Полином лежандра это: Полином Лежандра — это… Что такое Полином Лежандра?

Полиномы Лежандра. Функции Лежандра — Энциклопедия по машиностроению XXL

Подставим (2. 4. 10), (2. 4. И) в уравнения (2. 4. 2), (2. 4. 4) и, используя свойство ортогональности полиномов II функций Лежандра, после несложных преобразований получим уравнения для коэффициентов разложения / ( ), g ii) для каждого п = 1, 2,. . .  [c.32]

Представим функцию Р 1,т) вида (5) в форме двойного ряда по четным полиномам Лежандра. Функции д (р) и Я (г) также разложим в ряды по полиномам Лежандра. Имеем  [c.261]

Методы, обсуждаемые в настоящей главе, основаны на представлении угловой зависимости потока нейтронов, т. е. зависимости Ф от направления й, в виде ряда по полной системе ортогональных функций (полиномы Лежандра в простых геометриях и сферические гармоники в общем случае). Эти разложения ограничиваются несколькими членами, что позволяет получить решаемые на практике уравнения. Пространственную зависимость потока нейтронов обычно получают не в виде непрерывных пространственных функций, а с помощью введения дискретной пространственной сетки и вычисления потока в узлах этой сетки.  [c.100]

Здесь Р, — полиномы Лежандра — функции, часто встречающиеся в математической физике (см. приложение И).  [c.190]

Широко используется также при решении задач теории — переноса излучения метод сферических гармоник, т. е. метод разложения интенсивности излучения по полиномам Лежандра. При этом уравнение переноса сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений относительно весовых функций разложения.  [c.143]

Если функцию формы F В, t) представить в виде ряда по полиномам Лежандра, из соотношения (2. 6. 8) будет следовать, что только член, пропорциональный P (6) os t, даст отличный от нуля вклад в амплитуду в. Соотношение (2. 6. 9) означает, что функция F (0, t) всегда ортогональна функции (0) sin i и, следовательно, зависимость фазы колебаний от времени имеет вид os t.  [c.53]

Соотношения (2. 6. 26), (2. 6. 27) с учетом свойств ортогональности полиномов Лежандра и тригонометрических функций приводят к следующему виду функции в, i)  [c.56]

Интегралы в (2. 6. 42), обозначенные угловыми скобками, представляют собой хорошо известные 3/- и 6/-символы для сферических гармонических функций [16]. Эти символы обозначают результат интегрирования трех, четырех полиномов Лежандра и их производных  [c.58]

Это уравнение можно решить стандартным способом с помощью разложения по сферическим функциям (полиномам Лежандра) >  [c.89]

Полиномы Лежандра Ph(z) являются собственными функциями дифференциального оператора, стоящего в правой части (5.135) (см. приложение V)  [c.89]

Из соотношения (1) легко получить теоремы сложения для сферических функций полиномов Лежандра.  [c.224]

Это уравнение Лежандра ). Два его фундаментальных решения, для обозначения которых используются обычно символы (.г) и функциями Лежандра первого и второго рода. При /г О, 1, 2, 3. .. функции Р х) представляют собой полиномы Лежандра  [c.388]

Упругие свойства 1 (2-я) —166 Ледебурит 3 — 321, 337 Ледебуритная сталь 3 — 337, 359 Лежандра полиномы 1 (1-я) — 99, 267 Лежандра функции 1 (1-я)—140 Лейбница формула 1 (1-я)—155 Лемешные плуги — см. Плуги лемешные Лемехи — Построение контура 12—10 Построение поверхности 12 — 12  [c.130]

Функции Бесселя, полиномы Лежандра, Чебышева, Якоби, Эрмита, Лагерра представляют коэфициенты разложений по степеням z (или тригонометрических разложений) некоторых функций F(x,z), называемых производящими функциями.  [c.142]

Коэфициенты наилучшего приближения в интервале — 1 среднему квадратическому отклонению) имеют вид  [c.267]

Для я целого (и я = 0) решениями являются полиномы Лежандра я-й степени шаровые функции)  [c.223]

Но ИЗ разложения функций ряд полиномов Лежандра )  [c.218]

Функции /[, ф[,, /,,, задаются в виде полиномов Лежандра или Чебышева, функции ф,, ф , — ортонормированные полиномы, подчиненные геометрическим условиям жесткого закрепления на краю интервала.  [c.113]

