ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ² комплСксных чисСл: Π˜Π³Ρ€Π°Π΅ΠΌΡΡ с комплСксными числами / Π₯Π°Π±Ρ€

Π‘ΠΎΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠ°Π½ΠΈΠ΅

Π˜Π³Ρ€Π°Π΅ΠΌΡΡ с комплСксными числами / Π₯Π°Π±Ρ€

ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Ρ‚!

ΠžΡ‡Π΅Ρ€Π΅Π΄Π½ΠΎΠΉ ΠΎΡ‡Π΅Ρ€ΠΊ. На этот Ρ€Π°Π· поиграСмся с комплСксными числами, с Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°ΠΌΠΈ ΠΈ ΠΈΡ… Π²ΠΈΠ·ΡƒΠ°Π»ΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠ΅ΠΉ.



ИдСя

КомплСксноС число β€” это Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ Ρ€Π°ΡΡˆΠΈΡ€Π΅Π½ΠΈΠ΅ вСщСствСнного числа, ΠΏΠΎ сути Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€, для ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΎ Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ΅ мноТСство аксиом. Π›ΡŽΠ±ΠΎΠ΅ комплСксноС (Π° Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚ ΠΈ вСщСствСнноС) число ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ , Π³Π΄Π΅ a β€” вСщСствСнная Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ, b β€” мнимая, i β€” ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ уравнСния . Для Π½Π΅Π³ΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΉ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Ρ‹ для вСщСствСнного числа, ΠΊ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρƒ, . Π˜Π½Ρ‚Π΅Ρ€Π΅ΡΠ½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ссли ΠΏΡ€ΠΎΠ΄Π΅Π»Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ с Π½ΠΈΠΌΠΈ, Π²ΠΎΠ·Π²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ Π² ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ, ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΈ Ρ‚. Π΄. Π° Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ Π±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒ (Π²Π΅Ρ‰Π΅ΡΡ‚Π²Π΅Π½Π½ΡƒΡŽ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ) для оси Ox, Π° (ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡƒΡŽ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ) для оси Oy, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Ρ‚ΡŒ Π·Π°Π±Π°Π²Π½Ρ‹Π΅ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠΈ.

ΠšΡΡ‚Π°Ρ‚ΠΈ всС ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ я сам ΠΏΡ€ΠΈΠ΄ΡƒΠΌΠ°Π».

Ѐункция Π²ΠΈΠ·ΡƒΠ°Π»ΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠΈ

Π ΡƒΡ‚ΠΈΠ½Π°. Ѐункция, которая ΠΏΠΎ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΈΡ‚Π΅Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ рисуСт всС Π½Π° ΠΏΠΎΠ»Π΅:

import random
import numpy as np
def vis(A, f, step=1. 0, c=None):
    x = []
    y = []
    for B in np.arange(0, A, step):
        v = f(A, B)
        x.append(v.real)
        y.append(v.imag)
    plt.figure(figsize=[8, 8])
    mxabs = max([i[0] ** 2 + i[1] ** 2 for i in zip(x, y)]) ** 0.5
    x = np.array(x) / mxabs
    y = np.array(y) / mxabs
    if c is None:
        plt.scatter(x, y)
    else:
        plt.scatter(x, y, color=[c(x[i], y[i]) for i in range(len(x))])
    plt.show()

ВсС наши Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ зависят ΠΎΡ‚ Π΄Π²ΡƒΡ… ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΎΠ² A ΠΈ B. ΠŸΡ€ΠΈΡ‡Π΅ΠΌ ΠΏΠΎ B ΠΌΡ‹ итСрируСмся Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€ΠΈ vis(), Π° A β€” Π³Π»ΠΎΠ±Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

Ѐункция Β«Π—Π°Π²ΠΈΡ‚ΡƒΡˆΠΊΠΈΒ»

Π•Π΅ объявлСниС Π² python:

def func_1(A, B):
    return math.sin(B) * B * math.e ** (1j * (B * math.cos(A)))

И запустим

A = 121.5
vis(A, func_1, step=0.1)

И Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ для A=121.5:

И для A=221.5:

Π—Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒΡ‚Π΅, эти числа вовсС Π½Π΅ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‚ ΠΈΠ· расчСта ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ-Π½ΠΈΠ±ΡƒΠ΄ΡŒ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»Π° Π½Π° Π³Π»Π°Π΄ΠΊΠΎΠΌ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΈΠΈ ΠΈ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… ΡƒΠΌΠ½Ρ‹Ρ… бСссмыслСнных Π² этом контСкстС слов.

Π­Ρ‚ΠΎ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Ρ€Π°Π½Π΄ΠΎΠΌΠ½Ρ‹Π΅ числа, ΠΈ сущСствуСт Π΅Ρ‰Π΅ Ρ€ΠΎΠ²Π½ΠΎ Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Ρ… A, Π² Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π΅ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… получаСтся красота.

Надо ΠΏΠΎΠΊΡ€Π°ΡΠΈΡ‚ΡŒ

Объявим Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ Ρ†Π²Π΅Ρ‚Π° (Ρ‚Π°ΠΊΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ, которая ΠΏΠΎ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π°ΠΌ Π²ΠΎΠ·Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°Π΅Ρ‚ tuple ΠΈΠ· Ρ‚Ρ€Π΅Ρ… чисСл):

def sigm(x):  # Π­Ρ‚Π° функция позволяСт Π½ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ всС Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΡƒΠ³ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΎΡ‚ 0 Π΄ΠΎ 1
    return (1 / (1 + 1.2 ** (-x*50)) - 0.5) * 2
color_1 = lambda x, y: (0.2, sigm(x ** 2 + y ** 2) / 1.4, 1 - sigm(x ** 2 + y ** 2))
color_2 = lambda x, y: (sigm(x ** 2 + y ** 2), 0.5, 0.5)

Π’Ρ‹Π±Π΅Ρ€Π΅ΠΌ Ρ€Π°Π½Π΄ΠΎΠΌΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ A, ΠΏΡƒΡΡ‚ΡŒ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ 149:

vis(149, func_1, step=0.1, c=color_1)

Ѐункция «Гуси»

Гуси ΠΎΠΏΠΈΡΡ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Ρ‚Π°ΠΊ:

ОбъявлСниС на python:

def func_2(A, B):
    return math.cos(B) * math.sin(B) * B * math.e ** (1j * (B * math.cos(A)))

Π•Π΅ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ для A=106:

Ѐункция Β«Π€ΠΎΠΊΠ°Ρ‡Ρ‡Π°Β»

def func_3(A, B):
    return math. cos((A + 1) * B) * math.e ** (1j * (B * math.cos(A)))
vis(246, func_3, step=0.1, c=color_2)

vis(246, func_3, step=0.1, c=color_2)

Ѐункция Β«Π‘Π΅Π· названия»

color_3 = lambda x, y: (0.5, 0.5, sigm(x ** 2 + y ** 2))
vis(162, func_4, step=0.1, c=color_3)

vis(179, func_4, step=0.1, c=color_3)

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° красоты

def func_5(A, B):
    return math.cos((A + 1) * B) ** 1.5 * math.e ** (1j * (B * math.cos(A)))
color_4 = lambda x, y: (sigm(x ** 2 + y ** 2) / 2, 0.5, 1 - sigm(x ** 2 + y ** 2))
vis(345, func_5, step=0.1, c=color_4)

vis(350, func_5, step=0.1, c=color_4)

Пока всС.

Π’Π΅ΡΡŒ ΠΊΠΎΠ΄

import numpy as np
import random
import matplotlib.pyplot as plt
import math
def vis(A, f, step=1.0, c=None):
    x = []
    y = []
    for B in np.arange(0, A, step):
        v = f(A, B)
        x.append(v.real)
        y.append(v. imag)
    plt.figure(figsize=[7, 7])
    mxabs = max([i[0] ** 2 + i[1] ** 2 for i in zip(x, y)]) ** 0.5
    x = np.array(x) / mxabs
    y = np.array(y) / mxabs
    if c is None:
        plt.scatter(x, y)
    else:
        plt.scatter(x, y, color=[c(x[i], y[i]) for i in range(len(x))])
    plt.show()
def func_1(A, B):
    return math.sin(B) * B * math.e ** (1j * (B * math.cos(A)))
def func_2(A, B):
    return math.cos(B) * math.sin(B) * B * math.e ** (1j * (B * math.cos(A)))
def func_3(A, B):
    return math.cos((A + 1) * B) * math.e ** (1j * (B * math.cos(A)))
def func_4(A, B):
    return math.sin(A + B) * B * math.e ** (1j * B * math.sin(A))
def func_5(A, B):
    return math.cos((A + 1) * B) ** 1.5 * math.e ** (1j * (B * math.cos(A)))
def sigm(x):
    return (1 / (1 + 1.2 ** (-x*50)) - 0.5) * 2
color_1 = lambda x, y: (0.2, sigm(x ** 2 + y ** 2) / 1.4, 1 - sigm(x ** 2 + y ** 2))
color_2 = lambda x, y: (sigm(x ** 2 + y ** 2), 0.5, 0.5)
color_3 = lambda x, y: (0.5, 0.5, sigm(x ** 2 + y ** 2))
color_4 = lambda x, y: (sigm(x ** 2 + y ** 2) / 2, 0.
5, 1 - sigm(x ** 2 + y ** 2)) colors = [color_1, color_2, color_3, color_4] funcs = [func_1, func_2, func_3, func_4, func_5] while True: col = random.choice(colors) func = random.choice(funcs) vis(random.random() * 200 + 100, func, step=0.1, c=col) if input() == "exit": break


Π•Ρ‰Π΅ ΡΠΊΡ€ΠΈΠ½ΡˆΠΎΡ‚Ρ‹

3.26. ΠšΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½Ρ‹Π΅ числа

3.26.1. ΠšΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½Ρ‹Π΅ числа Π² алгСбраичСской Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅

Π°) ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ.

  • ΠšΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½Ρ‹ΠΌ числом называСтся Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²ΠΈΠ΄Π° , Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ a ΠΈ b – вСщСствСнныС числа (Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅), Π° i — Ρ‚Π°ΠΊ называСмая мнимая Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π° – число, ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ считаСтся Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΌ минус Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π΅: .

вСщСствСнная Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ, — мнимая Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ комплСксного

числа

Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΏΠΈΡˆΡƒΡ‚ .

= .

Π±). ДСйствия Π½Π°Π΄ комплСксными числами Π² алгСбраичСской Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅

  1. Π‘Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ числа .

  1. Π‘Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠ΅, ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ Π²ΠΎΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² Ρ†Π΅Π»ΡƒΡŽ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ комплСксных чисСл ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΡΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π°ΠΌ этих дСйствий Π½Π°Π΄ ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½Ρ‹ΠΌΠΈ алгСбраичСскими выраТСниями, Π½ΠΎ с Π·Π°ΠΌΠ΅Π½ΠΎΠΉ стСпСнСй числа .

  2. Π”Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ комплСксных чисСл:

3.26.2. ВригономСтричСская Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ° комплСксного числа

1. КомплСксноС число опрСдСляСтся ΠΏΠ°Ρ€ΠΎΠΉ вСщСствСнных чисСл ΠΈ . Π­Ρ‚ΠΎ позволяСт ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ°Ρ‚ΡŒ комплСксныС числа ΠΊΠ°ΠΊ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ плоскости Π² Π΄Π΅ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΎΠ²ΠΎΠΉ (ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ) систСмС ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ ΠΈΠ»ΠΈ радиусом-Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ этой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ .

2. ΠœΠΎΠ΄ΡƒΠ»Π΅ΠΌ комплСксного числа называСтся Π΄Π»ΠΈΠ½Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° , ΡƒΠ³ΠΎΠ» называСтся Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚ΠΎΠΌ комплСксного числа.

3. Из ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° OAM ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ:

,

Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° ) —

тригономСтричСская Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°

комплСксного числа.

  1. ДСйствия Π½Π°Π΄ комплСксными числами Π² тригономСтричСской Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅

    Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° .

    • Π”Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅: .

    • Π˜Π·Π²Π»Π΅Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ корня:

    =

    Π³Π΄Π΅

    ,

    Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ возвСдСния Π² ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ ΠΈ извлСчСния корня Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°ΠΌΠΈ ΠœΡƒΠ°Π²Ρ€Π°.

    3.26.3. ΠŸΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ° комплСксного числа

    .

    Π”Π›Π― Π—ΠΠœΠ•Π’ΠžΠš.

    3.27. Π­Π»Π΅ΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Ρ€Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΡ‘ΠΌΡ‹ построСния

    Π“Π ΠΠ€Π˜ΠšΠžΠ’ Π€Π£ΠΠšΠ¦Π˜Π™

    3.

    27.1. ΠŸΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ²

    Π˜ΡΡ…ΠΎΠ΄Ρ ΠΈΠ· Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ , ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ

    Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ:

    1. ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ отобраТаСтся симмСтрично оси ΠžΡ… (β€œΠ·Π΅Ρ€ΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ отобраТСниС” ).

    1. ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ сдвигаСтся вдоль оси ΠžΡ… Π½Π° Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρƒ Π° Π²ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ, Ссли ΠΈ Π²Π»Π΅Π²ΠΎ, Ссли .

    1. — исходный Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ пСрСмСщаСтся вдоль оси ΠžΡƒ Π½Π° Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρƒ : Π²Π²Π΅Ρ€Ρ…, Ссли , ΠΈ Π²Π½ΠΈΠ·, Ссли .

    1. исходный Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ растягиваСтся вдоль оси ΠžΡƒ Π² А Ρ€Π°Π· (Ссли А>1) ΠΈ сТимаСтся Π² Ρ€Π°Π·, Ссли .

    1. Ρ‚ΠΎΡ‚ ΠΆΠ΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ, Π½ΠΎ растянутый вдоль оси ΠžΡ… ΠΎΡ‚ Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ Π² Ρ€Π°Π·.

    Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ , ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

    6.

    .

    ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹.

    1). , 2).

    ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹.

    (1): ;

    (2): — сдвиг Π½Π° 1 Π΅Π΄. Π²ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ

    (3)Β : — сдвиг Π½Π° 2 Π΅Π΄. Π²Π»Π΅Π²ΠΎ

    3). 4).

    ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹. (1)Β 

    : Β ;

    (2)Β : — сдвиг Π½Π° 2 Π΅Π΄.

    Π²Π²Π΅Ρ€Ρ…Β ;

    (3)Β : — сдвиг Π½Π° 1 Π΅Π΄. Π²Π½ΠΈΠ·.

    ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹. (1)Β : Β ;

    (2)Β : Β — растяТСниС Π² 3 Ρ€Π°Π·Π° вдоль оси ΠžΡƒ;

    Β (3): — сТатиС Π² 2 Ρ€Π°Π·Π°.

    5).

    ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹.

    (1): ;

    (2): — сТатиС Π² Π΄Π²Π° Ρ€Π°Π·Π° ΠΊ Π½Π°Ρ‡Π°Π»Ρƒ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ вдоль оси ΠžΡ…;

    (3): — растяТСниС Π² Π΄Π²Π° Ρ€Π°Π·Π° ΠΎΡ‚ Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ вдоль оси ΠžΡ….

    6).

    ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€. +1

    ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Ρ‘ΠΌ ΠΊ Π²ΠΈΠ΄Ρƒ: .

    Π‘Ρ‚Ρ€ΠΎΠΈΠΌ Ρ†Π΅ΠΏΠΎΡ‡ΠΊΡƒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ² Π² ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΉ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ:

    1. ;

    2. — сТатиС Π² 2 Ρ€Π°Π·Π°Β ;

    3. -сдвиг Π½Π° 2 Π΅Π΄. Π²ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ вдоль оси ΠžΡ…;

    4. -растяТСниС Π² 3 Ρ€Π°Π·Π° вдоль оси ΠžΡƒ;

    5. Β -Π·Π΅Ρ€ΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ΠΎΡ‚ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ оси ΠžΡ…

    6. — Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ построСн.

    Π˜ΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΠΊΠ°Ρ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π° «Π Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ способы Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ кубичСских ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ. Роль комплСксных чисСл ΠΏΡ€ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ» β€’ Наука ΠΈ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ONLINE

    Главная Π Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹ Π½Π° конкурс ΠŸΡ€Π΅Π΄ΠΌΠ΅Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Π€ΠΈΠ·ΠΈΠΊΠΎ-матСматичСскиС дисциплины Π˜ΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΠΊΠ°Ρ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π° Β«Π Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ способы Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ кубичСских ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ. Роль комплСксных чисСл ΠΏΡ€ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉΒ»

    Автор:Β Π’ΠΎΠ»ΠΊΠΎΠ²Π° Π›Π°Ρ€ΠΈΠ½Π° Π’Π»Π°Π΄ΠΈΠΌΠΈΡ€ΠΎΠ²Π½Π°

    ΠœΠ΅ΡΡ‚ΠΎ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹/ΡƒΡ‡Π΅Π±Ρ‹ (аффилиация): МОУ БОШ β„– 2, ст.Григорополсская, Π‘Ρ‚Π°Π²Ρ€ΠΎΠΏΠΎΠ»ΡŒΡΠΊΠΈΠΉ ΠΊΡ€Π°ΠΉ, 10 класс

    Научный Ρ€ΡƒΠΊΠΎΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ: Колбасова Лариса АлСксандровна

    ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌΠΎΠ΅ Π² ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ школС, являСтся ваТнСйшим ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚ΠΎΠΌ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π³ΠΎ образования ΠΈ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΉ ΠΊΡƒΠ»ΡŒΡ‚ΡƒΡ€Ρ‹ соврСмСнного Ρ‡Π΅Π»ΠΎΠ²Π΅ΠΊΠ°. ΠŸΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈ всС, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ°Π΅Ρ‚ соврСмСнного Ρ‡Π΅Π»ΠΎΠ²Π΅ΠΊΠ° – это всС Ρ‚Π°ΠΊ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΈΠ½Π°Ρ‡Π΅ связано с ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΎΠΉ. А послСдниС достиТСния Π² Ρ„ΠΈΠ·ΠΈΠΊΠ΅, Ρ‚Π΅Ρ…Π½ΠΈΠΊΠ΅ ΠΈ ΠΈΠ½Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π½Ρ‹Ρ… тСхнологиях Π½Π΅ ΠΎΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‚ Π½ΠΈΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ сомнСния, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ Π² Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‰Π΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅Ρ‰Π΅ΠΉ останСтся ΠΏΡ€Π΅ΠΆΠ½ΠΈΠΌ. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΡ… практичСских Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ сводится ΠΊ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡŽ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… Π²ΠΈΠ΄ΠΎΠ² ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ Π½Π°ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ Ρ€Π΅ΡˆΠ°Ρ‚ΡŒ.

    ЦСль исслСдования: ΠΈΠ·ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ способы Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ кубичСских ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈ понятиС комплСксного числа.

    ΠžΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚ исслСдования: кубичСскиС уравнСния.

    Π—Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ исслСдования:

    1. Π˜Π·ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ способы Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ кубичСских ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ.
    2. Π˜Π·ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΡŽ комплСксных чисСл.
    3. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»Π° Π½Π° ΠΏΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠΊΠ΅:
    • Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ;
    • Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ кубичСских ΠΈΒ  ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ;
    • исслСдованиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΠΈ построСниС Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ².

