Сумма векторов координат: Как найти сумму векторов? Ответ на webmath.ru

Содержание

Операции над векторами в прямоугольной системе координат, сложение векторов по координатам

Если задана плоскость Oxy с векторами a→=ax, ay и b→=(bx, by), то мы можем разложить их по координатным векторам i→ и j→. Тогда это будет иметь вид a→=ax·i→+ay·j→ и b→=bx·i→+by·j→. Чтобы найти сумму a→ и b→ и произведение a→ на λ, рассмотрим:

a→+b→=ax·i→+ay·j→+bx·i→+by·j→=(ax+bx)·i→+(ay+by)·j→

λ·a→=λ·(ax·i→+ay·j→)=(λ·ax)·i→+(λ·ay)·j→

Это равенство справедливо по свойству операций над векторами.

Определение 1

Разложение векторов – это a→+b→ и λ·a→, представленное в частях неравенства по i→ и j→ координатам. Координаты векторов a→+b→ и λ·a→ равны соответственно (ax+bx, ay+by) и (λ·ax, λ·ay).

Таким же образом a→=(ax, ay, az) и b→=(bx, by, bz) записываются как a→+b→=ax·i→+ay·j→+az·k→+bx·i→+by·j→+bz·k→=(ax+bx)·i⇀+(ay+by)·j→+(az+bz)·k→λ·a→=λ·(ax·i→+ay·j→+az·k→)=(λ·ax)·i→+(λ·ay)·j→+(λ·az)·k→

а значит a→+b→=(ax+bx, ay+by, az+bz), λ·a→=(λ·ax, λ·ay, λ·az)

Отсюда делаем вывод, что координаты векторов a→ и b→ равны сумме соответствующих координат векторов a→и b→, координаты произведения вектора a→ на λ приравниваются к соответствующим координатам вектора a→, умноженным на число в заданной системе координат.

При необходимости нахождения координат суммы нескольких векторов, необходимо сложить координаты каждого вектора соответственно. Рассмотрим примеры.

Пример 1

Нужно выполнить сложение a→=(2, 3-13) и b→=(-1,-13). Чему равны координаты произведения вектора a→ на 3.

Решение

Из определения имеем, что сумма векторов равна сумме их координат соответственно, тогда a→+b→=(2+(-1),3-13+(-13))=(1, -13).

Числовое значение умножается на каждую координату: 3·a→=(3·2, 3·3-13)=23,3-33.

Ответ: a→+b→=(1, -13), 3·a→=(23, 3-33)

Пример 2

Заданы векторы a→=(0, 1, -2), b→=(-1, -1, 3), c→=(4, -3, 2) .

Каковы координаты вектора 2·a→+3·(b→-c→)=2·a→+3·b→+(-3)·c→.

Решение

Применяя свойства векторов, получим: 2·a→+3·(b→-c→)=2·a→+3·b→+(-3)·c→.

Подставляем значения координат и получаем: 2·a→+3·b→+(-3)·c→=2·(0,1,-2)+3·(-1,-1, 3)+(-3)·(4,-3, 2)=

=(2·0, 2·1, 2·(-2))+(3·(-1), 3·(-1), 3·3)+((-3)·4,(-3)·(-3)·2)=

=(0, 2, -4)+(-3, -3, 9) + (-12, 9 -6)=

=(0+(-3)+(-12), 2+(-3)+9, -4+9+(-6))=(-15, 8, -1)

Можно решить другим способом.

Обратим внимание на разложение a→, b→ и c→ :

a→=0·i→+1·j→+(-2)·k→=j→-2·k→

b→=(-1)·i→+(-1)·j→+3 ·k→=-i→-j→+3·k→

c→=4·i→+(-3)·j→+2·k→=4·i→-3·j→+2·k→

Исходя из свойств векторов, видим, что: 2·a→+3·(b→-c→)=2·(j→-2·k→)+3·(-i→-j→+3·k→-(4·i→-3·j→+2·k→))==2·j→-4·k→+3·(-5·i→+2·j→+1·k→)=-15·i→+8·j→-k→

Значит, координаты вектора 2·a→+3·(b→-c→) равны (-15, 8, -1).

