. Габор Сего,
    ортогональных многочленов,
    Американское математическое общество, 1992,
    ISBN: 0821810235,
    LC: QA3.A5.v23.

Исходный код:

Примеры и тесты:

Список программ:

  • IMTQLX диагонализирует симметричную трехдиагональную матрицу.
  • P_EXPONENTIAL_PRODUCT: экспоненциальных произведения для P (n, x).
  • P_INTEGRAL вычисляет мономиальный интеграл, связанный с P (n, x).
  • P_POLYNOMIAL_VALUE вычисляет полиномы Лежандра P (n, x).
  • P_POLYNOMIAL_COEFFICIENTS: коэффициентов полиномов Лежандра P (n, x).
  • P_POLYNOMIAL_PRIME вычисляет производную полиномов Лежандра P (n, x).
  • P_POLYNOMIAL_PRIME2: вторая производная полиномов Лежандра P (n, x).
  • P_POLYNOMIAL_VALUES возвращает значения полиномов Лежандра P (n, x).
  • P_POLYNOMIAL_ZEROS: нуля функции Лежандра P (n, x).
  • P_POWER_PRODUCT: степенных произведения для полинома Лежандра P (n, x).
  • P_QUADRATURE_RULE: квадратура для функции Лежандра P (n, x).
  • PM_POLYNOMIAL_VALUE вычисляет полиномы Лежандра Pm (n, m, x).
  • PM_POLYNOMIAL_VALUES возвращает значения полиномов Лежандра Pm (n, m, x).
  • PMN_POLYNOMIAL_VALUE: нормализованный полином Лежандра Pmn (n, m, x).
  • PMN_POLYNOMIAL_VALUES: нормализованный полином Лежандра Pmn (n, m, x).
  • PMNS_POLYNOMIAL_VALUE: нормализованный по сфере многочлен Лежандра Pmns (n, m, x).
  • PMNS_POLYNOMIAL_VALUES: нормализованный по сфере многочлен Лежандра Pmns (n, m, x).
  • PN_PAIR_PRODUCT: парных произведений для нормализованного полинома Лежандра Pn (n, x).
  • PN_POLYNOMIAL_COEFFICIENTS: коэффициентов нормализованного Лежандра Pn (n, x).
  • PN_POLYNOMIAL_VALUE вычисляет нормализованные полиномы Лежандра Pn (n, x).
  • R8_EPSILON возвращает блок округления R8.
  • R8_FACTORIAL вычисляет факториал N.
  • R8MAT_PRINT печатает R8MAT.
  • R8MAT_PRINT_SOME печатает часть R8MAT.
  • R8VEC_LINSPACE создает вектор линейно разнесенных значений.
  • R8VEC_PRINT печатает R8VEC.
  • R8VEC2_PRINT печатает R8VEC2.
  • TIMESTAMP выводит текущую дату YMDHMS в виде отметки времени.

Вы можете подняться на один уровень до исходные коды FORTRAN77.


Последняя редакция 17 октября 2014 г.

M2: полиномы Лежандра - Chemistry LibreTexts

  1. Последнее обновление
  2. Сохранить как PDF
Без заголовков

Каждый многочлен Лежандра \ (P_n (x) \, \) является многочленом \ (n \) = -й степени. 2 + 7 = c_0P_0 (x) + c_1P_1 (x) + c_2P_2 (x) = \ frac {19} {3} P_0 (x) - \ frac {4} {3} P_2 (x) $

научных статей, журналов, авторов, подписчиков, издателей

Как крупный международный издатель академических и исследовательских журналов Science Alert издает и разрабатывает названия в партнерстве с самыми престижные научные общества и издатели. Наша цель заключается в том, чтобы максимально широко использовать качественные исследования аудитория.
Мы прилагаем все усилия, чтобы поддержать исследователей которые публикуют в наших журналах. Есть масса информации здесь, чтобы помочь вам публиковаться вместе с нами, а также ценные услуги для авторов, которые уже публиковались у нас.
2021 цены уже доступны.Ты может получить личную / институциональную подписку перечисленных журналы прямо из Science Alert. В качестве альтернативы вы возможно, пожелает связаться с выбранным вами агентством по подписке. Направляйте заказы, платежи и запросы в службу поддержки клиентов. в службу поддержки клиентов журнала Science Alert.
Science Alert гордится своей тесные и прозрачные отношения с обществом. В виде некоммерческий издатель, мы стремимся к самому широкому возможное распространение публикуемых нами материалов и на предоставление услуг высочайшего качества нашим издательские партнеры.
Здесь вы найдете ответы на наиболее часто задаваемые вопросы (FAQ), которые мы получили по электронной почте или через контактную форму в Интернете.В зависимости от характера вопросов мы разделили часто задаваемые вопросы на разные категории.
Азиатский индекс научного цитирования (ASCI) стремится предоставить авторитетный, надежный и значимая информация по освещению наиболее важных и влиятельные журналы для удовлетворения потребностей мировых научное сообщество. База данных ASCI также предоставляет ссылку к полнотекстовым статьям до более чем 25000 записей с ссылка на цитированные ссылки.

