ΠΠ³ΡΠ°Π΅ΠΌΡΡ Ρ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΡΠΈΡΠ»Π°ΠΌΠΈ / Π₯Π°Π±Ρ
ΠΡΠΈΠ²Π΅Ρ!
ΠΡΠ΅ΡΠ΅Π΄Π½ΠΎΠΉ ΠΎΡΠ΅ΡΠΊ. ΠΠ° ΡΡΠΎΡ ΡΠ°Π· ΠΏΠΎΠΈΠ³ΡΠ°Π΅ΠΌΡΡ Ρ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΡΠΈΡΠ»Π°ΠΌΠΈ, Ρ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π°ΠΌΠΈ ΠΈ ΠΈΡ Π²ΠΈΠ·ΡΠ°Π»ΠΈΠ·Π°ΡΠΈΠ΅ΠΉ.
ΠΠ΄Π΅Ρ
ΠΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ β ΡΡΠΎ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ΅ ΡΠ°ΡΡΠΈΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π°, ΠΏΠΎ ΡΡΡΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ, Π΄Π»Ρ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΎ ΡΠ΅Π»ΠΎΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ Π°ΠΊΡΠΈΠΎΠΌ. ΠΡΠ±ΠΎΠ΅ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ΅ (Π° Π·Π½Π°ΡΠΈΡ ΠΈ Π²Π΅ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅) ΡΠΈΡΠ»ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°ΡΡ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ , Π³Π΄Π΅ a β Π²Π΅ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅Π½Π½Π°Ρ ΡΠ°ΡΡΡ, b β ΠΌΠ½ΠΈΠΌΠ°Ρ, i β ΠΊΠΎΡΠ΅Π½Ρ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ . ΠΠ»Ρ Π½Π΅Π³ΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΠΉ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Ρ Π΄Π»Ρ Π²Π΅ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π°, ΠΊ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ, . ΠΠ½ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠ½ΠΎ, ΡΡΠΎ Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΏΡΠΎΠ΄Π΅Π»ΡΠ²Π°ΡΡ ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠ½ΡΠ΅ ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΠΈ Ρ Π½ΠΈΠΌΠΈ, Π²ΠΎΠ·Π²ΠΎΠ΄ΠΈΡΡ Π² ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Ρ, ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°ΡΡ ΠΈ Ρ. Π΄. Π° Π·Π°ΡΠ΅ΠΌ Π±ΡΠ°ΡΡ (Π²Π΅ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΡΡ ΡΠ°ΡΡΡ) Π΄Π»Ρ ΠΎΡΠΈ Ox, Π° (ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡΡ ΡΠ°ΡΡΡ) Π΄Π»Ρ ΠΎΡΠΈ Oy, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°ΡΡ Π·Π°Π±Π°Π²Π½ΡΠ΅ ΠΊΠ°ΡΡΠΈΠ½ΠΊΠΈ.
ΠΡΡΠ°ΡΠΈ Π²ΡΠ΅ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠ΅ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ Ρ ΡΠ°ΠΌ ΠΏΡΠΈΠ΄ΡΠΌΠ°Π».
Π€ΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Π²ΠΈΠ·ΡΠ°Π»ΠΈΠ·Π°ΡΠΈΠΈ
Π ΡΡΠΈΠ½Π°. Π€ΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΠ°Ρ ΠΏΠΎ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΈΡΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΠ²Π½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΡΠΈΡΡΠ΅Ρ Π²ΡΠ΅ Π½Π° ΠΏΠΎΠ»Π΅:
import random import numpy as np def vis(A, f, step=1.0, c=None): x = [] y = [] for B in np.arange(0, A, step): v = f(A, B) x.append(v.real) y.append(v.imag) plt.figure(figsize=[8, 8]) mxabs = max([i[0] ** 2 + i[1] ** 2 for i in zip(x, y)]) ** 0.5 x = np.array(x) / mxabs y = np.array(y) / mxabs if c is None: plt.scatter(x, y) else: plt.scatter(x, y, color=[c(x[i], y[i]) for i in range(len(x))]) plt.show()
ΠΡΠ΅ Π½Π°ΡΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π·Π°Π²ΠΈΡΡΡ ΠΎΡ Π΄Π²ΡΡ ΠΏΠ°ΡΠ°ΠΌΠ΅ΡΡΠΎΠ² A ΠΈ B. ΠΡΠΈΡΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎ B ΠΌΡ ΠΈΡΠ΅ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡΡ Π²Π½ΡΡΡΠΈ vis(), Π° A β Π³Π»ΠΎΠ±Π°Π»ΡΠ½ΡΠΉ ΠΏΠ°ΡΠ°ΠΌΠ΅ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ.
Π€ΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Β«ΠΠ°Π²ΠΈΡΡΡΠΊΠΈΒ»
ΠΠ΅ ΠΎΠ±ΡΡΠ²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² python:
def func_1(A, B): return math.sin(B) * B * math.e ** (1j * (B * math.cos(A)))
Π Π·Π°ΠΏΡΡΡΠΈΠΌ
A = 121.5 vis(A, func_1, step=0.1)
Π ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°Ρ Π΄Π»Ρ A=121.5:
Π Π΄Π»Ρ A=221.5:
ΠΠ°ΠΌΠ΅ΡΡΡΠ΅, ΡΡΠΈ ΡΠΈΡΠ»Π° Π²ΠΎΠ²ΡΠ΅ Π½Π΅ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡ ΠΈΠ· ΡΠ°ΡΡΠ΅ΡΠ° ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ-Π½ΠΈΠ±ΡΠ΄Ρ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π»Π° Π½Π° Π³Π»Π°Π΄ΠΊΠΎΠΌ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΈΠΈ ΠΈ Π΄ΡΡΠ³ΠΈΡ
ΡΠΌΠ½ΡΡ
Π±Π΅ΡΡΠΌΡΡΠ»Π΅Π½Π½ΡΡ
Π² ΡΡΠΎΠΌ ΠΊΠΎΠ½ΡΠ΅ΠΊΡΡΠ΅ ΡΠ»ΠΎΠ².
ΠΠ°Π΄ΠΎ ΠΏΠΎΠΊΡΠ°ΡΠΈΡΡ
ΠΠ±ΡΡΠ²ΠΈΠΌ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΡΠ²Π΅ΡΠ° (ΡΠ°ΠΊΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΠ°Ρ ΠΏΠΎ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ°ΠΌ Π²ΠΎΠ·Π²ΡΠ°ΡΠ°Π΅Ρ tuple ΠΈΠ· ΡΡΠ΅Ρ ΡΠΈΡΠ΅Π»):
def sigm(x): # ΠΡΠ° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ΅Ρ Π½ΠΎΡΠΌΠ°Π»ΠΈΠ·ΠΈΡΠΎΠ²Π°ΡΡ Π²ΡΠ΅ ΡΡΠΎ ΡΠ³ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΎΡ 0 Π΄ΠΎ 1 return (1 / (1 + 1.2 ** (-x*50)) - 0.5) * 2 color_1 = lambda x, y: (0.2, sigm(x ** 2 + y ** 2) / 1.4, 1 - sigm(x ** 2 + y ** 2)) color_2 = lambda x, y: (sigm(x ** 2 + y ** 2), 0.5, 0.5)
ΠΡΠ±Π΅ΡΠ΅ΠΌ ΡΠ°Π½Π΄ΠΎΠΌΠ½ΡΠΉ ΠΏΠ°ΡΠ°ΠΌΠ΅ΡΡ A, ΠΏΡΡΡΡ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ 149:
vis(149, func_1, step=0.1, c=color_1)
Π€ΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Β«ΠΡΡΠΈΒ»
ΠΡΡΠΈ ΠΎΠΏΠΈΡΡΠ²Π°ΡΡΡΡ ΡΠ°ΠΊ:
ΠΠ±ΡΡΠ²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° python:
def func_2(A, B): return math.cos(B) * math.sin(B) * B * math.e ** (1j * (B * math.cos(A)))
ΠΠ΅ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°Ρ Π΄Π»Ρ A=106:
Π€ΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Β«Π€ΠΎΠΊΠ°ΡΡΠ°Β»
def func_3(A, B): return math.cos((A + 1) * B) * math.e ** (1j * (B * math.cos(A)))
vis(246, func_3, step=0.1, c=color_2)
vis(246, func_3, step=0.1, c=color_2)
Π€ΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Β«ΠΠ΅Π· Π½Π°Π·Π²Π°Π½ΠΈΡΒ»
color_3 = lambda x, y: (0.5, 0.5, sigm(x ** 2 + y ** 2)) vis(162, func_4, step=0.1, c=color_3)
vis(179, func_4, step=0.1, c=color_3)
Π€ΠΎΡΠΌΡΠ»Π° ΠΊΡΠ°ΡΠΎΡΡ
def func_5(A, B): return math.cos((A + 1) * B) ** 1.5 * math.e ** (1j * (B * math.cos(A)))
color_4 = lambda x, y: (sigm(x ** 2 + y ** 2) / 2, 0.5, 1 - sigm(x ** 2 + y ** 2)) vis(345, func_5, step=0.1, c=color_4)
vis(350, func_5, step=0.1, c=color_4)
ΠΠΎΠΊΠ° Π²ΡΠ΅.
ΠΠ΅ΡΡ ΠΊΠΎΠ΄import numpy as np import random import matplotlib.pyplot as plt import math def vis(A, f, step=1.0, c=None): x = [] y = [] for B in np.arange(0, A, step): v = f(A, B) x.append(v.real) y.append(v.imag) plt.figure(figsize=[7, 7]) mxabs = max([i[0] ** 2 + i[1] ** 2 for i in zip(x, y)]) ** 0.5 x = np.array(x) / mxabs y = np.array(y) / mxabs if c is None: plt.scatter(x, y) else: plt.scatter(x, y, color=[c(x[i], y[i]) for i in range(len(x))]) plt.show() def func_1(A, B): return math.sin(B) * B * math.e ** (1j * (B * math.cos(A))) def func_2(A, B): return math.cos(B) * math.sin(B) * B * math.e ** (1j * (B * math.cos(A))) def func_3(A, B): return math.cos((A + 1) * B) * math.e ** (1j * (B * math.cos(A))) def func_4(A, B): return math.sin(A + B) * B * math.e ** (1j * B * math.sin(A)) def func_5(A, B): return math.cos((A + 1) * B) ** 1.5 * math.e ** (1j * (B * math.cos(A))) def sigm(x): return (1 / (1 + 1.2 ** (-x*50)) - 0.5) * 2 color_1 = lambda x, y: (0.2, sigm(x ** 2 + y ** 2) / 1.4, 1 - sigm(x ** 2 + y ** 2)) color_2 = lambda x, y: (sigm(x ** 2 + y ** 2), 0.5, 0.5) color_3 = lambda x, y: (0.5, 0.5, sigm(x ** 2 + y ** 2)) color_4 = lambda x, y: (sigm(x ** 2 + y ** 2) / 2, 0.
5, 1 - sigm(x ** 2 + y ** 2)) colors = [color_1, color_2, color_3, color_4] funcs = [func_1, func_2, func_3, func_4, func_5] while True: col = random.choice(colors) func = random.choice(funcs) vis(random.random() * 200 + 100, func, step=0.1, c=col) if input() == "exit": break
ΠΡΠ΅ ΡΠΊΡΠΈΠ½ΡΠΎΡΡ
3.26. ΠΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π°
3.26.1. ΠΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π° Π² Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΠ°ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΌΠ΅
Π°) ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ.ΠΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΠΌ ΡΠΈΡΠ»ΠΎΠΌ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²ΠΈΠ΄Π° , Π² ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΌ a ΠΈ b β Π²Π΅ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π° (Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅), Π° i — ΡΠ°ΠΊ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΠΌΠ°Ρ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΠ°Ρ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ° β ΡΠΈΡΠ»ΠΎ, ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°Ρ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠΈΡΠ°Π΅ΡΡΡ ΡΠ°Π²Π½ΡΠΌ ΠΌΠΈΠ½ΡΡ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ΅: .
— Π²Π΅ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅Π½Π½Π°Ρ ΡΠ°ΡΡΡ, — ΠΌΠ½ΠΈΠΌΠ°Ρ ΡΠ°ΡΡΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ
ΡΠΈΡΠ»Π°
Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅
ΠΏΠΈΡΡΡ .
= .
Π±). ΠΠ΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡ Π½Π°Π΄ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΡΠΈΡΠ»Π°ΠΌΠΈ Π² Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΠ°ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΌΠ΅
Π‘ΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ ΡΠΈΡΠ»Π° .
Π‘Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, Π²ΡΡΠΈΡΠ°Π½ΠΈΠ΅, ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ Π²ΠΎΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² ΡΠ΅Π»ΡΡ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Ρ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π» ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½ΡΡΡ ΠΏΠΎ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π°ΠΌ ΡΡΠΈΡ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΠΉ Π½Π°Π΄ ΠΎΠ±ΡΡΠ½ΡΠΌΠΈ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΠ°ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΌΠΈ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡΠΌΠΈ, Π½ΠΎ Ρ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½ΠΎΠΉ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Π΅ΠΉ ΡΠΈΡΠ»Π° .
ΠΠ΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π»:
3.26.2. Π’ΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠ°Ρ ΡΠΎΡΠΌΠ° ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π°
1. ΠΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΠ°ΡΠΎΠΉ Π²Π΅ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π» ΠΈ . ΠΡΠΎ ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ΅Ρ ΠΈΠ·ΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ°ΡΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π° ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠΎΡΠΊΠΈ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ Π² Π΄Π΅ΠΊΠ°ΡΡΠΎΠ²ΠΎΠΉ (ΠΏΡΡΠΌΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎΠΉ) ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ΅ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ ΠΈΠ»ΠΈ ΡΠ°Π΄ΠΈΡΡΠΎΠΌ-Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠΌ ΡΡΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠΈ .
2. ΠΠΎΠ΄ΡΠ»Π΅ΠΌ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ
ΡΠΈΡΠ»Π° Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π΄Π»ΠΈΠ½Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° ,
ΡΠ³ΠΎΠ» Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠΌ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ
ΡΠΈΡΠ»Π°.
3. ΠΠ· ΠΏΡΡΠΌΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ° OAM ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ:
,
ΡΠΎΠ³Π΄Π° ) —
ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠ°Ρ ΡΠΎΡΠΌΠ°
ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π°.ΠΠ΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡ Π½Π°Π΄ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΡΠΈΡΠ»Π°ΠΌΠΈ Π² ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΌΠ΅
ΡΠΎΠ³Π΄Π° .
ΠΠ΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅: .
ΠΠ·Π²Π»Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΡΠ½Ρ:
=
Π³Π΄Π΅
,
Π€ΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ Π²ΠΎΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π² ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Ρ ΠΈ ΠΈΠ·Π²Π»Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΊΠΎΡΠ½Ρ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π°ΠΌΠΈ ΠΡΠ°Π²ΡΠ°.
3.26.3. ΠΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½Π°Ρ ΡΠΎΡΠΌΠ° ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π°
.
ΠΠΠ― ΠΠΠΠΠ’ΠΠ.
3.27. ΠΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ°ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΏΡΠΈΡΠΌΡ ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½ΠΈΡ
ΠΠ ΠΠ€ΠΠΠΠ Π€Π£ΠΠΠ¦ΠΠ
3.

ΠΡΡ ΠΎΠ΄Ρ ΠΈΠ· Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠ° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ , ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠΈΡΡ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠΈ
ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ:
— ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ½Π°ΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ ΠΎΡΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ°Π΅ΡΡΡ ΡΠΈΠΌΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ½ΠΎ ΠΎΡΠΈ ΠΡ (βΠ·Π΅ΡΠΊΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΎΡΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅β ).
— ΠΈΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΡΠΉ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅ΡΠ°Π΅ΡΡΡ Π²Π΄ΠΎΠ»Ρ ΠΎΡΠΈ ΠΡ Π½Π° Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ : Π²Π²Π΅ΡΡ , Π΅ΡΠ»ΠΈ , ΠΈ Π²Π½ΠΈΠ·, Π΅ΡΠ»ΠΈ .
— ΠΈΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΡΠΉ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ ΡΠ°ΡΡΡΠ³ΠΈΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π²Π΄ΠΎΠ»Ρ ΠΎΡΠΈ ΠΡ Π² Π ΡΠ°Π· (Π΅ΡΠ»ΠΈ Π>1) ΠΈ ΡΠΆΠΈΠΌΠ°Π΅ΡΡΡ Π² ΡΠ°Π·, Π΅ΡΠ»ΠΈ .
— ΡΠΎΡ ΠΆΠ΅ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ, Π½ΠΎ ΡΠ°ΡΡΡΠ½ΡΡΡΠΉ Π²Π΄ΠΎΠ»Ρ ΠΎΡΠΈ ΠΡ ΠΎΡ Π½Π°ΡΠ°Π»Π° ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ Π² ΡΠ°Π·.
Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ , ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠΈΡΡ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ
6.
.ΠΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ.
1). , 2).
ΠΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ. (1): ; (2): — ΡΠ΄Π²ΠΈΠ³ Π½Π° 1 Π΅Π΄. Π²ΠΏΡΠ°Π²ΠΎ (3)Β : — ΡΠ΄Π²ΠΈΠ³ Π½Π° 2 Π΅Π΄. Π²Π»Π΅Π²ΠΎ |
3). 4).
ΠΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ. (1)Β : Β ;(2)Β :
— ΡΠ΄Π²ΠΈΠ³ Π½Π° 2 Π΅Π΄. (3)Β : — ΡΠ΄Π²ΠΈΠ³ Π½Π° 1 Π΅Π΄. Π²Π½ΠΈΠ·. | ΠΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ. (1)Β : Β ; (2)Β : Β — ΡΠ°ΡΡΡΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π² 3 ΡΠ°Π·Π° Π²Π΄ΠΎΠ»Ρ ΠΎΡΠΈ ΠΡ; Β (3): — ΡΠΆΠ°ΡΠΈΠ΅ Π² 2 ΡΠ°Π·Π°. |
5).
ΠΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ. (1): ; (2): — ΡΠΆΠ°ΡΠΈΠ΅ Π² Π΄Π²Π° ΡΠ°Π·Π° ΠΊ Π½Π°ΡΠ°Π»Ρ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ Π²Π΄ΠΎΠ»Ρ ΠΎΡΠΈ ΠΡ ; (3): — ΡΠ°ΡΡΡΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π² Π΄Π²Π° ΡΠ°Π·Π° ΠΎΡ Π½Π°ΡΠ°Π»Π° ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ Π²Π΄ΠΎΠ»Ρ ΠΎΡΠΈ ΠΡ . |
6).
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ. +1 ΠΡΠΈΠ²Π΅Π΄ΡΠΌ ΠΊ Π²ΠΈΠ΄Ρ: . Π‘ΡΡΠΎΠΈΠΌ ΡΠ΅ΠΏΠΎΡΠΊΡ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠΎΠ² Π² ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠ΅ΠΉ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ:
6. — Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½. |
ΠΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΠΊΠ°Ρ ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ° «Π Π°Π·Π»ΠΈΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±Ρ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΊΡΠ±ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ. Π ΠΎΠ»Ρ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π» ΠΏΡΠΈ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ» β’ ΠΠ°ΡΠΊΠ° ΠΈ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ONLINE
ΠΠ»Π°Π²Π½Π°Ρ Π Π°Π±ΠΎΡΡ Π½Π° ΠΊΠΎΠ½ΠΊΡΡΡ ΠΡΠ΅Π΄ΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Π€ΠΈΠ·ΠΈΠΊΠΎ-ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ Π΄ΠΈΡΡΠΈΠΏΠ»ΠΈΠ½Ρ ΠΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΠΊΠ°Ρ ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ° Β«Π Π°Π·Π»ΠΈΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±Ρ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΊΡΠ±ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ. Π ΠΎΠ»Ρ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π» ΠΏΡΠΈ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉΒ»
ΠΠ²ΡΠΎΡ:Β ΠΠΎΠ»ΠΊΠΎΠ²Π° ΠΠ°ΡΠΈΠ½Π° ΠΠ»Π°Π΄ΠΈΠΌΠΈΡΠΎΠ²Π½Π°
ΠΠ΅ΡΡΠΎ ΡΠ°Π±ΠΎΡΡ/ΡΡΠ΅Π±Ρ (Π°ΡΡΠΈΠ»ΠΈΠ°ΡΠΈΡ):Β ΠΠΠ£ Π‘ΠΠ¨ β 2, ΡΡ.ΠΡΠΈΠ³ΠΎΡΠΎΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΊΠ°Ρ, Π‘ΡΠ°Π²ΡΠΎΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΊΠΈΠΉ ΠΊΡΠ°ΠΉ, 10 ΠΊΠ»Π°ΡΡ
ΠΠ°ΡΡΠ½ΡΠΉ ΡΡΠΊΠΎΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡΠ΅Π»Ρ:Β ΠΠΎΠ»Π±Π°ΡΠΎΠ²Π° ΠΠ°ΡΠΈΡΠ° ΠΠ»Π΅ΠΊΡΠ°Π½Π΄ΡΠΎΠ²Π½Π°
ΠΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌΠΎΠ΅ Π² ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΊΠΎΠ»Π΅, ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π²Π°ΠΆΠ½Π΅ΠΉΡΠΈΠΌ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠΎΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ΅Π³ΠΎ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΠΈ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΉ ΠΊΡΠ»ΡΡΡΡΡ ΡΠΎΠ²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ΅Π»ΠΎΠ²Π΅ΠΊΠ°. ΠΡΠ°ΠΊΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈ Π²ΡΠ΅, ΡΡΠΎ ΠΎΠΊΡΡΠΆΠ°Π΅Ρ ΡΠΎΠ²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ΅Π»ΠΎΠ²Π΅ΠΊΠ° β ΡΡΠΎ Π²ΡΠ΅ ΡΠ°ΠΊ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΈΠ½Π°ΡΠ΅ ΡΠ²ΡΠ·Π°Π½ΠΎ Ρ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠΎΠΉ. Π ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄Π½ΠΈΠ΅ Π΄ΠΎΡΡΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π² ΡΠΈΠ·ΠΈΠΊΠ΅, ΡΠ΅Ρ
Π½ΠΈΠΊΠ΅ ΠΈ ΠΈΠ½ΡΠΎΡΠΌΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π½ΡΡ
ΡΠ΅Ρ
Π½ΠΎΠ»ΠΎΠ³ΠΈΡΡ
Π½Π΅ ΠΎΡΡΠ°Π²Π»ΡΡΡ Π½ΠΈΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΎΠΌΠ½Π΅Π½ΠΈΡ, ΡΡΠΎ ΠΈ Π² Π±ΡΠ΄ΡΡΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΡΠ΅ΠΉ ΠΎΡΡΠ°Π½Π΅ΡΡΡ ΠΏΡΠ΅ΠΆΠ½ΠΈΠΌ. ΠΠΎΡΡΠΎΠΌΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΡ
ΠΏΡΠ°ΠΊΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ
Π·Π°Π΄Π°Ρ ΡΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ ΠΊ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠ½ΡΡ
Π²ΠΈΠ΄ΠΎΠ² ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ
ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ Π½Π°ΡΡΠΈΡΡΡΡ ΡΠ΅ΡΠ°ΡΡ.
Π¦Π΅Π»Ρ ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ: ΠΈΠ·ΡΡΠΈΡΡ ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±Ρ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΊΡΠ±ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈ ΠΏΠΎΠ½ΡΡΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π°.
ΠΠ±ΡΠ΅ΠΊΡ ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ: ΠΊΡΠ±ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ.
ΠΠ°Π΄Π°ΡΠΈ ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ:
- ΠΠ·ΡΡΠΈΡΡ ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±Ρ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΊΡΠ±ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ.
- ΠΠ·ΡΡΠΈΡΡ ΡΠ΅ΠΎΡΠΈΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π».
- ΠΡΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠ·ΡΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΡΠΈΠ°Π»Π° Π½Π° ΠΏΡΠ°ΠΊΡΠΈΠΊΠ΅:
- ΡΠ°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½Π° Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΠΈ;
- ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΡΠ±ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΠΈΒ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ;
- ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ ΠΈ ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠΎΠ².
ΠΠ°Π½Π½Π°Ρ ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ° ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΠΎΠΏΡΡΠΊΠΎΠΉ ΠΎΠ±ΠΎΠ±ΡΠΈΡΡ ΠΈ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠ·ΠΈΡΠΎΠ²Π°ΡΡ ΠΈΠ·ΡΡΠ΅Π½Π½ΡΠΉ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΡΠΈΠ°Π» ΠΏΠΎ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΊΡΠ±ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ
ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ. Π₯ΠΎΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ Π²ΡΡΠΎΠΊΠΈΡ
ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Π΅ΠΉ Π² ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ Π½Π΅ΡΠ°Π·ΡΠ΅ΡΠΈΠΌΡ Π² ΡΠ°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»Π°Ρ
, Π΄Π° ΠΈ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ ΠΠ°ΡΠ΄Π°Π½ΠΎΒ Π΄Π»Ρ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΡΡΠ΅ΡΡΠ΅ΠΉ ΠΈ ΡΠ΅ΡΠ²Π΅ΡΡΠΎΠΉ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Π΅ΠΉ Π² ΡΠΊΠΎΠ»Π΅ Π½Π΅ ΠΏΡΠΎΡ
ΠΎΠ΄ΡΡ. Β Π½ΠΎ ΡΠΆΠ΅ ΠΏΠ»Π°Π½ΠΈΡΡΠ΅ΡΡΡ Π²ΠΊΠ»ΡΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π² ΠΠΠ ΠΠΠ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠΈ ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠΎΠ²Π½Ρ Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΡ Ρ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΡΠΈΡΠ»Π°ΠΌΠΈ, Π° Ρ Π½ΠΈΠΌΠΈ ΠΌΡ ΡΡΠ°Π»ΠΊΠΈΠ²Π°Π΅ΠΌΡΡ ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Β ΠΏΡΠΈ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Π½Π΅Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Β ΠΎΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠΈΠ²Π°ΡΡΡΡ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΌ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ, ΡΡΠΈΡΠ°Ρ, ΡΡΠΎ ΠΈΠ½Π°ΡΠ΅ Β ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠΎΡΡΠΎ Π½Π΅ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ΡΠ΅Π½Π½ΠΎ. ΠΠ΅Π΄Ρ Π΅ΡΠ»ΠΈ Π² ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ Π½Π΅Ρ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ
ΠΊΠΎΡΠ½Π΅ΠΉ, ΡΠΎ ΡΡΠΎ Π΅ΡΠ΅ Π½Π΅ Π·Π½Π°ΡΠΈΡ, ΡΡΠΎ ΠΎΠ½ΠΎ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ. ΠΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΊΠΎΡΠ½ΠΈ ΠΈΠ· ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ
ΡΠΈΡΠ΅Π»- ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡΠ΅ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π°,Β Π½Π΅ΠΈΠ·Π±Π΅ΠΆΠ½ΠΎ Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ°ΡΡ ΠΏΡΠΈ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΊΡΠ±ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΠΎ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±Ρ ΠΠ°ΡΠ΄Π°Π½ΠΎ, Π΄Π°ΠΆΠ΅ Π΅ΡΠ»ΠΈ ΡΠ°ΠΊΠΎΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΡΡΠΈ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ
ΠΊΠΎΡΠ½Ρ.