Ответ: 2·a→+2·(b→-c→)=(-15, 8, -1)

Автор: Ирина Мальцевская

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Навигация по статьям

Предыдущая статья

Нахождение середины отрезка

Следующая статья

Расстояние между точками

Векторное произведение

Векторное пространство
Векторы на плоскости и в пространстве
Геометрическая фигура угол
Деление отрезка в заданном соотношении
Все темы по математике

Дипломные работы
Курсовые работы
Рефераты
Контрольные работы
Отчет по практике
Эссе

Узнать подробнее

теоритеческая механика

Вид работы:
Контрольная работа
Выполнена:
24 ноября 2022 г.
Стоимость:

4 300 руб

Заказать такую же работу

задания в файлах

Вид работы:
Домашняя работа
Выполнена:
13 ноября 2022 г.
Стоимость:
900 руб

Заказать такую же работу

онлайн экзамен по математике июня

Вид работы:
Онлайн-помощь
Выполнена:
22 июня 2022 г.
Стоимость:
2 400 руб

Заказать такую же работу

задания во вложении объем по факту

Вид работы:
Контрольная работа
Выполнена:
23 мая 2022 г.
Стоимость:
800 руб

Заказать такую же работу

Механический расчет колонного аппарата

Вид работы:
Курсовая работа
Выполнена:
13 апреля 2022 г.
Стоимость:
7 600 руб

Заказать такую же работу

Обработка результатов эксперимента

Вид работы:
Доклад
Выполнена:
21 января 2022 г.
Стоимость:
1 600 руб

Заказать такую же работу

Смотреть все работы по механике

Координаты вектора

Ранее вы уже сталкивались с координатами, но указывали их для точек. При этом работали в прямоугольной координатной плоскости, для задания которой необходимо было провести две взаимно перпендикулярные прямые с выбранными на них направлениями (их называют координатными осями) и выбрать единицу измерения на каждой из осей.

Это и позволяло определить координаты любой точки.

На этом уроке нам предстоит выяснить, что называют координатами вектора.

С прошлых занятий вам известно, что любой вектор на плоскости можно разложить по двум неколлинеарным векторам.

От точки О начала координат отложим векторы , длины которых равны единице (в дальнейшем будем называть такие векторы единичными), так, чтобы направление вектора совпадало с направлением оси x, а направление вектора совпадало с направлением оси y.

Тогда векторы будем называть координатными векторами. Понятно, что любой вектор можно разложить по векторам . Причём коэффициенты разложения, числа x и y, определяются единственным образом.

Так вот коэффициенты разложения вектора по координатным векторам называют координатами вектора в данной системе координат.

Координаты вектора будем записывать в фигурных скобках через точку с запятой. При этом первым будем записывать коэффициент разложения x, а вторым — y.

На одном из прошлых занятий мы разлаживали векторы, изображённые в координатной плоскости по векторам .

Пользуясь этими разложениями, запишем координаты данных векторов.

Итак, вектор имеет координаты .

Вектор имеет координаты .

Координатами вектора являются числа ..

Ну, а координатами вектора будут числа .

Обратите внимание, что такие координаты данные векторы будут иметь только в конкретной системе координат и при конкретных координатных векторах .

Коэффициенты разложения нулевого вектора по векторам равны нулю. Тогда получаем, что нулевой вектор имеет координаты 0 0, причём в любой системе координат и при любых координатных векторах.

Если векторы равны, то их разложения по векторам также будут равны, а значит, равны будут и коэффициенты разложения. Таким образом, получаем, что координаты равных векторов соответственно равны.

Рассмотрим ещё один особенный случай — противоположные векторы.

Их разложения противоположны. Значит, противоположны будут и соответственные координаты.

Можем подытожить, что координаты равных векторов соответственно равны, а координаты противоположных векторов соответственно противоположны.

Пользуясь полученными выводами, для каждого из данных векторов запишем противоположный и укажем его координаты.

; ; ; ; .

Задача. Разложить векторы по координатным векторам и , указать их координаты.

Начнём с вектора . Его разложение . Значит, его координатами будут числа 7 и 2.

Далее запишем разложение вектора . Коэффициенты разложения 6 и -1 являются его координатами.

Вектор . Коэффициенты разложения равны 0 и 3. Значит, вектор .

Следующим рассмотрим вектор . Значит, координаты вектора .

Далее обратим своё внимание на вектор . Тогда координаты данного вектора .

Запишем разложение вектора . Значит, он имеет координаты .

Последним рассмотрим вектор . Тогда получаем, .

Видим, что для определения координат вектора достаточно его разложения по координатным векторам. Поэтому при наличии разложения вектора можно сразу назвать его координаты. Главное — помнить, что в качестве первой координаты записывают коэффициент разложения при координатном векторе, коллинеарном оси x (в данном случае — это вектор ), а в качестве второй координаты — коэффициент разложения при координатном векторе, коллинеарном оси y (в данном случае — это вектор ).

Запишем координаты векторов, пользуясь их разложениями по координатным векторам .

Из разложения вектора видим, что он имеет координаты .

, то ;

, то .

А теперь, пользуясь только координатами данных векторов, построим их в прямоугольной координатной плоскости, откладывая каждый вектор от точки О начала координат.

Координатами вектора являются числа 8 и -1. Значит, чтобы переместиться из точки О на вектор , сначала нужно переместиться на вектор , а затем на вектор . Соединив точку О с конечной точкой, получим вектор .

Далее изобразим вектор . Для этого из точки О переместимся на вектор . Тем самым получим искомый вектор .

Чтобы из точки О переместиться на вектор сначала переместимся на вектор ,, а затем на вектор . Проведём вектор из точки О в конечную точку. Так мы получили вектор .

Далее построим вектор .

Последним построим вектор . Перемещение на этот вектор состоит из перемещений на вектор и на вектор . Перемещение из точки О в конечную точку и задаёт вектор

Так мы рассмотрели примеры построения вектора по его координатам.

Далее, пользуясь приобретёнными знаниями о координатах вектора, получим правила нахождения координат векторов, полученных уже известными вам действиями: сложением, вычитанием и умножением вектора на число.

Сначала рассмотрим сумму двух векторов , .

Пользуясь их координатами, можем записать разложения данных векторов по координатным векторам , .

Сложим полученные равенства . Пользуясь свойствами сложения векторов и произведения вектора на число, получаем, что координаты вектора суммы векторов и равны , .

Можем записать правило.

Каждая координата суммы двух и более векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов.

Найдём координаты векторов суммы, если вектор , , , .

Координаты вектора суммы и равны .

Координаты вектора суммы , , равны .

Теперь рассмотрим разность векторов -.

Из разложения вектора вычтем разложение вектора .

Получаем, что координаты вектора разности равны .

Запишем правило. Каждая координата разности двух векторов равна разности соответствующих координат данных векторов.

Разность векторов и имеет координаты .

Далее получим координаты произведения вектора на число k.

Получаем, что координаты произведения равны .

Запишем правило. Каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты вектора на это число.

Найдём координаты вектора 4. Они равны .

Координаты вектора 2,5 равны .

Вектор 3 имеет координаты .

Ну, а вектор имеет координаты .

Все три правила, полученные нами, в дальнейшем помогут определять координаты любого вектора, представленного в виде алгебраической суммы данных векторов с известными координатами.

Задача. Найти координаты векторов и по координатам данных векторов , , , .

Представим это выражение в виде суммы.

Вектор имеет координаты , или .

Координаты вектора . А вот координаты вектора .

Координаты вектора найдём как суммы соответствующих координат полученных векторов. В результате получаем, что имеет координаты

Далее найдём координаты вектора . Запишем второй множитель в виде суммы. Координаты векторов и . Вектор имеет координаты , или . Вектор .

Сумма полученных векторов будет иметь координаты .

Произведение этого вектора на 3 имеет координаты . Это и есть координаты вектора .

Подведём итоги урока. Сегодня, пользуясь уже известным правилом разложения вектора по двум неколлинеарным векторам, мы ввели понятие координатных векторов и дали определение координатам вектора. А также получили правила нахождения координат векторов суммы векторов, разности векторов и произведения вектора на число. Этих правила позволяют определять координаты векторов, представленных в виде алгебраической суммы данных векторов с известными координатами.

На следующем уроке мы найдём связь между координатами вектора и координатами его начала и конца.

Вектор координат

Марко Табога, доктор философии

В векторном пространстве любой вектор можно представить в виде линейной комбинации основа. Коэффициенты линейной комбинации называются координатами вектора относительно базиса.

Содержание

Мотивация
Определение
Примеры
91
Добавление координатных векторов
Умножение координатных векторов на скаляре
Массивы координат соленой векторы. 1
Упражнение 2

Мотивация

Ранее мы предоставили два определения векторного пространства:

неформальное определение: вектор — это конечный массив чисел, и множество таких массивы называются векторным пространством тогда и только тогда, когда они замкнуты относительно принимать линейные комбинации;
формальное определение: векторное пространство — это множество, снабженное двумя операциями, называется векторным сложением и скалярным умножением, которые удовлетворяют ряду аксиомы.

Более простое неформальное определение вполне совместимо с более формальным. определение, как множество числовых массивов удовлетворяет всем свойствам векторное пространство при условии, что векторное сложение и скалярное умножение определяется обычным образом и что множество замкнуто относительно линейных комбинации.

Теперь мы вводим новое понятие, понятие вектора координат, которое делает два определения почти эквивалентны: если мы имеем дело с аннотация векторное пространство , но его размерность конечна и мы можем идентифицировать базис для пространства, то мы можем записать каждый вектор в виде линейной комбинации основы; как следствие, мы можем представить вектор как массив , называемый вектором координат, который содержит коэффициенты линейная комбинация.

Как только мы получили это простое представление, мы можем применить обычные правила матричной алгебры к координатным векторам, даже если мы имеем дело с абстрактное векторное пространство.

Это не только очень удобно, но и стирает различия между двумя подходы к определению векторов и векторных пространств (по крайней мере, для конечномерный случай).

Определение

Теперь мы готовы дать определение вектора координат.

Определение Позволять — конечномерное линейное пространство. Позволять быть основой для . Для любого , взять уникальный набор скаляры такой чтоЗатем, в векторис называется координатный вектор из по отношению к основе .

Заметим, что единственность скаляров гарантируется уникальность представления в терминах базиса.

Примеры

Приведем несколько примеров.

Пример 1

Позволять быть векторным пространством и основу для него.

Предположим, что вектор можно записать в виде линейной комбинации базиса как следует:

Тогда координатный вектор в отношении

Пример 2

Рассмотрите пространство второго порядка полиномыгде коэффициенты и аргумент являются скалярами.

Как мы уже говорили в лекции о линейные пространства, является векторным пространством при условии, что сложение полиномов и их умножение на скаляры производится обычным образом.

Рассмотрим полиномы

Эти три полинома образуют базис за потому что они линейны независимыми (никакая их комбинация не равна нулю ни при каком ) и их можно линейно комбинировать так, чтобы получить любой формы выше:

Координатный вектор относительно базиса, который мы только что нашли is

Сложение векторов координат

Добавление двух векторов можно выполнить, выполнив обычный операция сложения векторов на соответствующие им координатные векторы.

Предложение Позволять быть линейным пространством и основа для . Позволять . Тогда координатный вектор относительно базиса равна сумме координатных векторов и по тому же основанию, что есть,

Доказательство

Предположим, что представления в терминах основа так что координатные векторы по коммутативные и дистрибутивные свойства векторного сложения и скалярного умножение в абстрактных векторных пространствах, мы имеем чтоТаким образом, координатный вектор is

Умножение векторов координат на скаляры

Умножение вектора на скаляр можно выполнить, выполнив обычная эксплуатация умножение скаляром на его координатном векторе.

Предложение Позволять быть линейным пространством и основа для . Позволять и разреши быть скаляром. Тогда координатный вектор по базе равен произведению и координатный вектор , который есть,

Доказательство

Предположим, что представление в терминах основа Иссо что вектор координат является по ассоциативные и дистрибутивные свойства скалярного умножения в абстрактные векторные пространства, мы имеем чтоТаким образом, координатный вектор

Числовые массивы представляют собой векторы координат относительно каноническая основа

Когда элементы линейного пространства представляют собой одномерные массивы чисел (векторы в простейшем смысле терм), то они совпадают со своими координатными векторами относительно стандартная основа.

Пример Позволять быть пространством всех векторы-столбцы. Позволять — его каноническая основа, где вектор, элементы которого все , кроме -й, что равно : Брать Любые Затем, совпадает с его вектором координат относительно базиса , который это потому что

Решенные упражнения

Ниже вы можете найти несколько упражнений с поясненными решениями.

Упражнение 1

Позволять — векторное пространство всех многочленов третьего порядка.

Выполнить сложение двух многочленыandby используя их координатные векторы относительно базис

Убедитесь, что результат тот же, что и при суммировании двух полиномы напрямую.

Решение

Представления в терминах основы Таким образом, два координатных вектора их сумма Иссо что это тот же результат, который мы получаем, выполняя добавление напрямую:

Упражнение 2

Позволять быть пространством всех векторы.

Рассмотрим основу где

Найдите координатный вектор с отношении к данному основанию.

Решение

У нас есть чтоПоэтому, координатный вектор

Как цитировать

Пожалуйста, указывайте как:

Taboga, Marco (2021). «Координатный вектор», Лекции по матричной алгебре. https://www.statlect.com/matrix-алгебра/координата-вектор.