Построение графика исследование функции: Исследование функции и построение графика функции

11. Исследование функции, построение графика

Далее займемся исследованием функций, применяя полученные знания.

Если в некоторой окрестности точки Х0 выполняется неравенство F(X)<F(Х0) или F(X) > F(Х0), то точка Х0 называется Точкой экстремума функции F(X) (соответственно точкой максимума или минимума). Необходимое условие экстремума: если Х0 – экстремальная точка функции F(X), то первая производная (Х0) либо равна нулю или бесконечности, либо не существует. Достаточное условие экстремума: Х0 является экстремальной точкой функции F(X), если ее первая производная (X) меняет знак при переходе через точку Х0: с плюса на минус – при максимуме, с минуса на плюс – при минимуме.

Точка Х0 называется Точкой перегиба кривой y=F(Х), если при переходе через точку Х0 меняется направление выпуклости.

Необходимое условие точки перегиба: если Х0 – точка перегиба кривой y=F(Х), то вторая производная (Х0) либо равна нулю или бесконечности, либо не существует. Достаточное условие точки перегиба: Х0 является точкой перегиба кривой y=F (Х), если при переходе через точку Х0 вторая производная (Х) меняет знак.

Прямая Yас=KХ+B называется Наклонной асимптотой кривой y=F(Х), если расстояние от точки (x; F(Х)) кривой до этой прямой стремится к нулю при Х®¥. При этом

При K=0 имеем Горизонтальную асимптоту:Y=B.

Если

То прямая Х=А называется Вертикальной асимптотой.

Общая схема исследования функции и построения ее графика.

I. Элементарное исследование:

1) найти область определения функции;

2) исследовать функцию на симметричность и периодичность;

3) вычислить предельные значения функции в ее граничных точках;

4) выяснить существование асимптот;

5) определить, если это не вызовет особых затруднений, точки пересечения графика функции с координатными осями;

6) сделать эскиз графика функции, используя полученные результаты.

П. Исследование графика функции по первой производной:

1) найти решение уравнений Y’(Х)=0 и Y’(Х)=¥;

2) точки, «подозрительные» на экстремум, исследовать с помощью достаточного условия экстремума, определить вид экстремума;

3) вычислить значения функции в точках экстремума;

4) найти интервалы монотонности функции;

5) нанести на эскиз графика экстремальные точки;

6) уточнить вид графика функции согласно полученным результатам.

Ш. Исследование графика функции по второй производной

:

1) найти решения уравнений Y”(Х)=0 и Y”(Х)=¥;

2) точки, «подозрительные» на перегиб, исследовать с помощью достаточного условия;

3) вычислить значения функции в точках перегиба;

4) найти интервалы выпуклости и вогнутости графика функции;

5) нанести на эскиз графика точки перегиба;

6) окончательно построить график функции.

Если исследование проведено без ошибок, то результаты всех этапов должны согласовываться друг с другом. Если же согласование отсутствует, необходимо проверить правильность результатов отдельных этапов и исправить найденные ошибки.

Рассмотрим на примерах

Пример 1. Исследовать на экстремум функцию .

Решение. Находим первую производную: . Из уравнений Y’=0 и Y’=¥ получаем точки, «подозрительные» на экстремум: . Исследуем их, определяя знак первой производной слева и справа от каждой точки. Для наглядности результаты представим в виде таблицы изменения знака

Y’:

В первой строке указаны интервалы, на которые область определения функции разбивается точками и сами эти точки. Во второй строке указаны знаки производной Y’ в интервалах монотонности. В третьей строке приведено заключение о поведении функции.

Исследуемая функция, как следует из таблицы, имеет минимум в точке Х=-3: Y(-3)=27/4. Точки Х=-1 и Х=0 не являются точками экстремума, так как в первой точке функция не определена, а в окрестности второй точки первая производная сохраняет знак.

Пример 2. Найти асимптоты графика функции .

Решение. Точка Х=-1 является точкой разрыва функции. Так как , то прямая Х= -1 служит вертикальной асимптотой графика функции.