    Данная Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π° являСтся ΠΏΠΎΠΏΡ‹Ρ‚ΠΊΠΎΠΉ ΠΎΠ±ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈ ΡΠΈΡΡ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠ·ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π» ΠΏΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡŽ кубичСских ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ. Π₯отя уравнСния высоких стСпСнСй Π² ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΌ случаС Π½Π΅Ρ€Π°Π·Ρ€Π΅ΡˆΠΈΠΌΡ‹ Π² Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»Π°Ρ…, Π΄Π° ΠΈ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠšΠ°Ρ€Π΄Π°Π½ΠΎΒ  для ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΠ΅ΠΉ ΠΈ Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΎΠΉ стСпСнСй Π² школС Π½Π΅ проходят. Β Π½ΠΎ ΡƒΠΆΠ΅ планируСтся Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² КИМ Π•Π“Π­ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΡ„ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ уровня задания с комплСксными числами, Π° с Π½ΠΈΠΌΠΈ ΠΌΡ‹ сталкиваСмся ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Β ΠΏΡ€ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Π½Π΅Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Β ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡ΠΈΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ, ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°ΡŽ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈΠ½Π°Ρ‡Π΅ Β Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ уравнСния просто Π½Π΅ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Ρ‡Π΅Π½Π½ΠΎ. Π’Π΅Π΄ΡŒ Ссли Π² ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ Π½Π΅Ρ‚ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ, Ρ‚ΠΎ это Π΅Ρ‰Π΅ Π½Π΅ Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½ΠΎ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ. ΠšΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ ΠΈΠ· ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл- ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡ‹Π΅ ΠΈΠ»ΠΈ комплСксныС числа,Β  Π½Π΅ΠΈΠ·Π±Π΅ΠΆΠ½ΠΎ Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ°ΡŽΡ‚ ΠΏΡ€ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ кубичСского уравнСния ΠΏΠΎ способу ΠšΠ°Ρ€Π΄Π°Π½ΠΎ, Π΄Π°ΠΆΠ΅ Ссли Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Ρ‚Ρ€ΠΈ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… корня.

    Π—Π°Π³Ρ€ΡƒΠ·ΠΊΠ°…

    Π€ΠΈΠ·ΠΈΠΊΠΎ-матСматичСскиС дисциплины

    Π˜ΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΠΊΠ°Ρ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π° Β«Π‘ΠΎΠ·Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ домашнСго тСрмоса»

    Доступна ΠΊ просмотру полнотСкстовая вСрсия Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹

    Π― люблю ΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ·Π½Π°Π²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΡƒ Β«Π“Π°Π»ΠΈΠ»Π΅ΠΎΒ». Π’ Π½Π΅ΠΉ Ρ€Π°ΡΡΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ ΠΎ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… явлСниях, ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ°ΡŽΡ‰ΠΈΡ… Ρ‡Π΅Π»ΠΎΠ²Π΅ΠΊΠ°, Π½Π°ΡƒΡ‡Π½Ρ‹Ρ… Ρ„Π°ΠΊΡ‚Π°Ρ…, Ρ‚Π΅Ρ…Π½ΠΈΠΊΠ΅. Π’ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈΠ· ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π΄Π°Ρ‡ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΌΠ΅Ρ‚, ΠΊΠ°ΠΊ тСрмос. И здСсь я ΡƒΠ·Π½Π°Π», Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΅Π³ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡ‚ΡŒ Π½Π΅ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ…

    ΠŸΠΎΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρƒ

    Π€ΠΈΠ·ΠΈΠΊΠΎ-матСматичСскиС дисциплины

    Π˜ΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΠΊΠ°Ρ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π° ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ «Ѐинансовая ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ°. Π’ΠΊΠ»Π°Π΄Ρ‹Β»

    Доступна ΠΊ просмотру полнотСкстовая вСрсия Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹

    Π’ соврСмСнном ΠΌΠΈΡ€Π΅ люди проводят ΠΌΠΈΠ»Π»ΠΈΠΎΠ½Ρ‹ банковских ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΉ. Π‘ Ρ€Π°Π·Π²ΠΈΡ‚ΠΈΠ΅ΠΌ Ρ‚Π΅Ρ…Π½ΠΎΠ»ΠΎΠ³ΠΈΠΉ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡƒΠΏΡ€Π°Π²Π»ΡΡ‚ΡŒ своими срСдствами Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Π³Π°Π΄ΠΆΠ΅Ρ‚Ρ‹, стали Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π²ΠΎΠ΄Ρ‹ срСдств Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Π΅Π»ΠΎΠ²Π΅ΠΊΡƒ/ΠΎΡ€Π³Π°Π½ΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠΈ ΠΈ Ρ‚.Π΄., Online инвСстиции, Π²ΠΊΠ»Π°Π΄Ρ‹, расчСты пСнсии. Π’ΠΎΠ·…

    ΠŸΠΎΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρƒ

    Π€ΠΈΠ·ΠΈΠΊΠΎ-матСматичСскиС дисциплины

    Π˜ΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΠΊΠ°Ρ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π° Β«ΠšΠΎΠΌΠΏΡŒΡŽΡ‚Π΅Ρ€Π½Ρ‹Π΅ вирусы ΠΈ Π±ΠΎΡ€ΡŒΠ±Π° с Π½ΠΈΠΌΠΈΒ»

    Π’ настоящСС врСмя ΠΊΠΎΠΌΠΏΡŒΡŽΡ‚Π΅Ρ€ ΠΏΡ€ΠΎΡ‡Π½ΠΎ вошСл Π² ΠΏΠΎΠ²ΡΠ΅Π΄Π½Π΅Π²Π½ΡƒΡŽ Тизнь. Π•Π³ΠΎ возмоТности ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ Π² школС, Π½Π° Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π΅, ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΈ досуга, Π² Π±Ρ‹Ρ‚Ρƒ ΠΈ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… сфСрах ΠΆΠΈΠ·Π½ΠΈ Ρ‡Π΅Π»ΠΎΠ²Π΅ΠΊΠ°. НСсмотря Π½Π° принятыС Π²ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΡ… странах Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Ρ‹ ΠΎ Π±ΠΎΡ€ΡŒΠ±Π΅ с ΠΊΠΎΠΌΠΏΡŒΡŽΡ‚Π΅Ρ€Π½Ρ‹ΠΌΠΈ прСст…

    ΠŸΠΎΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρƒ

    ВСхничСскиС дисциплины, Π€ΠΈΠ·ΠΈΠΊΠΎ-матСматичСскиС дисциплины

    Π˜ΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΠΊΠ°Ρ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π° Β«Π’Ρ€ΠΈ Ρ‚Π΅Π»Π΅Ρ„ΠΎΠ½Π°, созданныС Π² Π΄ΠΎΠΌΠ°ΡˆΠ½ΠΈΡ… условиях»

    Π›Π΅Ρ‚Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ°Π½ΠΈΠΊΡƒΠ»Ρ‹ я ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Π»Π° Ρƒ Π±Π°Π±ΡƒΡˆΠΊΠΈ ΠΈ Π΄Π΅Π΄ΡƒΡˆΠΊΠΈ. МоС Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π»Π΅ΠΊ ΠΈΡ… домашний Ρ‚Π΅Π»Π΅Ρ„ΠΎΠ½. Он Π±Ρ‹Π» с Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎΠΉ Ρ‚Ρ€ΡƒΠ±ΠΊΠΎΠΉ ΠΈ диском. Π’Π°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ я Π΅Ρ‰Π΅ Π½ΠΈΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π½Π΅ Π²ΠΈΠ΄Π΅Π»Π°. Π£ нас Π΄ΠΎΠΌΠ° Ρ‚ΠΎΠΆΠ΅ Π΅ΡΡ‚ΡŒ домашний Ρ‚Π΅Π»Π΅Ρ„ΠΎΠ½. Он Π½Π΅ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΡ…ΠΎΠΆ Π½Π° ΠΌΠΎΠ±ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ, с Π½ΠΈΠΌ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅…

    ΠŸΠΎΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρƒ

    Π€ΠΈΠ·ΠΈΠΊΠΎ-матСматичСскиС дисциплины

    Π˜ΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΠΊΠ°Ρ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π° Β«Π’Π»ΠΈΡΡŽΡ‚ Π»ΠΈ числа Π½Π° ΡΡƒΠ΄ΡŒΠ±Ρƒ Ρ‡Π΅Π»ΠΎΠ²Π΅ΠΊΠ°Β»

    Доступна ΠΊ просмотру полнотСкстовая вСрсия Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹

    ΠœΠΈΡ€ нас восхищаСт ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΈΠ΅ΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΡ‹ с Π²Π°ΠΌΠΈ постоянно Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΠΌ, Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… Π·Π°Π³Π°Π΄ΠΎΠΊ. Мало ΠΊΡ‚ΠΎ Π·Π½Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΠ°Ρ€ΠΎΠ»ΡŒ ΠΊ Π·Π°Π³Π°Π΄ΠΊΠ°ΠΌ всСлСнной — это числа. РазумССтся, ΡƒΡ‡Π΅Π½Ρ‹Π΅ Π² Π³Π»ΡƒΠ±ΠΎΡ‡Π°ΠΉΡˆΠ΅ΠΉ дрСвности ΡƒΠ²ΠΈΠ΄Π΅Π»ΠΈ связь личности ΠΈ числа. ΠšΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎ ΠΆΠ΅, всС ΠΌΡ‹ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ…

    ΠŸΠΎΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρƒ

    ΠœΠ΅Ρ€ΠΎΠΏΡ€ΠΈΡΡ‚ΠΈΠ΅ Π·Π°Π²Π΅Ρ€ΡˆΠ΅Π½ΠΎ

    3.1: ΠšΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½Ρ‹Π΅ числа β€” ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° LibreTexts

    1. ПослСднСС обновлСниС
    2. Π‘ΠΎΡ…Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊ PDF
  1. Π˜Π΄Π΅Π½Ρ‚ΠΈΡ„ΠΈΠΊΠ°Ρ‚ΠΎΡ€ страницы
    17359
    • OpenStax
    • OpenStax

    Навыки для развития

    • Π’Ρ‹Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚Π΅ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл ΠΊΠ°ΠΊ ΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ \(i\).
    • НанСсСниС комплСксных чисСл Π½Π° ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡƒΡŽ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ.
    • Π‘Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠ΅ комплСксных чисСл.
    • Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΈ Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ комплСксныС числа.

