Презентация «Функция y=ax2, ее график и свойства. Как построить параболу? Что такое парабола? Как решаются квадратные уравнения? Как решать функции y ax2 bx c
Задания на свойства и графики квадратичной функции вызывают, как показывает практика, серьезные затруднения. Это довольно странно, ибо квадратичную функцию проходят в 8 классе, а потом всю первую четверть 9-го класса «вымучивают» свойства параболы и строят ее графики для различных параметров.
Это связано с тем, что заставляя учащихся строить параболы, практически не уделяют времени на «чтение» графиков, то есть не практикуют осмысление информации, полученной с картинки. Видимо, предполагается, что, построив десятка два графиков, сообразительный школьник сам обнаружит и сформулирует связь коэффициентов в формуле и внешний вид графика. На практике так не получается. Для подобного обобщения необходим серьезный опыт математических мини исследований, которым большинство девятиклассников, конечно, не обладает. А между тем, в ГИА предлагают именно по графику определить знаки коэффициентов.
Не будем требовать от школьников невозможного и просто предложим один из алгоритмов решения подобных задач.
Итак, функция вида y = ax 2 + bx + c называется квадратичной, графиком ее является парабола. Как следует из названия, главным слагаемым является ax 2 . То есть а не должно равняться нулю, остальные коэффициенты (b и с ) нулю равняться могут.
Посмотрим, как влияют на внешний вид параболы знаки ее коэффициентов.
Самая простая зависимость для коэффициента а . Большинство школьников уверенно отвечает: » если а > 0, то ветви параболы направлены вверх, а если а а > 0.
y = 0,5x 2 — 3x + 1
В данном случае а = 0,5
А теперь для а
y = — 0,5×2 — 3x + 1
В данном случае а = — 0,5
Влияние коэффициента с тоже достаточно легко проследить. Представим, что мы хотим найти значение функции в точке х = 0. Подставим ноль в формулу:
y = a 0 2 + b 0 + c = c .
Получается, что у = с . То есть с — это ордината точки пересечения параболы с осью у. Как правило, эту точку легко найти на графике. И определить выше нуля она лежит или ниже. То есть с > 0 или с
с > 0:
y = x 2 + 4x + 3
с
y = x 2 + 4x — 3
Соответственно, если с = 0, то парабола обязательно будет проходить через начало координат:
y = x 2 + 4x
Сложнее с параметром b . Точка, по которой мы будем его находить, зависит не только от b но и от а . Это вершина параболы. Ее абсцисса (координата по оси х ) находится по формуле х в = — b/(2а) . Таким образом, b = — 2ах в . То есть, действуем следующим образом: на графике находим вершину параболы, определяем знак ее абсциссы, то есть смотрим правее нуля (
Однако это не все. Надо еще обратить внимание на знак коэффициента а .
2+4x-3$ на отрезке $[-5;2]$.
График параболы —
Мы можем нарисовать график параболы, взяв все целые значения показанных на оси, вычислив соответствующее значение для каждого, изобразив каждую точку по очереди и соединив их плавной кривой.
Этот метод не очень эффективен.
Другой способ — вычислить особые точки параболы и построить только их.
Специальные точки:
- -перехват
- вершина
- -перехваты (если есть)
- симметрия -перехвата
Особые точки можно довольно легко вычислить из квадратного выражения, представленного в виде факторизованного или полного квадрата.
Пересечение
происходит, когда координата равна нулю. Следовательно, когда :
Точка -перехвата.
Перехваты происходят, когда координата равна нулю. Чтобы найти их, нам нужно решить уравнение
Когда любые два числа умножаются на ноль, одно, другое или оба числа должны быть равны нулю.
Следовательно, если
-перехваты происходят в точках и .
Вершина: Координата вершины находится прямо посередине точек пересечения. Чтобы найти середину и , мы можем сделать множество вычислений. Один из способов — сложить их вместе и разделить на 2 (найти среднее значение двух чисел).
Теперь, чтобы найти координату вершины, мы просто подставляем координату в уравнение для . Когда :
Координаты вершины .
Нанесем на график точки:
Последняя точка на графике — это симметрия точки пересечения. Если вы представите зеркальную линию, проходящую через вершину, и отразите точку пересечения, чтобы построить пятую точку.
Теперь мы готовы провести гладкую кривую через нанесенные точки, убедившись, что вершина закруглена и не сделана слишком заостренной.
Мы рассчитываем одни и те же специальные точки, однако наши расчеты выглядят немного иначе, поскольку наше уравнение представлено по-другому.
Построим параболу.
Точка пересечения: Точка на параболе, которая лежит на -оси, имеет . Подставляем в уравнение:
-перехват имеет координаты
-перехват: Подставляем и решаем напрямую, помня, что при извлечении квадратного корня нужно учитывать как положительный, так и отрицательный квадратный корень. Например, если мы знаем, что мы знаем, что оба и являются решениями.
Теперь возьмем квадратный корень и посчитаем как отрицательные, так и положительные:
Обратите внимание, что точное значение этих корней можно упростить:
-отрезки имеют координаты и .
Вершина: Нижняя точка параболы имеет наименьшее значение. Наименьшее квадратное число равно нулю. Поскольку , мы требуем, чтобы «что-то» было равно нулю.
В нашем случае . Решать . Вершина имеет координату .
Для вычисления координаты, как и для любой координаты, подставляем координату в уравнение:
Координаты вершины .
Построим точки , , и на осях:
… и нарисуем параболу:
Чтобы построить график непосредственно из стандартной формы, нам нужно использовать процессы, которые происходят позже в этом модуле. В итоге:
Чтобы вычислить точку пересечения, снова устанавливаем и находим это . Следовательно, точка пересечения имеет координаты .
Чтобы рассчитать точки пересечения, нам нужно использовать один из следующих процессов:
- фактор,
- завершить квадрат,
- используйте квадратичную формулу.
Чтобы вычислить координату вершины, нам нужно использовать один из следующих процессов:
- использовать, когда точки пересечения известны;
- используйте формулу ;
- запишите выражение в форме законченного квадрата
Затем мы подставляем координату в уравнение, чтобы найти координату вершины.
Эти процессы обсуждаются в остальной части модуля.
Объяснение урока: построение графика простых квадратичных функций
В этом объяснении мы научимся строить графики и интерпретировать квадратичные функции вида 𝑦=𝑘𝑥+𝑐.
Слово quadratus на латыни означает «возводить в квадрат». В математике термин , квадратичный , равен полученный из этого и описывает что-то, что относится к квадратам, возведению в квадрат или уравнениям, которые содержат термины, в которых переменная возведена в степень 2.
В частности, квадратичной функцией является функция вида 𝑓(𝑥)=𝑎𝑥+𝑏𝑥+𝑐, где 𝑎, 𝑏 и 𝑐 — действительные числа, а 𝑎≠0. В этом объяснении мы в первую очередь сосредоточимся на функции, в которых 𝑏=0, то есть наши уравнения будут иметь вид 𝑓(𝑥)=𝑘𝑥+𝑐.
Имея это в виду, давайте вспомним, как работать с функциями.
Определение: функции и заполнение таблиц функций
Когда отношение назначает ровно один выход для данного входа, это называется функцией. С
𝑥 является входом в функцию, значение функции для определенного числа можно найти с помощью
подставив это число вместо переменной 𝑥 в уравнение функции. Этот процесс может быть
повторяются любое количество раз и организованы в таблицу функций.
| 𝑥 | 𝑥 | 𝑥 | 𝑥 | ⋯ | 𝑥 |
|---|---|---|---|---|---|
| 𝑓(𝑥) | 𝑓(𝑥) | 𝑓(𝑥) | 𝑓 (𝑥) | ⋯ | 𝑓(𝑥) |
Чтобы создать таблицу значений функции вида 𝑦=𝑘𝑥+𝑐, подставляем значения 𝑥 в уравнение функции и полностью упростить результат. Затем мы можем построить результирующий упорядоченный пары на координатной плоскости.
В нашем первом примере мы продемонстрируем этот процесс более подробно.
Пример 1. Заполнение таблицы значений простой квадратичной функции
Это таблица для 𝑓(𝑥)=𝑥+2. Завершите его, найдя значения 𝑎, 𝑏, 𝑐 и 𝑑.
| 𝑥 | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|---|---|
| 𝑓(𝑥) | 𝑎 | 𝑏 | 2 | 𝑐 | 𝑑 |
Ответить
Помните, чтобы заполнить таблицу значений функции вида 𝑓(𝑥)=𝑘𝑥+𝑐, мы
подставьте каждое значение 𝑥 в функцию.
Итак, чтобы найти значение 𝑎, подставим 𝑥=−2 в функцию 𝑓(𝑥)=𝑥+2: 𝑎=𝑓(−2)=(−2)+2=4+2=6.
Далее, чтобы найти значение 𝑏, положим 𝑥=−1: 𝑏=𝑓(−1)=(−1)+2=1+2=3.
Чтобы найти значение 𝑐, положим 𝑥=1: 𝑐=𝑓(1)=1+2=1+2=3.
Наконец, подставим 𝑥=2, чтобы найти значение 𝑑: 𝑑=𝑓(2)=2+2=4+2=6.
Давайте проверим наш метод, вычислив 𝑓(0) и проверив, что наш метод дает правильный результат 2: 𝑓(0)=0+2=0+2=2.
Поскольку значение 𝑓(0) соответствует значению, указанному в таблице, мы можем быть достаточно уверены о нашем методе. Таблицу значений можно заполнить следующим образом.
| 𝑥 | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|---|---|
| 𝑓(𝑥) | 6 | 3 | 2 | 3 | 6 |
Итак, правильные значения: 𝑎=6, 𝑏=3, 𝑐=3 и 𝑑=6.
Начнем с построения пар координат, как показано на диаграмме ниже.
Поскольку значения функции не изменяются линейно, мы не соединяем эти точки прямая линия. В самом деле, для полиномиальных функций порядка двух и выше точки должны быть соединяется плавной кривой.
Форма этого завершенного графика представляет собой симметричную кривую, называемую параболой. В специальном В случае квадратичных функций вида 𝑓(𝑥)=𝑘𝑥+𝑐 линия симметрии фактически является 𝑦-ось, или линия 𝑥=0. То же самое нельзя сказать о более сложных квадратичные функции вида 𝑓(𝑥)=𝑎𝑥+𝑏𝑥+𝑐, хотя линия симметрии будет всегда проходят через вершину (точку поворота) графика квадратичной функции. Обратите внимание, что, для простых квадратичных функций симметрию кривой можно наблюдать в таблицах значения, что дает нам полезный способ проверки наших результатов.
В следующем примере мы покажем, как заполнить таблицу значений для квадратичного функции, а затем начертите ее график.
Пример 2. Заполнение таблицы значений для простого квадратичного числа Функция и ее использование для поиска графика функции
- Заполните следующую таблицу для графика 𝑓(𝑥)=2−2𝑥, найдя значения
𝑎, 𝑏, 𝑐 и 𝑑.
𝑥 −2 −1 0 1 2 𝑓(𝑥) 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 −6 - На какой фигуре изображен график функции 𝑓(𝑥)?
Ответ
Часть 1
Помните, чтобы заполнить таблицу значений функции вида 𝑓(𝑥)=𝑘𝑥+𝑐, мы подставьте каждое значение 𝑥 в функцию. Уравнение 𝑓(𝑥)=2−2𝑥 может выглядеть отличается от этого, но на самом деле имеет ту же форму с терминами в другом порядке.
Сначала пусть 𝑥=−2, чтобы найти значение 𝑎, не забывая применить порядок операций: 𝑎=𝑓(−2)=2−2(−2)=2−2×4=2−8=−6.
Далее, полагая 𝑥=−1, 𝑏=𝑓(−1)=2−2(−1)=2−2×1=2−2=0.
Значение 𝑐 находится путем замены 𝑥=0: 𝑐=𝑓(0)=2−2(0)=2−2×0=2−0=2.
Наконец, находим 𝑑, вычисляя 𝑓(1): 𝑑=𝑓(1)=2−2(1)=2−2×1=2−2=0.
Таблица значений для 𝑓(𝑥)=2−2𝑥 выглядит следующим образом.
| 𝑥 | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|---|---|
| 𝑓(𝑥) | −6 | 0 | 2 | 0 | −6 |
Следовательно, 𝑎=−6, 𝑏=0, 𝑐=2 и 𝑑=0.
Часть 2
Чтобы найти график 𝑓(𝑥), мы можем записать значения из таблицы в виде списка упорядоченных пар форма (𝑥,𝑓(𝑥)).
Это (−2,−6), (−1,0), (0,2), (1,0) и (2,−6). График 𝑓(𝑥) будет гладкой кривой, проходящей через все эти точки.
Это вариант А.
В нашем предыдущем примере функция 𝑓(𝑥)=2−2𝑥 генерировала «перевернутую» или повышающую вниз, парабола. Сравним это с графиком функции 𝑔(𝑥)=2+2𝑥.
Хотя графики этих функций имеют один и тот же 𝑦-отрезок, парабола имеет n-образную форму
когда коэффициент 𝑥 отрицательный и U-образный, когда коэффициент 𝑥 положительный. Это означает, что вершина функции 𝑓(𝑥) соответствует максимальному значению
функция, а вершина 𝑔(𝑥) является минимальной.
Давайте продемонстрируем это на другом примере.
Пример 3. Определение графика простой квадратичной функции
Какой из следующих графиков представляет квадратичную функцию 𝑓(𝑥)=𝑥+0,5 на интервал [−2,2]?
Ответ
Чтобы нарисовать график функции 𝑓(𝑥), мы можем начать с построения таблицы со значениями 𝑥 и 𝑓(𝑥). Поскольку каждый график задан на интервале −2≤𝑥≤2, мы вычислим значения 𝑓(𝑥) на этом интервале.
| 𝑥 | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|---|---|
| 𝑓(𝑥) |
To find the first entry in the second row этой таблицы мы вычисляем 𝑓(−2), подставляя 𝑥=−2 в выражение 𝑥+0,5: 𝑓(−2)=(−2)+0,5=4+0,5=4,5.
Затем мы вычисляем 𝑓(−1), подставляя 𝑥=−1: 𝑓(−1)=(−1)+0,5=1+0,5=1,5.
Продолжая в том же духе,
𝑓(0)=0+0.5=0.5,𝑓(1)=1+0.
5=1.5,𝑓(2)=2+0.5=4.5.
Итак, заполненная таблица значений для 𝑓(𝑥) =𝑥+0,5 выглядит следующим образом.
| 𝑥 | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|---|---|
| 𝑓(𝑥) | 4.5 | 1.5 | 0.5 | 1.5 | 4.5 |
Упорядоченные пары, которые мы начертим на паре осей: (−2,4,5), (−1,1,5), (0,0,5), (1,1.5) и (2,4.5). Поскольку они удовлетворяют квадратичной функции, мы соединим их гладкой кривой как показано на диаграмме.
Это график B.
До сих пор мы нарисовали график квадратичной функции вида 𝑓(𝑥)=𝑘𝑥+𝑐 использование таблиц для создания упорядоченных пар (𝑥,𝑓(𝑥)). Мы видели, что графы такого вида симметричных парабол и что в частном случае квадратичных функций вида 𝑓(𝑥)=𝑘𝑥+𝑐, линией симметрии является линия 𝑥=0.
Мы можем вывести еще одно свойство этих функций. Напомним, что 𝑦-перехват функции
𝑦=𝑓(𝑥) находится путем подстановки 𝑥=0 и решения полученного уравнения:
𝑓(0)=𝑘×0+𝑐=𝑐.
Следовательно, 𝑦-перехват для графика 𝑓(𝑥)=𝑘𝑥+𝑐 есть 𝑐; у него есть координаты (0,𝑐). Для уравнений такого вида 𝑦-перехват также является положением вершины параболы. Этот Однако в общем случае это неверно для более сложных квадратичных функций.
В следующем примере мы покажем, как использовать эти свойства для определения правильного график квадратичной функции.
Пример 4. Идентификация графиков простых квадратичных функций и Комментируя их различия
- Какой график представляет квадратичную функцию 𝑓(𝑥)=𝑥+3?
- Какой график представляет квадратичную функцию 𝑓(𝑥)=𝑥+4?
- Что из следующего верно относительно двух графиков?
- Две кривые имеют одинаковую форму, но вторая является вертикальным сдвигом первой.
- Две кривые имеют одинаковую форму, но вторая представляет собой горизонтальный сдвиг первой.
- Первая кривая является просто растянутой формой второй кривой.
- Две кривые идентичны.
- Одна кривая получается путем поворота другой на 90∘ вокруг начала координат.
Ответ
Часть 1
Помните, графики вида 𝑓(𝑥)=𝑘𝑥+𝑐 представляют собой симметричные параболы с линией симметрия 𝑥=0. 𝑦-перехват для графика 𝑓(𝑥)=𝑘𝑥+𝑐 это 𝑐. Следовательно, график 𝑓(𝑥)=𝑥+3 является параболой с линией симметрии, заданной 𝑥=0 и 𝑦-перехват 3. Единственным графом с 𝑦-перехватом 3 является граф D.
Мы можем проверить этот ответ, вычислив некоторые координаты точек на кривой. Например, давайте оценим 𝑓(−1) и 𝑓(2): 𝑓(−1)=(−1)+3=4,𝑓(2)=2+3=7.
Итак, точки (−1,4) и (2,7) должны лежать на кривая 𝑓(𝑥)=𝑥+3.
Этим критериям удовлетворяет граф D.
Часть 2
График 𝑓(𝑥)=𝑥+4 представляет собой параболу с линией симметрии 𝑥=0 и
𝑦-перехват числа 4. Единственным графом, удовлетворяющим этим критериям, является граф C.
Проверим, вычислив
координаты, лежащие на кривой; мы можем оценить 𝑓(−2) и 𝑓(1):
𝑓(−2)=(−2)+4=8,𝑓(1)=1+4=5.
Точки (−2,8) и (1,5) лежат на кривой 𝑓(𝑥)=𝑥+4.
Это вариант С.
Часть 3
Ответить на этот вопрос можно, рассмотрев свойства графов вида 𝑓(𝑥)=𝑘𝑥+𝑐 рядом с графиками наших функций. Давайте переопределим их как 𝑓(𝑥)=𝑥+3 и 𝑓(𝑥)=𝑥+4. Эти графики представляют собой симметричные параболы с линией симметрии относительно 𝑥=0 и 𝑦-пересечения 3 и 4 соответственно. Заметим, что графики 𝑓(𝑥)=𝑥+3 и 𝑓(𝑥)=𝑥+4 имеют одинаковую общую форму, но разные 𝑦-перехваты.
Следовательно, ответ — вариант А. Два графика имеют одинаковую форму, но второй представляет собой вертикальное смещение первого.
В нашем предыдущем примере мы видели эффект изменения константы 𝑐 в уравнении
𝑦=𝑘𝑥+𝑐. Изменение 𝑐 приводит к вертикальному сдвигу функции вверх или вниз.
Для
Например, увеличение 𝑐 на единицу приведет к смещению всего графика вертикально вверх на
коэффициент один, тогда как уменьшение 𝑐 на единицу приведет к сдвигу всего графика
вертикально вниз.
Что произойдет, если мы изменим 𝑘? Первое, на что следует обратить внимание, как мы вспоминали в нашем комментарии В следующем примере 2 состоит в том, что знак 𝑘 влияет на форму параболы: положительное 𝑘 приводит к квадратичному, напоминающему форму u, а отрицательное 𝑘 приводит к квадратичному, которое напоминает букву n. Если мы рассмотрим значение 𝑘 между ними, то есть когда 𝑘=0, у нас есть постоянная функция 𝑦=𝑐. Для справки, давайте включим графики 𝑦=𝑘𝑥+1 для значений 𝑘, равных −2, 0 и 2,
Если мы подумаем о других значениях 𝑘, начиная с значений от −2 до 0, то мы иметь более полное представление о том, как изменение 𝑘 влияет на график квадратичного уравнения.
Построим график 𝑦=−𝑥+1.
Здесь мы видим, что парабола по-прежнему напоминает форму n, вершина которой имеет
координаты (0,1), но наклоны графика по обе стороны от вершины изменяются больше
медленно по сравнению с функцией 𝑦=−2𝑥+1.
Визуально мы видим, что ширина
«n-форма» увеличилась, когда мы увеличили значение 𝑘 с −2 до −1. Если мы далее
увеличив значение 𝑘 с −1 до −0,5, мы увидели бы, что ширина графика
дальнейшее увеличение.
Такое же поведение сохраняется и для положительных значений 𝑘, но здесь увеличение значение 𝑘 привело бы к параболе, наклоны которой по обе стороны от вершины меняются более быстро, то есть «U-образная форма», которая становится все более тонкой.
Таким образом, мы можем заключить, что чем больше абсолютное значение 𝑘, тем быстрее наклон парабола увеличивается или уменьшается.
В нашем последнем примере мы покажем, как идентифицировать уравнение квадратичной функции 𝑦=𝑘𝑥+𝑐 с учетом его графика.
Пример 5. Определение квадратного уравнения по его графику
Какое из следующих уравнений является уравнением функции, изображенной на графике?
- 𝑓 (𝑥) = — 𝑥+8
- 𝑓 (𝑥) = 𝑥 -8
- 𝑓 (𝑥) = — 𝑥 -8
- 𝑓 (𝑥) = 𝑥+8
- 𝑓 (𝑥)=𝑥−8
Ответ
Начнем с наблюдения за общей формой данного графика.
Это парабола, то есть
график квадратичной функции, и он имеет линию симметрии, заданную осью 𝑦. Это означает
его уравнение будет иметь вид 𝑓(𝑥)=𝑘𝑥+𝑐, где 𝑘≠0. Наша задача теперь будет заключаться в том, чтобы определить
значения 𝑘 и 𝑐.
Поскольку значение 𝑦-перехвата находится путем вычисления 𝑓(0), а 𝑦-перехвата нашего график -8, 𝑓(0)=𝑘×0+𝑐=𝑐=−8.
Следовательно, 𝑐=−8 означает, что уравнение можно записать в виде 𝑓(𝑥)=𝑘𝑥−8. Далее мы можем вычислить значение 𝑘, выбрав точку, лежащую на данной кривой. Выберем (3,1). Это говорит нам, что 𝑓(3)=1. Подставляя это уравнение вместо 𝑓(3), мы можем сформировать и решить уравнение для 𝑘: 1=𝑘×3−81=9𝑘−89𝑘=9𝑘=1.
Фактически, мы ожидаем, что 𝑘>0, так как парабола имеет форму буквы U.
Уравнение кривой 𝑓(𝑥)=𝑥−8, что является вариантом B.
Теперь мы закончим повторением ключевых понятий из этого объяснения.
Ключевые точки
- Чтобы создать таблицу значений функции, мы подставляем значения 𝑥 в функцию.