Ищем наклонные асимптоты ,

Таким образом, уравнение наклонной асимптоты имеет вид .

Пример 3. Построить график функции , используя общую схему исследования функции.

Решение. 1. Область определения: (-¥, -1), (-1, +¥). Функция не является симметричной и периодической. Находим предельные значения функции:

График функции имеет одну вертикальную асимптоту Х=-1 и одну наклонную асимптоту Y=-x+2 (см. пример 2). Он пересекает координатные оси в точке (0; 0).

П. Функция имеет один минимум при Х=-3 (см. пример 1).

Ш. Вторая производная обращается в бесконечность при Х=-1 и равна нулю в точке Х=0, которая является единственной точкой перегиба (см. таблицу):

Учитывая полученные результаты, строим график функции .

Вопросы для самопроверки:

1. Как найти область возрастания и убывания функции?

2. Каково необходимое условие экстремума Вам известны?

3. Как найти точку перегиба?

4. Укажите уравнение наклонной прямой?

5. Укажите уравнение наклонной асимптоты?

6. В каком случае существует вертикальная асимптота, а в каком горизонтальная?

< Предыдущая   Следующая >

Исследовать функцию и построить график. Полное исследование функции. Решение задач и контрольных работ по высшей математике онлайн

Краткая теория


Наиболее наглядное представление о ходе изменения функции дает ее график. Поэтому построение графика является заключительным этапом исследования функции, в котором используются все результаты ее исследования.

Схема исследования функции с последующим построением графика такова:

  • Исследование области определения функции.
  • Исследование функции на четность и нечетность.
  • Нахождение точек пересечения графика с осями координат
  • Исследование функции на точки разрыва. Нахождение вертикальных асимптот. Нахождение горизонтальных и наклонных асимптот.
  • Исследование функции на экстремум и интервалы монотонности функции.
  • Исследование функции на интервалы выпуклости и вогнутости графика функции. Нахождение точек перегиба графика функции.
  • Построение графика функции.

Полученные данные следует использовать для построения графика функции. Если исследуемая функция является четной или нечетной, то ее достаточно исследовать при неотрицательных значениях аргумента из множества ее задания и принять во внимание, что график четной функции симметричен относительно оси ординат, а график нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Если, например, функция имеет период , то следует построить график на отрезке , а затем продолжить его периодически на всю числовую ось.

Кроме того, если полученных данных окажется недостаточно, то следует, воспользовавшись уравнением , найти дополнительные точки графика, в которых его изменение менее ясно.

Разумеется, в процессе исследования функции не обязательно придерживаться приведенной схемы, иногда порядок исследования полезно выбрать, исходя из конкретных особенностей данной функции.

Примеры решения задач


Задача 1

Исследовать функцию и построить ее график:

Решение

1) Область определения функции:  

 

2) Исследуем функцию на четность-нечетность:

Функция является четной

 

3) Находим точки пересечения с осями координат:

График функции  пересекает ось  в точках  и . Ось  график функции не пересекает.

 

4) Исследуем функцию на непрерывность, точки разрыва, вертикальные и наклонные асимптоты:

Если не находите примера, аналогичного вашему, если сами не успеваете выполнить работу, если впереди экзамен по предмету и нужна помощь — свяжитесь со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Я буду работать с вами, над вашей проблемой, пока она не решится.

В точке  существует разрыв 2-го рода.  

Прямая  –вертикальная асимптота. 

Для нахождения наклонной асимптоты вычисляем пределы:

 –горизонтальная  асимптота  

5) Исследуем функцию на экстремум. Найдем производную функции.

Первая производная на области определения в нуль не обращается

 -функция возрастает

 -функция убывает

6) Исследуем функцию на интервалы выпуклости и вогнутости.

Вторая производная функции не равна нулю на всей области определения

–график функции вогнутый

– график функции вогнутый

7) График функции имеет вид:   

 


Задача 2

Исследовать функцию и построить ее график:

Решение

1) Область определения функции:  

 

2) Исследуем функцию на четность-нечетность:

Функция является нечетной

 

3) График функции оси координат не пересекает 

 

4) Исследуем функцию на непрерывность, точки разрыва, вертикальные и наклонные асимптоты:

В точке  существует разрыв 2-го рода.   

Прямая  –вертикальная асимптота. 

 

Для нахождения наклонной асимптоты вычисляем пределы:

 –наклонная асимптота

 

5) Исследуем функцию на экстремум. Найдем производную функции.

Приравняем найденную производную к нулю и решим полученное уравнение:

 -функция возрастает

 -функция убывает

 -функция убывает

 -функция возрастает

 

6) Исследуем функцию на интервалы выпуклости и вогнутости.

Вторая производная функции не равна нулю на всей области определения

–график функции выпуклый

– график функции вогнутый

 

7) График функции имеет вид:


Задача 3

Исследовать функцию и построить ее график.

Решение

1) Область определения функции: 

 

2) Исследуем функцию на четность-нечетность:

Функция не обладает свойствами четности — нечетности

 

3) Находим точки пересечения с осями координат:

График пересекает ось  в точке (-0618, 0)   и (1.618, 0)

 

4) Исследуем функцию на непрерывность, точки разрыва, вертикальные и наклонные асимптоты:

Точка  является точкой разрыва функции 2-го рода, а прямая  -вертикальной асимптотой графика функции.

Точка  является точкой разрыва функции 2-го рода, а прямая  -вертикальной асимптотой графика функции.

Для нахождения наклонной асимптоты вычисляем пределы:

Прямая  –горизонтальная асимптота  

 

5) Исследуем функцию на экстремум. Найдем производную функции.

Приравняем найденную производную к нулю и решим полученное уравнение:

Полученное уравнение действительных корней не имеет

 – функция убывает 

 – функция убывает 

 – функция убывает 

 

6) Исследуем функцию на интервалы выпуклости и вогнутости.

 – график функции выпуклый   

 – график функции вогнутый   

 – график функции выпуклый   

 – график функции вогнутый   

7) График функции имеет вид: 

3\вправо)$, я хочу учиться $$ г \ влево (х \ вправо) = \ гидроразрыва {е \ влево (2,5x \ вправо)} {е \ влево (х \ вправо)} $$

Например, для $x=0,8$ я хотел бы знать значение $f\left(0,8\right)$, $f\left(2\right)$ и в целом $g\left (0,8 \ справа) = \ гидроразрыва {е \ слева (2 \ справа)} {е \ слева (0,8 \ справа)} $. Однако каждое программное обеспечение, которое я пробовал, дает мне $f\left(0.8\right)=f\left(2\right)=0$, и тогда соотношение не существует. Я хотел бы знать, есть ли простой способ построить $g$ или хотя бы посмотреть, какой диапазон значений будет принимать эта функция? 93}\end{массив}$$

$\endgroup$

Зарегистрируйтесь или войдите в систему

Зарегистрируйтесь с помощью Google

Зарегистрироваться через Facebook

Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но не отображается

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но не отображается

Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie

.

R Функция plot() — Обучение на примере

Эффективная и точная визуализация данных является важной частью статистического анализа. Это может оживить ваши данные и эффективно передать ваше сообщение.

R имеет очень мощные графические возможности, которые помогут вам визуализировать ваши данные.

Функция plot()

В R базовой графической функцией для создания графика является функция plot() . Он имеет множество опций и аргументов для управления многими вещами, такими как тип графика, метки, заголовки и цвета.

Синтаксис

Синтаксис функции plot() :

plot(x,y,type,main,xlab,ylab,pch,col,las,bty,bg,cex,…)

Параметры

The plot() function arguments
x The coordinates of points in the plot
y The y coordinates of points in the plot
type The type of plot to натяжной
основной An overall title for the plot
xlab The label for the x axis
ylab The label for the y axis
pch The shape of points
col Цвет переднего плана символов и линий
las Стиль меток осей
bty Тип рамки вокруг области графика
00 bg The background color of symbols (only 21 through 25)
cex The amount of scaling plotting text and symbols
Other graphical parameters

Create a Simple Plot

To чтобы начать работу с графиком, вам нужен набор данных для работы.