    Π˜Π·ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ постоянно саморазвиваСтся. ΠžΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ†Π΅Π»Ρ‹Π΅ числа, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, Π·Π°ΠΏΠΎΠ»Π½ΡΡŽΡ‚ пустоту, ΠΎΡΡ‚Π°Π²Π»Π΅Π½Π½ΡƒΡŽ Π½Π°Π±ΠΎΡ€ΠΎΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Ρ†Π΅Π»Ρ‹Ρ… чисСл. ΠœΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡ‚Π²ΠΎ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл, Π² свою ΠΎΡ‡Π΅Ρ€Π΅Π΄ΡŒ, заполняСт пустоту, ΠΎΡΡ‚Π°Π²Π»Π΅Π½Π½ΡƒΡŽ мноТСством Ρ†Π΅Π»Ρ‹Ρ… чисСл. ΠœΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡ‚Π²ΠΎ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл заполняСт пустоту, ΠΎΡΡ‚Π°Π²Π»Π΅Π½Π½ΡƒΡŽ мноТСством Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл. ΠΠ΅ΡƒΠ΄ΠΈΠ²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ мноТСство Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ пустоты. НапримСр, Ρƒ нас Π΄ΠΎ сих ΠΏΠΎΡ€ Π½Π΅Ρ‚ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ, ΠΊΠ°ΠΊ 92+4=0\Π½Π΅ число\]

    Нашим Π»ΡƒΡ‡ΡˆΠΈΠΌ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ \(x=+2\) ΠΈΠ»ΠΈ \(x=–2\). Но Ссли ΠΌΡ‹ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΈΠΌ +2 Π² этом ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ, это Π½Π΅ сработаСт. Если ΠΌΡ‹ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΈΠΌ -2, это Π½Π΅ сработаСт. Если ΠΌΡ‹ Ρ…ΠΎΡ‚ΠΈΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ этого уравнСния, Π½Π°ΠΌ придСтся ΠΏΠΎΠΉΡ‚ΠΈ дальшС, Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΌΡ‹ Π΄ΠΎ сих ΠΏΠΎΡ€. Π’ ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π΅ ΠΊΠΎΠ½Ρ†ΠΎΠ², Π΄ΠΎ сих ΠΏΠΎΡ€ ΠΌΡ‹ описывали ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ числа ΠΊΠ°ΠΊ Π½Π΅ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ. К ΡΡ‡Π°ΡΡ‚ΡŒΡŽ, Π΅ΡΡ‚ΡŒ другая систСма чисСл, которая обСспСчиваСт Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½Ρ‹Ρ… ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌ. Π’ этом Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π΅ ΠΌΡ‹ рассмотрим эту систСму счислСния ΠΈ Ρ‚ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊ Π² Π½Π΅ΠΉ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ.

    Π’Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ ΠΈΠ· ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ…

    \(i\)

    ΠœΡ‹ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· любого ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ числа. Аналогичным ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ числа. ΠžΡ‚Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ΅ Π² Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ€ΡƒΡ‚ Π½Π΅ настоящий. Если Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠ΄ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ числа ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅, ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ называСтся ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡ‹ΠΌ числом. МнимоС число \(i\) опрСдСляСтся ΠΊΠ°ΠΊ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· \(-1\).

    \[\sqrt{-1}=i\nonumber\]

    Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ свойства Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»ΠΎΠ², 92=βˆ’1\nonumber\]

    ΠœΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ любого ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ числа ΠΊΠ°ΠΊ ΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ \(i\). Π’ΠΎΠ·ΡŒΠΌΠ΅ΠΌ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· –25.

    \[\begin{align} \sqrt{-25}&=\sqrt{25 {\cdot} (-1)}\nonumber\\ &=\sqrt{25}\sqrt{-1} \nonumber\ \ &= 5i\nonumber \end{align}\nonumber\]

    ΠœΡ‹ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌ 5 i , Π° Π½Π΅ βˆ’5 i , ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π³Π»Π°Π²Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· 25 являСтся ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ.

    КомплСксноС число прСдставляСт собой сумму Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ числа ΠΈ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΠΎΠ³ΠΎ числа. КомплСксноС число выраТаСтся Π² стандартной Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈ записи \(a+bi\) (с \(a, b\) Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ числами), Π³Π΄Π΅ \(a\) — Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ, Π° \(bi\) — мнимая Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ. НапримСр, \(5+2i\) β€” комплСксноС число. Π’ΠΎ ΠΆΠ΅ самоС ΠΈ с \(3+4\sqrt{3}i\).

    ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π½ΠΈΠ΅: ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ ΠΎΡˆΠΈΠ±ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ, думая, Ρ‡Ρ‚ΠΎ \(i\) Π² ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π΅ числа находится ΠΏΠΎΠ΄ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ корня, это число принято Π·Π°ΠΏΠΈΡΡ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊ \(3+4i\sqrt{ 3}\). ΠšΡ€ΠΎΠΌΠ΅ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ, Ссли Ρ‡Π»Π΅Π½ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 0 ΠΈΠ»ΠΈ коэффициСнт Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 1, ΠΌΡ‹ часто Π΅Π³ΠΎ опускаСм; поэтому \(0+1i\) (ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Π°Ρ стандартная Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°) часто записываСтся просто ΠΊΠ°ΠΊ \(i\).

    Рисунок \(\PageIndex{1}\)

    ΠœΠ½ΠΈΠΌΡ‹Π΅ числа ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΎΡ‚ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ…, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ Π²ΠΎΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΠΎΠ³ΠΎ числа Π΄Π°Π΅Ρ‚ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число. ВспомнитС, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° возводится Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число, Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ΠΎΠΌ являСтся ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число, Π° ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° возводится Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число, снова получаСтся ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число. ΠšΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½Ρ‹Π΅ числа ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‚ собой ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ†ΠΈΡŽ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΈ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡ‹Ρ… чисСл.

    ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅: ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡ‹Π΅ ΠΈ комплСксныС числа

    КомплСксноС число β€” это число Π²ΠΈΠ΄Π° \(a+bi\), Π³Π΄Π΅

    • \(a\) β€” Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ комплСксного числа.
    • \(bi\) β€” мнимая Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ комплСксного числа.

    Если \(b=0\), Ρ‚ΠΎ \(a+bi\) — Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число. Если \(a=0\) ΠΈ \(b\) Π½Π΅ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 0, комплСксноС число называСтся ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡ‹ΠΌ числом . МнимоС число – это Ρ‡Π΅Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ числа.

    Π”Π°Π½ΠΎ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΠΎΠ΅ число, ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ Π΅Π³ΠΎ Π² стандартной Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅

    1. Π—Π°ΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅ \(\sqrt{-a}\) ΠΊΠ°ΠΊ \(\sqrt{a}\sqrt{-1}\).
    2. Π’Ρ‹Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚Π΅ \(\sqrt{βˆ’1}\) ΠΊΠ°ΠΊ \(i\) .
    3. ΠΠ°ΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅ \(\sqrt{a}{\cdot}i\) Π² ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚Π΅ΠΉΡˆΠ΅ΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅.

      ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ \(\PageIndex{1}\): Π’Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΠΎΠ³ΠΎ числа Π² стандартной Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅

      Π’Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ \(\sqrt{βˆ’9}\) Π² стандартной Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅.

      РСшСниС

      \[\sqrt{βˆ’9}=\sqrt{9}\sqrt{βˆ’1}=3i\nonnumber\]

      Π’ стандартной Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅ это \(0+3i\).

      \(\PageIndex{1}\)

      ЭкспрСсс \(\sqrt{βˆ’24}\) Π² стандартной Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅.

      ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ

      \(\sqrt{βˆ’24}=0+2i\sqrt{6}\)

      НанСсСниС комплСксного числа Π½Π° ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡƒΡŽ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ

      ΠœΡ‹ Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π½Π°Π½ΠΎΡΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΎΠ²ΡƒΡŽ ΠΏΡ€ΡΠΌΡƒΡŽ комплСксныС числа, ΠΊΠ°ΠΊ настоящиС числа. Однако ΠΌΡ‹ всС Π΅Ρ‰Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈΡ… графичСски. Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ комплСксноС число, Π½Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ ΠΊ Π΄Π²ΡƒΠΌ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚Π°ΠΌ числа. ΠœΡ‹ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡƒΡŽ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ, которая прСдставляСт собой систСму ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ось прСдставляСт Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰ΡƒΡŽ, Π° Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ось прСдставляСт ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡƒΡŽ ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰ΡƒΡŽ. ΠšΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½Ρ‹Π΅ числа β€” это Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π½Π° плоскости, Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½Π½Ρ‹Π΅ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ упорядочСнных ΠΏΠ°Ρ€ \((a,b)\), Π³Π΄Π΅ \(a\) прСдставляСт собой ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρƒ ΠΏΠΎ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ оси, Π° \(b\) прСдставляСт собой ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρƒ ΠΏΠΎ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ оси.

      Рассмотрим число \(βˆ’2+3i\). Π”Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ комплСксного числа Ρ€Π°Π²Π½Π° \(βˆ’2\), Π° мнимая Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ Ρ€Π°Π²Π½Π° \(3i\). ΠœΡ‹ строим ΡƒΠΏΠΎΡ€ΡΠ΄ΠΎΡ‡Π΅Π½Π½ΡƒΡŽ ΠΏΠ°Ρ€Ρƒ \((βˆ’2,3)\) для прСдставлСния комплСксного числа \(βˆ’2+3i\), ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ Π½Π° рисункС \(\PageIndex{2}\)

      Рисунок \( \PageIndex{2}\): Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ комплСксного числа, \(-2 + 3i\). ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ \((-2)\) откладываСтся ΠΏΠΎ оси \(x\), Π° мнимая Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ \((3i)\) — ΠΏΠΎ оси \(y\).

      БлоТная ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ

      На комплСксной плоскости Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ось являСтся Ρ€Π΅Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ осью, Π° Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ось β€” ΠΌΠ½ΠΈΠΌΠΎΠΉ осью, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ Π½Π° рисункС \(\PageIndex{3}\).

      Рисунок \(\PageIndex{3}\): КомплСксная ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ, ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‰Π°Ρ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ось (Π² Ρ€Π΅Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ плоскости ось \(x\)) извСстна ΠΊΠ°ΠΊ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ось, Π° Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ось (Π² Ρ€Π΅Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ плоскости ось \(y\)) извСстна ΠΊΠ°ΠΊ вообраТаСмая ось.

      Для Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ комплСксного числа ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ Π΅Π³ΠΎ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚Ρ‹ Π½Π° комплСксной плоскости.

      1. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ ΠΈ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡƒΡŽ части комплСксного числа.
      2. ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Ρ‰Π°ΠΉΡ‚Π΅ΡΡŒ ΠΏΠΎ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ оси, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ числа.
      3. ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ оси для отобраТСния ΠΌΠ½ΠΈΠΌΠΎΠΉ части числа.
      4. НанСситС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ.

      ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ \(\PageIndex{2}\): построСниС комплСксного числа Π½Π° комплСксной плоскости

      НанСсСниС комплСксного числа \(3βˆ’4i\) Π½Π° ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡƒΡŽ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ.

      РСшСниС

      Π”Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ комплСксного числа Ρ€Π°Π²Π½Π° 3, Π° мнимая Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ Ρ€Π°Π²Π½Π° \(βˆ’4i\). Наносим ΡƒΠΏΠΎΡ€ΡΠ΄ΠΎΡ‡Π΅Π½Π½ΡƒΡŽ ΠΏΠ°Ρ€Ρƒ \((3,βˆ’4)\), ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ Π½Π° рисункС \(\PageIndex{4}\).

      Рисунок \(\PageIndex{4}\): Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ комплСксного числа, \(3 — 4i\). ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ \((3)\) ΠΎΡ‚Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½Π° ΠΏΠΎ оси x, Π° мнимая Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ \((-4i)\) ΠΎΡ‚Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½Π° ΠΏΠΎ оси y.

      \(\PageIndex{2}\)

      ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΉΡ‚Π΅ комплСксноС число \(βˆ’4βˆ’i\) Π½Π° комплСксной плоскости.

      ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ

      Рисунок \(\PageIndex{5}\)

      Π‘Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠ΅ комплСксных чисСл

      Как ΠΈ с Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ числами, ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΡΡ‚ΡŒ арифмСтичСскиС ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ Π½Π°Π΄ комплСксными числами. Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈΠ»ΠΈ Π²Ρ‹Ρ‡Π΅ΡΡ‚ΡŒ комплСксныС числа, ΠΌΡ‹ объСдиняСм Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ части ΠΈ объСдиняСм ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡ‹Π΅ части.

      ΠšΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½Ρ‹Π΅ числа: слоТСниС ΠΈ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠ΅

      Π‘Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ комплСксных чисСл:

      \[(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i\nonumber\]

      Π’Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠ΅ комплСксных чисСл:

      \[(a+bi)βˆ’(c+ di)=(aβˆ’c)+(bβˆ’d)i\nonumber\]

      Π”Π°Π½Ρ‹ Π΄Π²Π° комплСксных числа, Π½Π°ΠΉΠ΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΈΡ… сумму ΠΈΠ»ΠΈ Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ.

      1. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ ΠΈ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡƒΡŽ части ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ числа.
      2. Π”ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈΠ»ΠΈ Π²Ρ‹Ρ‡Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ части.
      3. Π‘Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅ ΠΈΠ»ΠΈ Π²Ρ‹Ρ‡Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡ‹Π΅ части.

      ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ \(\PageIndex{3}\): Π΄ΠΎΠ±Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ комплСксных чисСл

      Π”ΠΎΠ±Π°Π²ΡŒΡ‚Π΅ \(3βˆ’4i\) ΠΈ \(2+5i\).

      РСшСниС

      Π‘ΠΊΠ»Π°Π΄Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ части ΠΈ складываСм ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡ‹Π΅ части.

      \[\begin{align} (a+bi)+(c+di)&=(a+c)+(b+d)i \nonumber\\ (3βˆ’4i)+(2+5i)& =(3+2)+(βˆ’4+5)i \Π½Π΅ число\\ &=5+i \Π½Π΅ число\ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ†{Π²Ρ‹Ρ€Π°Π²Π½ΠΈΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅}\Π½Π΅ число\]

      \(\PageIndex{3}\)

      Π’Ρ‹Ρ‡Π΅ΡΡ‚ΡŒ \( 2+5i\) ΠΈΠ· \(3–4i\). 2\) ΠΊΠ°ΠΊ \(-1\).

      Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ комплСксного числа Π½Π° вСщСствСнноС число

      НачнСм с умноТСния комплСксного числа Π½Π° Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число. ΠœΡ‹ распрСдСляСм Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число Ρ‚Π°ΠΊ ΠΆΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ биномиальноС. Π’Π°ΠΊ, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€,

      Рисунок \(\PageIndex{6}\)

      Учитывая комплСксноС число ΠΈ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число, ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΡŒΡ‚Π΅ Π΅Π³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅.

      1. Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠΉΡ‚Π΅ свойство дистрибутива.
      2. Π£ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ.

      ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ \(\PageIndex{4}\): ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ комплСксного числа Π½Π° вСщСствСнноС число

      НайдитС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ \(4(2+5i).\)

      РСшСниС

      РаспрСдСлитС 4.

      \ [\begin{align} 4(2+5i)&=(4β‹…2)+(4β‹…5i) \nonumber\\ &=8+20i \nonumber\end{align}\nonumber\]

      \(\ PageIndex{4}\)

      НайдитС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ \(βˆ’4(2+6i)\).

      ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ

      \(βˆ’8βˆ’24i\)

      Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ комплСксных чисСл 92\Π½ΠΎΠΌΠ΅Ρ€\\ &=(8+15)+(-20+6)i \Π½Π΅Π½ΠΎΠΌΠ΅Ρ€\\ &=23-14i \Π½Π΅Π½ΠΎΠΌΠ΅Ρ€\ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ†{Π²Ρ‹Ρ€Π°Π²Π½ΠΈΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅}\Π½Π΅Π½ΠΎΠΌΠ΅Ρ€\]

      \(\PageIndex{5}\ )

      Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ \((3βˆ’4i)(2+3i)\).

      ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ

      \(18+я\)

      Π”Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ комплСксных чисСл

      Π”Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡƒΡ… комплСксных чисСл слоТнСС, Ρ‡Π΅ΠΌ слоТСниС, Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ стандартная Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ° комплСксного числа Π½Π΅ допускаСт ΠΌΠ½ΠΈΠΌΠΎΠ³ΠΎ числа Π² Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅. Β«Π”Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅Β» комплСксных чисСл прСвращаСтся Π² Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Ρƒ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΡŒ Ρ‚Π°ΠΊ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ Π±Ρ‹Π» Π² стандартной Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅. Нам Π½ΡƒΠΆΠ΅Π½ Ρ‡Π»Π΅Π½, Π½Π° ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡ΠΈΡ‚ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡƒΡŽ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ знамСнатСля. Π­Ρ‚ΠΎΡ‚ Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½ называСтся комплСксноС сопряТСниС знамСнатСля, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ находится ΠΏΡ€ΠΈ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ Π·Π½Π°ΠΊΠ° ΠΌΠ½ΠΈΠΌΠΎΠΉ части комплСксного числа. Π”Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌΠΈ словами, комплСксноС сопряТСниС \(a+bi\) Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ \(aβˆ’bi\).

      ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅: комплСксноС сопряТСниС

      КомплСксноС сопряТСниС комплСксного числа \(a+bi\) Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ \(aβˆ’bi\). Π•Π³ΠΎ находят ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π·Π½Π°ΠΊΠ° ΠΌΠ½ΠΈΠΌΠΎΠΉ части комплСксного числа. Π”Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ числа остаСтся Π½Π΅ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ.

      • Когда комплСксноС число умноТаСтся Π½Π° Π΅Π³ΠΎ комплСксно-сопряТСнноС, Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ΠΎΠΌ являСтся Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число: \((a+bi)(a-bi)=a^2+b^2\).
      • Когда комплСксноС число добавляСтся ΠΊ Π΅Π³ΠΎ комплСксно-сопряТСнному, Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ΠΎΠΌ являСтся Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число: \((a+bi) +(a-bi)=2a\).

      ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ комплСксно-сопряТСнныС числа ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΡƒΡŽ связь: комплСксно-сопряТСнноС число \(a+bi\) Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ \(aβˆ’bi\), Π° комплСксно-сопряТСнноС число \(aβˆ’bi\) Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ \(a+bi\ ). ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π½ΠΈΠ΅: ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΡ‹ ΡƒΠ²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ Π² Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π΅ 3.2, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ с Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ коэффициСнтами ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ комплСксныС Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ, Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ всСгда комплСксно сопряТСны Π΄Ρ€ΡƒΠ³ Π΄Ρ€ΡƒΠ³Ρƒ.

      ΠŸΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ, ΠΌΡ‹ Ρ…ΠΎΡ‚ΠΈΠΌ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ \(c+di\) Π½Π° \(a+bi\), Π³Π΄Π΅ Π½ΠΈ a, Π½ΠΈ \(b\) Π½Π΅ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ Π½ΡƒΠ»ΡŽ. Π‘Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° запишСм Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ, Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ комплСксно-ΡΠΎΠΏΡ€ΡΠΆΠ΅Π½Π½ΡƒΡŽ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ знамСнатСля ΠΈ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠΌ. 92}\nonumber\]

      Β 

      ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ \(\PageIndex{6}\): Поиск комплСксно-сопряТСнных чисСл

      НайдитС комплСксно-сопряТСнноС число ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ числа.

      1. \(2+i\sqrt{5}\)
      2. \(βˆ’\frac{1}{2}i\)

      Раствор

      Π°. Число ΡƒΠΆΠ΅ находится Π² Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅ \(a+bi\). КомплСксноС сопряТСниС Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ \(aβˆ’bi\) ΠΈΠ»ΠΈ \(2βˆ’i\sqrt{5}\).
      Π±. ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅ это число Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ \(a+bi\), Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ \(0βˆ’\frac{1}{2}i\). КомплСксноС сопряТСниС Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ \(aβˆ’bi\) ΠΈΠ»ΠΈ \(0-(-\frac{1}{2}i)\), Ρ‡Ρ‚ΠΎ упрощаСтся Π΄ΠΎ \(0+\frac{1}{2}i\) . ΠžΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ это записываСтся просто ΠΊΠ°ΠΊ \(\frac{1}{2}i\).

      Π”Π°Π½Ρ‹ Π΄Π²Π° комплСксных числа, Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ Π½Π° Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠ΅.

      1. Π—Π°ΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Ρƒ дСлСния Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ.
      2. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ комплСксноС сопряТСниС знамСнатСля.
      3. Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ Π½Π° комплСксноС сопряТСниС знамСнатСля.
      4. Π£ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ.

      ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ \(\PageIndex{7}\): Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ комплСксных чисСл

      Π Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ \((2+5i)\) Π½Π° \((4βˆ’i)\).

      РСшСниС

      НачнСм с записи Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ.

      \[\dfrac{(2+5i)}{(4βˆ’i)}\nonumber\]

      Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Π΅ΠΌ Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ Π½Π° комплСксноС сопряТСниС знамСнатСля.

      \[\dfrac{(2+5i)}{(4βˆ’i)}{\cdot}\dfrac{(4+i)}{(4+i)}\nonumber\]

      Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π΄Π²Π° слоТных чисСл, ΠΌΡ‹ Ρ€Π°ΡΡˆΠΈΡ€ΡΠ΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ Ссли Π±Ρ‹ ΠΌΡ‹ использовали Π±ΠΈΠ½ΠΎΠΌΡ‹ (процСсс, ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌΡ‹ΠΉ FOIL). 2=-1$}\\ &=\dfrac{3+22i}{17} \\ &=\dfrac{3}{17}+\dfrac{22} {17}i & & \text{Π Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ ΠΈ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡƒΡŽ части.} \end{align*}\]

      ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ это Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ°Π΅Ρ‚ частноС Π² стандартной Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅.

      Π”ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΊΡ€Π΅Π΄ΠΈΡ‚ : ΠœΡ‹ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Π΅ΠΌ ΠΈΡΡ…ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΡŒ Π½Π° \(\frac{4+i}{4+i}\). (a) Каково Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ \(\frac{4+i}{4+i}\)? (b) ΠžΠ±ΡŠΡΡΠ½ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π°ΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ этого значСния Π² процСссС дСлСния комплСксных чисСл. Π—Π°ΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅ это ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π΄Π°ΠΉΡ‚Π΅ своСму инструктору для получСния Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π±Π°Π»Π»ΠΎΠ².

      ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ \(\PageIndex{8}\): подстановка комплСксного числа Π² ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ 92βˆ’3x\). ВычислитС \(f(8βˆ’i)\).

      ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ

      \(102βˆ’29i\)

      ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ \(\PageIndex{9}\): Π·Π°ΠΌΠ΅Π½Π° ΠΌΠ½ΠΈΠΌΠΎΠ³ΠΎ числа Π² Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

      ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ \(f(x)=\frac{2+x}{x+3}\). ВычислитС \(f(10i)\).

      РСшСниС

      ΠŸΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²ΡŒΡ‚Π΅ \(x=10i\) ΠΈ упроститС. 2}{92$.}\\[5pt] &\dfrac{106+10i}{109} & & \text{Π£ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ.}\\[5pt] &\dfrac{106}{109}+\dfrac{10}{109 } & & \text{Π Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ ΠΈ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡƒΡŽ части.} \end{align*}\]

      \(\PageIndex{7}\)

      ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ \(f(x)=\frac{x+1} {Ρ…βˆ’4}\). ВычислитС \(f(βˆ’i)\).

      ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ

      \(βˆ’\frac{3}{17}+\frac{5i}{17}\)

      Π£ΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ стСпСни \(i\)

      Π‘Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ \(i\) Ρ†ΠΈΠΊΠ»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹. Π”Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ посмотрим, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·ΠΎΠΉΠ΄Π΅Ρ‚, Ссли ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ΄Π½ΠΈΠΌΠ΅ΠΌ 9.{19}\)

      ΠšΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π²Ρ‹Π΅ понятия

      • ΠšΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· любого ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ числа ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ записан ΠΊΠ°ΠΊ ΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ \(i\).
      • Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ комплСксноС число, ΠΌΡ‹ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌ Π΄Π²Π΅ числовыС Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅ΠΊΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ, образуя ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡƒΡŽ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ. Π“ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ось β€” это Ρ€Π΅Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ось, Π° Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ось β€” вообраТаСмая ось.
      • ΠšΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½Ρ‹Π΅ числа ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠΊΠ»Π°Π΄Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ, комбинируя Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ части ΠΈ комбинируя ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡ‹Π΅ части.
      • ΠšΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½Ρ‹Π΅ числа ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΈ Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ.
      • Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ комплСксныС числа, распрСдСлитС Ρ‚Π°ΠΊ ΠΆΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Ρ‹.
      • Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ комплСксныС числа, ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΡŒΡ‚Π΅ ΠΈ Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ, ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ Π½Π° комплСксноС сопряТСниС знамСнатСля, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ комплСксноС число ΠΈΠ· знамСнатСля.
      • Π‘Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ \(i\) Ρ†ΠΈΠΊΠ»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹, повторяя ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΡƒΡŽ Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΡƒΡŽ.

      Глоссарий

      комплСксноС сопряТСниС
      комплСксноС число, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ Π·Π½Π°ΠΊ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΠΎΠΉ части ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½, Π° Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ числа оставлСна ​​бСз ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ; ΠΏΡ€ΠΈ Π΄ΠΎΠ±Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΈΠ»ΠΈ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π½Π° исходноС комплСксноС число Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ΠΎΠΌ являСтся Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число

      комплСксноС число
      сумма Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΠΎΠ³ΠΎ чисСл, записанная Π² стандартной Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅
      \(a+bi\) (\(a,b \in \mathbb{R}\)),
      Π³Π΄Π΅ \(a\) β€” Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ, Π° \(bi\) β€” мнимая Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ

      комплСксная ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ
      систСма ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ось ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ΡΡ для прСдставлСния Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ части комплСксного числа, Π° Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ось ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ΡΡ для прСдставлСния ΠΌΠ½ΠΈΠΌΠΎΠΉ части комплСксного числа

      ΠΌΠ½ΠΈΠΌΠΎΠ³ΠΎ числа
      число Π² Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅ \(bi\), Π³Π΄Π΅ \(i=\sqrt{βˆ’1}\)

      Авторы


      Π­Ρ‚Π° страница ΠΏΠΎΠ΄ Π½Π°Π·Π²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ 3. 1: ΠšΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½Ρ‹Π΅ числа распространяСтся ΠΏΠΎΠ΄ Π»ΠΈΡ†Π΅Π½Π·ΠΈΠ΅ΠΉ CC BY-NC-SA 4.0 ΠΈ Π±Ρ‹Π»Π° создана, ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½Π° ΠΈ/ΠΈΠ»ΠΈ ΠΊΡƒΡ€ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½Π° OpenStax.

      1. НавСрх
        • Π‘Ρ‹Π»Π° Π»ΠΈ эта ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΡ ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π½ΠΎΠΉ?
        1. Вип издСлия
          Π Π°Π·Π΄Π΅Π» ΠΈΠ»ΠΈ Π‘Ρ‚Ρ€Π°Π½ΠΈΡ†Π°
          Автор
          ΠžΠΏΠ΅Π½Π‘Ρ‚Π°ΠΊΡ
          ЛицСнзия
          CC BY-NC-SA
          ВСрсия Π»ΠΈΡ†Π΅Π½Π·ΠΈΠΈ
          4,0
          ΠŸΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ страницу TOC
          Π΄Π°
          Π’ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΎ
          Π΄Π°
        2. Π’Π΅Π³ΠΈ
          1. расчСт: Π΄Π°
          2. комплСксно-сопряТСнный
          3. комплСксный Π½ΠΎΠΌΠ΅Ρ€
          4. слоТный самолСт
          5. Π’ΠΎΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ°Π΅ΠΌΠΎΠ΅ число
          6. вообраТаСмая Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π°

        python — Как ΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ комплСксныС числа (Π΄ΠΈΠ°Π³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ° Арганда) с использованиСм matplotlib

        Вопрос Π·Π°Π΄Π°Π½

        ИзмСнСно 2 Π³ΠΎΠ΄Π°, 11 мСсяцСв Π½Π°Π·Π°Π΄

        ΠŸΡ€ΠΎΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π½ΠΎ 71k Ρ€Π°Π·

        21

        Новинка! БохраняйтС вопросы ΠΈΠ»ΠΈ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚Ρ‹ ΠΈ ΠΎΡ€Π³Π°Π½ΠΈΠ·ΡƒΠΉΡ‚Π΅ свой Π»ΡŽΠ±ΠΈΠΌΡ‹ΠΉ ΠΊΠΎΠ½Ρ‚Π΅Π½Ρ‚.
        Π£Π·Π½Π°Ρ‚ΡŒ большС.