Через Рп ( os 0) и Р ( os 0) обозначены соответственно полиномы Лежандра степени п и присоединенные полиномы Лежандра (первого рода) порядка п и ранга т. Для справки приводим значения функций, входящих в (7.3.19)  [c.346]

Возвращаясь к уравнению (VI. 1.5) при тФО, можно непосредственной проверкой убедиться, что функция (ц) связана с п-и полиномом Лежандра соотношением  [c.896]

Это — известное разложение функции f((i) в ряд по полиномам Лежандра,  [c.901]

Здесь Рп и Qn — полиномы Лежандра и функции Лежандра второго рода соответственно. Таблицы допустимых значений fej и соответствующих значений Я ( 1) (п = О, 1,….. N) для различных значений а> п N приведены в работе [27].  [c.367]

Jn x) — функции Бесселя Pi (х) — присоединенные полиномы Лежандра F (0, сферические функции Г(х) — гамма-функция  [c.7]

В случае эллипсоида вращения аналитические функции допускают разложения по полиномам и функциям Лежандра Р (С/с), QJV ), i PniW ), (п-  [c.253]

Полиномы, полученные выше, известны как присоединенные полиномы Лежандра степени / и порядка m и обозначаются символом Pf x) или P ( os0). 8.8 Т + Г-Е к = 1 Где c0-вложенная константа X w Y. С этим вложением (см. Определение 3).

• Это U. D означает плотность системы O в пространстве Pr и измерения. 1.Система степеней 1, х, Х2,…на хп…(58.15)） Он полон пространством C [B, b], Cb [a, B\, 1 p + Oo и[a, b]в любом сегменте[a, b].фактически, из-за теоремы Вейерштрасса(см. теорему 8 55.8) указанная схема мощности полна в пространстве C [a, b]и, согласно (58.14), она вложена в $ 58.Стабильности и расширения Четыреста восемьдесят Введите пространство T, 2 [a, b] и плотно в it. So, с Леммой 3 в этом разделе Система ордеров (58.15) полностью находится в пространстве b2 [a, b]. С той же Леммой эта система также полна в любом 1 пространственном Cp [a, b], потому что C [a, b]встроен в Cp [a, b]и плотнее (см. (58.13)).

Обратное неверно. Например, система степеней (58.15) образует полную линейную независимую систему в Банаховом пространстве C [a, b], но не является ее основой. Функции в пространстве C [a, b]/ ОО Разберите в соответствии со степенью системы(58. XkPk(х). (58.16)） 6 = о Так, если система образования (58.15) идеально подходит в квази-норма пространства X, т. е. для любого элемента/ Ex и любого е 0, Л / С? Полином типа 2 = (} (x), то (58,16) благодаря / «2 КР 8. Я * = 0 || Это означает полноту полиномиальной системы Лежандра в пространстве X. 3.Подпространство пространства непрерывной функции C [i, i] обозначается C * [i, i].оно состоит из функций, которые принимают одинаковое значение на обоих концах отрезка[—i, i]. /(я)-/(я). (58.17） Тригонометрическая система (58.2） 1, C08X, 8ШX,…,0808ПХ, 8ЮПХ,…、 58.3.Целостная система 481. Он полон пробелами C * [i, i] и b2 [i, i].Полнота тригонометрической системы в пространстве C * [I, I]была доказана ранее. См. теорему 55.8 7. C [i, i] обозначает подпространство пространства C * [i, i].

Смотрите также:

Решение задач по математическому анализу

Полином Лежандра — обзор

5.2 Ортогонализация Грама-Шмидта

Решающее значение для выполнения обсуждаемых расширений и преобразований — наличие полезных ортонормированных наборов функций. Поэтому мы переходим к описанию процесса, посредством которого набор функций, который не является ни ортогональным, ни нормализованным, может использоваться для построения ортонормированного набора, охватывающего одно и то же функциональное пространство. Есть много способов выполнить эту задачу. Мы представляем здесь метод, называемый процессом ортогонализации Грама-Шмидта .

Процесс Грама-Шмидта предполагает наличие набора функций χ _μ и правильно определенного скалярного произведения 〈 f | г 〉. Мы ортонормировали последовательно , чтобы сформировать ортонормированные функции φ _ν , то есть мы делаем первую ортонормированную функцию, φ ₀ , из χ ₀ , следующую, φ ₁ , от χ ₀ и χ ₁ и т. д.Если, например, χ _μ являются степенями x ^μ , ортонормированная функция φ _ν будет полиномом степени ν от x . Поскольку процесс Грама-Шмидта часто применяется к степеням, мы решили пронумеровать наборы × и × , начиная с нуля (а не с 1).