ΠΠ°Π³ΡΡΠ·ΠΊΠ°…
Π€ΠΈΠ·ΠΈΠΊΠΎ-ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ Π΄ΠΈΡΡΠΈΠΏΠ»ΠΈΠ½Ρ
ΠΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΠΊΠ°Ρ ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ° Β«Π‘ΠΎΠ·Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ Π΄ΠΎΠΌΠ°ΡΠ½Π΅Π³ΠΎ ΡΠ΅ΡΠΌΠΎΡΠ°Β»
ΠΠΎΡΡΡΠΏΠ½Π° ΠΊ ΠΏΡΠΎΡΠΌΠΎΡΡΡ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡΠ΅ΠΊΡΡΠΎΠ²Π°Ρ Π²Π΅ΡΡΠΈΡ ΡΠ°Π±ΠΎΡΡ
Π― Π»ΡΠ±Π»Ρ ΡΠΌΠΎΡΡΠ΅ΡΡ ΠΏΠΎΠ·Π½Π°Π²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΠΏΡΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΡ Β«ΠΠ°Π»ΠΈΠ»Π΅ΠΎΒ». Π Π½Π΅ΠΉ ΡΠ°ΡΡΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°ΡΡ ΠΎ ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠ½ΡΡ
ΡΠ²Π»Π΅Π½ΠΈΡΡ
, ΠΎΠΊΡΡΠΆΠ°ΡΡΠΈΡ
ΡΠ΅Π»ΠΎΠ²Π΅ΠΊΠ°, Π½Π°ΡΡΠ½ΡΡ
ΡΠ°ΠΊΡΠ°Ρ
, ΡΠ΅Ρ
Π½ΠΈΠΊΠ΅. Π ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈΠ· ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π΄Π°Ρ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΡΠΎ ΡΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΌΠ΅Ρ, ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠ΅ΡΠΌΠΎΡ. Π Π·Π΄Π΅ΡΡ Ρ ΡΠ·Π½Π°Π», ΡΡΠΎ Π΅Π³ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡΡ Π½Π΅ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ…
ΠΠΎΡΠΌΠΎΡΡΠ΅ΡΡ ΡΠ°Π±ΠΎΡΡ
Π€ΠΈΠ·ΠΈΠΊΠΎ-ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ Π΄ΠΈΡΡΠΈΠΏΠ»ΠΈΠ½Ρ
ΠΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΠΊΠ°Ρ ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ° ΠΏΠΎ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ΅ Β«Π€ΠΈΠ½Π°Π½ΡΠΎΠ²Π°Ρ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ°. ΠΠΊΠ»Π°Π΄ΡΒ»
ΠΠΎΡΡΡΠΏΠ½Π° ΠΊ ΠΏΡΠΎΡΠΌΠΎΡΡΡ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡΠ΅ΠΊΡΡΠΎΠ²Π°Ρ Π²Π΅ΡΡΠΈΡ ΡΠ°Π±ΠΎΡΡ
Π ΡΠΎΠ²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΌ ΠΌΠΈΡΠ΅ Π»ΡΠ΄ΠΈ ΠΏΡΠΎΠ²ΠΎΠ΄ΡΡ ΠΌΠΈΠ»Π»ΠΈΠΎΠ½Ρ Π±Π°Π½ΠΊΠΎΠ²ΡΠΊΠΈΡ ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΠΉ. Π‘ ΡΠ°Π·Π²ΠΈΡΠΈΠ΅ΠΌ ΡΠ΅Ρ Π½ΠΎΠ»ΠΎΠ³ΠΈΠΉ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠΏΡΠ°Π²Π»ΡΡΡ ΡΠ²ΠΎΠΈΠΌΠΈ ΡΡΠ΅Π΄ΡΡΠ²Π°ΠΌΠΈ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· Π³Π°Π΄ΠΆΠ΅ΡΡ, ΡΡΠ°Π»ΠΈ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π²ΠΎΠ΄Ρ ΡΡΠ΅Π΄ΡΡΠ² Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠΌΡ ΡΠ΅Π»ΠΎΠ²Π΅ΠΊΡ/ΠΎΡΠ³Π°Π½ΠΈΠ·Π°ΡΠΈΠΈ ΠΈ Ρ.Π΄., Online ΠΈΠ½Π²Π΅ΡΡΠΈΡΠΈΠΈ, Π²ΠΊΠ»Π°Π΄Ρ, ΡΠ°ΡΡΠ΅ΡΡ ΠΏΠ΅Π½ΡΠΈΠΈ. ΠΠΎΠ·…
ΠΠΎΡΠΌΠΎΡΡΠ΅ΡΡ ΡΠ°Π±ΠΎΡΡ
Π€ΠΈΠ·ΠΈΠΊΠΎ-ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ Π΄ΠΈΡΡΠΈΠΏΠ»ΠΈΠ½Ρ
ΠΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΠΊΠ°Ρ ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ° Β«ΠΠΎΠΌΠΏΡΡΡΠ΅ΡΠ½ΡΠ΅ Π²ΠΈΡΡΡΡ ΠΈ Π±ΠΎΡΡΠ±Π° Ρ Π½ΠΈΠΌΠΈΒ»
Π Π½Π°ΡΡΠΎΡΡΠ΅Π΅ Π²ΡΠ΅ΠΌΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΡΡΡΠ΅Ρ ΠΏΡΠΎΡΠ½ΠΎ Π²ΠΎΡΠ΅Π» Π² ΠΏΠΎΠ²ΡΠ΅Π΄Π½Π΅Π²Π½ΡΡ ΠΆΠΈΠ·Π½Ρ. ΠΠ³ΠΎ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡΡΡΡ Π² ΡΠΊΠΎΠ»Π΅, Π½Π° ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ΅, ΠΏΡΠΈ ΠΏΡΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΈ Π΄ΠΎΡΡΠ³Π°, Π² Π±ΡΡΡ ΠΈ Π΄ΡΡΠ³ΠΈΡ
ΡΡΠ΅ΡΠ°Ρ
ΠΆΠΈΠ·Π½ΠΈ ΡΠ΅Π»ΠΎΠ²Π΅ΠΊΠ°.Β ΠΠ΅ΡΠΌΠΎΡΡΡ Π½Π° ΠΏΡΠΈΠ½ΡΡΡΠ΅ Π²ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΡ
ΡΡΡΠ°Π½Π°Ρ
Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Ρ ΠΎ Π±ΠΎΡΡΠ±Π΅ Ρ ΠΊΠΎΠΌΠΏΡΡΡΠ΅ΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΠΏΡΠ΅ΡΡ…
ΠΠΎΡΠΌΠΎΡΡΠ΅ΡΡ ΡΠ°Π±ΠΎΡΡ
Π’Π΅Ρ Π½ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ Π΄ΠΈΡΡΠΈΠΏΠ»ΠΈΠ½Ρ, Π€ΠΈΠ·ΠΈΠΊΠΎ-ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ Π΄ΠΈΡΡΠΈΠΏΠ»ΠΈΠ½Ρ
ΠΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΠΊΠ°Ρ ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ° Β«Π’ΡΠΈ ΡΠ΅Π»Π΅ΡΠΎΠ½Π°, ΡΠΎΠ·Π΄Π°Π½Π½ΡΠ΅ Π² Π΄ΠΎΠΌΠ°ΡΠ½ΠΈΡ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡΡ Β»
ΠΠ΅ΡΠ½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ°Π½ΠΈΠΊΡΠ»Ρ Ρ ΠΏΡΠΎΠ²Π΅Π»Π° Ρ Π±Π°Π±ΡΡΠΊΠΈ ΠΈ Π΄Π΅Π΄ΡΡΠΊΠΈ. ΠΠΎΠ΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΠΈΠ²Π»Π΅ΠΊ ΠΈΡ Π΄ΠΎΠΌΠ°ΡΠ½ΠΈΠΉ ΡΠ΅Π»Π΅ΡΠΎΠ½. ΠΠ½ Π±ΡΠ» Ρ Π½Π΅ΠΎΠ±ΡΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΡΠ±ΠΊΠΎΠΉ ΠΈ Π΄ΠΈΡΠΊΠΎΠΌ. Π’Π°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ Ρ Π΅ΡΠ΅ Π½ΠΈΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π½Π΅ Π²ΠΈΠ΄Π΅Π»Π°. Π£ Π½Π°Ρ Π΄ΠΎΠΌΠ° ΡΠΎΠΆΠ΅ Π΅ΡΡΡ Π΄ΠΎΠΌΠ°ΡΠ½ΠΈΠΉ ΡΠ΅Π»Π΅ΡΠΎΠ½. ΠΠ½ Π½Π΅ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΡ ΠΎΠΆ Π½Π° ΠΌΠΎΠ±ΠΈΠ»ΡΠ½ΡΠΉ, Ρ Π½ΠΈΠΌ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠ΅…
ΠΠΎΡΠΌΠΎΡΡΠ΅ΡΡ ΡΠ°Π±ΠΎΡΡ
Π€ΠΈΠ·ΠΈΠΊΠΎ-ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ Π΄ΠΈΡΡΠΈΠΏΠ»ΠΈΠ½Ρ
ΠΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΠΊΠ°Ρ ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ° Β«ΠΠ»ΠΈΡΡΡ Π»ΠΈ ΡΠΈΡΠ»Π° Π½Π° ΡΡΠ΄ΡΠ±Ρ ΡΠ΅Π»ΠΎΠ²Π΅ΠΊΠ°Β»
ΠΠΎΡΡΡΠΏΠ½Π° ΠΊ ΠΏΡΠΎΡΠΌΠΎΡΡΡ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡΠ΅ΠΊΡΡΠΎΠ²Π°Ρ Π²Π΅ΡΡΠΈΡ ΡΠ°Π±ΠΎΡΡ
ΠΠΈΡ Π½Π°Ρ Π²ΠΎΡΡ
ΠΈΡΠ°Π΅Ρ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΈΠ΅ΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΡ Ρ Π²Π°ΠΌΠΈ ΠΏΠΎΡΡΠΎΡΠ½Π½ΠΎ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡΠΈΠΌ, ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠ½ΡΡ
Π·Π°Π³Π°Π΄ΠΎΠΊ. ΠΠ°Π»ΠΎ ΠΊΡΠΎ Π·Π½Π°Π΅Ρ, ΡΡΠΎ ΠΏΠ°ΡΠΎΠ»Ρ ΠΊ Π·Π°Π³Π°Π΄ΠΊΠ°ΠΌ Π²ΡΠ΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ — ΡΡΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π°. Π Π°Π·ΡΠΌΠ΅Π΅ΡΡΡ, ΡΡΠ΅Π½ΡΠ΅ Π² Π³Π»ΡΠ±ΠΎΡΠ°ΠΉΡΠ΅ΠΉ Π΄ΡΠ΅Π²Π½ΠΎΡΡΠΈ ΡΠ²ΠΈΠ΄Π΅Π»ΠΈ ΡΠ²ΡΠ·Ρ Π»ΠΈΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΠΈ ΡΠΈΡΠ»Π°. ΠΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎ ΠΆΠ΅, Π²ΡΠ΅ ΠΌΡ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ, ΡΡΠΎ…
ΠΠΎΡΠΌΠΎΡΡΠ΅ΡΡ ΡΠ°Π±ΠΎΡΡ
ΠΠ΅ΡΠΎΠΏΡΠΈΡΡΠΈΠ΅ Π·Π°Π²Π΅ΡΡΠ΅Π½ΠΎ
3.1: ΠΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π° β ΠΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ° LibreTexts
- ΠΠΎΡΠ»Π΅Π΄Π½Π΅Π΅ ΠΎΠ±Π½ΠΎΠ²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅
- Π‘ΠΎΡ ΡΠ°Π½ΠΈΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ PDF
- ΠΠ΄Π΅Π½ΡΠΈΡΠΈΠΊΠ°ΡΠΎΡ ΡΡΡΠ°Π½ΠΈΡΡ
- 17359
- OpenStax
- OpenStax
ΠΠ°Π²ΡΠΊΠΈ Π΄Π»Ρ ΡΠ°Π·Π²ΠΈΡΠΈΡ
- ΠΡΡΠ°Π·ΠΈΡΠ΅ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΊΠΎΡΠ½ΠΈ ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π» ΠΊΠ°ΠΊ ΠΊΡΠ°ΡΠ½ΡΠ΅ \(i\).
- ΠΠ°Π½Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π» Π½Π° ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΡ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΡ.
- Π‘Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ Π²ΡΡΠΈΡΠ°Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π».
- Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°ΡΡ ΠΈ Π΄Π΅Π»ΠΈΡΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π°.
ΠΠ·ΡΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠΈ ΠΏΠΎΡΡΠΎΡΠ½Π½ΠΎ ΡΠ°ΠΌΠΎΡΠ°Π·Π²ΠΈΠ²Π°Π΅ΡΡΡ. ΠΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠ΅Π»ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π°, Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, Π·Π°ΠΏΠΎΠ»Π½ΡΡΡ ΠΏΡΡΡΠΎΡΡ, ΠΎΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Π½ΡΡ Π½Π°Π±ΠΎΡΠΎΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΠ΅Π»ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π». ΠΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ ΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π», Π² ΡΠ²ΠΎΡ ΠΎΡΠ΅ΡΠ΅Π΄Ρ, Π·Π°ΠΏΠΎΠ»Π½ΡΠ΅Ρ ΠΏΡΡΡΠΎΡΡ, ΠΎΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Π½ΡΡ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²ΠΎΠΌ ΡΠ΅Π»ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π». ΠΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π» Π·Π°ΠΏΠΎΠ»Π½ΡΠ΅Ρ ΠΏΡΡΡΠΎΡΡ, ΠΎΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Π½ΡΡ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²ΠΎΠΌ ΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π». ΠΠ΅ΡΠ΄ΠΈΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, ΡΡΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π» ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΠΏΡΡΡΠΎΡΡ. ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, Ρ Π½Π°Ρ Π΄ΠΎ ΡΠΈΡ ΠΏΠΎΡ Π½Π΅Ρ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠ°ΠΊΠΈΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ, ΠΊΠ°ΠΊ 92+4=0\Π½Π΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ\]
ΠΠ°ΡΠΈΠΌ Π»ΡΡΡΠΈΠΌ ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ \(x=+2\) ΠΈΠ»ΠΈ \(x=β2\). ΠΠΎ Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΌΡ ΠΏΡΠΎΠ²Π΅ΡΠΈΠΌ +2 Π² ΡΡΠΎΠΌ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ, ΡΡΠΎ Π½Π΅ ΡΡΠ°Π±ΠΎΡΠ°Π΅Ρ. ΠΡΠ»ΠΈ ΠΌΡ ΠΏΡΠΎΠ²Π΅ΡΠΈΠΌ -2, ΡΡΠΎ Π½Π΅ ΡΡΠ°Π±ΠΎΡΠ°Π΅Ρ. ΠΡΠ»ΠΈ ΠΌΡ Ρ
ΠΎΡΠΈΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ, Π½Π°ΠΌ ΠΏΡΠΈΠ΄Π΅ΡΡΡ ΠΏΠΎΠΉΡΠΈ Π΄Π°Π»ΡΡΠ΅, ΡΠ΅ΠΌ ΠΌΡ Π΄ΠΎ ΡΠΈΡ
ΠΏΠΎΡ. Π ΠΊΠΎΠ½ΡΠ΅ ΠΊΠΎΠ½ΡΠΎΠ², Π΄ΠΎ ΡΠΈΡ
ΠΏΠΎΡ ΠΌΡ ΠΎΠΏΠΈΡΡΠ²Π°Π»ΠΈ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΡΠΉ ΠΊΠΎΡΠ΅Π½Ρ ΠΈΠ· ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π° ΠΊΠ°ΠΊ Π½Π΅ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΡΠΉ. Π ΡΡΠ°ΡΡΡΡ, Π΅ΡΡΡ Π΄ΡΡΠ³Π°Ρ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ° ΡΠΈΡΠ΅Π», ΠΊΠΎΡΠΎΡΠ°Ρ ΠΎΠ±Π΅ΡΠΏΠ΅ΡΠΈΠ²Π°Π΅Ρ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½ΡΡ
ΠΏΡΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌ. Π ΡΡΠΎΠΌ ΡΠ°Π·Π΄Π΅Π»Π΅ ΠΌΡ ΡΠ°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ ΡΡΡ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΈ ΡΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊ Π² Π½Π΅ΠΉ ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ°ΡΡ.
ΠΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΡΡ ΠΊΠΎΡΠ½Π΅ΠΉ ΠΈΠ· ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π» Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΠΊΡΠ°ΡΠ½ΡΡ
\(i\)ΠΡ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊ Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΡΠΉ ΠΊΠΎΡΠ΅Π½Ρ ΠΈΠ· Π»ΡΠ±ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π°. ΠΠ½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡΠ½ΡΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ ΠΌΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΡΠΉ ΠΊΠΎΡΠ΅Π½Ρ ΠΈΠ· ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π°. ΠΡΠ»ΠΈΡΠΈΠ΅ Π² ΡΠΎΠΌ, ΡΡΠΎ ΡΡΡ Π½Π΅ Π½Π°ΡΡΠΎΡΡΠΈΠΉ. ΠΡΠ»ΠΈ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠ΄ΠΊΠΎΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π° ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅, ΠΊΠΎΡΠ΅Π½Ρ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡΠΌ ΡΠΈΡΠ»ΠΎΠΌ. ΠΠ½ΠΈΠΌΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ \(i\) ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΡΠΉ ΠΊΠΎΡΠ΅Π½Ρ ΠΈΠ· \(-1\).
\[\sqrt{-1}=i\nonumber\]
ΠΡΠ°ΠΊ, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° ΡΠ°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»ΠΎΠ², 92=β1\nonumber\]
ΠΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°ΡΡ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΡΠΉ ΠΊΠΎΡΠ΅Π½Ρ Π»ΡΠ±ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π° ΠΊΠ°ΠΊ ΠΊΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠ΅ \(i\). ΠΠΎΠ·ΡΠΌΠ΅ΠΌ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΡΠΉ ΠΊΠΎΡΠ΅Π½Ρ ΠΈΠ· β25.
\[\begin{align} \sqrt{-25}&=\sqrt{25 {\cdot} (-1)}\nonumber\\ &=\sqrt{25}\sqrt{-1} \nonumber\ \ &= 5i\nonumber \end{align}\nonumber\]
ΠΡ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΠΌ 5 i , Π° Π½Π΅ β5 i , ΠΏΠΎΡΠΎΠΌΡ ΡΡΠΎ Π³Π»Π°Π²Π½ΡΠΉ ΠΊΠΎΡΠ΅Π½Ρ ΠΈΠ· 25 ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΌ ΠΊΠΎΡΠ½Π΅ΠΌ.
ΠΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ΅Ρ ΡΠΎΠ±ΠΎΠΉ ΡΡΠΌΠΌΡ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π° ΠΈ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π°. ΠΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ°Π΅ΡΡΡ Π² ΡΡΠ°Π½Π΄Π°ΡΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΌΠ΅ ΠΏΡΠΈ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠΈ \(a+bi\) (Ρ \(a, b\) Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΡΠΈΡΠ»Π°ΠΌΠΈ), Π³Π΄Π΅ \(a\) — Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½Π°Ρ ΡΠ°ΡΡΡ, Π° \(bi\) — ΠΌΠ½ΠΈΠΌΠ°Ρ ΡΠ°ΡΡΡ. ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, \(5+2i\) β ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ. Π’ΠΎ ΠΆΠ΅ ΡΠ°ΠΌΠΎΠ΅ ΠΈ Ρ \(3+4\sqrt{3}i\).
ΠΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ°Π½ΠΈΠ΅: ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ ΠΎΡΠ΅Π½Ρ Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ ΠΎΡΠΈΠ±ΠΈΡΡΡΡ, Π΄ΡΠΌΠ°Ρ, ΡΡΠΎ \(i\) Π² ΠΊΠΎΠ½ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π° Π½Π°Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ ΠΏΠΎΠ΄ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ ΠΊΠΎΡΠ½Ρ, ΡΡΠΎ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ ΠΏΡΠΈΠ½ΡΡΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΡΠ²Π°ΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ \(3+4i\sqrt{ 3}\). ΠΡΠΎΠΌΠ΅ ΡΠΎΠ³ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠ±ΡΡΠ½ΠΎ, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΡΠ»Π΅Π½ ΡΠ°Π²Π΅Π½ 0 ΠΈΠ»ΠΈ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½Ρ ΡΠ°Π²Π΅Π½ 1, ΠΌΡ ΡΠ°ΡΡΠΎ Π΅Π³ΠΎ ΠΎΠΏΡΡΠΊΠ°Π΅ΠΌ; ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ \(0+1i\) (ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΡΠ½Π°Ρ ΡΡΠ°Π½Π΄Π°ΡΡΠ½Π°Ρ ΡΠΎΡΠΌΠ°) ΡΠ°ΡΡΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΠΏΡΠΎΡΡΠΎ ΠΊΠ°ΠΊ \(i\).
Π ΠΈΡΡΠ½ΠΎΠΊ \(\PageIndex{1}\)
ΠΠ½ΠΈΠΌΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π° ΠΎΡΠ»ΠΈΡΠ°ΡΡΡΡ ΠΎΡ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ
, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ Π²ΠΎΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°Ρ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π° Π΄Π°Π΅Ρ ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ. ΠΡΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡΠ΅, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π²ΠΎΠ·Π²ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ Π² ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°Ρ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ, ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΠΎΠΌ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ, Π° ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π²ΠΎΠ·Π²ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ Π² ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°Ρ ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ, ΡΠ½ΠΎΠ²Π° ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΡΡΡ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ. ΠΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π° ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΡΡ ΡΠΎΠ±ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°ΡΠΈΡ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ
ΠΈ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡΡ
ΡΠΈΡΠ΅Π».
ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅: ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡΠ΅ ΠΈ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π°
ΠΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ β ΡΡΠΎ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ Π²ΠΈΠ΄Π° \(a+bi\), Π³Π΄Π΅
- \(a\) β Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½Π°Ρ ΡΠ°ΡΡΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π°.
- \(bi\) β ΠΌΠ½ΠΈΠΌΠ°Ρ ΡΠ°ΡΡΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π°.
ΠΡΠ»ΠΈ \(b=0\), ΡΠΎ \(a+bi\) — Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ. ΠΡΠ»ΠΈ \(a=0\) ΠΈ \(b\) Π½Π΅ ΡΠ°Π²Π½ΠΎ 0, ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡΠΌ ΡΠΈΡΠ»ΠΎΠΌ . ΠΠ½ΠΈΠΌΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ β ΡΡΠΎ ΡΠ΅ΡΠ½ΡΠΉ ΠΊΠΎΡΠ΅Π½Ρ ΠΈΠ· ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π°.
ΠΠ°Π½ΠΎ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ, ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡ Π΅Π³ΠΎ Π² ΡΡΠ°Π½Π΄Π°ΡΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΌΠ΅
- ΠΠ°ΠΏΠΈΡΠΈΡΠ΅ \(\sqrt{-a}\) ΠΊΠ°ΠΊ \(\sqrt{a}\sqrt{-1}\).
- ΠΡΡΠ°Π·ΠΈΡΠ΅ \(\sqrt{β1}\) ΠΊΠ°ΠΊ \(i\) .
- ΠΠ°ΠΏΠΈΡΠΈΡΠ΅ \(\sqrt{a}{\cdot}i\) Π² ΠΏΡΠΎΡΡΠ΅ΠΉΡΠ΅ΠΉ ΡΠΎΡΠΌΠ΅.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ \(\PageIndex{1}\): ΠΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π° Π² ΡΡΠ°Π½Π΄Π°ΡΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΌΠ΅
ΠΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ \(\sqrt{β9}\) Π² ΡΡΠ°Π½Π΄Π°ΡΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΌΠ΅.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅
\[\sqrt{β9}=\sqrt{9}\sqrt{β1}=3i\nonnumber\]
Π ΡΡΠ°Π½Π΄Π°ΡΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΌΠ΅ ΡΡΠΎ \(0+3i\).
\(\PageIndex{1}\)
ΠΠΊΡΠΏΡΠ΅ΡΡ \(\sqrt{β24}\) Π² ΡΡΠ°Π½Π΄Π°ΡΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΌΠ΅.
