Порядок базисного минора матрицы онлайн: Онлайн калькулятор. Ранг матрицы

Решение высшей математики онлайн

‹— Назад

В этом разделе рассмотрим еще одну важную числовую характиристику матрицы, связанную с тем, насколько ее строки (столбцы) зависят друг от друга.

        Определение 14.10   Пусть дана матрица размеров и число , не превосходящее наименьшего из чисел и : . Выберем произвольно строк матрицы и столбцов (номера строк могут отличаться от номеров столбцов). Определитель матрицы, составленной из элементов, стоящих на пересечении выбранных строк и столбцов, называется минором порядка матрицы .         

        Пример 14.9   Пусть .

Минором первого порядка является любой элемент матрицы. Так 2, ,  — миноры первого порядка.

Миноры второго порядка:

1. возьмем строки 1, 2, столбцы 1, 2, получим минор ;
2. возьмем строки 1, 3, столбцы 2, 4, получим минор ;
3. возьмем строки 2, 3, столбцы 1, 4, получим минор

Миноры третьего порядка:

строки здесь можно выбрать только одним способом,

1. возьмем столбцы 1, 3, 4, получим минор ;
2. возьмем столбцы 1, 2, 3, получим минор .

        

        Предложение 14.23   Если все миноры матрицы порядка равны нулю, то все миноры порядка , если такие существуют, тоже равны нулю.

        Доказательство.     Возьмем произвольный минор порядка . Это определитель матрицы порядка . Разложим его по первой строке. Тогда в каждом слагаемом разложения один из множителей будет являться минором порядка исходной матрицы. По условию миноры порядка равны нулю. Поэтому и минор порядка будет равен нулю.     

        Определение 14.11   Рангом матрицы называется наибольший из порядков миноров матрицы , отличных от нуля. Ранг нулевой матрицы считается равным нулю.         

Единое, стандартное, обозначение ранга матрицы отсутствует. Следуя учебнику  [1], мы будем обозначать его .

        Пример 14. 10   Матрица примера 14.9 имеет ранг 3, так как есть минор третьего порядка, отличный от нуля, а миноров четвертого порядка нет.

Ранг матрицы равен 1, так как есть ненулевой минор первого порядка (элемент матрицы ), а все миноры второго порядка равны нулю.

Ранг невырожденной квадратной матрицы порядка равен , так как ее определитель является минором порядка и у невырожденной матрицы отличен от нуля.         

        Предложение 14.24   При транспонировании матрицы ее ранг не меняется, то есть .

        Доказательство.     Транспонированный минор исходной матрицы будет являться минором транспонированной матрицы , и наоборот, любой минор является транспонированным минором исходной матрицы . При транспонировании определитель (минор) не меняется ( предложение 14.6). Поэтому если все миноры порядка в исходной матрице равны нулю, то все миноры того же порядка в тоже равны нулю. Если же минор порядка в исходной матрице отличен от нуля, то в есть минор того же порядка, отличный от нуля. Следовательно, .     

        Определение 14.12   Пусть ранг матрицы равен . Тогда любой минор порядка , отличный от нуля, называется базисным минором.         

        Пример 14.11   Пусть . Определитель матрицы равен нулю, так как третья строка равна сумме первых двух. Минор второго порядка, расположенный в первых двух строках и первых двух столбцах, равен . Следовательно, ранг матрицы равен двум, и рассмотренный минор является базисным.

Базисным минором является также минор, расположенный, скажем, в первой и третьей строках, первом и третьем столбцах: . Базисным будет минор во второй и третьей строках, первом и третьем столбцах: .

Минор в первой и второй строках, втором и третьем столбцах равен нулю и поэтому не будет базисным. Читатель может самостоятельно проверить, какие еще миноры второго порядка будут базисными, а какие нет.         

Так как столбцы (строки) матрицы можно складывать, умножать на числа, образовывать линейные комбинации, то можно ввести определения линейной зависимости и линейной независимости системы столбцов (строк) матрицы. Эти определения аналогичны таким же определениям 10.14, 10.15 для векторов.

        Определение 14.13   Система столбцов (строк) называется линейно зависимой, если существует такой набор коэффициентов, из которых хотя бы один отличен от нуля, что линейная комбинация столбцов (строк) с этими коэффициентами будет равна нулю.         

        Определение 14.14   Система столбцов (строк) является линейно независимой, если из равенства нулю линейной комбинации этих столбцов (строк) следует, что все коэффициенты этой линейной комбинации равны нулю.         

Верно также следующеее предложение, аналогичное предложению 10.6.

        Предложение 14.25   Система столбцов (строк) является линейно зависимой тогда и только тогда, когда один из столбцов (одна из строк) является линейной комбинацией других столбцов (строк) этой системы.    

Сформулируем теорему, которая называется теорема о базисном миноре.

        Теорема 14.2   Любой столбец матрицы является линейной комбинацией столбцов, проходящих через базисный минор.     

Доказательство можно найти в учебниках по линейной алгебре, например, в [1], [3].

        Предложение 14.26   Ранг матрицы равен максимальному числу ее столбцов, образующих линейно независимую систему.

        Доказательство.     Пусть ранг матрицы равен . Возьмем столбцы, проходящие через базисный минор. Предположим, что эти столбцы образуют линейно зависимую систему. Тогда один из столбцов является линейной комбинацией других. Поэтому в базисном миноре один столбец будет линейной комбинацией других столбцов. По предложениям 14.15 и 14.18 этот базисный минор должен быть равен нулю, что противоречит определению базисного минора. Следовательно, предположение о том, что столбцы, проходящие через базисный минор, линейно зависимы, не верно. Итак, максимальное число столбцов, образующих линейно независимую систему, больше либо равно .

Предположим, что столбцов образуют линейно независимую систему. Составим из них матрицу . Все миноры матрицы являются минорами матрицы . Поэтому базисный минор матрицы имеет порядок не больше . По теореме о базисном миноре, столбец, не проходящий через базисный минор матрицы , является линейной комбинацией столбцов, проходящих через базисный минор, то есть столбцы матрицы образуют линейно зависимую систему. Это противоречит выбору столбцов, образующих матрицу . Следовательно, максимальное число столбцов, образующих линейно независимую систему, не может быть больше . Значит, оно равно , что и утверждалось.     

        Предложение 14.27   Ранг матрицы равен максимальному числу ее строк, образующих линейно независимую систему.

        Доказательство.     По предложению 14.24 ранг матрицы при транспонировании не меняется. Строки матрицы становятся ее столбцами. Максимальное число новых столбцов транспонированной матрицы, (бывших строк исходной) образующих линейно независимую систему, равно рангу матрицы.     

        Предложение 14.28   Если определитель матрицы равен нулю, то один из его столбцов (одна из строк) является линейной комбинацией остальных столбцов (строк).

        Доказательство.     Пусть порядок матрицы равен . Определитель является единственным минором квадратной матрицы, имеющим порядок . Так как он равен нулю, то . Следовательно, система из столбцов (строк) является линейно зависимой, то есть один из столбцов (одна из строк) является линейной комбинацией остальных.     

Результаты предложений 14.15, 14.18 и 14.28 дают следующую теорему.

        Теорема 14.3   Определитель матрицы равен нулю тогда и только тогда, когда один из ее столбцов (одна из строк) является линейной комбинацией остальных столбцов (строк).    

Нахождение ранга матрицы с помощью вычисления всех ее миноров требует слишком большой вычислительной работы. (Читатель может проверить, что в квадратной матрице четвертого порядка 36 миноров второго порядка.) Поэтому для нахождения ранга применяется другой алгоритм. Для его описания потребуется ряд дополнительных сведений.

        Определение 14.15   Назовем элементарными преобразованиями матриц следующие действия над ними:

1) перестановка строк или столбцов;
2) умножение строки или столбца на число отличное от нуля;
3) добавление к одной из строк другой строки, умноженной на число или добавление к одному из столбцов другого столбца, умноженного на число.
        

        Предложение 14.29   При элементарных преобразованиях ранг матрицы не меняется.

        Доказательство.     Пусть ранг матрицы равен ,  — матрица, получившаяся в результате выполнения элементарного преобразования.

Рассмотрим перестановку строк. Пусть  — минор матрицы , тогда в матрице есть минор , который или совпадает с , или отличается от него перестановкой строк. И наоборот, любому минору матрицы можно сопоставить минор матрицы или совпадающий с , или отличающийся от него порядком строк. Поэтому из того, что в матрице все миноры порядка равны нулю, следует, что в матрице тоже все миноры этого порядка равны нулю. И так как в матрице есть минор порядка , отличный от нуля, то и в матрице тоже есть минор порядка , отличный от нуля, то есть .

Рассмотрим умножение строки на число , отличное от нуля. Минору из матрицы соответствует минор из матрицы или совпадающий с , или отличающийся от него только одной строкой, которая получается из строки минора умножением на число, отличное от нуля. В последнем случае . Во всех случаях или и одновременно равны нулю, или одновременно отличны от нуля. Следовательно, .

Пусть к -ой строке матрицы прибавлена ее -ая строка, умноженная на число . Рассмотрим миноры порядка в матрице . Если через минор не проходит -ая строка, то он совпадает с минором , расположенным в тех же строках и столбцах в матрице , и следовательно, равен нулю.

Если через минор проходят и -ая и -ая строки, то он получается из минора , расположенного в тех же строках и столбцах матрицы , прибавлением к -ой строке минора -ой строки, умноженной на . По свойству определителя . Следовательно, .

Пусть через минор проходит -ая строка и не проходит -ая. Тогда отличается от -ой строкой. Эта строка в является строкой , к которой добавлены элементы -ой строки, умноженные на . По свойствам определителей , где  — минор порядка матрицы , стоящий в -ой строке и в тех же строках, что и минор , исключая -ую, а знак » » связан с возможным изменением порядка строк. Так как все миноры порядка в матрице равны нулю, то .

Итак, в матрице все миноры порядка равны нулю. Следовательно, , то есть при выполнении элементарного преобразования третьего типа ранг не может повыситься. Предположим, что , и . Тогда в матрице к -ой строке прибавим -ую строку, умноженную на число . В результате получим исходную матрицу . По только что доказанному . Получили противоречие: . Предположение не верно, следовательно, .     

Алгоритм вычисления ранга матрицы похож на алгоритм вычисления определителя и заключается в том, что с помощью элементарных преобразований матрица приводится к простому виду, для которого найти ранг не представляет труда. Так как при каждом преобразовании ранг не менялся, то, вычислив ранг преобразованной матрицы, мы тем самым находим ранг исходной матрицы.

Алгоритм нахождения ранга матрицы.

Пусть требуется вычислить ранг матрицы размеров . Если матрица нулевая, то по определению . В противном случае с помощью перестановки строк и столбцов матрицы добиваемся того, чтобы в левом верхнем углу матрицы стоял ненулевой элемент. Итак, считаем, что .

Первую строку оставляем без изменений. Ко второй строке прибавляем первую, умноженную на число . В результате вторая строка принимает вид

Затем к третьей строке прибавляем первую строку, умноженную на число . В результате третья строка принимает вид

Процесс продолжаем до тех пор, пока не получим нуль на первом месте в последней строке.

Преобразованная матрица имеет вид

Если все строки, начиная со второй, в полученной матрице нулевые, то ее ранг равен 1, так как есть минор первого порядка, отличный от нуля . В противном случае перестановкой строк и столбцов матрицы с номерами, большими единицы, добиваемся, чтобы второй элемент второй строки был отличен от нуля. Итак, считаем, что .

Первую и вторую строки оставляем без изменений. К третьей строке прибавляем вторую, умноженную на число . В результате получим, что второй элемент третьей строки равен нулю. Затем к четвертой строке прибавляем вторую, умноженную на число , и т.д. В результате получаем матрицу

Если все строки, начиная с третьей, нулевые, то , так как минор . В противном случае перестановкой строк и столбцов с номерами, большими двух, добиваемся, чтобы третий элемент третьей строки был отличен от нуля. Далее, добавлением третьей строки, умноженной на соответствующие числа, к строкам с большими номерами получаем нули в третьем столбце, начиная с четвертого элемента, и т.д.

На каком-то этапе мы придем к матрице, у которой все строки, начиная с -ой , равны нулю (или отсутствуют при ), а минор в первых строках и первых столбцах является определителем треугольной матрицы с ненулевыми элементами на диагонали. Ранг такой матрицы равен . Следовательно, .     

        Замечание 14.15   В предложенном алгоритме нахождения ранга матрицы все вычисления должны производиться без округлений. Сколь угодно малое изменение хотя бы в одном из элементов промежуточных матриц может привести к тому, что полученный ответ будет отличаться от ранга исходной матрицы на несколько единиц.         

        Замечание 14.16   Если в исходной матрице элементы были целыми числами, то и вычисления удобно производить без использования дробей. Поэтому на каждом этапе целесообразно умножать строки на такие числа, чтобы при вычислениях дроби не возникали.         

        Пример 14.12   Найдите ранг матрицы .

Решение. Первую строку оставляем без изменений. Чтобы избежать появления дробей, умножим вторую, третью и четвертую строки на 2:

Первую строку умножим на и прибавим ко второй. Получим строку . Первую строку умножим на и прибавим к третьей. Получим строку . Первую строку умножим на и прибавим к четвертой. Получим строку . В итоге имеем матрицу

Вторую строку оставляем без изменений. К третьей строке прибавляем вторую, умноженную на 2. Получим строку . К четвертой строке прибавляем вторую. Получим нулевую строку. Преобразованная матрица имеет вид

Поменяем местами третий и четвертый столбцы:

Базисный минор матрицы стоит в первых трех столбцах и первых трех строках, . Следовательно, .         

        Замечание 14.17   В приведенном примере вычисления были бы проще, если сначала четвертый столбец сделать первым и четвертую строку сделать первой. Но для того, чтобы догадаться об этом, нужно анализировать вопросы делимости чисел, что достаточно сложно описать в алгоритме, пригодном для всех случаев.         

Математика, вышка, высшая математика, математика онлайн, вышка онлайн, онлайн математика, онлайн решение математики, ход решения, процес решения, решение, задачи, задачи по математике, математические задачи, решение математики онлайн, решение математики online, online решение математики, решение высшей математики, решение высшей математики онлайн, матрицы, решение матриц онлайн, векторная алгебра онлайн, решение векторов онлайн, система линейных уравнений, метод Крамера, метод Гаусса, метод обратной матрицы, уравнения, системы уравнений, производные, пределы, интегралы, функция, неопределенный интеграл, определенный интеграл, решение интегралов, вычисление интегралов, решение производных, интегралы онлайн, производные онлайн, пределы онлайн, предел функции, предел последовательности, высшие производные, производная неявной функции

Ранг матрицы. Лекция 2.2 — презентация онлайн

Похожие презентации:

Ранг матрицы

Определители матриц. Обратная матрица, ранг матрицы

Обратная матрица

Линейная алгебра. Ранг матрицы. (Тема 2)

Ранг матрицы. Собственные числа и собственные векторы

Системы линейных уравнений. Ранг матрицы

Матрицы. Элементарные преобразования и действия над матрицами

Метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Ранг матрицы. Исследование систем линейных уравнений

Линейная алгебра. Ранг матрицы. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Лекция 5

Матрицы. Операции над матрицами. Элементарные преобразования. Приведение к ступенчатому виду. Ранг матрицы

*Лекция 2.2
© материалы подготовлены к.ф.-м.н., доц. Н.А. Фоменко
Ранг матрицы.
Определение. В матрице порядка m n минор порядка r
называется базисным, если он не равен нулю, а все

миноры порядка r+1 и выше равны нулю, или не
существуют вовсе, т.е. r совпадает с меньшим из чисел m
или n.
Замечание. В матрице может быть несколько
различных базисных миноров, имеющих одинаковый
порядок.
Определение. Порядок базисного минора матрицы
называется рангом матрицы и обозначается Rg А.
Замечание.
Очень
важным
свойством
элементарных преобразований матриц является то, что
они не изменяют ранг матрицы.
© материалы подготовлены к.ф.-м.н., доц. Н.А. Фоменко
Определение. Матрицы, полученные в результате
элементарного
преобразования,
называются
эквивалентными.
Замечание. Надо отметить, что равные матрицы и
эвивалентные матрицы — понятия совершенно различные.
Теорема. Наибольшее число линейно независимых
столбцов в матрице равно числу линейно независимых
строк. Более того, это число равно рангу матрицы А.
Т.к. элементарные преобразования не изменяют ранг
матрицы, то можно существенно упростить процесс
нахождения ранга матрицы.
Замечание.
Ранг
ступенчатой
количеству ее ненулевых строк.
матрицы,
равен
© материалы подготовлены к.ф.-м.н., доц. Н.А. Фоменко
Пример. Найти ранг матрицы
Решение. С помощью элементарных преобразований
приведем матрицу A к трапецеидальному виду и первым
шагом поменяем первую и вторую строчки местами:
1 2 2 0
3 1 5 2
1 3 1
2
8 1 13 4
3
1 2
1 l2 3l1 0 5
~
7 l3 l1 0 5
4 l4 8l1 0 15
2 0 3
1 2 10
1 2 10 l3 l2
3 4 28 l4 3l2
© материалы подготовлены к. ф.-м.н., доц. Н.А. Фоменко
1
0
0
0
2 2
0
3
3
1 2 2 0
5 1 2 10
~ 0 5 1 2 10
0 0
0
0
0 0 0 10 2
0 0 10 2
Ранг последней матрицы, являющейся трапецеидальной,
равен 3; следовательно, rg A = 3.
Из определения ранга следует, что матрица
является
невырожденной в том и только в том случае, если rgА = n.
© материалы подготовлены к.ф.-м.н., доц. Н.А. Фоменко
Решение произвольных систем линейных уравнений.
Определение. Система m уравнений с n неизвестными
в общем виде записывается следующим образом:
(1)
a11 x1 a12 x2 … a1n xn b1
a x a x … a x b
21 1 22 2
2n n
2
………………………………………..
Определение. Если
система имеет хотя бы одно решение, то
1 x1 am 2 x2 … amn xn bm
она называется amсовместной.
Если система не имеет ни
одного решения, то она называется несовместной.
Определение. Если b1, b2, …,bm = 0, то система
называется однородной. Однородная система всегда
совместна, т.к. всегда имеет нулевое решение .
© материалы подготовлены к.ф.-м.н., доц. Н.А. Фоменко
Теорема Кронекера – Капелли.
Теорема: Система совместна тогда и только тогда,
когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной
матрицы.
RgA = Rg
Доказательство:
Очевидно, что система (1) может быть записана в виде:
a11
a12
a1n b1
a
a
a
b2
21
22
2n
x1
x
… xn
… 2 …
… …
a
a
a
m1
m2
mn bm
© материалы подготовлены к.ф.-м.н., доц. Н.А. Фоменко
1) Если решение существует, то столбец свободных членов
есть линейная комбинация столбцов матрицы А, а значит
добавление этого столбца в матрицу, т.е. переход А
не
изменяют ранга.
2) Если RgA = Rg , то это означает, что они имеют один и тот
же базисный минор. Столбец свободных членов – линейная
комбинация столбцов базисного минора, т.е. верна запись,
приведенная выше.
Метод Гаусса.
При решении методом Гаусса расширенную матрицу системы (1)
элементарными преобразованиями приводят к треугольному
виду.
Если то система решений не имеет.
Если то система имеет единственное решение.
Если то система имеет множество решений.
© материалы подготовлены к.ф.-м.н., доц. Н.А. Фоменко
Пример. Решить систему методом Гаусса
Решение.
1 4 7 3
1 4 7 3
0
10
19
8
~
0
10
19
8
.
0 7 13 5 10l 7l 0 0 3 6
2
3
RgA = Rg =3, следовательно система совместна, и так как
ранг совпадает с количеством неизвестных, то система
имеет единственное решение.
© материалы подготовлены к.ф.-м.н., доц. Н.А. Фоменко
Последней ступенчатой матрице, соответствует
следующая СЛАУ, равносильная исходной системе:
Из последнего уравнения находим , подставив его во
второе уравнение, найдем
и , наконец, подставив
найденные и в первое уравнение, найдем :
Следует иметь в виду, что при решении СЛАУ методом
Гаусса перестановка столбцов приводит к перенумерации
неизвестных.
© материалы подготовлены к.ф.-м.н., доц. Н.А. Фоменко
Пример . Решить систем уравнений:
x1 2x 2 3x 3 x 4 4x 5 1,
a) 3×1 4x 2 x 3 2x 4 2,
2x
3x 3 x 4 x 5 6;
1
Решение.
1 2 3 1 4 1
3
4
1
2
0
2
l2 3l1 ~
2 0 3 1 1 6 l 2l
1
3
1 2 3 1 4 1
0
10
10
5
12
5
~
0 4 3 1 7 4 5l 2l
2
3
1 2 3 1 4 1
~ 0 10 10 5 12 5
0 0
5 5 11 30
следовательно система совместна и имеет множество решений.
Замечание.Неизвестные базисные,
свободных неизвестных равно , где )
свободные (количество
© материалы подготовлены к.ф.-м.н., доц. Н.А. Фоменко
Перенесем свободные неизвестные в правую часть:
Степень свободы системы равна двум, значит решение
системы выразится через два параметра. Положив и решив
систему из трех уравнений с неизвестными найдем
где
произвольные числа.
© материалы подготовлены к.ф.-м.н., доц. Н.А. Фоменко
Запишем общее решение системы
19
19
6
c
c
1
2
6
1
5
5
x1
1
17
17
11
x 11 1
c
c
2
1
2
2 2
5
5 2
2
X x 3
c1 c2
11
1
11
6 c c 6
1
2
x
4
5
0
5
1
x
0
0
5
c1
0
c2
1
© материалы подготовлены к. ф.-м.н., доц. Н.А. Фоменко
Пример . Решить систему уравнений:
Решение.
в результате преобразований появилась
следовательно, система несовместна.
строка
© материалы подготовлены к.ф.-м.н., доц. Н.А. Фоменко

English     Русский Правила

Минор матрицы – формула, определение, примеры

Минор матрицы относится к каждому элементу матрицы и равен части матрицы, оставшейся после исключения строки и столбца, содержащего этот конкретный элемент. Новая матрица, образованная минорами каждого элемента данной матрицы, называется минором матрицы.

Минор матрицы широко используется при нахождении ее определителя, сопряженной и обратной матрицы. Давайте узнаем больше о миноре матрицы в приведенном ниже содержании.

1.	Что такое минор матрицы?
2.	Как найти минор матрицы?
3.	Применение минора матрицы
4.	Решенные примеры на миноре матрицы
5.	Практические вопросы
6.	Часто задаваемые вопросы о миноре матрицы

Что такое минор матрицы?

Минор матрицы для определенного элемента в матрице определяется как матрица, полученная после удаления строки и столбца матрицы, в которой находится этот конкретный элемент. Здесь минор элемента \(a_{ij}\) обозначается как \(M_{ij}\). Например, для данной матрицы A минор \(a_{12}\) является частью матрицы после исключения первой строки и второго столбца матрицы. \(A = \left[\begin{массив}{ccc}
а_{11} и а_{12} и а_{13} \\
а_{21} и а_{22} и а_{23} \\
а_{31} и а_{32} и а_{33}
\end{array}\right] \)

Минор элемента \(a_{12}\) выглядит следующим образом.

\(M_{12} = \left[\begin{array}{ccc} a_{21} & a_{23} \\
а_{31} и а_{33}
\end{array}\right] \)

Аналогично, мы можем взять миноры матрицы и сформировать минорную матрицу M данной матрицы A как:

\(M = \left[\begin{массив}{ccc}
М_{11} и М_{12} и М_{13} \\
М_{21} и М_{22} и М_{23} \\
М_{31} и М_{32} и М_{33}
\конец{массив}\справа] \)

Как найти минор матрицы?

Есть три простых шага, чтобы найти минор матрицы.

• Сначала идентифицируйте и исключите строку и столбец, содержащие определенный элемент в матрице.
• В качестве второго шага сформируйте новую меньшую матрицу из оставшихся элементов, чтобы представить минор определенного элемента матрицы.
• Наконец, найдите определитель минора каждого элемента матрицы и сформируйте новую матрицу, содержащую минорные значения соответствующих элементов.

Создает минор матрицы.

\(A =\begin{bmatrix}a_{11} & a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{ 33}\end{bmatrix}\)

Младший из \(a_{11} = M_{11} =\left|\begin{array}{ll}
а_{22} и а_{23} \\
а_{32} и а_{33}
\конец{массив}\право| = a_{22}.a_{33} — a_{23}.a_{32}\)

Младший из \(a_{23} = M_{23} =\left|\begin{array}{ll}
а_{11} и а_{12} \\
а_{31} и а_{32}
\конец{массив}\право| = a_{11}.a_{32} — a_{12}.a_{31}\)

Младший из \(a_{32} = M_{23} =\left|\begin{array}{ll}
а_{11} и а_{13} \\
а_{21} и а_{23}
\конец{массив}\право| = a_{11}. a_{23} — a_{13}.a_{21}\)

Аналогично можно найти минор каждого элемента матрицы A. Далее можно образовать минор матрицы A, записав минор каждого элемента в матричном массиве.

Минор матрицы A = \(\begin{bmatrix}M_{11} & M_{12}&M_{13}\\M_{21}&M_{22}&M_{23}\\M_{31}&M_{32 }&M_{33}\end{bmatrix}\)

Применение минора матрицы

Минор матрицы полезен для нахождения кофакторов элементов матрицы, что полезно для нахождения сопряженной матрицы и обратной матрицы. Также минор матрицы используется при вычислении определителя матрицы. Попробуем теперь понять следующие важные применения минора матрицы. 9{i+j}) M_{ij}\)

Матрица образована из кофакторов элементов матрицы и называется кофакторной матрицей.

Матрица кофакторов = \(\left[\begin{array}{ccc}
С_{11} и С_{12} и С_{13} \\
С_{21} и С_{22} и С_{23} \\
C_{31} и C_{32} и C_{33}
\end{array}\right] \)

Эта матрица сомножителей относится к приведенной ниже матрице A.

Определитель матрицы

Определитель матрицы представляет собой суммарное значение и рассчитывается с использованием матрица. Определитель матрицы равен сумме произведений элементов определенной строки или столбца с их соответствующими кофакторами. Скажем, рассмотрим матрицу A. 9{1 + 3} \left|\begin{matrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{matrix}\right|\)

Примыкание к матрице

сопряженную матрицу 3 x 3 можно получить, выполнив два простых шага. Сначала нам нужно найти матрицу кофакторов данной матрицы, а затем транспонировать матрицу этой матрицы кофакторов, чтобы получить сопряженную матрицу. Рассмотрим следующую матрицу A.

\(A = \begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31 }&a_{32}&a_{33}\end{bmatrix}\)

Кофакторная матрица \(A = \begin{bmatrix} A_{11}&A_{12}&A_{13}\\A_{21}&A_{22}&A_{23}\\A_{31}&A_{32} &A_{33}\end{bmatrix}\).

Adj A = транспонирование матрицы кофакторов = транспонирование \(\begin{bmatrix} A_{11}&A_{12}&A_{13}\\A_{21}&A_{22}&A_{23}\\A_{31 }&A_{32}&A_{33}\end{bmatrix}\) =\(\begin{bmatrix} A_{11}&A_{21}&A_{31}\\A_{12}&A_{22}&A_{32} \\A_{13}&A_{23}&A_{33}\end{bmatrix}\)

Обратная матрица 9{1 + 3} \left|\begin{matrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{matrix}\right|\)

Adj A = транспонирование матрицы кофакторов = Транспонирование \(\begin{bmatrix} A_{11}&A_{12}&A_{13}\\A_{21}&A_{22}&A_{23}\\A_{31}&A_{32}&A_{33} \end{bmatrix}\) =\(\begin{bmatrix} A_{11}&A_{21}&A_{31}\\A_{12}&A_{22}&A_{32}\\A_{13}&A_{23 }&A_{33}\end{bmatrix}\)

A ^-1 = \(\dfrac{1}{|A|}\). \(\begin{bmatrix} A_{11}&A_{21}&A_{31}\\A_{12}&A_{22}&A_{32}\\A_{13}&A_{23}&A_{33}\end{ bматрица}\)

Связанные темы

Следующие связанные темы помогут лучше понять концепцию минора матрицы.

• Квадратная матрица
• Типы матриц
• Матричная формула
• Транспонирование матрицы

Часто задаваемые вопросы о миноре матрицы

Что такое минор матрицы?

Минор матрицы относится к каждому элементу матрицы и равен части матрицы, оставшейся после исключения строки и столбца, содержащего этот элемент. Минор матрицы определен только для квадратной матрицы. Минор элемента ‘a’ в матрице A = \(\begin{bmatrix}a & b\\c&d\end{bmatrix}\) равен d.

Как найти миноры матрицы?

Есть два простых шага, чтобы найти минор матрицы. Сначала идентифицируйте и исключите строку и столбец, который содержит конкретный элемент в матрице. Затем сформируйте новую меньшую матрицу из оставшихся элементов, чтобы представить минор конкретного элемента матрицы.

Минор элемента ‘e’ в матрице A = \(\begin{bmatrix}a&b & c\\d&e&f\\g&h&i\end{bmatrix}\) равен M = \(\begin{bmatrix}a & c\\g&i\end{bmatrix}\).

Как найти миноры матрицы 2 × 2?

Для матрицы порядка 2 × 2 вида A = \(\begin{pmatrix}a & b\\c&d\end{pmatrix}\) минор матрицы A = \(\begin{pmatrix}d & c\\b&a\end{pmatrix}\). Минор определенного элемента в матрице равен оставшемуся элементу после исключения строки и столбца, содержащего этот конкретный элемент.

В чем разница между минорами матрицы и кофактором матрицы?

Минор элемента \(a_{ij}\) обозначается как \(M_{ij}\). Кофактор матрицы получается из минора матрицы и равен произведению (-1) 9{i+j}) M_{ij}\).

Для чего используются миноры матрицы?

Минор матрицы полезен для нахождения кофакторов элементов матрицы. Миноры матрицы используются для нахождения значения определителя матрицы. Кроме того, эти миноры и кофакторы матрицы можно использовать для нахождения определителя матрицы, сопряженного к матрице и обратного к матрице.

Ранг матрицы по минорному методу

Ранг матрицы по минорному методу :

Здесь мы рассмотрим несколько примеров задач на знание метода нахождения ранга матрицы методом миноров.

Ранг матрицы A определяется как порядок старшего ненулевого минора матрицы A. Он обозначается символом ρ (A). Ранг нулевой матрицы определяется равным 0.

Примечание

(i) Если матрица содержит хотя бы один ненулевой элемент, то ρ (A) ≥ 1

(ii) Ранг единичной матрицы I _n равен n.

(iii) Если ранг матрицы A равен r, то существует по крайней мере один минор матрицы A порядка r, который не равен нулю, и каждый минор матрицы A порядка r + 1 и выше (если есть) равен нулю .

(iv) Если A является матрицей размера m × n, то ρ (A) ≤ min {m, n} = минимум m, n.

(v) Квадратная матрица A порядка n имеет обратную тогда и только тогда, когда ρ (A) = n.

Вопрос 1 :

Решение :

Тогда A — матрица порядка 2×2. Итак, ρ (A) min {2, 2} = 2. Наивысший порядок миноров A равен 2 . Существует только один минор третьего порядка A .

  =  4 — 4 

|A| =  0

Ранг данной матрицы будет меньше 2.

Следовательно, ранг данной матрицы равен 1.

Вопрос 2 :

Решение :

Тогда A — матрица порядка 3 × 2. Итак, ρ (A) min {3, 2} = 2. Наивысший порядок миноров A равен 2 .

В приведенной выше матрице есть четыре второстепенные матрицы 2 x 2. Находя определители, получаем

Поскольку минор матрицы 2 x 2 не равен нулю, ранг данной матрицы равен 2.

Вопрос 3 :

Решение :

Тогда A — матрица порядка 2 × 4. Таким образом, ρ (A) min {2, 4} = 2. Наивысший порядок миноров матрицы A равен 2 .

В приведенной выше матрице есть четыре второстепенные матрицы 2 x 2.

Ранг данной матрицы составляет 2.

Вопрос 4:

Решение:

Тогда A — матрица порядка 3 × 3. SO ρ (a) min {3, 3} = 3. Высший порядок миноров A равен 3 .

Находя определитель данной матрицы, получаем

  =  1(-4 + 6) + 2(-2 + 30) + 3(2 — 20)

  =  1(2) + 2(28) + 3( -18)

  =  2 + 56 — 54

  =   58 — 54

|A| = 4 ≠ 0

Следовательно, ранг данной матрицы равен 3.

Вопрос 5:

Решение:

Тогда A — матрица порядка 3 × 4. Итак, ρ (A)  мин {3 , 4} = 3. Наивысший порядок миноров A равен 3 .

Найдя определитель данной матрицы, получим

	0(0–4)–1(0–32) + 2(0–16)  = 0–1(–32) + 2(–16)  = 32–32  = 0
	=  1(8-0) — 2(4-3) + 1(0-4)   =  8 — 2(1) + 1(-4)   =  8 — 2 — 4   =  8 — 6   =  2 ≠ 0

Следовательно, ранг данной матрицы равен 3.

Мы надеемся, что после изучения вышеизложенного учащиеся поняли, что такое «ранг матрицы методом минора».