        Π― Ρ…ΠΎΡ‡Ρƒ ΡΠΎΠ·Π΄Π°Ρ‚ΡŒ Π΄ΠΈΠ°Π³Ρ€Π°ΠΌΠΌΡƒ Арганда ΠΈΠ· Π½Π°Π±ΠΎΡ€Π° комплСксных чисСл, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ matplotlib.

        Π˜Π·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ LeonardoG, CC-SA-3.0

        • python
        • numpy
        • matplotlib
        • plot
        • комплСксныС числа

        Π― Π½Π΅ совсСм ΡƒΠ²Π΅Ρ€Π΅Π½, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Ρ‹ здСсь ΠΈΡ‰Π΅Ρ‚Π΅… Ρƒ вас Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π½Π°Π±ΠΎΡ€ комплСксных чисСл, ΠΈ Π²Ρ‹ Ρ…ΠΎΡ‚ΠΈΡ‚Π΅ ΠΎΡ‚ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈΡ… Π½Π° плоскости, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ ΠΈΡ… Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊ x ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π° ΠΈ мнимая Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊ y?

        Если это Ρ‚Π°ΠΊ, Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ€Π΅Π°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ любого ΠΌΠ½ΠΈΠΌΠΎΠ³ΠΎ числа Python с number.real ΠΈ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡƒΡŽ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ с number.imag . Если Π²Ρ‹ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚Π΅ numpy, ΠΎΠ½ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ прСдоставляСт Π½Π°Π±ΠΎΡ€ Π²ΡΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ numpy.real ΠΈ numpy.imag ΠΈ Ρ‚. Π΄., ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°ΡŽΡ‚ с массивами numpy.

        НапримСр, Ссли Ρƒ вас Π΅ΡΡ‚ΡŒ массив комплСксных чисСл, хранящийся ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊ:

         Π’ [13]: a = n.arange(5) + 1j*n.arange(6,11)
        Π’ [14]: Π°
        Out[14]: array([ 0. +6.j, 1. +7.j, 2. +8.j, 3. +9. j, 4.+10.j])
         

        …Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ просто ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ

         Π’ [15]: fig,ax = subplots()
        Π’ [16]: ax.scatter(a.real,a.imag)
         

        ΠžΡ‚ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ°Π΅Ρ‚ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π½Π° Π΄ΠΈΠ°Π³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ΅ Аргана для ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ.

        Ρ€Π΅Π΄Π°ΠΊΡ‚ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅: для части построСния Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Π²Ρ‹, ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎ, Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ ΠΈΠΌΠΏΠΎΡ€Ρ‚ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ matplotlib.pyplot Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· ΠΈΠ· matplotlib.pyplot import * ΠΈΠ»ΠΈ (ΠΊΠ°ΠΊ я сдСлал) ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΎΠ±ΠΎΠ»ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ ipython Π² Ρ€Π΅ΠΆΠΈΠΌΠ΅ pylab.

        1

        Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΠΎΠ»ΠΆΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ @inclement; ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π°Ρ функция создаСт Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Аргана, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ цСнтрируСтся Π²ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠ³ 0,0 ΠΈ ΠΌΠ°ΡΡˆΡ‚Π°Π±ΠΈΡ€ΡƒΠ΅Ρ‚ΡΡ Π΄ΠΎ максимального Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ значСния Π² Π½Π°Π±ΠΎΡ€Π΅ комплСксных чисСл.

        Π― использовал Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ построСния Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° ΠΈ ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Π» ΡΠΏΠ»ΠΎΡˆΠ½Ρ‹Π΅ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ ΠΎΡ‚ (0,0). Π˜Ρ… ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡƒΠ΄Π°Π»ΠΈΡ‚ΡŒ, Π·Π°ΠΌΠ΅Π½ΠΈΠ² ro- Π½Π° ro .

         ΠΏΠΎ Π°Ρ€Π³Π°Π½Ρƒ(Π°):
            ΠΈΠΌΠΏΠΎΡ€Ρ‚ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ matplotlib.pyplot ΠΊΠ°ΠΊ plt
            ΠΈΠΌΠΏΠΎΡ€Ρ‚ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ numpy ΠΊΠ°ΠΊ np
            для x в диапазонС (len (a)):
                plt.plot([0,a[x].real],[0,a[x].imag],'ro-',label='python')
            limit=np. max(np.ceil(np.absolute(a))) # ΡƒΡΡ‚Π°Π½ΠΎΠ²ΠΈΡ‚ΡŒ ограничСния для оси
            plt.xlim((-Π»ΠΈΠΌΠΈΡ‚,Π»ΠΈΠΌΠΈΡ‚))
            plt.ylim((-Π»ΠΈΠΌΠΈΡ‚,Π»ΠΈΠΌΠΈΡ‚))
            plt.ylabel('Π’ΠΎΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ°Π΅ΠΌΡ‹ΠΉ')
            plt.xlabel('Настоящий')
            plt.show()
         

        НапримСр:

         >>> a = n.arange(5) + 1j*n.arange(6,11)
        >>> ΠΈΠ· Π°Ρ€Π³Π°Π½Π° ΠΈΠΌΠΏΠΎΡ€Ρ‚ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π°Ρ€Π³Π°Π½
        >>> Π°Ρ€Π³Π°Π½(Π°)
         

        ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚:

        Π Π•Π”ΠΠšΠ’Π˜Π ΠžΠ’ΠΠ’Π¬:

        Π― Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎ понял, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ функция Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° полярных :

         для x в a:
            plt.polar([0,ΡƒΠ³ΠΎΠ»(Ρ…)],[0,абс(Ρ…)],ΠΌΠ°Ρ€ΠΊΠ΅Ρ€='o')
         

        2

        Если Π²Ρ‹ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΡ‡ΠΈΡ‚Π°Π΅Ρ‚Π΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ, ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½Ρ‹ΠΉ ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠΌΡƒ Π½ΠΈΠΆΠ΅

        ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ Ρ‚ΠΈΠΏ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°

        ΠΈΠ»ΠΈ этот односСкундный Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ

        Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ это просто с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ этих Π΄Π²ΡƒΡ… строк (Π² качСствС ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π° для Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ² Π²Ρ‹ΡˆΠ΅):

         z=[20+10j,15,-10-10j,5+15j] # массив комплСксных Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ
        complex_plane2(z,1) # вызываСмая функция
         

        с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ простого ΠΊΠΎΠ΄Π° jupyter ΠΎΡ‚ΡΡŽΠ΄Π° https://github. com/osnove/other/blob/master/complex_plane.py

        Π― написал это для своих Ρ†Π΅Π»Π΅ΠΉ. Π•Ρ‰Π΅ Π»ΡƒΡ‡ΡˆΠ΅, Ссли это ΠΏΠΎΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌ.

         ΠΈΠΌΠΏΠΎΡ€Ρ‚ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ matplotlib.pyplot ΠΊΠ°ΠΊ plt
        ΠΈΠ· ΠΈΠΌΠΏΠΎΡ€Ρ‚Π° numpy *
        '''
        ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~`
        Π­Ρ‚ΠΎ рисуСт ось для Π΄ΠΈΠ°Π³Ρ€Π°ΠΌΠΌΡ‹ Аргана
        ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~`
        '''
        Ρ€ = 1
        Y = [r*exp(1j*theta) для Ρ‚Π΅Ρ‚Π° Π² linspace(0,2*pi, 200)]
        Y = массив (Y)
        plt.plot (Ρ€Π΅Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ (Y), ΠΎΠ±Ρ€Π°Π· (Y), 'r')
        plt.ylabel('Π’ΠΎΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ°Π΅ΠΌΡ‹ΠΉ')
        plt.xlabel('Настоящий')
        plt.axhline(y=0,color='Ρ‡Π΅Ρ€Π½Ρ‹ΠΉ')
        plt.axvline(x=0, Ρ†Π²Π΅Ρ‚='Ρ‡Π΅Ρ€Π½Ρ‹ΠΉ')
        Π΄Π΅Ρ„ Π°Ρ€Π³Π°Π½Π΄ (complex_number):
            '''
            Π­Ρ‚Π° функция ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ‚ комплСксноС число.
            '''
            Ρƒ = комплСксноС_число
            x1,y1 = [0,вСщСствСнноС(y)], [0, imag(y)]
            x2,y2 = [Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ (y), Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ (y)], [0, imag (y)]
            plt.plot(x1,y1, 'r') # РисуСм Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Ρƒ
            plt.plot(x2,y2, 'r') # РисуСм ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΡŽ Π½Π° Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ ось
            plt.plot (Ρ€Π΅Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ (Ρƒ), ΠΎΠ±Ρ€Π°Π· (Ρƒ), 'Π±ΠΎ')
        [argand(r*exp(1j*theta)) для Ρ‚Π΅Ρ‚Π° Π² linspace(0,2*pi,100)]
        plt.show()
         

        https://github. com/QuantumNovice/Matplotlib-Argand-Diagram/blob/master/argand.py

        Π—Π°Ρ€Π΅Π³ΠΈΡΡ‚Ρ€ΠΈΡ€ΡƒΠΉΡ‚Π΅ΡΡŒ ΠΈΠ»ΠΈ Π²ΠΎΠΉΠ΄ΠΈΡ‚Π΅ Π² систСму

        Π—Π°Ρ€Π΅Π³ΠΈΡΡ‚Ρ€ΠΈΡ€ΡƒΠΉΡ‚Π΅ΡΡŒ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ Google

        Π—Π°Ρ€Π΅Π³ΠΈΡΡ‚Ρ€ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Facebook

        Π—Π°Ρ€Π΅Π³ΠΈΡΡ‚Ρ€ΠΈΡ€ΡƒΠΉΡ‚Π΅ΡΡŒ, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ ΡΠ»Π΅ΠΊΡ‚Ρ€ΠΎΠ½Π½ΡƒΡŽ ΠΏΠΎΡ‡Ρ‚Ρƒ ΠΈ ΠΏΠ°Ρ€ΠΎΠ»ΡŒ

        ΠžΠΏΡƒΠ±Π»ΠΈΠΊΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊ Π³ΠΎΡΡ‚ΡŒ

        ЭлСктронная ΠΏΠΎΡ‡Ρ‚Π°

        ΠžΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Π½ΠΎ Π½Π΅ отобраТаСтся

        ΠžΠΏΡƒΠ±Π»ΠΈΠΊΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊ Π³ΠΎΡΡ‚ΡŒ

        ЭлСктронная ΠΏΠΎΡ‡Ρ‚Π°

        ВрСбуСтся, Π½ΠΎ Π½Π΅ отобраТаСтся

        комплСксная ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ, слоТСниС ΠΈ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠ΅

        ΠšΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½Ρ‹Π΅ числа: комплСксная ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ, слоТСниС ΠΈ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ Гаусс Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π» ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΡƒΡŽ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡƒ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρ‹, ΠΌΡ‹ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ всС комплСксныС числа ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ Π²ΠΈΠ΄ x Β +Β  yi, , Π³Π΄Π΅ x ΠΈ y β€” Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа, Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа β€” всС Ρ‚Π΅ числа, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ, ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΈΠ»ΠΈ Π½ΡƒΠ»Π΅Π²Ρ‹ΠΌΠΈ. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ xy для отобраТСния комплСксных чисСл. ΠœΡ‹ Π΄Π°ΠΆΠ΅ Π½Π°Π·ΠΎΠ²Π΅ΠΌ Π΅Π΅ комплСксной ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ , ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ xy . Π­Ρ‚ΠΎ Π΄Π°Π΅Ρ‚ Π½Π°ΠΌ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΏΡƒΡ‚ΡŒ ΠΊ комплСксным числам, ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ ΠΏΡƒΡ‚ΡŒ β€” алгСбраичСский, ΠΊΠ°ΠΊ Π² Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ x Β +Β  yi.

        ΠžΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅.

        Π‘Ρ‚Π°Π½Π΄Π°Ρ€Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ символ для Π½Π°Π±ΠΎΡ€Π° всСх комплСксных чисСл β€” C , ΠΈ ΠΌΡ‹ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡƒΡŽ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊ C .

        ΠœΡ‹ ΠΏΠΎΠΏΡ€ΠΎΠ±ΡƒΠ΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ x ΠΈ y для вСщСствСнных ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ… ΠΈ z ΠΈ z для комплСксных ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ…. НапримСр, ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ z Β =Β  x Β +Β  yi слСдуСт ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊ говорящСС, Ρ‡Ρ‚ΠΎ комплСксноС число z β€” это сумма Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ числа x ΠΈ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ числа y , ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π½Π° i. In general, the x part of a complex number z Β =Β  x Β +Β  yi is called the real part of z , while y is called the imaginary part of z . (Иногда ΠΈ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΠΎΠΉ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒΡŽ.)

        Когда ΠΌΡ‹ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌ xy -ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ для комплСксной плоскости C , ΠΌΡ‹ Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ ось x Ρ€Π΅Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ осью , ΠΈ ось y ΠΌΡ‹ Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΠΎΠΉ осью.

        ВСщСствСнныС числа слСдуСт Ρ€Π°ΡΡΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊ частныС случаи комплСксных чисСл; это просто Ρ†ΠΈΡ„Ρ€Ρ‹ x Β +Β  yi , ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° y Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 0, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ это числа Π½Π° Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ оси. НапримСр, Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число 2 Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 2Β +Β 0Β , Ρ‚.Π΅. Числа Π½Π° ΠΌΠ½ΠΈΠΌΠΎΠΉ оси ΠΈΠ½ΠΎΠ³Π΄Π° Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ чисто ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡ‹Π΅ числа.

        АрифмСтичСскиС ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ Π½Π°Π΄

        C ΠžΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ слоТСния ΠΈ вычитания понятны. Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈΠ»ΠΈ Π²Ρ‹Ρ‡Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π΄Π²Π° комплСксных числа, просто слоТитС ΠΈΠ»ΠΈ Π²Ρ‹Ρ‡Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΈ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡ‹Π΅ части. НапримСр, сумма 5 + 3 i ΠΈ 4 + 2 i Ρ€Π°Π²Π½Π° 9 + 5 i. Π’ΠΎ-Π²Ρ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ…, сумма 3Β +Β  i ΠΈ 1 +Β 2 i Ρ€Π°Π²Π½Π° 2Β +Β 3 i.

        Π”ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ прСдставлСно графичСски Π½Π° комплСксной плоскости C . Π’ΠΎΠ·ΡŒΠΌΠ΅ΠΌ послСдний ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€. КомплСксноС число z Β =Β 3Β +Β  i располоТСно Π½Π° 3 Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρ‹ ΠΏΡ€Π°Π²Π΅Π΅ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΠΎΠΉ оси ΠΈ Π½Π° 1 Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρƒ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ оси, Π° w Β =Β 1Β +Β 2 i располоТСно Π½Π° 1 Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρƒ Π»Π΅Π²Π΅Π΅ ΠΈ 2 Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ† Π²Π²Π΅Ρ€Ρ…. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, сумма z + w Β = 2Β +Β 3 i Ρ€Π°Π²Π½Π° 2 Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π°ΠΌ Π²ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ ΠΈ 3 Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π°ΠΌ Π²Π²Π΅Ρ€Ρ….

        ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ°.

        ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π² послСднСм ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅ комплСксных числа 0, z Β =Β 3Β +Β  i, w Β = 1Β +Β 2 i, ΠΈ z Β +Β  w i 3Β =Β 908Β 8 Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ ΡƒΠ³Π»Ρ‹ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ°. Π’ Ρ†Π΅Π»ΠΎΠΌ это ΠΏΡ€Π°Π²Π΄Π°. Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ, Π³Π΄Π΅ Π² плоскости C находится сумма z Β +Β  w Π΄Π²ΡƒΡ… комплСксных чисСл z ΠΈ w , Π½Π°Ρ‡Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ z ΠΈ w, Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ ΠΎΡ‚ 0 Π΄ΠΎ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ…, ΠΈ Π·Π°Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌ. ЧСтвСртая Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Π° Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ z Β +Β  w.

        Π”ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π²ΠΎΠ΄Π°.

        Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ°, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€ΠΏΡ€Π΅Ρ‚ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ слоТСниС w ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ плоскости C . Π”ΠΎΠ±Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ w ΠΊ 0 Π΄Π°Π΅Ρ‚ w, ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎ, , поэтому Π² этом ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΈ 0 пСрСмСщаСтся Π² w . Π›ΡŽΠ±Π°Ρ другая Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° z пСрСмСщаСтся Π² z Β +Β  w, , поэтому z пСрСмСщаСтся Π² Ρ‚ΠΎΠΌ ΠΆΠ΅ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ Π½Π° Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ расстояниС. Π”Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌΠΈ словами, каТдая Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° Π² C пСрСмСщаСтся Π² Ρ‚ΠΎΠΌ ΠΆΠ΅ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΈ Π½Π° Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ расстояниС, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΊ Π½Π΅ΠΌΡƒ добавляСтся w . МоТно ΡΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ слоТСниС w Π΄Π°Π΅Ρ‚ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π²ΠΎΠ΄ плоскости C Π² Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΈ Π½Π° расстояниС ΠΎΡ‚ 0 Π΄ΠΎ w. Π’Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½ «Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€» ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ΡΡ Π² описании: «ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ пСрСводится ΠΏΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρƒ 0 w.

        ΠžΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠ΅.

        Π•ΡΡ‚ΡŒ ΠΈ Ρ…ΠΎΡ€ΠΎΡˆΠ°Ρ гСомСтричСская интСрпрСтация отрицания. ΠšΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎ, ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Π½ΠΈΠ΅ x Β +Β  yi Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ x Β Β  yi, , поэтому ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Π½ΠΈΠ΅ комплСксного числа Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Ρ€Π°ΡΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°Ρ‚ΡŒΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ Ρ€Π°Π· Π½Π°ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ² 0 ΠΈ Π½Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΌ ΠΆΠ΅ расстоянии ΠΎΡ‚ Π½Π΅Π³ΠΎ. НапримСр, z Β =Β 2Β +Β  i располоТСно Π½Π° 2 Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρ‹ Π²ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ ΠΈ Π½Π° ΠΎΠ΄Π½Ρƒ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρƒ Π²Π²Π΅Ρ€Ρ…, поэтому Π΅Π³ΠΎ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Π½ΠΈΠ΅ z Β =Β 2Β Β  i располоТСно Π½Π° 2 Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρ‹ Π²Π»Π΅Π²ΠΎ ΠΈ Π½Π° ΠΎΠ΄Π½Ρƒ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρƒ Π²Π½ΠΈΠ·.

      Π”ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠΌΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Ρ€ΠΈΠΉ

      Π’Π°Ρˆ адрСс email Π½Π΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΎΠΏΡƒΠ±Π»ΠΈΠΊΠΎΠ²Π°Π½. ΠžΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ поля ΠΏΠΎΠΌΠ΅Ρ‡Π΅Π½Ρ‹ *