- ΠΡΠ²Π΅ΡΠΈΡΡ
\(\sqrt{β24}=0+2i\sqrt{6}\)
ΠΠ°Π½Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π° Π½Π° ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΡ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΡ
ΠΡ Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π½Π°Π½ΠΎΡΠΈΡΡ Π½Π° ΡΠΈΡΠ»ΠΎΠ²ΡΡ ΠΏΡΡΠΌΡΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π°, ΠΊΠ°ΠΊ Π½Π°ΡΡΠΎΡΡΠΈΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π°. ΠΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ ΠΌΡ Π²ΡΠ΅ Π΅ΡΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡ ΠΈΡ Π³ΡΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈ. Π§ΡΠΎΠ±Ρ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ, Π½Π°ΠΌ Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠΈΡΡΡΡ ΠΊ Π΄Π²ΡΠΌ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠ°ΠΌ ΡΠΈΡΠ»Π°. ΠΡ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΠΌ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΡ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΡ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΠ°Ρ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ΅Ρ ΡΠΎΠ±ΠΎΠΉ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ, Π² ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ Π³ΠΎΡΠΈΠ·ΠΎΠ½ΡΠ°Π»ΡΠ½Π°Ρ ΠΎΡΡ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ΅Ρ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΠΎΡΡΠ°Π²Π»ΡΡΡΡΡ, Π° Π²Π΅ΡΡΠΈΠΊΠ°Π»ΡΠ½Π°Ρ ΠΎΡΡ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ΅Ρ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡΡ ΡΠΎΡΡΠ°Π²Π»ΡΡΡΡΡ. ΠΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π° β ΡΡΠΎ ΡΠΎΡΠΊΠΈ Π½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ, Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½Π½ΡΠ΅ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΡΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΎΡΠ΅Π½Π½ΡΡ ΠΏΠ°Ρ \((a,b)\), Π³Π΄Π΅ \(a\) ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ΅Ρ ΡΠΎΠ±ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ ΠΏΠΎ Π³ΠΎΡΠΈΠ·ΠΎΠ½ΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΎΡΠΈ, Π° \(b\) ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ΅Ρ ΡΠΎΠ±ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ ΠΏΠΎ Π²Π΅ΡΡΠΈΠΊΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΎΡΠΈ.
Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ \(β2+3i\). ΠΠ΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½Π°Ρ ΡΠ°ΡΡΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π° ΡΠ°Π²Π½Π° \(β2\), Π° ΠΌΠ½ΠΈΠΌΠ°Ρ ΡΠ°ΡΡΡ ΡΠ°Π²Π½Π° \(3i\). ΠΡ ΡΡΡΠΎΠΈΠΌ ΡΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΎΡΠ΅Π½Π½ΡΡ ΠΏΠ°ΡΡ \((β2,3)\) Π΄Π»Ρ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π° \(β2+3i\), ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ Π½Π° ΡΠΈΡΡΠ½ΠΊΠ΅ \(\PageIndex{2}\)
Π ΠΈΡΡΠ½ΠΎΠΊ \( \PageIndex{2}\): ΠΡΠ°ΡΠΈΠΊ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π°, \(-2 + 3i\). ΠΠ±ΡΠ°ΡΠΈΡΠ΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, ΡΡΠΎ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½Π°Ρ ΡΠ°ΡΡΡ \((-2)\) ΠΎΡΠΊΠ»Π°Π΄ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΠΏΠΎ ΠΎΡΠΈ \(x\), Π° ΠΌΠ½ΠΈΠΌΠ°Ρ ΡΠ°ΡΡΡ \((3i)\) — ΠΏΠΎ ΠΎΡΠΈ \(y\).
Π‘Π»ΠΎΠΆΠ½Π°Ρ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΡ
ΠΠ° ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ Π³ΠΎΡΠΈΠ·ΠΎΠ½ΡΠ°Π»ΡΠ½Π°Ρ ΠΎΡΡ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠ΅Π°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΎΡΡΡ, Π° Π²Π΅ΡΡΠΈΠΊΠ°Π»ΡΠ½Π°Ρ ΠΎΡΡ β ΠΌΠ½ΠΈΠΌΠΎΠΉ ΠΎΡΡΡ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ Π½Π° ΡΠΈΡΡΠ½ΠΊΠ΅ \(\PageIndex{3}\).
Π ΠΈΡΡΠ½ΠΎΠΊ \(\PageIndex{3}\): ΠΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½Π°Ρ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΡ, ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°ΡΡΠ°Ρ, ΡΡΠΎ Π³ΠΎΡΠΈΠ·ΠΎΠ½ΡΠ°Π»ΡΠ½Π°Ρ ΠΎΡΡ (Π² ΡΠ΅Π°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ ΠΎΡΡ \(x\)) ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½Π° ΠΊΠ°ΠΊ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½Π°Ρ ΠΎΡΡ, Π° Π²Π΅ΡΡΠΈΠΊΠ°Π»ΡΠ½Π°Ρ ΠΎΡΡ (Π² ΡΠ΅Π°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ ΠΎΡΡ \(y\)) ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½Π° ΠΊΠ°ΠΊ Π²ΠΎΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ°Π΅ΠΌΠ°Ρ ΠΎΡΡ.
ΠΠ»Ρ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π° ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡ Π΅Π³ΠΎ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΡ Π½Π° ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ.
- ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΠΈ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡΡ ΡΠ°ΡΡΠΈ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π°.
- ΠΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅ΡΠ°ΠΉΡΠ΅ΡΡ ΠΏΠΎ Π³ΠΎΡΠΈΠ·ΠΎΠ½ΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΎΡΠΈ, ΡΡΠΎΠ±Ρ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΡ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΠ°ΡΡΡ ΡΠΈΡΠ»Π°.
- ΠΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½ΠΎ Π²Π΅ΡΡΠΈΠΊΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΎΡΠΈ Π΄Π»Ρ ΠΎΡΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΠΎΠΉ ΡΠ°ΡΡΠΈ ΡΠΈΡΠ»Π°.
- ΠΠ°Π½Π΅ΡΠΈΡΠ΅ ΡΠΎΡΠΊΡ.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ \(\PageIndex{2}\): ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π° Π½Π° ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ
ΠΠ°Π½Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π° \(3β4i\) Π½Π° ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΡ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΡ.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅
ΠΠ΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½Π°Ρ ΡΠ°ΡΡΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π° ΡΠ°Π²Π½Π° 3, Π° ΠΌΠ½ΠΈΠΌΠ°Ρ ΡΠ°ΡΡΡ ΡΠ°Π²Π½Π° \(β4i\). ΠΠ°Π½ΠΎΡΠΈΠΌ ΡΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΎΡΠ΅Π½Π½ΡΡ ΠΏΠ°ΡΡ \((3,β4)\), ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ Π½Π° ΡΠΈΡΡΠ½ΠΊΠ΅ \(\PageIndex{4}\).
Π ΠΈΡΡΠ½ΠΎΠΊ \(\PageIndex{4}\): ΠΡΠ°ΡΠΈΠΊ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π°, \(3 — 4i\). ΠΠ±ΡΠ°ΡΠΈΡΠ΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, ΡΡΠΎ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½Π°Ρ ΡΠ°ΡΡΡ \((3)\) ΠΎΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½Π° ΠΏΠΎ ΠΎΡΠΈ x, Π° ΠΌΠ½ΠΈΠΌΠ°Ρ ΡΠ°ΡΡΡ \((-4i)\) ΠΎΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½Π° ΠΏΠΎ ΠΎΡΠΈ y.
\(\PageIndex{2}\)
ΠΠΎΡΡΡΠΎΠΉΡΠ΅ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ \(β4βi\) Π½Π° ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ.
- ΠΡΠ²Π΅ΡΠΈΡΡ
Π ΠΈΡΡΠ½ΠΎΠΊ \(\PageIndex{5}\)
Π‘Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ Π²ΡΡΠΈΡΠ°Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π»
ΠΠ°ΠΊ ΠΈ Ρ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΡΠΈΡΠ»Π°ΠΌΠΈ, ΠΌΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½ΡΡΡ Π°ΡΠΈΡΠΌΠ΅ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΠΈ Π½Π°Π΄ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΡΠΈΡΠ»Π°ΠΌΠΈ. Π§ΡΠΎΠ±Ρ ΡΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΡ ΠΈΠ»ΠΈ Π²ΡΡΠ΅ΡΡΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π°, ΠΌΡ ΠΎΠ±ΡΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΡΠ΅ΠΌ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠ°ΡΡΠΈ ΠΈ ΠΎΠ±ΡΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΡΠ΅ΠΌ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡΠ΅ ΡΠ°ΡΡΠΈ.
ΠΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π°: ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ Π²ΡΡΠΈΡΠ°Π½ΠΈΠ΅
Π‘Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π»:
\[(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i\nonumber\]
ΠΡΡΠΈΡΠ°Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π»:
\[(a+bi)β(c+ di)=(aβc)+(bβd)i\nonumber\]
ΠΠ°Π½Ρ Π΄Π²Π° ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ»Π°, Π½Π°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ ΠΈΡ ΡΡΠΌΠΌΡ ΠΈΠ»ΠΈ ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΡ.
- ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΠΈ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡΡ ΡΠ°ΡΡΠΈ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π°.
- ΠΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΡΡ ΠΈΠ»ΠΈ Π²ΡΡΠ΅ΡΡΡ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠ°ΡΡΠΈ.
- Π‘Π»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅ ΠΈΠ»ΠΈ Π²ΡΡΡΠΈΡΠ΅ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡΠ΅ ΡΠ°ΡΡΠΈ.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ \(\PageIndex{3}\): Π΄ΠΎΠ±Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π»
ΠΠΎΠ±Π°Π²ΡΡΠ΅ \(3β4i\) ΠΈ \(2+5i\).
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅
Π‘ΠΊΠ»Π°Π΄ΡΠ²Π°Π΅ΠΌ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠ°ΡΡΠΈ ΠΈ ΡΠΊΠ»Π°Π΄ΡΠ²Π°Π΅ΠΌ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡΠ΅ ΡΠ°ΡΡΠΈ.
\[\begin{align} (a+bi)+(c+di)&=(a+c)+(b+d)i \nonumber\\ (3β4i)+(2+5i)& =(3+2)+(β4+5)i \Π½Π΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ\\ &=5+i \Π½Π΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ\ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ{Π²ΡΡΠ°Π²Π½ΠΈΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅}\Π½Π΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ\]
\(\PageIndex{3}\)
ΠΡΡΠ΅ΡΡΡ \( 2+5i\) ΠΈΠ· \(3β4i\). 2\) ΠΊΠ°ΠΊ \(-1\).
Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π° Π½Π° Π²Π΅ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ
ΠΠ°ΡΠ½Π΅ΠΌ Ρ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π° Π½Π° Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ. ΠΡ ΡΠ°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΠΌ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ ΡΠ°ΠΊ ΠΆΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ Π±ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅. Π’Π°ΠΊ, Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ,
Π ΠΈΡΡΠ½ΠΎΠΊ \(\PageIndex{6}\)
Π£ΡΠΈΡΡΠ²Π°Ρ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ ΠΈ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ, ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΡΡΠ΅ Π΅Π³ΠΎ, ΡΡΠΎΠ±Ρ Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅.
- ΠΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠΉΡΠ΅ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎ Π΄ΠΈΡΡΡΠΈΠ±ΡΡΠΈΠ²Π°.
- Π£ΠΏΡΠΎΡΡΠΈΡΡ.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ \(\PageIndex{4}\): ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π° Π½Π° Π²Π΅ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ
ΠΠ°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ \(4(2+5i).\)
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅
Π Π°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅ 4.
\ [\begin{align} 4(2+5i)&=(4β 2)+(4β 5i) \nonumber\\ &=8+20i \nonumber\end{align}\nonumber\]
\(\ PageIndex{4}\)
ΠΠ°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ \(β4(2+6i)\).
- ΠΡΠ²Π΅ΡΠΈΡΡ
\(β8β24i\)
Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π» 92\Π½ΠΎΠΌΠ΅Ρ\\ &=(8+15)+(-20+6)i \Π½Π΅Π½ΠΎΠΌΠ΅Ρ\\ &=23-14i \Π½Π΅Π½ΠΎΠΌΠ΅Ρ\ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ{Π²ΡΡΠ°Π²Π½ΠΈΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅}\Π½Π΅Π½ΠΎΠΌΠ΅Ρ\]
\(\PageIndex{5}\ )
Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΡ \((3β4i)(2+3i)\).
- ΠΡΠ²Π΅ΡΠΈΡΡ
\(18+Ρ\)
ΠΠ΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π»
ΠΠ΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π» ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½Π΅Π΅, ΡΠ΅ΠΌ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, Π²ΡΡΠΈΡΠ°Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ ΡΡΠ°Π½Π΄Π°ΡΡΠ½Π°Ρ ΡΠΎΡΠΌΠ° ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π° Π½Π΅ Π΄ΠΎΠΏΡΡΠΊΠ°Π΅Ρ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π° Π² Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°ΡΠ΅Π»Π΅. Β«ΠΠ΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅Β» ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π» ΠΏΡΠ΅Π²ΡΠ°ΡΠ°Π΅ΡΡΡ Π² Π·Π°Π΄Π°ΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΏΠΈΡΠ°ΡΡ Π΄ΡΠΎΠ±Ρ ΡΠ°ΠΊ, ΡΡΠΎΠ±Ρ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°Ρ Π±ΡΠ» Π² ΡΡΠ°Π½Π΄Π°ΡΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΌΠ΅. ΠΠ°ΠΌ Π½ΡΠΆΠ΅Π½ ΡΠ»Π΅Π½, Π½Π° ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΉ ΠΌΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΡ ΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°ΡΠ΅Π»Ρ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΉ ΠΈΡΠΊΠ»ΡΡΠΈΡ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡΡ ΡΠ°ΡΡΡ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°ΡΠ΅Π»Ρ. ΠΡΠΎΡ ΡΠ΅ΡΠΌΠΈΠ½ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΎΠΏΡΡΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°ΡΠ΅Π»Ρ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ΅ Π½Π°Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ ΠΏΡΠΈ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ Π·Π½Π°ΠΊΠ° ΠΌΠ½ΠΈΠΌΠΎΠΉ ΡΠ°ΡΡΠΈ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π°. ΠΡΡΠ³ΠΈΠΌΠΈ ΡΠ»ΠΎΠ²Π°ΠΌΠΈ, ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΎΠΏΡΡΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ \(a+bi\) ΡΠ°Π²Π½ΠΎ \(aβbi\).
ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅: ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΎΠΏΡΡΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅
ΠΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΎΠΏΡΡΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π° \(a+bi\) ΡΠ°Π²Π½ΠΎ \(aβbi\). ΠΠ³ΠΎ Π½Π°Ρ ΠΎΠ΄ΡΡ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π·Π½Π°ΠΊΠ° ΠΌΠ½ΠΈΠΌΠΎΠΉ ΡΠ°ΡΡΠΈ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π°. ΠΠ΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½Π°Ρ ΡΠ°ΡΡΡ ΡΠΈΡΠ»Π° ΠΎΡΡΠ°Π΅ΡΡΡ Π½Π΅ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ.
- ΠΠΎΠ³Π΄Π° ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Π΅ΡΡΡ Π½Π° Π΅Π³ΠΎ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎ-ΡΠΎΠΏΡΡΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠ΅, ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΠΎΠΌ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ: \((a+bi)(a-bi)=a^2+b^2\).
- ΠΠΎΠ³Π΄Π° ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ Π΄ΠΎΠ±Π°Π²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΊ Π΅Π³ΠΎ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎ-ΡΠΎΠΏΡΡΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠΌΡ, ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΠΎΠΌ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ: \((a+bi) +(a-bi)=2a\).
ΠΠ±ΡΠ°ΡΠΈΡΠ΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, ΡΡΠΎ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎ-ΡΠΎΠΏΡΡΠΆΠ΅Π½Π½ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π° ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΡΡ ΡΠ²ΡΠ·Ρ: ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎ-ΡΠΎΠΏΡΡΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ \(a+bi\) ΡΠ°Π²Π½ΠΎ \(aβbi\), Π° ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎ-ΡΠΎΠΏΡΡΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ \(aβbi\) ΡΠ°Π²Π½ΠΎ \(a+bi\ ). ΠΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ°Π½ΠΈΠ΅: ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΡ ΡΠ²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ Π² ΡΠ°Π·Π΄Π΅Π»Π΅ 3.2, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΠ°ΠΌΠΈ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ, ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π²ΡΠ΅Π³Π΄Π° ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎ ΡΠΎΠΏΡΡΠΆΠ΅Π½Ρ Π΄ΡΡΠ³ Π΄ΡΡΠ³Ρ.
ΠΡΠ΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ, ΠΌΡ Ρ ΠΎΡΠΈΠΌ ΡΠ°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡΡ \(c+di\) Π½Π° \(a+bi\), Π³Π΄Π΅ Π½ΠΈ a, Π½ΠΈ \(b\) Π½Π΅ ΡΠ°Π²Π½Ρ Π½ΡΠ»Ρ. Π‘Π½Π°ΡΠ°Π»Π° Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ΅ΠΌ Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ Π΄ΡΠΎΠ±ΠΈ, Π·Π°ΡΠ΅ΠΌ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎ-ΡΠΎΠΏΡΡΠΆΠ΅Π½Π½ΡΡ ΡΠ°ΡΡΡ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°ΡΠ΅Π»Ρ ΠΈ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠΌ. 92}\nonumber\]
Β
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ \(\PageIndex{6}\): ΠΠΎΠΈΡΠΊ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎ-ΡΠΎΠΏΡΡΠΆΠ΅Π½Π½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π»
ΠΠ°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎ-ΡΠΎΠΏΡΡΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π°.
- \(2+i\sqrt{5}\)
- \(β\frac{1}{2}i\)
Π Π°ΡΡΠ²ΠΎΡ
Π°. Π§ΠΈΡΠ»ΠΎ ΡΠΆΠ΅ Π½Π°Ρ
ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ Π² ΡΠΎΡΠΌΠ΅ \(a+bi\). ΠΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΎΠΏΡΡΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ°Π²Π½ΠΎ \(aβbi\) ΠΈΠ»ΠΈ \(2βi\sqrt{5}\).
Π±. ΠΠ΅ΡΠ΅ΠΏΠΈΡΠΈΡΠ΅ ΡΡΠΎ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ \(a+bi\), ΡΡΠΎΠ±Ρ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΡ \(0β\frac{1}{2}i\). ΠΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΎΠΏΡΡΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ°Π²Π½ΠΎ \(aβbi\) ΠΈΠ»ΠΈ \(0-(-\frac{1}{2}i)\), ΡΡΠΎ ΡΠΏΡΠΎΡΠ°Π΅ΡΡΡ Π΄ΠΎ \(0+\frac{1}{2}i\) . ΠΠ±ΡΡΠ½ΠΎ ΡΡΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΠΏΡΠΎΡΡΠΎ ΠΊΠ°ΠΊ \(\frac{1}{2}i\).
ΠΠ°Π½Ρ Π΄Π²Π° ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ»Π°, ΡΠ°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ Π½Π° Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠ΅.
- ΠΠ°ΠΏΠΈΡΠΈΡΠ΅ Π·Π°Π΄Π°ΡΡ Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ Π΄ΡΠΎΠ±ΠΈ.
- ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΎΠΏΡΡΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°ΡΠ΅Π»Ρ.
- Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΡ ΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°ΡΠ΅Π»Ρ Π΄ΡΠΎΠ±ΠΈ Π½Π° ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΎΠΏΡΡΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°ΡΠ΅Π»Ρ.
- Π£ΠΏΡΠΎΡΡΠΈΡΡ.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ \(\PageIndex{7}\): Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π»
Π Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅ \((2+5i)\) Π½Π° \((4βi)\).
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅
ΠΠ°ΡΠ½Π΅ΠΌ Ρ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠΈ Π·Π°Π΄Π°ΡΠΈ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ Π΄ΡΠΎΠ±ΠΈ.
\[\dfrac{(2+5i)}{(4βi)}\nonumber\]
Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Π΅ΠΌ ΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°ΡΠ΅Π»Ρ Π½Π° ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΎΠΏΡΡΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°ΡΠ΅Π»Ρ.
\[\dfrac{(2+5i)}{(4βi)}{\cdot}\dfrac{(4+i)}{(4+i)}\nonumber\]
Π§ΡΠΎΠ±Ρ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΡ Π΄Π²Π° ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡΡ
ΡΠΈΡΠ΅Π», ΠΌΡ ΡΠ°ΡΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ Π΅ΡΠ»ΠΈ Π±Ρ ΠΌΡ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π»ΠΈ Π±ΠΈΠ½ΠΎΠΌΡ (ΠΏΡΠΎΡΠ΅ΡΡ, ΠΎΠ±ΡΡΠ½ΠΎ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΠΌΡΠΉ FOIL). 2=-1$}\\ &=\dfrac{3+22i}{17} \\ &=\dfrac{3}{17}+\dfrac{22} {17}i & & \text{Π Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡΡ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΠΈ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡΡ ΡΠ°ΡΡΠΈ.} \end{align*}\]
ΠΠ±ΡΠ°ΡΠΈΡΠ΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, ΡΡΠΎ ΡΡΠΎ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ°Π΅Ρ ΡΠ°ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ Π² ΡΡΠ°Π½Π΄Π°ΡΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΌΠ΅.
ΠΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΉ ΠΊΡΠ΅Π΄ΠΈΡ : ΠΡ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Π΅ΠΌ ΠΈΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΡΡ Π΄ΡΠΎΠ±Ρ Π½Π° \(\frac{4+i}{4+i}\). (a) ΠΠ°ΠΊΠΎΠ²ΠΎ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ \(\frac{4+i}{4+i}\)? (b) ΠΠ±ΡΡΡΠ½ΠΈΡΠ΅ Π²Π°ΠΆΠ½ΠΎΡΡΡ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π² ΠΏΡΠΎΡΠ΅ΡΡΠ΅ Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π». ΠΠ°ΠΏΠΈΡΠΈΡΠ΅ ΡΡΠΎ ΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π΄Π°ΠΉΡΠ΅ ΡΠ²ΠΎΠ΅ΠΌΡ ΠΈΠ½ΡΡΡΡΠΊΡΠΎΡΡ Π΄Π»Ρ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ Π±Π°Π»Π»ΠΎΠ².
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ \(\PageIndex{8}\): ΠΏΠΎΠ΄ΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΊΠ° ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π° Π² ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ 92β3x\). ΠΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΠ΅ \(f(8βi)\).
- ΠΡΠ²Π΅ΡΠΈΡΡ
\(102β29i\)
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ \(\PageIndex{9}\): Π·Π°ΠΌΠ΅Π½Π° ΠΌΠ½ΠΈΠΌΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π° Π² ΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ
ΠΡΡΡΡ \(f(x)=\frac{2+x}{x+3}\). ΠΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΠ΅ \(f(10i)\).
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅
ΠΠΎΠ΄ΡΡΠ°Π²ΡΡΠ΅ \(x=10i\) ΠΈ ΡΠΏΡΠΎΡΡΠΈΡΠ΅. 2}{92$.}\\[5pt] &\dfrac{106+10i}{109} & & \text{Π£ΠΏΡΠΎΡΡΠΈΡΡ.}\\[5pt] &\dfrac{106}{109}+\dfrac{10}{109 } & & \text{Π Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΠΈ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡΡ ΡΠ°ΡΡΠΈ.} \end{align*}\]
\(\PageIndex{7}\)
ΠΡΡΡΡ \(f(x)=\frac{x+1} {Ρ β4}\). ΠΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΠ΅ \(f(βi)\).
- ΠΡΠ²Π΅ΡΠΈΡΡ
\(β\frac{3}{17}+\frac{5i}{17}\)
Π£ΠΏΡΠΎΡΠ°ΡΡΠΈΠ΅ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ \(i\)
Π‘ΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ \(i\) ΡΠΈΠΊΠ»ΠΈΡΠ½Ρ. ΠΠ°Π²Π°ΠΉΡΠ΅ ΠΏΠΎΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·ΠΎΠΉΠ΄Π΅Ρ, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΌΡ ΠΏΠΎΠ΄Π½ΠΈΠΌΠ΅ΠΌ 9.{19}\)
ΠΠ»ΡΡΠ΅Π²ΡΠ΅ ΠΏΠΎΠ½ΡΡΠΈΡ
- ΠΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΡΠΉ ΠΊΠΎΡΠ΅Π½Ρ ΠΈΠ· Π»ΡΠ±ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π° ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Π½ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΊΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠ΅ \(i\).
- Π§ΡΠΎΠ±Ρ ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠΈΡΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ, ΠΌΡ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΠΌ Π΄Π²Π΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎΠ²ΡΠ΅ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅ΠΊΠ°ΡΡΡΡ, ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΡΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΡ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΡ. ΠΠΎΡΠΈΠ·ΠΎΠ½ΡΠ°Π»ΡΠ½Π°Ρ ΠΎΡΡ β ΡΡΠΎ ΡΠ΅Π°Π»ΡΠ½Π°Ρ ΠΎΡΡ, Π° Π²Π΅ΡΡΠΈΠΊΠ°Π»ΡΠ½Π°Ρ ΠΎΡΡ β Π²ΠΎΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ°Π΅ΠΌΠ°Ρ ΠΎΡΡ.
- ΠΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π° ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠΊΠ»Π°Π΄ΡΠ²Π°ΡΡ ΠΈ Π²ΡΡΠΈΡΠ°ΡΡ, ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½ΠΈΡΡΡ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠ°ΡΡΠΈ ΠΈ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½ΠΈΡΡΡ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡΠ΅ ΡΠ°ΡΡΠΈ.
- ΠΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π° ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°ΡΡ ΠΈ Π΄Π΅Π»ΠΈΡΡ.
- Π§ΡΠΎΠ±Ρ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π°, ΡΠ°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅ ΡΠ°ΠΊ ΠΆΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½Ρ.
- Π§ΡΠΎΠ±Ρ ΡΠ°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π°, ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΡΡΠ΅ ΠΈ ΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ, ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°ΡΠ΅Π»Ρ Π½Π° ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΎΠΏΡΡΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°ΡΠ΅Π»Ρ, ΡΡΠΎΠ±Ρ ΠΈΡΠΊΠ»ΡΡΠΈΡΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ ΠΈΠ· Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°ΡΠ΅Π»Ρ.
- Π‘ΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ \(i\) ΡΠΈΠΊΠ»ΠΈΡΠ½Ρ, ΠΏΠΎΠ²ΡΠΎΡΡΡ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΡΡ ΡΠ΅ΡΠ²Π΅ΡΡΡΡ.
ΠΠ»ΠΎΡΡΠ°ΡΠΈΠΉ
ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΎΠΏΡΡΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅
ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ, Π² ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΌ Π·Π½Π°ΠΊ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΠΎΠΉ ΡΠ°ΡΡΠΈ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½, Π° Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½Π°Ρ ΡΠ°ΡΡΡ ΡΠΈΡΠ»Π° ΠΎΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Π° ββΠ±Π΅Π· ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ; ΠΏΡΠΈ Π΄ΠΎΠ±Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΈΠ»ΠΈ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π½Π° ΠΈΡΡ
ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ΅ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΠΎΠΌ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ
ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ
ΡΡΠΌΠΌΠ° Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ΅Π», Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Π½Π½Π°Ρ Π² ΡΡΠ°Π½Π΄Π°ΡΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΌΠ΅
\(a+bi\) (\(a,b \in \mathbb{R}\)),
Π³Π΄Π΅ \(a\) β Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½Π°Ρ ΡΠ°ΡΡΡ, Π° \(bi\) β ΠΌΠ½ΠΈΠΌΠ°Ρ ΡΠ°ΡΡΡ
ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½Π°Ρ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΡ
ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ° ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ, Π² ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ Π³ΠΎΡΠΈΠ·ΠΎΠ½ΡΠ°Π»ΡΠ½Π°Ρ ΠΎΡΡ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΡΡΡ Π΄Π»Ρ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠ°ΡΡΠΈ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π°, Π° Π²Π΅ΡΡΠΈΠΊΠ°Π»ΡΠ½Π°Ρ ΠΎΡΡ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΡΡΡ Π΄Π»Ρ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΠΎΠΉ ΡΠ°ΡΡΠΈ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π°
ΠΌΠ½ΠΈΠΌΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π°
ΡΠΈΡΠ»ΠΎ Π² ΡΠΎΡΠΌΠ΅ \(bi\), Π³Π΄Π΅ \(i=\sqrt{β1}\)
ΠΠ²ΡΠΎΡΡ
ΠΡΠ° ΡΡΡΠ°Π½ΠΈΡΠ° ΠΏΠΎΠ΄ Π½Π°Π·Π²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ 3. 1: ΠΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π° ΡΠ°ΡΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΠΎΠ΄ Π»ΠΈΡΠ΅Π½Π·ΠΈΠ΅ΠΉ CC BY-NC-SA 4.0 ΠΈ Π±ΡΠ»Π° ΡΠΎΠ·Π΄Π°Π½Π°, ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½Π° ΠΈ/ΠΈΠ»ΠΈ ΠΊΡΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½Π° OpenStax.
- ΠΠ°Π²Π΅ΡΡ
- ΠΡΠ»Π° Π»ΠΈ ΡΡΠ° ΡΡΠ°ΡΡΡ ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π½ΠΎΠΉ?
- Π’ΠΈΠΏ ΠΈΠ·Π΄Π΅Π»ΠΈΡ
- Π Π°Π·Π΄Π΅Π» ΠΈΠ»ΠΈ Π‘ΡΡΠ°Π½ΠΈΡΠ°
- ΠΠ²ΡΠΎΡ
- ΠΠΏΠ΅Π½Π‘ΡΠ°ΠΊΡ
- ΠΠΈΡΠ΅Π½Π·ΠΈΡ
- CC BY-NC-SA
- ΠΠ΅ΡΡΠΈΡ Π»ΠΈΡΠ΅Π½Π·ΠΈΠΈ
- 4,0
- ΠΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΡ ΡΡΡΠ°Π½ΠΈΡΡ TOC
- Π΄Π°
- ΠΠΊΠ»ΡΡΠ΅Π½ΠΎ
- Π΄Π°
- Π’Π΅Π³ΠΈ
- ΡΠ°ΡΡΠ΅Ρ: Π΄Π°
- ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎ-ΡΠΎΠΏΡΡΠΆΠ΅Π½Π½ΡΠΉ
- ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΠΉ Π½ΠΎΠΌΠ΅Ρ
- ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡΠΉ ΡΠ°ΠΌΠΎΠ»Π΅Ρ
- ΠΠΎΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ°Π΅ΠΌΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ
- Π²ΠΎΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ°Π΅ΠΌΠ°Ρ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ°
python — ΠΠ°ΠΊ ΡΡΡΠΎΠΈΡΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π° (Π΄ΠΈΠ°Π³ΡΠ°ΠΌΠΌΠ° ΠΡΠ³Π°Π½Π΄Π°) Ρ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ matplotlib
ΠΠΎΠΏΡΠΎΡ Π·Π°Π΄Π°Π½
ΠΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΎ 2 Π³ΠΎΠ΄Π°, 11 ΠΌΠ΅ΡΡΡΠ΅Π² Π½Π°Π·Π°Π΄
ΠΡΠΎΡΠΌΠΎΡΡΠ΅Π½ΠΎ 71k ΡΠ°Π·
21
ΠΠΎΠ²ΠΈΠ½ΠΊΠ°! Π‘ΠΎΡ
ΡΠ°Π½ΡΠΉΡΠ΅ Π²ΠΎΠΏΡΠΎΡΡ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΎΡΠ²Π΅ΡΡ ΠΈ ΠΎΡΠ³Π°Π½ΠΈΠ·ΡΠΉΡΠ΅ ΡΠ²ΠΎΠΉ Π»ΡΠ±ΠΈΠΌΡΠΉ ΠΊΠΎΠ½ΡΠ΅Π½Ρ.
Π£Π·Π½Π°ΡΡ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠ΅.
Π― Ρ ΠΎΡΡ ΡΠΎΠ·Π΄Π°ΡΡ Π΄ΠΈΠ°Π³ΡΠ°ΠΌΠΌΡ ΠΡΠ³Π°Π½Π΄Π° ΠΈΠ· Π½Π°Π±ΠΎΡΠ° ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π», ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡ matplotlib.
ΠΠ·ΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ LeonardoG, CC-SA-3.0
- python
- numpy
- matplotlib
- plot
- ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π°
Π― Π½Π΅ ΡΠΎΠ²ΡΠ΅ΠΌ ΡΠ²Π΅ΡΠ΅Π½, ΡΡΠΎ Π²Ρ Π·Π΄Π΅ΡΡ ΠΈΡΠ΅ΡΠ΅… Ρ Π²Π°Ρ Π΅ΡΡΡ Π½Π°Π±ΠΎΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π», ΠΈ Π²Ρ Ρ ΠΎΡΠΈΡΠ΅ ΠΎΡΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΈΡΡ ΠΈΡ Π½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡ ΠΈΡ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΠ°ΡΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ x ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ° ΠΈ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΠ°Ρ ΡΠ°ΡΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ y?
ΠΡΠ»ΠΈ ΡΡΠΎ ΡΠ°ΠΊ, Π²Ρ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΡΠ΅ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΡ ΡΠ΅Π°Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΠ°ΡΡΡ Π»ΡΠ±ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π° Python Ρ number.real
ΠΈ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡΡ ΡΠ°ΡΡΡ Ρ number.imag
. ΠΡΠ»ΠΈ Π²Ρ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΡΠ΅ numpy, ΠΎΠ½ ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΎΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ΅Ρ Π½Π°Π±ΠΎΡ Π²ΡΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ
ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ numpy.real ΠΈ numpy.imag ΠΈ Ρ. Π΄., ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ°ΡΡ Ρ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²Π°ΠΌΠΈ numpy.
ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, Π΅ΡΠ»ΠΈ Ρ Π²Π°Ρ Π΅ΡΡΡ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ² ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π», Ρ ΡΠ°Π½ΡΡΠΈΠΉΡΡ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎ ΡΠ°ΠΊ:
Π [13]: a = n.arange(5) + 1j*n.arange(6,11) Π [14]: Π° Out[14]: array([ 0. +6.j, 1. +7.j, 2. +8.j, 3. +9.j, 4.+10.j])
…Π²Ρ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΡΠ΅ ΠΏΡΠΎΡΡΠΎ ΡΠ΄Π΅Π»Π°ΡΡ
Π [15]: fig,ax = subplots() Π [16]: ax.scatter(a.real,a.imag)
ΠΡΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ°Π΅Ρ ΡΠΎΡΠΊΠΈ Π½Π° Π΄ΠΈΠ°Π³ΡΠ°ΠΌΠΌΠ΅ ΠΡΠ³Π°Π½Π° Π΄Π»Ρ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠΈ.
ΡΠ΅Π΄Π°ΠΊΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅: Π΄Π»Ρ ΡΠ°ΡΡΠΈ ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½ΠΈΡ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠ° Π²Ρ, ΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎ, Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ ΠΈΠΌΠΏΠΎΡΡΠΈΡΠΎΠ²Π°ΡΡ matplotlib.pyplot ΡΠ΅ΡΠ΅Π· ΠΈΠ· matplotlib.pyplot import *
ΠΈΠ»ΠΈ (ΠΊΠ°ΠΊ Ρ ΡΠ΄Π΅Π»Π°Π») ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡ ΠΎΠ±ΠΎΠ»ΠΎΡΠΊΡ ipython Π² ΡΠ΅ΠΆΠΈΠΌΠ΅ pylab.
1
Π§ΡΠΎΠ±Ρ ΠΏΡΠΎΠ΄ΠΎΠ»ΠΆΠΈΡΡ ΠΎΡΠ²Π΅Ρ @inclement; ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠ°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΡΠΎΠ·Π΄Π°Π΅Ρ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ ΠΡΠ³Π°Π½Π°, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΉ ΡΠ΅Π½ΡΡΠΈΡΡΠ΅ΡΡΡ Π²ΠΎΠΊΡΡΠ³ 0,0 ΠΈ ΠΌΠ°ΡΡΡΠ°Π±ΠΈΡΡΠ΅ΡΡΡ Π΄ΠΎ ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π² Π½Π°Π±ΠΎΡΠ΅ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π».
Π― ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π» ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½ΠΈΡ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠ° ΠΈ ΡΠΊΠ°Π·Π°Π» ΡΠΏΠ»ΠΎΡΠ½ΡΠ΅ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ ΠΎΡ (0,0). ΠΡ
ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ΄Π°Π»ΠΈΡΡ, Π·Π°ΠΌΠ΅Π½ΠΈΠ² ro-
Π½Π° ro
.
ΠΏΠΎ Π°ΡΠ³Π°Π½Ρ(Π°): ΠΈΠΌΠΏΠΎΡΡΠΈΡΠΎΠ²Π°ΡΡ matplotlib.pyplot ΠΊΠ°ΠΊ plt ΠΈΠΌΠΏΠΎΡΡΠΈΡΠΎΠ²Π°ΡΡ numpy ΠΊΠ°ΠΊ np Π΄Π»Ρ x Π² Π΄ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½Π΅ (len (a)): plt.plot([0,a[x].real],[0,a[x].imag],'ro-',label='python') limit=np.max(np.ceil(np.absolute(a))) # ΡΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΈΡΡ ΠΎΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π΄Π»Ρ ΠΎΡΠΈ plt.xlim((-Π»ΠΈΠΌΠΈΡ,Π»ΠΈΠΌΠΈΡ)) plt.ylim((-Π»ΠΈΠΌΠΈΡ,Π»ΠΈΠΌΠΈΡ)) plt.ylabel('ΠΠΎΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ°Π΅ΠΌΡΠΉ') plt.xlabel('ΠΠ°ΡΡΠΎΡΡΠΈΠΉ') plt.show()
ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ:
>>> a = n.arange(5) + 1j*n.arange(6,11) >>> ΠΈΠ· Π°ΡΠ³Π°Π½Π° ΠΈΠΌΠΏΠΎΡΡΠΈΡΠΎΠ²Π°ΡΡ Π°ΡΠ³Π°Π½ >>> Π°ΡΠ³Π°Π½(Π°)
ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄ΠΈΡ:
Π ΠΠΠΠΠ’ΠΠ ΠΠΠΠ’Π¬:
Π― ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΡΡΠΎ ΠΏΠΎΠ½ΡΠ», ΡΡΠΎ Π΅ΡΡΡ ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠ° ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ½ΡΡ
:
Π΄Π»Ρ x Π² a: plt.polar([0,ΡΠ³ΠΎΠ»(Ρ )],[0,Π°Π±Ρ(Ρ )],ΠΌΠ°ΡΠΊΠ΅Ρ='o')
2
ΠΡΠ»ΠΈ Π²Ρ ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΏΠΎΡΠΈΡΠ°Π΅ΡΠ΅ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ, ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½ΡΠΉ ΠΏΡΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠΌΡ Π½ΠΈΠΆΠ΅
ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΡΠΈΠΏ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠ°
ΠΈΠ»ΠΈ ΡΡΠΎΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡΠ΅ΠΊΡΠ½Π΄Π½ΡΠΉ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ
Π²Ρ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΡΠ΅ ΡΠ΄Π΅Π»Π°ΡΡ ΡΡΠΎ ΠΏΡΠΎΡΡΠΎ Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ ΡΡΠΈΡ Π΄Π²ΡΡ ΡΡΡΠΎΠΊ (Π² ΠΊΠ°ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ° Π΄Π»Ρ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠΎΠ² Π²ΡΡΠ΅):
z=[20+10j,15,-10-10j,5+15j] # ΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ² ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ complex_plane2(z,1) # Π²ΡΠ·ΡΠ²Π°Π΅ΠΌΠ°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ
Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ ΠΏΡΠΎΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠΎΠ΄Π° jupyter ΠΎΡΡΡΠ΄Π°
https://github. com/osnove/other/blob/master/complex_plane.py
Π― Π½Π°ΠΏΠΈΡΠ°Π» ΡΡΠΎ Π΄Π»Ρ ΡΠ²ΠΎΠΈΡ ΡΠ΅Π»Π΅ΠΉ. ΠΡΠ΅ Π»ΡΡΡΠ΅, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΡΡΠΎ ΠΏΠΎΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π΄ΡΡΠ³ΠΈΠΌ.
ΠΈΠΌΠΏΠΎΡΡΠΈΡΠΎΠ²Π°ΡΡ matplotlib.pyplot ΠΊΠ°ΠΊ plt ΠΈΠ· ΠΈΠΌΠΏΠΎΡΡΠ° numpy * ''' ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~` ΠΡΠΎ ΡΠΈΡΡΠ΅Ρ ΠΎΡΡ Π΄Π»Ρ Π΄ΠΈΠ°Π³ΡΠ°ΠΌΠΌΡ ΠΡΠ³Π°Π½Π° ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~` ''' Ρ = 1 Y = [r*exp(1j*theta) Π΄Π»Ρ ΡΠ΅ΡΠ° Π² linspace(0,2*pi, 200)] Y = ΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ² (Y) plt.plot (ΡΠ΅Π°Π»ΡΠ½ΡΠΉ (Y), ΠΎΠ±ΡΠ°Π· (Y), 'r') plt.ylabel('ΠΠΎΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ°Π΅ΠΌΡΠΉ') plt.xlabel('ΠΠ°ΡΡΠΎΡΡΠΈΠΉ') plt.axhline(y=0,color='ΡΠ΅ΡΠ½ΡΠΉ') plt.axvline(x=0, ΡΠ²Π΅Ρ='ΡΠ΅ΡΠ½ΡΠΉ') Π΄Π΅Ρ Π°ΡΠ³Π°Π½Π΄ (complex_number): ''' ΠΡΠ° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΏΡΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ. ''' Ρ = ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ΅_ΡΠΈΡΠ»ΠΎ x1,y1 = [0,Π²Π΅ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅(y)], [0, imag(y)] x2,y2 = [Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ (y), Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ (y)], [0, imag (y)] plt.plot(x1,y1, 'r') # Π ΠΈΡΡΠ΅ΠΌ Π³ΠΈΠΏΠΎΡΠ΅Π½ΡΠ·Ρ plt.plot(x2,y2, 'r') # Π ΠΈΡΡΠ΅ΠΌ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΡ Π½Π° Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΠΎΡΡ plt.plot (ΡΠ΅Π°Π»ΡΠ½ΡΠΉ (Ρ), ΠΎΠ±ΡΠ°Π· (Ρ), 'Π±ΠΎ') [argand(r*exp(1j*theta)) Π΄Π»Ρ ΡΠ΅ΡΠ° Π² linspace(0,2*pi,100)] plt.show()
https://github. com/QuantumNovice/Matplotlib-Argand-Diagram/blob/master/argand.py
ΠΠ°ΡΠ΅Π³ΠΈΡΡΡΠΈΡΡΠΉΡΠ΅ΡΡ ΠΈΠ»ΠΈ Π²ΠΎΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ Π² ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ
ΠΠ°ΡΠ΅Π³ΠΈΡΡΡΠΈΡΡΠΉΡΠ΅ΡΡ Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ Google
ΠΠ°ΡΠ΅Π³ΠΈΡΡΡΠΈΡΠΎΠ²Π°ΡΡΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· Facebook
ΠΠ°ΡΠ΅Π³ΠΈΡΡΡΠΈΡΡΠΉΡΠ΅ΡΡ, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡ ΡΠ»Π΅ΠΊΡΡΠΎΠ½Π½ΡΡ ΠΏΠΎΡΡΡ ΠΈ ΠΏΠ°ΡΠΎΠ»Ρ
ΠΠΏΡΠ±Π»ΠΈΠΊΠΎΠ²Π°ΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ Π³ΠΎΡΡΡ
ΠΠ»Π΅ΠΊΡΡΠΎΠ½Π½Π°Ρ ΠΏΠΎΡΡΠ°
ΠΠ±ΡΠ·Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, Π½ΠΎ Π½Π΅ ΠΎΡΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ°Π΅ΡΡΡ
ΠΠΏΡΠ±Π»ΠΈΠΊΠΎΠ²Π°ΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ Π³ΠΎΡΡΡ
ΠΠ»Π΅ΠΊΡΡΠΎΠ½Π½Π°Ρ ΠΏΠΎΡΡΠ°
Π’ΡΠ΅Π±ΡΠ΅ΡΡΡ, Π½ΠΎ Π½Π΅ ΠΎΡΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ°Π΅ΡΡΡ
ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½Π°Ρ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΡ, ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ Π²ΡΡΠΈΡΠ°Π½ΠΈΠ΅
ΠΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π°: ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½Π°Ρ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΡ, ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ Π²ΡΡΠΈΡΠ°Π½ΠΈΠ΅ ΠΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ ΠΠ°ΡΡΡ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π» ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΡΡ ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΡ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΡ, ΠΌΡ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ, ΡΡΠΎ Π²ΡΠ΅ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π° ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ Π²ΠΈΠ΄ x Β +Β yi, , Π³Π΄Π΅ x ΠΈ y β Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π°, Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π° β Π²ΡΠ΅ ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π°, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΌΠΈ, ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΠΈΠ»ΠΈ Π½ΡΠ»Π΅Π²ΡΠΌΠΈ.
ΠΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅.
Π‘ΡΠ°Π½Π΄Π°ΡΡΠ½ΡΠΉ ΡΠΈΠΌΠ²ΠΎΠ» Π΄Π»Ρ Π½Π°Π±ΠΎΡΠ° Π²ΡΠ΅Ρ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π» β C , ΠΈ ΠΌΡ ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ Π±ΡΠ΄Π΅ΠΌ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°ΡΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΡ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ C . ΠΡ ΠΏΠΎΠΏΡΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡ x ΠΈ y Π΄Π»Ρ Π²Π΅ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΡΡ
ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΡ
ΠΈ z ΠΈ z Π΄Π»Ρ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΡ
ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΡ
. ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ z Β =Β x Β +Β yi ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°ΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡΡΡΠ΅Π΅, ΡΡΠΎ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ z β ΡΡΠΎ ΡΡΠΌΠΌΠ° Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π° x ΠΈ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π° y , ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π½Π° i. In general, the x part of a complex number z Β =Β x Β +Β yi is called the real part of z , while y is called the imaginary part of z . (ΠΠ½ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΠΎΠΉ ΡΠ°ΡΡΡΡ.)
ΠΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΡ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΠΌ xy -ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΡ Π΄Π»Ρ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ C , ΠΌΡ Π±ΡΠ΄Π΅ΠΌ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡ ΠΎΡΡ x ΡΠ΅Π°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΎΡΡΡ , ΠΈ ΠΎΡΡ y ΠΌΡ Π±ΡΠ΄Π΅ΠΌ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΠΎΠΉ ΠΎΡΡΡ.
ΠΠ΅ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π° ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ ΡΠ°ΡΡΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²Π°ΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠ»ΡΡΠ°ΠΈ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π»; ΡΡΠΎ ΠΏΡΠΎΡΡΠΎ ΡΠΈΡΡΡ x Β +Β yi , ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° y ΡΠ°Π²Π½ΠΎ 0, ΡΠΎ Π΅ΡΡΡ ΡΡΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π° Π½Π° Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΎΡΠΈ. ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ 2 ΡΠ°Π²Π½ΠΎ 2Β +Β 0Β , Ρ.Π΅. Π§ΠΈΡΠ»Π° Π½Π° ΠΌΠ½ΠΈΠΌΠΎΠΉ ΠΎΡΠΈ ΠΈΠ½ΠΎΠ³Π΄Π° Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡ ΡΠΈΡΡΠΎ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π°.
ΠΡΠΈΡΠΌΠ΅ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΠΈ Π½Π°Π΄
C ΠΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΠΈ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΈ Π²ΡΡΠΈΡΠ°Π½ΠΈΡ ΠΏΠΎΠ½ΡΡΠ½Ρ. Π§ΡΠΎΠ±Ρ ΡΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΡ ΠΈΠ»ΠΈ Π²ΡΡΠ΅ΡΡΡ Π΄Π²Π° ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ»Π°, ΠΏΡΠΎΡΡΠΎ ΡΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅ ΠΈΠ»ΠΈ Π²ΡΡΡΠΈΡΠ΅ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠΈΠ΅ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΈ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡΠ΅ ΡΠ°ΡΡΠΈ. ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, ΡΡΠΌΠΌΠ° 5 + 3 i ΠΈ 4 + 2 i ΡΠ°Π²Π½Π° 9 + 5 i. ΠΠΎ-Π²ΡΠΎΡΡΡ , ΡΡΠΌΠΌΠ° 3Β +Β i ΠΈ 1 +Β 2 i ΡΠ°Π²Π½Π° 2Β +Β 3 i. ΠΠΎΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΎ Π³ΡΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈ Π½Π° ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ C . ΠΠΎΠ·ΡΠΌΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄Π½ΠΈΠΉ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ. ΠΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ z Β =Β 3Β +Β i ΡΠ°ΡΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΎ Π½Π° 3 Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΡ ΠΏΡΠ°Π²Π΅Π΅ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΠΎΠΉ ΠΎΡΠΈ ΠΈ Π½Π° 1 Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΡ Π²ΡΡΠ΅ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΎΡΠΈ, Π° w Β =Β 1Β +Β 2 i ΡΠ°ΡΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΎ Π½Π° 1 Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΡ Π»Π΅Π²Π΅Π΅ ΠΈ 2 Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ Π²Π²Π΅ΡΡ
. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, ΡΡΠΌΠΌΠ° z + w Β = 2Β +Β 3 i ΡΠ°Π²Π½Π° 2 Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ°ΠΌ Π²ΠΏΡΠ°Π²ΠΎ ΠΈ 3 Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ°ΠΌ Π²Π²Π΅ΡΡ
.
ΠΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΠ°.
ΠΠ±ΡΠ°ΡΠΈΡΠ΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, ΡΡΠΎ Π² ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄Π½Π΅ΠΌ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ΅ ΡΠ΅ΡΡΡΠ΅ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ»Π° 0, z Β =Β 3Β +Β i, w Β = 1Β +Β 2 i, ΠΈ z Β +Β w i 3Β =Β 908Β 8 ΡΠ°Π²Π½Ρ ΡΠ³Π»Ρ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΠ°. Π ΡΠ΅Π»ΠΎΠΌ ΡΡΠΎ ΠΏΡΠ°Π²Π΄Π°. Π§ΡΠΎΠ±Ρ Π½Π°ΠΉΡΠΈ, Π³Π΄Π΅ Π² ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ C Π½Π°Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ ΡΡΠΌΠΌΠ° z Β +Β w Π΄Π²ΡΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π» z ΠΈ w , Π½Π°ΡΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ z ΠΈ w, Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ ΠΎΡ 0 Π΄ΠΎ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ , ΠΈ Π·Π°Π²Π΅ΡΡΠΈΡΠ΅ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌ. Π§Π΅ΡΠ²Π΅ΡΡΠ°Ρ Π²Π΅ΡΡΠΈΠ½Π° Π±ΡΠ΄Π΅Ρ z Β +Β w.ΠΠΎΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π²ΠΎΠ΄Π°.
ΠΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΠ°, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠΏΡΠ΅ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°ΡΡ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ w ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ C .
ΠΡΡΠΈΡΠ°Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ Π²ΡΡΠΈΡΠ°Π½ΠΈΠ΅.
ΠΡΡΡ ΠΈ Ρ ΠΎΡΠΎΡΠ°Ρ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠ°Ρ ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠΏΡΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΡ ΠΎΡΡΠΈΡΠ°Π½ΠΈΡ. ΠΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎ, ΠΎΡΡΠΈΡΠ°Π½ΠΈΠ΅ x Β +Β yi ΡΠ°Π²Π½ΠΎ x Β Β yi, , ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ ΠΎΡΡΠΈΡΠ°Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π° Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΡΠ°ΡΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°ΡΡΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠ°Π· Π½Π°ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ² 0 ΠΈ Π½Π° ΡΠ°ΠΊΠΎΠΌ ΠΆΠ΅ ΡΠ°ΡΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΠΈ ΠΎΡ Π½Π΅Π³ΠΎ. ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, z Β =Β 2Β +Β i ΡΠ°ΡΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΎ Π½Π° 2 Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΡ Π²ΠΏΡΠ°Π²ΠΎ ΠΈ Π½Π° ΠΎΠ΄Π½Ρ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΡ Π²Π²Π΅ΡΡ , ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ Π΅Π³ΠΎ ΠΎΡΡΠΈΡΠ°Π½ΠΈΠ΅ z Β =Β 2Β Β i ΡΠ°ΡΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΎ Π½Π° 2 Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΡ Π²Π»Π΅Π²ΠΎ ΠΈ Π½Π° ΠΎΠ΄Π½Ρ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΡ Π²Π½ΠΈΠ·.