Давайте рассмотрим встроенный набор данных давления в качестве примера набора данных. Он содержит наблюдения за давлением паров ртути в диапазоне температур.

 # Первые шесть наблюдений набора данных «Давление»
напор (давление)
  температура давление
1 0 0,0002
2 20 0,0012
3 40 0,0060
4 60 0,0300
5 80 0,0900
6 100 0,2700
 

Чтобы создать график, просто укажите набор данных в функции plot() .

 # Постройте набор данных «давление»
участок (давление)
 

Изменение формы и размера точек

Вы можете использовать аргумент pch (графический символ), чтобы указать символы, используемые при построении точек.

Вот список символов, которые вы можете использовать.

 # Изменить форму точек
сюжет(давление, pch=17)
 

Для символов с 21 по 25 можно указать цвет границы с помощью аргумента col и цвет заливки с помощью аргумента bg.

 # Изменить цвет границы на синий и цвет фона на голубой
график (давление, pch = 21, col = "синий", bg = "голубой")
 

Чтобы изменить размер отображаемых символов, используйте аргумент cex (расширение символов).

 # Масштабирование точек данных на 1,2
график (давление, cex = 1,2)
 

Изменение цвета

Вы можете изменить основной цвет символов, используя аргумент col.

 # Изменить цвет символов на красный
график (давление, цвет = "красный")
 

R имеет ряд предопределенных цветов, которые можно использовать в графике. Используйте функцию colors() , чтобы получить полный список доступных имен для цветов.

 # Список предопределенных цветов в R
цвета()
[1] "белый" "aliceblue" "античный белый"
[4] "античный белый1" "античный белый2" "античный белый3"
...
 

Или вы можете обратиться к следующей таблице цветов.

Цвета можно указывать по индексу, имени, шестнадцатеричному коду или значению RGB. Например, col=1 , col="white" и col="#FFFFFF" эквивалентны.

Различные типы графиков

Вы можете изменить тип отображаемого графика, используя аргумент типа.

Вот список всех типов, которые вы можете использовать.

0
Типы участков в R
«p» Точки
«L» Линии
«B» Оба точки и линии
«C» . И точки, и линии «перегружены»
«H» , такая как (или высокая плотность) Вертикальные линии
«S» Стальный график (горизонтальный первый) «». Ступенчатая диаграмма (сначала по вертикали)
«n» Без построения графика

Например, чтобы создать график с линиями между точками данных, используйте type="l" ; чтобы рисовать линии и точки, используйте type="b" .

Ниже показан ряд рисунков, показывающих различные типы.

Добавление заголовков и меток осей

Вы можете легко добавить собственные заголовки и метки осей, указав следующие аргументы.

основной Название основного сюжета
xlab метка оси X
ylab метка оси Y
 график (давление,
     main = "Давление паров ртути",
     xlab = "Температура (градусы C)",
     ylab = «Давление (мм рт. ст.)»)
 

Стиль метки осей

Указав аргумент las (стиль метки), можно изменить стиль метки осей. Это изменяет угол ориентации меток.

9010 9017 9017 9017 904. используйте график las=1

 (давление, las = 1)
 

Тип рамки

Укажите аргумент bty (тип рамки), чтобы изменить тип рамки вокруг области графика.

0 По умолчанию, параллельно оси
1 Всегда горизонтальный
2 Perpendicular to The Axis
3 Все всегда Vertical
«o» (по умолчанию) Рисует полный прямоугольник вокруг графика.
«n» Ничего не рисует вокруг участка.
«l», «7», «c», «u» или «]» Рисует фигуру вокруг области графика.
 # Снимите коробку вокруг участка
график (давление, bty = "n")
 

Добавить сетку

Функция plot() не рисует сетку автоматически. Однако для некоторых сюжетов это полезно зрителю. Позвоните в grid() функция для рисования сетки после вызова plot() .