LEGENDRE_POLYNOMIAL - полиномы Лежандра

LEGENDRE_POLYNOMIAL - полиномы Лежандра

LEGENDRE_POLYNOMIAL это библиотека Python, которая вычисляет полином Лежандра и связанные с ним функции.

Многочлен Лежандра P (n, x) можно определить следующим образом:

        Р (0, х) = 1
        P (1, х) = х
        P (n, x) = (2 * n-1) / n * x * P (n-1, x) - (n-1) / n * P (n-2, x)
       
где n - неотрицательное целое число.

N нулей P (n, x) являются абсциссами, используемыми для Гаусса-Лежандра. квадратура интеграла от функции F (X) с весовой функцией 1 на интервале [-1,1].

Полиномы Лежандра ортогональны относительно внутреннего произведения, определенного как интегрирование от -1 до 1:

        Интегральный (-1
    

     

Лицензирование:

Компьютерный код и файлы данных, описанные и доступные на этом веб-страницы распространяются под лицензия GNU LGPL.

Языки:

LEGENDRE_POLYNOMIAL доступен в версия C и версия C ++ и версия FORTRAN90 и версия MATLAB и версия Python.

Связанные данные и программы:

BERNSTEIN_POLYNOMIAL, библиотека Python, которая оценивает полиномы Бернштейна, полезен для равномерного приближения функций;

ЧЕБЫШЕВ_ПОЛИНОМ, библиотека Python, которая рассматривает полиномы Чебышева T (i, x), U (i, x), V (i, x) и W (i, x). Предусмотрены функции для вычисления многочленов, определения их нулей, производят их полиномиальные коэффициенты, производят соответствующие квадратурные правила, проецировать другие функции на эти полиномиальные базисы и интегрировать двойные и тройные произведения многочленов.

GEGENBAUER_POLYNOMIAL, библиотека Python, которая вычисляет полином Гегенбауэра и связанные с ним функции.

LEGENDRE_PRODUCT_POLYNOMIAL, библиотека Python, которая определяет полиномы произведения Лежандра, создавая многомерное полином как произведение одномерных полиномов Лежандра.

LEGENDRE_SHIFTED_POLYNOMIAL, библиотека Python, которая оценивает сдвинутый полином Лежандра с областью определения [0,1].

ПОЛПАК, библиотека Python, которая оценивает множество математических функций.

TEST_VALUES, библиотека Python, которая предоставляет тестовые значения различных математических функций.

Исходный код:

  • imtqlx.ру диагонализует симметричную трехдиагональную матрицу;
  • p_exponential_product.py, экспоненциальные произведения для P (n, x).
  • p_integral.py, вычисляет мономиальный интеграл, связанный с P (n, x).
  • p_polynomial_coefficients.py, коэффициенты полиномов Лежандра P (n, x).
  • p_polynomial_prime.py, вычисляет производную многочленов Лежандра P (n, x).
  • p_polynomial_prime2.py, вычисляет вторую производную полиномов Лежандра P (n, x).
  • p_polynomial_value.py, вычисляет полиномы Лежандра P (n, x).
  • p_polynomial_values.py, возвращает выбранные значения полиномов Лежандра P (n, x).
  • p_polynomial_zeros.py, нули функции Лежандра P (n, x).
  • p_power_product.py, степенные произведения для полинома Лежандра P (n, x).
  • p_quadrature_rule.py, квадратура для функции Лежандра P (n, x).
  • pm_polynomial_value.py, вычисляет полиномы Лежандра Pm (n, m, x).
  • pm_polynomial_values.py, выбранные значения полиномов Лежандра Pm (n, m, x).
  • pmn_polynomial_value.ру вычисляет нормализованные полиномы Лежандра Pmn (n, m, x).
  • pmn_polynomial_values.py, выбранные значения нормированных полиномов Лежандра Pmn (n, m, x).
  • pmns_polynomial_value.py, вычисляет сферические нормализованные полиномы Лежандра Pmns (n, m, x).
  • pmns_polynomial_values. py, выбранные значения сферических нормированных многочленов Лежандра Pmns (n, m, x).
  • pn_pair_product.py, парные произведения для нормированного многочлена Лежандра Pn (n, x).
  • pn_polynomial_coefficients.py, коэффициенты нормированных многочленов Лежандра Pn (n, x).
  • pn_polynomial_value.py, вычисляет нормализованные полиномы Лежандра Pn (n, x).
  • pn_polynomial_values.py, выбранные значения нормированных полиномов Лежандра Pn (n, x).
  • r8_epsilon.py, возвращает точность станка.
  • r8_factorial.py, вычисляет факториальную функцию;
  • r8_factorial_values.py, возвращает выбранные значения факториальной функции;
  • r8_sign.py, возвращает знак R8.
  • r8mat_print.py, печатает R8MAT;
  • r8mat_print_some.ру печатает часть R8MAT;
  • r8vec_print.py, печатает R8VEC;
  • r8vec2_print.py, печатает пару R8VEC;
  • timestamp.py, печатает текущую дату YMDHMS как отметку времени.

Примеры и тесты:

Вы можете подняться на один уровень до исходные коды Python.


Последняя редакция 17 марта 2016 г. .

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *