Линейные неравенства как решать: Как решать линейное неравенство. Алгебра, 8 класс: уроки, тесты, задания.

Решение линейных неравенств 8 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей

Тема 13: Неравенства. Профильный уровень

• Видео
• Тренажер
• Теория

Заметили ошибку?

Пример №1

 

Решение равносильных или эквивалентных неравенств.

 

Линейное неравенство имеет вид : или , где х – искомая величина,

a и b – конкретные числа. В линейном неравенстве х находится в первой степени.

Пример № 1.

Решить неравенство:

Методом подбора можно найти много решений этого неравенства. Но решить неравенство – это значит найти множество его частных решений. Вспомним отличие неравенства от уравнения. При решении уравнения можно сделать проверку, подставив найденное решение. В неравенстве такого сделать нельзя.

Решение: Применим эквивалентные преобразования.

1. Переносим числовое значение из одной части неравенства в другую с противоположным знаком:

2. Обе части неравенства делим на 2, получаем: ;

Ответ:  или

Вывод: Эквивалентные преобразования – это:

1. перенос в другую сторону любого члена неравенства,

2. умножение или деление обеих частей неравенства на одно и то же число.

 

Пример № 2

 

 

Решить неравенство: .

 

Решение. Пользуемся только эквивалентными преобразованиями.

     

Выполняем приведение подобных членов:

 Умножаем обе части неравенства на 15. Получаем эквивалентное неравенство: . Умножаем обе части неравенства на -1, но смысл неравенства поменяется на противоположный:   .

Ответ: .

Вывод: решать неравенство можно, только соблюдая эквивалентные преобразования.

 

Пример №3

 

 

Решить неравенство:

 

.

Решение.

1. Все, что находится в скобке, обозначим за a.

Получаем несложное неравенство: но нужно знать знак числа a.

Пусть , т. е.

Переносим

, ; Сокращаются 9, получаем: ; , возводим в квадрат:

. Это верно. Предположение было верное, и число , значит обе части неравенства можно разделить на  Получаем

Ответ:

Подведение итога урока

На данном уроке была рассмотрена тема: «Решение линейных неравенств». Вы узнали, что такое эквивалентность, равносильность. Вы вспомнили, что решить неравенство – это значит найти все его бесчисленное множество решений. На нескольких примерах вы убедились, что решать неравенство нужно, строго соблюдая эквивалентные преобразования.

 

Список литературы

1. Башмаков М.И. Алгебра 8 класс. – М.: Просвещение, 2004.
2. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 2010.
3. Никольский С.М., Потапов М.А., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2006.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. ЕГЭ по математике (Источник).
2. Интернет-портал Frezzii.narod.ru (Источник).
3. Фестиваль педагогических идей «Открытый урок» (Источник).
4. InternetUrok.ru (Источник).

 

Домашнее задание

1. Решить неравенство: 
2. Что такое эквивалентные преобразования?
3. №537, 538. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 2010.

 

Заметили ошибку?

Расскажите нам об ошибке, и мы ее исправим.

Видеоурок: Решение линейных неравенств по предмету Алгебра за 8 класс.

Урок «Решение неравенств с одной переменной и их систем»

12+  Свидетельство СМИ ЭЛ № ФС 77 — 70917 Лицензия на образовательную деятельность №0001058

Пользовательское соглашение     Контактная и правовая информация

 

Педагогическое сообщество УРОК. РФ

Бесплатные всероссийские конкурсы

Бесплатные сертификаты за публикации

Нужна помощь? Инструкции для новых участников

Бесплатная   онлайн-школа для 1-4 классов

Всё для аттестацииПубликация в сборникеВебинарыЛэпбукиПрофтестыЗаказ рецензийНовости

Библиотека▪Публикации▪Статьи▪Презентации

Материал опубликовала

#9 класс #Математика #ФГОС #Методические разработки #Урок #Все учителя #Школьное образование #УМК Ю. Н. Макарычева

Решение неравенств с одной переменной и их систем 9 класс Учитель Шубина О.В. КОГОБУ СШ г. Орлов

Знаю свойства неравенств Различаю линейные и квадратные неравенства с одной переменной Умею применять свойства неравенств при решении линейных неравенств Умею решать квадратные неравенства методом параболы Умею решать неравенства методом интервалов Знаю, как записать решение неравенства Могу записать решение неравенства несколькими способами Знаю, как решать системы неравенств Умею определять решение системы неравенств V – знаю — новая информация — есть вопросы  

Что нужно повторить? Свойства неравенств Какие бывают неравенства и как их решать Что является решением неравенства и системы неравенств

Свойства неравенств Неравенства получаются равносильные, если 1. Перенести с противоположным знаком слагаемое из одной части неравенства в другую 6 2. Умножить или разделить обе части неравенства на одно и тоже положительное число 3. Умножить или разделить обе части неравенства на одно и тоже отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный      

Неравенства с одной переменной и их системы Неравенства с одной переменной Линейные неравенства Квадратные неравенства Метод параболы Метод интервалов Системы неравенств с одной переменной

Решение линейных неравенств    

Решение неравенств второй степени или Находим корни квадратного трехчлена Если трехчлен имеет корни, отмечаем их на оси х и через отмеченные точки схематично проводим параболу (направление ветвей вверх при и вниз при ) Если трехчлен не имеет корней, парабола выше оси х () или ниже оси х () Выделяем промежутки, соответствующие решению нашего неравенства: – выше оси х, – ниже оси х.

  -2 0,2 x  

Метод интервалов Находим нули функции и отмечаем их на оси х Разбиваем ось х на интервалы Определяем знак функции на каждом интервале Выделяем промежутки, соответствующие решению нашего неравенства + — + -2 0,2 х  

Решение неравенств второй степени    

Решение систем неравенств Решаем каждое неравенство отдельно Изображаем решение всех неравенств на одном числовом луче Находим объединение промежутков  

Самостоятельная работа «5» – 4 задания «4» – 3 задания «3» – 2 задания Дополнительное задание: решить систему неравенств   Ответ:     Ответ:  

Знаю свойства неравенств Различаю линейные и квадратные неравенства с одной переменной Умею применять свойства неравенств при решении линейных неравенств Умею решать квадратные неравенства методом параболы Умею решать неравенства методом интервалов Знаю как записать решение неравенства Могу записать решение неравенства несколькими способами Знаю как решать системы неравенств Умею определять решение системы неравенств V – знаю — новая информация — есть вопросы  

Домашнее задание По результатам самостоятельной работы «2» — работа над ошибками своего варианта + ещё 2 варианта «3» — работа над ошибками своего варианта + ещё 1 вариант «4-5» — Решить неравенство: а) б) Решить систему неравенств:  

Удачи!!! Если что-то не получается, посмотри еще раз решение предыдущих задач , всё получится!

Решение линейных неравенств | Техасский шлюз

Приступим к работеВведениеРешение линейных неравенств с помощью графиковРешение линейных неравенств с использованием свойств равенстваСводная лексика ActivityJournal Activity

Вы изучите, как строить графики неравенств, чтобы решать их. Вы также будете решать неравенства, используя свойства равенства. `

Стандарты TEKS и ожидания учащихся

A(3)  Линейные функции, уравнения и неравенства. Учащийся применяет стандарты математического процесса при использовании графиков линейных функций, ключевых функций и связанных преобразований для представления различными способами и решения уравнений, неравенств и систем уравнений с использованием технологий и без них. Студент должен:

A(3)(D)  графическое изображение набора решений линейных неравенств с двумя переменными на координатной плоскости

A(5)  Линейные функции, уравнения и неравенства. Учащийся применяет стандарты математического процесса для решения линейных уравнений с помощью технологий и без них и оценивает обоснованность их решений. Студент должен:

A(5)(B) решать линейные неравенства с одной переменной, в том числе такие, для которых необходимо применение распределительного свойства и для которых переменные включены с обеих сторон

Ресурс Цель(и)

Учащийся представит линейные неравенства, используя уравнения, таблицы и графики. Студент будет решать линейные неравенства, используя графики или свойства равенства, и определять, является ли данная точка решением линейного неравенства.

Основные вопросы

Как узнать, когда использовать сплошную или пунктирную линию при построении графика неравенства?

Как узнать, следует ли закрашивать выше или ниже линии при графическом отображении неравенства?

Каковы сходства и различия в построении графика уравнения в форме пересечения наклона и неравенства в форме пересечения наклона?

Словарь

• Упорядоченная пара
• Стандартная форма
• Форма пересечения уклонов
• Координатная плоскость
• Пограничная линия
• Неравенства

Возможно, вы ранее исследовали различные способы определения того, является ли данная упорядоченная пара решением линейного неравенства.

Является ли (-1, -7) решением для 4x − 2y > 8?

Использовать замену	Если мы подставим -1 вместо x и -7 вместо y, мы получим следующее:   4x − 2y > 8 4(-1) − 2(-7) > 8 -4 + 14 > 8 10 > 8 Поскольку 10 больше 8, мы знаем, что (-1, -6) является решением неравенства.
Составьте таблицу значений	Шаг 1: Введите неравенство в редактор функций (Y=). Помните, что вам может понадобиться записать неравенство в форме Y = или решить неравенство для y. . Шаг 2: Посмотрите на таблицу значений. Прокрутите, чтобы найти значение x для -1. Таблица значений показывает, что при x = -1, y = -6. Наша контрольная точка (-1, -7). Сравните значение y из таблицы со значением y из контрольной точки. Значение y из контрольной точки меньше значения y из таблицы, так как -7 Поскольку значение y из контрольной точки меньше значения y из таблицы, контрольная точка делает неравенство верным. Итак, мы знаем, что (-1, -7) является решением неравенства.
Использовать график	Шаг 1: Введите неравенство в редактор функций (Y=). Помните, что вам может понадобиться записать неравенство в форме Y = или решить неравенство для y. Мы хотим видеть значения y, которые меньше, чем выражение 2x – 4, поэтому настройте график так, чтобы он затенялся под графиком. Шаг 2: Посмотрите на график ниже. Найдите контрольную точку (-1, -7). Поскольку контрольная точка находится в заштрихованной области, мы знаем, что (-1, -7) является решением неравенства.

Вы более подробно рассмотрите решение линейных неравенств двумя методами: графики и свойства равенства. Вы также будете использовать эти методы для решения линейных неравенств, которые представляют реальные ситуации.

Как и линейные уравнения, линейные неравенства могут быть представлены в двух формах.

Вы можете изобразить линейное неравенство в любой форме так же, как и с линейными уравнениями. Однако, поскольку у неравенства есть несколько вариантов решения, необходимо предпринять дополнительные шаги, чтобы полностью построить график линейного неравенства.

Используйте этот апплет графического неравенства, чтобы заполнить таблицу ниже в своих заметках. Чтобы узнать, как его использовать, просмотрите следующее изображение и щелкните вкладку направлений в верхнем левом углу апплета.

После заполнения таблицы вы можете проверить свой ответ, просмотрев следующий слайд. Используя информацию, содержащуюся в таблице, ответьте на следующие вопросы.

Пауза и размышление

Нажмите на каждый вопрос, чтобы увидеть ответ.

Вы также можете построить графики неравенств на графическом калькуляторе. Просмотрите эту ссылку, чтобы узнать больше о том, как построить график неравенств на графическом калькуляторе.

Практика

Нарисуйте график каждого из следующих неравенств. Затем перетащите неравенство, чтобы оно соответствовало соответствующему графику.

Теперь вы сосредоточитесь на использовании свойств равенства для решения линейных неравенств, возникающих в проблемных ситуациях. Не забывайте, что знак неравенства меняется на противоположный, если вы умножаете или делите на отрицательное число при решении неравенства для y .

Пример 1

Карла и Кристал владеют кофейней. Они хотят создать домашнюю смесь кофе из двух зерен. Фасоль Costa Rica Sunrise стоит 7,50 долларов за фунт, а фасоль Columbia’s Best — 8,75 долларов за фунт. Они хотят создать смесь зерен, которая будет стоить не более 120 долларов за партию. Карла предложил использовать следующее неравенство, где x представляет собой количество фунтов фасоли Costa Rica Sunrise, а y представляет количество фунтов лучших фасолей Колумбии. Пример 2 Миндаль стоит 8,25 доллара за фунт, а кешью — 12,50 доллара за фунт. Они хотят, чтобы стоимость одной партии смеси для закусок не превышала 225 долларов. Надежда написала неравенство 8,25 х + 12,50 у < 225, где x представляет количество фунтов миндаля, а y представляет количество фунтов орехов кешью в партии смеси для закусок. Нажмите на слайды ниже, чтобы получить подсказки и ответы на следующие вопросы.

На этом уроке вы расширили свои знания о решении неравенств с одной переменной и линейных уравнений на решение линейных неравенств.

Линейные неравенства можно решать графически или символически, используя свойства равенства. На графике множество решений неравенства представлено в координатной плоскости с помощью двух признаков: граничной линии и заштрихованной области.

Если граничная линия пунктирная, то точки вдоль граничной линии не входят в множество решений неравенства. Если линия границы сплошная, то точки вдоль линии границы входят в множество решений неравенства.

Свойства равенства также можно использовать для решения линейных неравенств. Решение линейных неравенств — это алгебраический процесс, очень похожий на решение линейных уравнений, но с одной дополнительной особенностью. Если используется умножение или деление на отрицательное число, символ неравенства необходимо перевернуть, чтобы сохранить значение неравенства.

• Печать
• Поделиться

4.1 Решение линейных неравенств и построение графиков — алгебра среднего уровня

Глава 4. Неравенства

При задании уравнения, такого как [латекс]х = 4[/латекс] или [латекс]х = -5,[/латекс] существуют определенные значения для переменной. Однако в случае неравенств существует диапазон значений переменной, а не определенное значение. Для записи неравенства используйте следующие обозначения и символы:

Символ	Значение
	> Больше
	≤ Больше или равно
	< Меньше
	≥ Меньше или равно

Учитывая переменную [латекс]х[/латекс], такую, что [латекс]х[/латекс] > [латекс]4[/латекс], это означает, что [латекс]х[/латекс] может быть как можно ближе до 4, но всегда больше. Для [латекс]х[/латекс] > [латекс]4[/латекс], [латекс]х[/латекс] может равняться 5, 6, 7, 199. Даже [латекс]х =[/латекс] 4,0000000000000001 верно, поскольку [латекс]х[/латекс] больше 4, поэтому все они являются решениями неравенства. Линейный график этого неравенства показан ниже:

Записано в интервальной записи, [латекс]x[/латекс] > [латекс]4[/латекс] отображается как [латекс](4, \infty)[/латекс] .

Аналогично, если [латекс]х

Записано в интервальной записи, [латекс]х

Для значений больше или равно (≥) и меньше или равно (≤) неравенство начинается с определенного числа, а затем увеличивается или уменьшается. Для [latex]x \ge 4,[/latex] [latex]x[/latex] может равняться 5, 6, 7, 199 или 4. Линейный график этого неравенства показан ниже:

Записанное в интервальной записи, [latex]x \ge 4[/latex] отображается как [latex][4, \infty)[/latex].

Если [latex]x \le 3[/latex], то [latex]x[/latex] может быть любым значением, меньшим или равным 3, например 2, 1, −102 или 3. Линейный график этого неравенства показано ниже:

Записано в интервальной записи, [латекс]х \ле 3[/латекс] отображается как [латекс](-\infty, 3].[/латекс]

При решении неравенств направление знака неравенства (называемого смыслом) может перевернуться, причем смысл перевернется при двух условиях:

Во-первых, смысл меняется, когда неравенство делится или умножается на отрицательное значение. Например, при уменьшении [латекса]-3x

Решите неравенство [латекс]5-2x[/латекс] > [латекс]11[/латекс] и покажите решение как в числовой прямой, так и в виде интервалов.

Сначала вычтите 5 с обеих сторон:

[латекс]\begin{array}{rrrrr} 5&-&2x&\ge &11 \\ -5&&&&-5 \\ \hline &&-2x&\ge &6 \end{array} [/latex]

Разделите обе части на −2:

[латекс]\begin{array}{rrr} \dfrac{-2x}{-2} &\ge &\dfrac{6}{-2} \\ \end{array}[/latex]

Поскольку неравенство делится на минус, необходимо перевернуть направление смысла.

Остается:

[латекс]x \le -3[/латекс]

В интервальной записи решение записывается как [латекс](-\infty, -3][/латекс].

На числовая строка, решение выглядит так:

Неравенства могут быть такими же сложными, как и линейные уравнения, которые ранее решались в этом учебнике. Все те же схемы решения неравенств используются для решения линейных уравнений.

Решите и задайте интервальную запись [латекс]3 (2x — 4) + 4x

Решение, записанное на числовой прямой:

Записанное в интервальной записи, [латекс]х[/латекс] > [латекс]4[ /латекс] отображается как [латекс](4, \infty)[/латекс].

В вопросах с 1 по 6 нарисуйте график для каждого неравенства и укажите его интервальное обозначение.

1. [латекс]n[/латекс] > [латекс]-5[/латекс]
2. [латекс]n[/латекс] > [латекс]4[/латекс]
3. [латекс]-2 \le k[/латекс]
4. [латекс]1 \ge k[/латекс]
5. [латекс]5 \ge x[/латекс]
6. [латекс]-5

В вопросах с 7 по 12 запишите неравенство, представленное в каждой числовой строке, и дайте обозначение его интервала.

В вопросах с 13 по 38 начертите график для каждого неравенства и обозначьте его интервалы.