График полиномиальных функций
Полиномиальные функции вида f ( x ) = x n (где n — натуральное число) формируют один из двух основных графиков, показанных на рисунке 103.
Рисунок 1. Графики полиномов
Графики многочленов.Каждый граф имеет начало как только его x — точка пересечения и y — точка пересечения. Каждый граф содержит упорядоченную пару (1,1). Если полиномиальную функцию можно разложить на множители, ее x – перехваты можно найти сразу. Затем проводится исследование того, что происходит между этими точками пересечения, слева от крайнего левого пересечения и справа от крайнего правого пересечения.
Пример 1
График f ( x ) = x 4 – 10 x 2 + 9.
Нули этой функции равны –1, 1, –3 и 3. То есть –1, 1, –3 и 3 – это x отрезков этой функции.
Когда x < –3, скажем, x = –4, тогда
Таким образом, для x < –3, f ( x ) > 0,
Когда –1 < x < 1, скажем, x = 0, тогда
Таким образом, для –1 < x < 1, f ( x ) > 0,
Аналогичным образом видно, что
, когда x > 3, f ( x ) > 0
, когда –3 < x < –1, f ( x ) < 0
, когда 1 < x < 3, f ( x ) < 0
Затем на графике появляются точки в заштрихованных областях, как показано на рисунке 2.
Пересечение y этой функции находится путем нахождения f (0).
f (0) = 9
, значит (0, 9) — точка на графике. Чтобы завершить график, найдите и нанесите несколько точек. Оценить f ( x ) для нескольких целочисленных замен; затем соедините эти точки, чтобы сформировать плавную кривую (см. рисунок 3).
Обратите внимание, что f ( x ) = x 4 – 10 x 2 + 9 имеет старший член с четным показателем степени. Крайняя правая и крайняя левая стороны графика будут идти в одном направлении. Поскольку старший коэффициент положительный, обе стороны вырастут. Если бы старший коэффициент был отрицательным, обе стороны пошли бы вниз.
Рис. 2. График f(x).
Рисунок 3. Нули функции.
Пример 2
График f ( x ) = x 3 – 19 x + 30.
f ( x ) = x 3 – 19 x + 30 можно разложить на множители с помощью теоремы о рациональном нуле:
п/к | 1 | 0 | – 19 | 30 |
|---|---|---|---|---|
1 | 1 | 1 | –18 | 12 |
–1 | 1 | –1 | –18 | 48 |
2 | 1 | 2 | –15 | 0 |
f ( x ) теперь можно записать в факторизованной форме и далее факторизовать.