Таким образом, наша первая ортонормированная функция будет просто нормализованной версией χ ₀ .В частности,

(5.33) φ0 = χ0 〈χ0 | χ0〉 1/2.

Чтобы проверить, что уравнение. (5.33) верно, получаем

〈φ0 | φ0〉 = 〈χ0 〈χ0 | χ0〉 1/2 | χ0 〈χ0 | χ0〉 1/2〉 = 1.

Далее, начиная с φ ₀ и χ ₁ , формируем функцию, ортогональную φ ₀ . Мы используем 900 ₀ , а не χ ₀ , чтобы соответствовать тому, что мы будем делать на более поздних этапах процесса. Таким образом, мы пишем

(5.34) ψ1 = χ1 − a1,0φ0.

То, что мы делаем здесь, — это удаление из χ ₁ его проекции на φ ₀ , оставляя остаток, который будет ортогонален φ ₀ . Помня, что φ ₀ нормализовано («единичной длины»), эта проекция идентифицируется как 〈 φ ₀ | χ ₁ 〉 φ ₀ , так что

(5,35) a1,0 = 〈φ0 | χ1〉.

В случае уравнения.(5.35) не является интуитивно очевидным, мы можем подтвердить это, написав требование, чтобы ψ ₁ было ортогонально φ ₀ :

〈φ0 | ψ1〉 = 〈φ0 | (χ1 − a1,0φ0 )〉 = 〈Φ0 | χ1〉 −a1,0 〈φ0 | φ0〉 = 0,

, что, поскольку φ ₀ нормализовано, сводится к уравнению. (5.35). Функция ψ ₁ в целом не нормирована. Чтобы нормализовать его и получить φ ₁ , сформируем

(5.36) φ1 = ψ1 〈ψ1 | ψ1〉 1/2.

Чтобы продолжить, нам нужно сделать из φ ₀ , φ ₁ и χ ₂ функцию, которая ортогональна как φ ₀ , так и φ ₁ . Он будет иметь вид

(5.37) ψ2 = χ2 − a0,2φ0 − a1,2φ1.

Последние два члена уравнения. (5.37) соответственно удаляют из χ ₂ его проекции на φ ₀ и φ ₁ ; эти проекции независимы, потому что 900 ₀ и 12 ₁ ортогональны.Таким образом, либо исходя из наших знаний о проекциях, либо путем обнуления скалярных произведений 〈 φ _i | ψ ₂ 〉 ( i = 0 и 1), получаем

(5.38) a0,2 = 〈φ0 | χ2〉, a1,2 = 〈φ1 | χ2〉.

Наконец, сделаем φ2 = ψ2 / 〈ψ2 | ψ2〉 1/2.

Обобщение, для которого приведенное выше является несколькими первыми членами, состоит в том, что, учитывая предварительное образование φ _i , i = 0,…, n — 1, ортонормированная функция φ _n получается из χ _n с помощью следующих двух шагов:

(5.39) ψn = χn − ∑μ = 0n − 1 〈φμ | χn〉 φμ, φn = ψn 〈ψn | ψn〉 1/2.

Рассматривая описанный выше процесс, мы отмечаем, что разные результаты были бы получены, если бы мы использовали один и тот же набор × _и , но просто взяли их в другом порядке. Например, если бы мы начали с χ ₃ , одна из наших ортонормированных функций была бы кратной χ ₃ , в то время как построенное нами множество дало 10 ₃ как линейную комбинацию χ _мкм , мкм = 0, 1, 2, 3.

Полиномы Лежандра

Сформируем ортонормированный набор, взяв χ _μ как x ^μ , и сделав определение

(5.40) 〈f | g〉 = ∫− 11f * (x) g (x) dx.

Первая ортонормированная функция, φ ₀ , равна

φ0 (x) = 1 〈1 | 1〉 1/2 = 1 [∫ − 11dx] 1/2 = 12.

ψ1 (x) = x− 〈φ0 | x〉 φ0 (x) = x,

φ1 (x) = x [∫ − 11x2dx] 1/2 = 32 x.

ψ2 (x) = x2− 〈φ0 | x2〉 φ0 (x) — 〈φ1 | x2〉 φ1 (x) = x2− 〈12 | x2〉 (12) = x2−13,

〈12 | x2〉 = 12∫ − 11x2dx = 23.

φ2 (x) = x2−13 [∫ − 11 (x2−13) 2dx] 1/2 = 52 (32 x2−12).

φ3 (x) = 7252×3−32x.

(5,41) φn (x) = 2n + 12Pn (x),

Многочлены Лежандра, за исключением знака и масштаба, однозначно определяются процессом Грама-Шмидта, использованием последовательных степеней x и определением, принятым для скалярного произведения.Изменяя определение скалярного произведения (другой вес или диапазон), мы можем сгенерировать другие полезные наборы ортогональных многочленов. Некоторые из них представлены в таблице 5.1. По разным причинам большинство этих полиномиальных наборов не нормированы на единицу. Формулы скалярного произведения в таблице дают обычные нормализации и являются формулами явных формул, на которые есть ссылки в таблице.

Таблица 5.1. Ортогональные многочлены, порожденные Грамом-Шмидтом Ортогонализация un (x) = xn, n = 0, 1, 2,….

Полиномы	Скалярные произведения	Таблица
Лежандр	∫ − 11Pn (x) Pm (x) dx = 2δmn / (2n 903,150					Сдвинутый Лежандр	∫01Pn * (x) Pm * (x) dx = δmn / (2n + 1)	Таблица 15. 2
Чебышев И	∫ − 11Tn (x) Tm (x) (1 − x2) −1 / 2dx = δmnπ / (2 − δn0)	Таблица 18.4
Сдвинутый Чебышев I	∫01Tn * (x) Tm * (x) [x (1 − x) ] −1 / 2dx = δmnπ / (2 − δn0)	Таблица 18.5
Чебышев II	∫ − 11Un (x) Um (x) (1 − x2) 1 / 2dx = δmnπ / 2	Таблица 18.4
Laguerre	∞L x) Lm (x) e − xdx = δmn	Таблица 18.2
Ассоциированный Laguerre	∫0∞Lnk (x) Lmk (x) e − xdx = δmn (n + k)! / n!	Таблица 18.3
Эрмит	∫ − ∞∞Hn (x) Hm (x) e − x2dx = 2nδmnπ1 / 2n!	Таблица 18.1

Интервалы, веса и обычная нормализация могут быть выведены из форм скалярных произведений.Таблицы явных формул для первых нескольких многочленов каждого типа включены в указанные таблицы, появляющиеся в главах 15 и 18, глава 15, глава 18 этой книги. 3.В нотации Дирака эти векторы (записанные как матрицы столбцов) равны

| a1〉 = 11−2, | a2〉 = 12−3.

Мы действуем точно так же, как и для функций: наш первый ортонормированный базисный вектор, который мы называем b ₁ , будет нормализованной версией a ₁ и, следовательно, сформирован как

| b1〉 = a1 〈a1 | a1〉 1/2 = 161/2 | a1〉 = 161 / 211−2.

| b2 ′〉 = | a2〉 — 〈b1 | a2〉 | b1〉 = | a2〉 −961/2 | b1〉 = — 1/21/20.

| b2〉 = b2 ′ 〈b2 ′ | b2 ′〉 1/2 = 12−110.

Для построений Грама-Шмидта в упражнениях с 5.2.1 по 5.2.6 используйте скалярное произведение формы, приведенной в уравнении. (5.7) с указанным интервалом и весом.

5.2.1

Следуя процедуре Грама-Шмидта, постройте набор полиномов Pn * (x), ортогональных (единичный весовой коэффициент) в диапазоне [0, 1] из набора [1, x , x ² ,…]. Масштабируйте так, чтобы Pn * (1) = 1.

АНС . Pn * (x) = 1, P1 * (x) = 2x − 1, P2 * (x) = 6×2−6x + 1, P3 * (x) = 20×3−30×2 + 12x − 1.

Это первые четыре сдвинутых полиномов Лежандра.

Примечание . «*» — это стандартное обозначение для «сдвинутого»: [0, 1] вместо [-1, 1]. Это означает, что , а не , означает комплексное сопряжение.

5.2.2

Примените процедуру Грама-Шмидта, чтобы сформировать первые три полинома Лагерра:

un (x) = xn, n = 0,1,2,…, 0≤x <∞, w ( х) = е-х.

Обычная нормализация:

0∞Lm (x) Ln (x) e − xdx = δmn.

АНС .

L0 = 1, L1 = (1 − x), L2 = 2−4x + x22.

5.2.3

Вам дается

(a)

набор функций un (x) = xn, n = 0,1,2,…,

(b)

интервал (0, ∞),

(c)

весовая функция w ( x ) = xe ^{— x} . Используйте процедуру Грама-Шмидта для построения первых трех ортонормированных функций из набора u _n ( x ) для этого интервала и этой весовой функции.

АНС . φ0 (x) = 1, φ1 (x) = (x − 2) / 2, φ2 (x) = (x2−6x + 6) / 23.

5.2.4

Используя процедуру ортогонализации Грама-Шмидта, постройте три младших полинома Эрмита:

un (x) = xn, n = 0,1,2,…, −∞ Для этого набора многочленов обычная нормализация равна

∫∞ − ∞Hm (x) Hn (x) w (x) dx = δmn2mm! π1 / 2.

АНС . H0 = 1, h2 = 2x, h3 = 4×2−2.

5.2.5

Используйте схему ортогонализации Грама-Шмидта, чтобы построить первые три полинома Чебышева (тип I):

un (x) = xn, n = 0,1,2,…, −1≤ х≤1, w (х) = (1-х2) -1/2.

Возьмем нормализацию

∫ − 11Tm (x) Tn (x) w (x) dx = δmn {π, m = n = 0, π2, m = n≥1.

Подсказка . Необходимые интегралы приведены в упражнении 13. 3.2.

АНС . T0 = ​​1, T1 = x, T2 = 2×2−1, (T3 = 4×3−3x).

5.2.6

Используйте схему ортогонализации Грама-Шмидта для построения первых трех многочленов Чебышева (тип II):

un (x) = xn, n = 0,1,2,…, −1≤x≤1, w (х) = (1 — х2) +1/2.

Возьмем нормировку

∫ − 11Um (x) Un (x) w (x) dx = δmnπ2.

Подсказка .

∫ − 11 (1 − x2) 1 / 2x2ndx = π2 × 1⋅3⋅5 ⋯ (2n − 1) 4⋅6⋅8 ⋯ (2n + 2), n = 1,2,3,… = π2 , п = 0.

АНС . U0 = 1, U1 = 2x, U2 = 4×2−1.

5.2.7

Как модификация упражнения 5.2.5, примените процедуру ортогонализации Грама-Шмидта к множеству un (x) = xn, n = 0, 1, 2,…, 0 ≤ x <∞. Возьмем w ( x ) как exp (- x ² ). Найдите первые два ненулевых многочлена. Нормализуйте так, чтобы коэффициент максимальной степени x был равен единице. В упражнении 5.2.5 интервал (−∞, ∞) привел к многочленам Эрмита. Найденные здесь функции определенно не являются полиномами Эрмита.

АНС .φ0 = 1, φ1 = x − π − 1/2.

5.2.8

Сформируйте набор из трех ортонормированных векторов с помощью процесса Грама-Шмидта, используя эти входные векторы в указанном порядке:

c1 = 111, c2 = 112, c3 = 102.

Многочлены Лежандра и формула Родрига

Вместо решения рекурсивного соотношения (1-54) для коэффициентов в полиномах Лежандра проще использовать следующий прием:

Рассмотрим функцию

(1- x 2 ) f n » -2 ( n -1) xf n ‘+2 nf n = 0 .

(22)

LEGENDRE_POLYNOMIAL — многочлены Лежандра

LEGENDRE_POLYNOMIAL это библиотека FORTRAN77, которая вычисляет полином Лежандра и связанные с ним функции.

Многочлен Лежандра P (n, x) можно определить следующим образом:

        Р (0, х) = 1
        P (1, х) = х
        P (n, x) = (2 * n-1) / n * x * P (n-1, x) - (n-1) / n * P (n-2, x)
       

N нулей P (n, x) являются абсциссами, используемыми для Гаусса-Лежандра. квадратура интеграла от функции F (X) с весовой функцией 1 на интервале [-1,1].

Полиномы Лежандра ортогональны относительно внутреннего произведения, определенного как интегрирование от -1 до 1:

        Интегральный (-1
    

     

      Лицензирование:
     

     

      Компьютерный код и файлы данных, описанные и доступные на этом
      веб-страницы распространяются под
      лицензия GNU LGPL.

     

      Языки:
     

     

        LEGENDRE_POLYNOMIAL  доступен в
      версия C и
      версия C ++ и
      версия FORTRAN77 и
      версия FORTRAN90 и
      версия MATLAB и
      версия Python. 
     