 участок(давление)
сетка()
 

Добавить легенду

Вы можете включить в свой график легенду – маленькую рамку, которая расшифровывает графику для зрителя. Вызовите функцию legend() после вызова plot() .

 # Добавляем легенду в левый верхний угол
график (давление, col = "красный", pch = 19)
точки(давление$температура/2, давление$давление, col="синий", pch=17)
легенда ("верхний левый", c ("строка 1", "строка 2"), pch=c(19,17), col=c("красный","синий"))
 

Положение легенды можно указать с помощью следующих ключевых слов: «внизу справа», «внизу», «внизу слева», «слева», «сверху слева», «сверху», «сверху справа», «справа» и «по центру». .

Эффект от использования каждого из этих ключевых слов показан ниже.

Добавить точки на график

Вы можете добавить точки на график с помощью функции points() .

Например, давайте создадим подмножество давления, содержащее температуры выше 200 °C, и добавим эти точки на график.

 график(давление, col = "красный")
точки(давление[давление$температура > 200, ], col = "красный", pch = 19)
 

Добавление линий на график

Вы можете добавлять линии на график очень похоже на добавление точек, за исключением того, что для этого используется функция lines() .

 участок(давление)
линии(давление$температура/2, давление$давление)
 

Вы можете изменить тип линии, используя аргумент lty; и ширину линии с использованием аргумента lwd.

 # Изменить тип и толщину линии
участок (давление)
линии(давление$температура/2, давление$давление, lwd=2, lty=3)
 

Вот список типов линий, которые вы можете использовать.

Есть еще одна функция, называемая abline() , которая позволяет рисовать горизонтальные, вертикальные или наклонные линии.

 # Нарисуйте пунктирную горизонтальную линию на отметке 247 и вертикальную линию на отметке 300
участок (давление)
abline (h = 247, v = 300, col = "красный", lty = 2)
 

Метки точек данных

Используйте функцию text() для добавления текстовых меток в любое место на графике.

Положение текста определяется аргументом pos. Значения 1, 2, 3 и 4 соответственно размещают текст ниже, слева, выше и справа от указанных координат.

 # Добавляем текстовые метки над координатами
график (давление, pch = 19, col = "красный")
текст (давление, метки = давление $ давление, cex = 0,7, pos = 3, col = "синий")
 

Установить пределы осей

По умолчанию функция plot() определяет наилучший размер и масштаб каждой оси, чтобы они соответствовали области построения. Однако вы можете легко установить пределы каждой оси, используя аргументы xlim и ylim.

 # Измените пределы осей так, чтобы оси x и y находились в диапазоне от 0 до 500
график (давление, ylim=c(0,500), xlim=c(0,500))
 

Отображение нескольких графиков на одной странице

С помощью графического параметра mfrow можно отображать несколько графиков на одной графической странице.

Чтобы использовать этот параметр, необходимо передать двухэлементный вектор, указав количество строк и столбцов. Затем заполните каждую ячейку матрицы повторным вызовом plot.

Например, mfrow=c(1, 2) создает два параллельных графика.

 пар(mfrow = c(1, 2))
сюжет (автомобили, main = "Скорость против расстояния", col = "красный")
сюжет (mtcars $ миль на галлон, mtcars $ hp, main = «HP против MPG», col = «синий»)
 

Как только ваш график будет готов, вам нужно сбросить параметры par() . В противном случае все ваши последующие сюжеты будут появляться рядом.

 # Сброс параметра mfrow
номинал (mfrow = c (1,1))
 

Сохранить график в файл изображения

Чтобы сохранить график в файл изображения, вы должны последовательно выполнить три действия:

  • Вызвать функцию для открытия нового графического файла, например png() , jpg() или pdf() .
  • Звоните plot() для создания графического изображения.
  • Вызовите dev.off() , чтобы закрыть графический файл.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *