анализ — Есть ли у функции $f(x)=\frac{1}{x}$ обратная функция?
Задавать вопрос
спросил
Изменено 1 год, 1 месяц назад
Просмотрено 192 раза
$\begingroup$
Насколько я понимаю, функция имеет обратную тогда и только тогда, когда такая функция является биекцией.
Итак, если мы рассмотрим $f(x)=\frac{1}{x}$, становится ясно, что $f$ не является биекцией, поскольку $f$ не является сюръективной (поскольку ее кодовая область $\mathbb{R }$, который не равен его диапазону $\mathbb{R}$\{$0$} ).
Однако, глядя на этот веб-сайт здесь (https://www.mechamath.com/алгебра/how-to-know-if-a-function-has-an-inverse/), упоминается, что вы можете сделать «горизонтальный линейный тест», чтобы определить, есть ли у функции обратная функция, т.
Итак, мой вопрос заключается в том, имеет ли $f(x)=\frac{1}{x}$ обратную или нет?
- анализ
- функции
- обратная функция
- сингулярность
$\endgroup$
1
$\begingroup$
Две вещи. Во-первых, когда вы говорите об обратной функции, очень важно указать, что такое кодовый домен.
- если кодовый домен $\mathbb{R}$, то существует левообратный, но не правый обратный
- если кодовый домен $\mathbb{R} \setminus \{0\}$, то существует двусторонний обратный
Во-вторых, «тест горизонтальной линии» — если вы хотите думать об этом таким образом — состоит из двух частей:
- если ни одна горизонтальная линия не пересекает график более одного раза, то функция имеет левую обратную (инъективную)
- если каждая горизонтальная линия пересекает график хотя бы один раз, то функция имеет правую обратную (сюръективную)
Следовательно, если каждая горизонтальная линия пересекает график ровно один раз, то функция имеет двустороннюю обратную (биективную).
$\endgroup$
$\begingroup$
Проверка горизонтальной линии говорит нам только о том, что функция является инъективной. В любом случае, прежде чем мы начнем говорить об инъективности/сюръективности/биективности, мы всегда должны указывать домены и целевые пространства.
Функция $f_1:\Bbb{R}\setminus\{0\}\to\Bbb{R}$, $f_1(x)=\frac{1}{x}$ инъективна, но не сюръективна. 9{-1}=f_4$.
И так далее. Но обратите внимание, что обычно, если у нас есть функция $f:A\to B$, которая является инъективной, обычно не помешает ограничить ее целевое пространство равным изображению, и тогда эта результирующая функция будет биективной.
$\endgroup$
$\begingroup$
Упомянутый вами тест горизонтальной линии проверяет только, является ли $f$ инъективным. Правильным тестом было бы: каждая горизонтальная линия пересекает график ровно один раз .
(Предполагается, что кодовый домен $\Bbb R$. В противном случае горизонтальные линии должны быть ограничены соответствующим кодовым доменом.)
Действительно, $f$ имеет обратную функцию, если рассматривать ее как функцию от $\Bbb R \setminus \{0\}$ до $\Bbb R \setminus \{0\}$. (И не тогда, когда кодовый домен считается $\Bbb R$.)
Но здесь следует рассмотреть более общее явление: предположим, что $f : A \to B$ является функцией. Кодовый домен не столько «присущ» функции, сколько ее образ (диапазон). Вы всегда можете просто взять надмножество кодового домена и по-прежнему иметь «ту же функцию».
В частности, если $f : A \to B$ — инъективная функция, то «ограничение» $f : A \to f(A)$ является биекцией и имеет обратную. ($f(A)$ обозначает образ $f$.)
В этом смысле вам нужна инъекция только для того, чтобы получить инверсию, о чем говорит исходный тест горизонтальной линии.
$\endgroup$
$\begingroup$
Прежде всего, областью определения функции $f$, описываемой $f(x) = \frac 1x$, является $\mathbb R \backslash\{0\}$ (в эту функцию можно подставить что угодно, кроме $0$ ).
Любая инъективная функция имеет обратную, если вы «уменьшаете» кодовую область (которая становится доменом обратной) так, чтобы функция также была сюръективной (просто сделайте диапазон функции кодовой областью). Поэтому $f: \mathbb R \backslash \{0\} \to \mathbb R, f(x) = \frac 1x$ не будет обратимым, но если мы манипулируем доменом кода и изменим его на $$f: \mathbb R \обратная косая черта \{0\} \to \mathbb R \обратная косая черта \{0\}, f(x) = \frac 1x$$ обратим и $y= \frac 1x \Leftrightarrow x = \frac 1y$ говорит нам, что обратным $f$ является само $f$.
$\endgroup$
Эскет .
edu › mathsci › math › maurerv › uploadНарисуйте график одной функции, удовлетворяющей ВСЕМ следующим условиям. (Возможно много правильных ответов.).
Эскиз. Условные ограничительные ограничительные условия — YouTube
www.youtube.com ›Посмотреть
02.09.2018 · aoptresscopyrightcontact uscreatorsadersevelovesterstersprivacypolicy & safetyhow …
Dauer: 6:15
5555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555. график функции, удовлетворяющей заданным условиям
www.youtube.com › смотреть
15.01.2017 · Построение графика функции, удовлетворяющей заданным условиям. 6,5 тыс. просмотров 6 лет назад. Математика …
Dauer: 5:02
Прислано: 15.01.2017
Нарисуйте график, удовлетворяющий следующим условиям условия, кроме № 3, который находится в (0, −1), что является изолированной точкой. Но ваш график имеет несколько значений y ..
.
нарисуйте график функции, удовлетворяющей всем следующим условиям.
www.wyzant.com › Ресурсы › Спросите эксперта
Нарисуйте график функции, удовлетворяющей всем следующим условиям: 1. limx—> -1 f (x)=3 2. f имеет разрыв в точке -1
Нарисуйте график функции, удовлетворяющей все … — Study.com
homework.study.com › объяснение › эскиз-те-гра…
Ответ на: Нарисуйте график функции, которая удовлетворяет всем следующим условиям. » f'(x) больше 0 для всех x, f»(x) меньше 0 f…
Нарисуйте график функции, удовлетворяющей следующим условиям
homework.study.com › пояснение › набросок графика…
Ответ на вопрос: Нарисуйте график функции, удовлетворяющей следующим условиям: а) предел при приближении x к 2 слева от f(x ) = 1 б) предел…
[Решено] Нарисуйте график функции, удовлетворяющей всем заданным
www.studocu.com › en-us › сообщения › вопрос › s…
Условие «f »(x) < 0, если x < 1 или x > 3» говорит о том, что функция вогнута вниз на интервалах (-∞,1) и (3,∞).