     

      Связанные данные и программы:
     

     

      
      BERNSTEIN_POLYNOMIAL,
      библиотека FORTRAN77, которая
      оценивает полиномы Бернштейна,
      полезен для равномерного приближения функций;
     

     

      
      ЧЕБЫШЕВ_ПОЛИНОМ,
      библиотека FORTRAN77, которая
      рассматривает полиномы Чебышева T (i, x), U (i, x), V (i, x) и W (i, x).Предусмотрены функции для вычисления многочленов, определения их нулей,
      производят их полиномиальные коэффициенты, производят соответствующие квадратурные правила,
      проецировать другие функции на эти полиномиальные базисы и интегрировать
      двойные и тройные произведения многочленов.
     

     

      
      HERMITE_POLYNOMIAL,
      библиотека FORTRAN77, которая
      оценивает полином Эрмита физика,
      вероятностный полином Эрмита,
      функция Эрмита и связанные с ней функции.

     

      
      JACOBI_POLYNOMIAL,
      библиотека FORTRAN77, которая
      вычисляет полином Якоби и связанные с ним функции. 
     

     

      
      LAGUERRE_POLYNOMIAL,
      библиотека FORTRAN77, которая
      вычисляет многочлен Лагерра, обобщенный многочлен Лагерра,
      и функция Лагерра.
     

     

      
      LEGENDRE_EXACTNESS,
      программа FORTRAN77, которая
      проверяет мономиальную точность квадратурных правил для задачи Лежандра
      интегрирования функции с плотностью 1 на интервале [-1, + 1].

     

      
      LEGENDRE_PRODUCT_POLYNOMIAL,
      библиотека FORTRAN77, которая
      определяет полиномы произведения Лежандра, создавая многомерное
      полином как произведение одномерных полиномов Лежандра.
     

     

      
      LEGENDRE_RULE,
      программа FORTRAN77, которая
      вычисляет одномерное квадратурное правило Гаусса-Лежандра.
     

     

      
      ПОЛПАК,
      библиотека FORTRAN77, которая
      оценивает множество математических функций.

     

      
      TEST_VALUES,
      библиотека FORTRAN77, которая
      предоставляет тестовые значения различных математических функций. 
     

     

      Справка:
     

     
 

          Теодор Чихара, 
 Введение в ортогональные многочлены, 
 Gordon and Breach, 1978, 
 ISBN: 0677041500, 
 LC: QA404.5 C44.
         
         

          Уолтер Гаучи, Ортогональные многочлены 
: вычисление и приближение, 
 Оксфорд, 2004 г., 
 ISBN: 0-19-850672-4, 
 LC: QA404.5 G3555.
         
         

          Фрэнк Олвер, Даниэль Лозье, Рональд Бойсверт, Чарльз Кларк, 
 Справочник по математическим функциям NIST, 
 Cambridge University Press, 2010, 
 ISBN: 978-0521192255, 
 LC: QA331.N57.
         
         

          Габор Сего, 
 ортогональных многочленов, 
 Американское математическое общество, 1992, 
 ISBN: 0821810235, 
 LC: QA3.A5.v23.
         
       
 

      Исходный код:
     

     

Примеры и тесты:

Список программ:

• IMTQLX диагонализирует симметричную трехдиагональную матрицу.
• P_EXPONENTIAL_PRODUCT: экспоненциальных произведения для P (n, x).
• P_INTEGRAL вычисляет мономиальный интеграл, связанный с P (n, x).
• P_POLYNOMIAL_VALUE вычисляет полиномы Лежандра P (n, x).
• P_POLYNOMIAL_COEFFICIENTS: коэффициентов полиномов Лежандра P (n, x).
• P_POLYNOMIAL_PRIME вычисляет производную полиномов Лежандра P (n, x).
• P_POLYNOMIAL_PRIME2: вторая производная полиномов Лежандра P (n, x).
• P_POLYNOMIAL_VALUES возвращает значения полиномов Лежандра P (n, x).
• P_POLYNOMIAL_ZEROS: нуля функции Лежандра P (n, x).
• P_POWER_PRODUCT: степенных произведения для полинома Лежандра P (n, x).
• P_QUADRATURE_RULE: квадратура для функции Лежандра P (n, x).
• PM_POLYNOMIAL_VALUE вычисляет полиномы Лежандра Pm (n, m, x).
• PM_POLYNOMIAL_VALUES возвращает значения полиномов Лежандра Pm (n, m, x).
• PMN_POLYNOMIAL_VALUE: нормализованный полином Лежандра Pmn (n, m, x).
• PMN_POLYNOMIAL_VALUES: нормализованный полином Лежандра Pmn (n, m, x).
• PMNS_POLYNOMIAL_VALUE: нормализованный по сфере многочлен Лежандра Pmns (n, m, x).
• PMNS_POLYNOMIAL_VALUES: нормализованный по сфере многочлен Лежандра Pmns (n, m, x).
• PN_PAIR_PRODUCT: парных произведений для нормализованного полинома Лежандра Pn (n, x).
• PN_POLYNOMIAL_COEFFICIENTS: коэффициентов нормализованного Лежандра Pn (n, x).
• PN_POLYNOMIAL_VALUE вычисляет нормализованные полиномы Лежандра Pn (n, x).
• R8_EPSILON возвращает блок округления R8.
• R8_FACTORIAL вычисляет факториал N.
• R8MAT_PRINT печатает R8MAT.
• R8MAT_PRINT_SOME печатает часть R8MAT.
• R8VEC_LINSPACE создает вектор линейно разнесенных значений.
• R8VEC_PRINT печатает R8VEC.
• R8VEC2_PRINT печатает R8VEC2.
• TIMESTAMP выводит текущую дату YMDHMS в виде отметки времени.

Вы можете подняться на один уровень до исходные коды FORTRAN77.

M2: полиномы Лежандра — Chemistry LibreTexts

1. Последнее обновление

2. Сохранить как PDF

Каждый многочлен Лежандра \ (P_n (x) \, \) является многочленом \ (n \) = -й степени. 2 + 7 = c_0P_0 (x) + c_1P_1 (x) + c_2P_2 (x) = \ frac {19} {3} P_0 (x) — \ frac {4} {3} P_2 (x) $

научных статей, журналов, авторов, подписчиков, издателей

		Как крупный международный издатель академических и исследовательских журналов Science Alert издает и разрабатывает названия в партнерстве с самыми престижные научные общества и издатели. Наша цель заключается в том, чтобы максимально широко использовать качественные исследования аудитория.
		Мы прилагаем все усилия, чтобы поддержать исследователей которые публикуют в наших журналах. Есть масса информации здесь, чтобы помочь вам публиковаться вместе с нами, а также ценные услуги для авторов, которые уже публиковались у нас.
		2021 цены уже доступны.Ты может получить личную / институциональную подписку перечисленных журналы прямо из Science Alert. В качестве альтернативы вы возможно, пожелает связаться с выбранным вами агентством по подписке. Направляйте заказы, платежи и запросы в службу поддержки клиентов. в службу поддержки клиентов журнала Science Alert.
		Science Alert гордится своей тесные и прозрачные отношения с обществом. В виде некоммерческий издатель, мы стремимся к самому широкому возможное распространение публикуемых нами материалов и на предоставление услуг высочайшего качества нашим издательские партнеры.
		Здесь вы найдете ответы на наиболее часто задаваемые вопросы (FAQ), которые мы получили по электронной почте или через контактную форму в Интернете.В зависимости от характера вопросов мы разделили часто задаваемые вопросы на разные категории.
		Азиатский индекс научного цитирования (ASCI) стремится предоставить авторитетный, надежный и значимая информация по освещению наиболее важных и влиятельные журналы для удовлетворения потребностей мировых научное сообщество. База данных ASCI также предоставляет ссылку к полнотекстовым статьям до более чем 25000 записей с ссылка на цитированные ссылки.

LEGENDRE_POLYNOMIAL — полиномы Лежандра

LEGENDRE_POLYNOMIAL это библиотека Python, которая вычисляет полином Лежандра и связанные с ним функции.

Многочлен Лежандра P (n, x) можно определить следующим образом:

        Р (0, х) = 1
        P (1, х) = х
        P (n, x) = (2 * n-1) / n * x * P (n-1, x) - (n-1) / n * P (n-2, x)
       

N нулей P (n, x) являются абсциссами, используемыми для Гаусса-Лежандра. квадратура интеграла от функции F (X) с весовой функцией 1 на интервале [-1,1].

Полиномы Лежандра ортогональны относительно внутреннего произведения, определенного как интегрирование от -1 до 1:

        Интегральный (-1
    

     

      Лицензирование:
     

     

      Компьютерный код и файлы данных, описанные и доступные на этом
      веб-страницы распространяются под
      лицензия GNU LGPL.

     

      Языки:
     

     

        LEGENDRE_POLYNOMIAL  доступен в
      версия C и
      версия C ++ и
      версия FORTRAN90 и
      версия MATLAB и
      версия Python.
     

     

      Связанные данные и программы:
     

     

      
      BERNSTEIN_POLYNOMIAL,
      библиотека Python, которая
      оценивает полиномы Бернштейна,
      полезен для равномерного приближения функций;
     

     

      
      ЧЕБЫШЕВ_ПОЛИНОМ,
      библиотека Python, которая
      рассматривает полиномы Чебышева T (i, x), U (i, x), V (i, x) и W (i, x). Предусмотрены функции для вычисления многочленов, определения их нулей,
      производят их полиномиальные коэффициенты, производят соответствующие квадратурные правила,
      проецировать другие функции на эти полиномиальные базисы и интегрировать
      двойные и тройные произведения многочленов.
     

     

      
      GEGENBAUER_POLYNOMIAL,
      библиотека Python, которая
      вычисляет полином Гегенбауэра и связанные с ним функции.
     

     

      
      LEGENDRE_PRODUCT_POLYNOMIAL,
      библиотека Python, которая
      определяет полиномы произведения Лежандра, создавая многомерное
      полином как произведение одномерных полиномов Лежандра.

     

      
      LEGENDRE_SHIFTED_POLYNOMIAL,
      библиотека Python, которая
      оценивает сдвинутый полином Лежандра с областью определения [0,1].
     

     

      
      ПОЛПАК,
      библиотека Python, которая
      оценивает множество математических функций.
     

     

      
      TEST_VALUES,
      библиотека Python, которая
      предоставляет тестовые значения различных математических функций. 
     

     

      Исходный код:
     

     

• imtqlx.ру диагонализует симметричную трехдиагональную матрицу;
• p_exponential_product.py, экспоненциальные произведения для P (n, x).
• p_integral.py, вычисляет мономиальный интеграл, связанный с P (n, x).
• p_polynomial_coefficients.py, коэффициенты полиномов Лежандра P (n, x).
• p_polynomial_prime.py, вычисляет производную многочленов Лежандра P (n, x).
• p_polynomial_prime2.py, вычисляет вторую производную полиномов Лежандра P (n, x).
• p_polynomial_value.py, вычисляет полиномы Лежандра P (n, x).
• p_polynomial_values.py, возвращает выбранные значения полиномов Лежандра P (n, x).
• p_polynomial_zeros.py, нули функции Лежандра P (n, x).
• p_power_product.py, степенные произведения для полинома Лежандра P (n, x).
• p_quadrature_rule.py, квадратура для функции Лежандра P (n, x).
• pm_polynomial_value.py, вычисляет полиномы Лежандра Pm (n, m, x).
• pm_polynomial_values.py, выбранные значения полиномов Лежандра Pm (n, m, x).
• pmn_polynomial_value.ру вычисляет нормализованные полиномы Лежандра Pmn (n, m, x).
• pmn_polynomial_values.py, выбранные значения нормированных полиномов Лежандра Pmn (n, m, x).
• pmns_polynomial_value.py, вычисляет сферические нормализованные полиномы Лежандра Pmns (n, m, x).
• pmns_polynomial_values. py, выбранные значения сферических нормированных многочленов Лежандра Pmns (n, m, x).
• pn_pair_product.py, парные произведения для нормированного многочлена Лежандра Pn (n, x).
• pn_polynomial_coefficients.py, коэффициенты нормированных многочленов Лежандра Pn (n, x).
• pn_polynomial_value.py, вычисляет нормализованные полиномы Лежандра Pn (n, x).
• pn_polynomial_values.py, выбранные значения нормированных полиномов Лежандра Pn (n, x).
• r8_epsilon.py, возвращает точность станка.
• r8_factorial.py, вычисляет факториальную функцию;
• r8_factorial_values.py, возвращает выбранные значения факториальной функции;
• r8_sign.py, возвращает знак R8.
• r8mat_print.py, печатает R8MAT;
• r8mat_print_some.ру печатает часть R8MAT;
• r8vec_print.py, печатает R8VEC;
• r8vec2_print.py, печатает пару R8VEC;
• timestamp.py, печатает текущую дату YMDHMS как отметку времени.

Примеры и тесты:

Вы можете подняться на один уровень до исходные коды Python.