Правило Лопиталя | это… Что такое Правило Лопиталя?
Правило Бернулли[1]-Лопита́ля — метод нахождения пределов функций, раскрывающий неопределённости вида и . Обосновывающая метод теорема утверждает, что при некоторых условиях предел отношения функций равен пределу отношения их производных.
Содержание
|
Точная формулировка
Условия:
- или ;
- и дифференцируемы в проколотой окрестности ;
- в проколотой окрестности ;
- существует ,
тогда существует .
Пределы также могут быть односторонними.
История
Способ раскрытия такого рода неопределённостей был опубликован в учебнике «Analyse des Infiniment Petits» 1696 года за авторством Гийома Лопиталя.
Метод был сообщён Лопиталю в письме его первооткрывателем Иоганном Бернулли.[2]
Доказательство
Отношение бесконечно малых
Докажем теорему для случая, когда пределы функций равны нулю (то есть неопределённость вида .
Поскольку мы рассматриваем функции и только в правой проколотой полуокрестности точки , мы можем непрерывным образом их доопределить в этой точке: пусть . Возьмём некоторый из рассматриваемой полуокрестности и применим к отрезку теорему Коши. По этой теореме получим:
- ,
но , поэтому .
Дальше, записав определение предела отношения производных и обозначив последний через , из полученного равенства выводим:
- для конечного предела и
- для бесконечного,
что является определением предела отношения функций.
Отношение бесконечно больших
Докажем теорему для неопределённостей вида .
Пусть, для начала, предел отношения производных конечен и равен . Тогда, при стремлении к справа, это отношение можно записать как , где — O(1).
Запишем это условие:
- .
Зафиксируем из отрезка и применим теорему Коши ко всем из отрезка :
- , что можно привести к следующему виду:
- .
Для , достаточно близких к , выражение имеет смысл; предел первого множителя правой части равен единице (так как и — константы, а и стремятся к бесконечности). Значит, этот множитель равен , где — бесконечно малая функция при стремлении к справа. Выпишем определение этого факта, используя то же значение , что и в определении для :
- .
Получили, что отношение функций представимо в виде , и . По любому данному можно найти такое , чтобы модуль разности отношения функций и был меньше , значит, предел отношения функций действительно равен .
Если же предел бесконечен (допустим, он равен плюс бесконечности), то
- .
В определении будем брать ; первый множитель правой части будет больше 1/2 при , достаточно близких к , а тогда .
Для других баз доказательства аналогичны приведённым.
Примеры
Здесь можно применить правило Лопиталя 3 раза, а можно поступить иначе. Нужно разделить и числитель, и знаменатель на x в наибольшей степени(в нашем случае ). В этом примере получается:- ;
- при .
В искусстве
…и рассказывали анекдоты о раскрытии неопределенностей методом Лопиталя
Братья Стругацкие, «Понедельник начинается в субботу».
Примечания
- ↑ http://lib.mexmat.ru/pr/matan_gavr_1.pdf
- ↑ Paul J. Nahin, An Imaginary Tale: The Story of , p.216
Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей 0/0 и ∞/∞ (Лекция №8)
Ранее мы познакомились с примерами нахождения пределов отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций, то есть раскрытия неопределенностей вида 0/0 и ∞/∞. Сейчас рассмотрим новое правило раскрытия этих неопределенностей.
Теорема (правило Лопиталя).
| (1) |
Таким образом, коротко правило Лопиталя можно сформулировать следующим образом: предел отношения двух бесконечно малых или двух бесконечно больших величин равен пределу отношения их производных.
Замечание. Отметим, что формула (1) справедлива только в том случае, если предел, стоящий справа, существует. Может случиться, что предел, стоящий слева существует, в то время как предел, стоящий в правой части равенства, не существует.
Например, найти . Этот предел существует . Но отношение производных
Заметим, что если отношение производных опять представляет собой неопределенность вида 0/0 или ∞/∞, то можно снова применить сформулированную теорему, то есть перейти к отношению вторых производных и так далее.
Вспомним, что к этим двум случаям сводятся случаи других неопределенностей: ∞·∞; 0·∞.
Для раскрытия неопределенностей 1∞, 10, ∞0 нужно прологарифмировать данную функцию и найти предел ее логарифма.
Примеры.
- .
- .
- .
Обозначим .
Прологарифмируем это равенство . Найдем .
Так как lny функция непрерывная, то . Следовательно, или .
ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА
Пусть функция y= f(x)
задана на (a, b) и
x0 Î (a, b). Поставим
следующую задачу: найти многочлен P(x),
значения которого в окрестности точки x0 приближенно совпадали бы со значениями функции f(x) в соответствующих точках.
Тогда можно будет считать, что f(x)≈P(x) и
задачу вычисления значенийf(x) в окрестности точки x0 можно заменить более легкой
задачей вычисления значений P(x).
Пусть искомый многочлен имеет степень n P(x) = Pn(x). Будем искать его в виде
| (1) |
В этом равенстве нам нужно найти коэффициенты .
Для того чтобы этот многочлен был «близок» к функции f(x) потребуем выполнения следующих равенств:
Пусть функция y= f(x) имеет производные до n-ого порядка. Найдем коэффициенты многочлена Pn(x) исходя из условия равенства производных.
Введем обозначение n! = 1·2·3…n, 0! = 1, 1! = 1.
Подставим в (1) x = x0 и найдем , но с другой стороны . Поэтому
Далее найдем
производную и вычислим Следовательно, .
Учитывая третье условие и то, что
,
получим , т.е. .
Далее . Значит, , т.е. .
Очевидно, что и для всех последующих коэффициентов будет верна формула
Подставляя найденные значения коэффициентов в формулу (1), получим искомый многочлен:
Обозначим и назовем эту разность n-ым остаточным членом функции f(x) в точке x0. Отсюда и, следовательно, если остаточный член будет мал.
Оказывается, что если x0 Î (a, b) при всех x Î (a, b) существует производная f (n+1)(x), то для произвольной точки x Î (a, b) существует точка, лежащая между x0 и x такая, что остаток можно представить в виде:
Это так называемая формула Лагранжа для остаточного члена.
Формула
где x Î (x0, x) называется формулой Тейлора.
Если в этой формуле положить x0 = 0, то она запишется в виде
где x Î ( x0, x). Этот частный случай формулы Тейлора называют
РАЗЛОЖЕНИЕ ПО ФОРМУЛЕ МАКЛОРЕНА НЕКОТОРЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
- Рассмотрим функцию f(x)=ex. Представим ее по формуле
МакЛорена в виде суммы многочлена и некоторого остатка. Для этого найдем
производные до (n+1) порядка:
Таким образом, получаем
Используя эту формулу и придавая x различные значения, мы сможем вычислить значение ex.
Например, при x=1, ограничиваясь n=8, получим формулу, позволяющую найти приближенное значение числа e:
причем остаток
Отметим, что для любого x Î R остаточный член
Действительно, так как ξ Î (0; x), то величина eξ ограничена при фиксированном x.
При x> 0 eξ < ex. Докажем, что при фиксированном x
Имеем
Если x зафиксировано, то существует натуральное число N такое, что |x|<N.
Обозначим Заметив, что 0<q<1, при n>N можем написать
Но , не зависящая от n, а так как q<1. Поэтому Следовательно,
Таким образом, при любом x, взяв достаточное число слагаемых, мы можем вычислить ex с любой степенью точности.
- Выпишем разложение по
формуле МакЛорена для функции f(x)=sin x.
Найдем последовательные производные от функции f(x)=sin x.
Подставляя полученные значения в формулу МакЛорена, получим разложение:
Несложно заметить, что преобразовав n-й член ряда, получим
.
Так как , то аналогично разложению ex можно показать, что для всех x.
Пример. Применим полученную формулу для приближенного вычисления sin 20°. При n=3 будем иметь:
Оценим сделанную погрешность, которая равна остаточному члену:
Таким образом, sin 20°= 0,342 с точностью до 0,001.
- f(x) = cos x. Аналогично предыдущему
разложению можно вывести следующую формулу:
Здесь также для всех x. Докажите формулу самостоятельно.
- f(x)=ln (1+x). Заметим, что
область определения этой функции D(y)=(–1; +∞).
Найдем формулу МакЛорена для данной функции.
Подставим все найденные производные в ряд МакЛорена.
Можно доказать, что если x Î (–1;1],то , т.
е. выведенная формула справедлива при x Î ( –1;1]. - f(x) = (1+x)m, где m Î R, m≠0.
При m≠Z данная функция определена при x> –1. Найдем формулу МакЛорена для этой функции:
И следовательно,
Можно показать, что при |x|<1
е. выведенная формула справедлива при x Î ( –1;1].ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЮ ГРАФИКОВ
НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ВОЗРАСТАНИЯ И УБЫВАНИЯ ФУНКЦИИ
Вспомним сначала определения возрастающей и убывающей функций.
Функция y=f(x),
определенная на некотором отрезке [a,
b] (интервале (a, b)), называется
возрастающей на этом отрезке, если
большему значению аргумента x из
[a, b] соответствует большее значение функции, то есть если x1 < x2, то f(x1)
< f(x2).
Функцияy=f(x) называется убывающей на некотором отрезке [a, b], если меньшему значению аргумента x из [a, b]соответствует большее значение функции, то есть если x1 < x2, то f(x1) > f(x2).
Функция, только возрастающая или только убывающая на отрезке, называется монотонной на этом отрезке.
Функция y=f(x) называется постоянной на некотором отрезке [a, b], если при изменении аргумента x она принимает одни и те же значения.
Рассмотрим график функции изображенной на рисунке и определим промежутки возрастания и убывания функции.
(-∞, a), (c, +∞) – убывает;
(a, b) – постоянная;
(b, c) – возрастает.
Применим понятие производной для исследования возрастания и убывания функции.
Теорема 1. (Необходимое и достаточное условия возрастания функции)
- Если дифференцируемая функция y=f(x) возрастает на [a, b], то ее производная
неотрицательна на этом отрезке, f ‘(x)≥ 0.
- Обратно. Если
функция y=f(x) непрерывна на [a, b], дифференцируема на (a, b)
и ее производная положительна на этом отрезке,f ‘ (x)≥ 0 для a<x<b, то f(x) возрастает
на[a, b].
Доказательство.
- Докажем первую часть теоремы. Итак, пусть функция y=f(x) возрастает на [a, b]. Зафиксируем на этом отрезке
произвольную точку x, придадим ей приращение Δx. Тогда если Δx>0, то x<x+Δx. Поэтому по определению
возрастающей функции f(x)<f(x+Δx), то есть f(x+Δx) — f(x)>0. Но тогда и Аналогично, если Δx<0, то x>x+Δx и значит f(x+Δx)-f(x)<0, а
Переходя в этом равенстве к пределу при Δx→0, получим , то есть f ‘(x)≥0.
- Докажем
вторую часть теоремы. Пусть f ‘(x)>0при всех x Î (a,b). Рассмотрим два любых значения x1 и x2 таких, что x1 < x2. Нужно доказать, что f(x1)< f(x2). По
теореме Лагранжа существует такое число c Î (x1, x2), что
. По условию f ‘(x)>0, x1 – x2>0Þ , а это и значит,
что f(x) – возрастающая функция.
Аналогичная теорема имеет место и для убывающих функций.
Теорема 2. Если f(x) убывает на[a,b], то на этом отрезке. Если на (a; b), то f(x) убывает на [a, b],в предположении, чтоf(x) непрерывна на [a, b].
Доказанная теорема выражает очевидный геометрический факт. Если на [a, b] функция возрастает, то касательная к кривой y=f(x) в каждой точке этого отрезке образует острый угол с осью Ox или горизонтальна, т.
е. tga≥0, а значит f ‘(x)≥0.Аналогично иллюстрируется и вторая часть теоремы.
Таким образом, возрастание и убывание функции характеризуется знаком ее производной. Чтобы найти на каком промежутке функция возрастает или убывает, нужно определить, где производная этой функции только положительна или только отрицательна, то есть решить неравенства f ‘(x)>0 – для возрастания или f ‘(x)<0 – для убывания.
Примеры. Определить интервалы монотонности функции.
- . Область определения заданной функции D(y) = (-∞; 0)È(0; +∞).
. Следовательно, f(x) – убывает на (-∞; 0) и (0; +∞).
-
Найдем промежутки, на которых производная заданной функции положительна или отрицательна методом интервалов.
Итак, f(x) – убывает на (–∞; –1] и [1; +∞), возрастает на отрезке [–1; 1].
-
.
Используя метод интервалов, получим f(x) убывает на (0; 1) и (1; e], возрастает на [e; +∞).
- Докажем первую часть теоремы. Итак, пусть функция y=f(x) возрастает на [a, b]. Зафиксируем на этом отрезке
произвольную точку x, придадим ей приращение Δx. Тогда если Δx>0, то x<x+Δx. Поэтому по определению
возрастающей функции f(x)<f(x+Δx), то есть f(x+Δx) — f(x)>0. Но тогда и Аналогично, если Δx<0, то x>x+Δx и значит f(x+Δx)-f(x)<0, а
Рассмотрим два любых значения x1 и x2 таких, что x1 < x2. Нужно доказать, что f(x1)< f(x2). По
теореме Лагранжа существует такое число c Î (x1, x2), что
. По условию f ‘(x)>0, x1 – x2>0Þ , а это и значит,
что f(x) – возрастающая функция.
е. tga≥0, а значит f ‘(x)≥0.
предельных правил | Superprof
Предел — важная концепция исчисления, которая определяет значение, к которому приближается функция по мере того, как вход функции становится все ближе и ближе к определенному числу. Эта концепция лежит в основе исчисления. В этой статье мы обсудим предельные правила или законы предела на примерах. Но прежде чем перейти к этим правилам, сначала мы подробно обсудим понятие лимита.
Предел — Введение
Предел в математике определяется как значение, к которому приближается выход функции для заданных входных значений. Понятие предела очень важно в математике и исчислении, поскольку оно помогает определять интегралы, непрерывность и производные. Эта концепция также используется для анализа процесса, поскольку она сообщает нам поведение функции в определенной точке.
Интеграция — важная концепция исчисления. Все мы знаем, что есть два типа интегралов, известные как определенные интегралы и неопределенные интегралы. Определенные интегралы имеют верхний и нижний пределы, которые определены правильно. С другой стороны, в неопределенных интегралах не существует верхнего и нижнего пределов.
В следующем разделе вы найдете формальное определение предела вместе с математическим обозначением.
Лучшие репетиторы по математике
Поехали
Предел — определение
Пределы говорят нам, как работает функция, когда ее независимая переменная, т. е. x, приближается к определенному значению. Правильное определение предела дано ниже:
Рассмотрим функцию f, которая определена на определенном открытом интервале, имеющем число «а», за исключением самого «а». Таким образом, мы можем сказать, что предел f(x) при приближении x к «a» равен L. Математические обозначения этого утверждения приведены ниже:
Учтите, что для каждого числа существует соответствующее число, например:
когда угодно:
Теперь мы обсудим некоторые правила предела вместе с соответствующими примерами.
Правило предельной суммы
Правило предельной суммы гласит, что предел суммы равен сумме пределов. Математически это правило можно записать так:
Пример
Оценить функцию
Решение
Здесь мы будем использовать правило предельной суммы, так как между двумя членами функции стоит положительный знак.
Правило предельной разницы
Правило предельной разницы гласит, что предел разницы равен разнице пределов. Математически мы можем записать это правило как:
Пример
Вычисление функции
Решение
Здесь мы будем использовать правило предельной разности, так как между двумя членами функции стоит отрицательный знак.
Правило предельной константы
Это правило утверждает, что предел постоянной функции равен константе. Математически это можно записать так:
Пример
Вычислить функцию
.
Решение
Предел константы равен самой константе. Итак, предел этой функции равен 12.
Множественное правило константы
Это правило гласит, что предел константы, умноженной на функцию, равен произведению константы на предел функции. Математически мы можем записать это правило так:
Пример
Оценить предел
Решение
Здесь мы сначала возьмем предел функции, а затем умножим полученное значение на постоянный член. Мы найдем предел функции, используя правило предельной суммы, потому что между тремя членами есть положительный знак.
Правило предельного произведения
Это правило гласит, что предел произведения двух функций равен произведению пределов двух функций. Математически мы можем записать это правило как:
Пример
Вычислить функцию
.
Решение
В этом примере мы будем использовать правило предельного произведения, поскольку две отдельные функции перемножаются друг с другом.
Первая функция — 4x, а вторая — . Правило предельных частных Математически мы можем обозначить это правило так:
Пример
Вычисление функции
Решение
Здесь мы будем использовать правило предельного частного. Чтобы использовать это правило, сначала мы применим ограничения отдельно к числителю и знаменателю, а затем возьмем частное.
Правило ограничения мощности
Это правило гласит, что предел функции, включающей степень, равен пределу функции, возведенной в степень. Математически мы можем обозначить это правило, как показано ниже:
Пример
Вычислить функцию
.
Решение
Здесь мы будем использовать правило ограничения мощности.
Предел функции извлечения квадратного корня
Это правило гласит, что предел функции извлечения квадратного корня равен пределу функции извлечения квадратного корня.
То же правило применимо и к старшим корням. Математически обозначим это правило так:
Пример 1
Вычислить функцию
.
Решение
Мы можем написать эту функцию:
Пример 2
Оцените функцию
.
Решение
Эту функцию можно записать так:
2.3 Ограничения
В предыдущих двух разделах мы вычислили некоторые интересующие величины. (наклон, скорость), увидев, что некоторое выражение «идет в» или «приближается» или «действительно приближается к» определенному значению. в примеров, которые мы видели, эта идея могла быть достаточно ясной, но она слишком нечетко полагаться в более сложных обстоятельствах. В этом разделе мы увидим, как сделать идею более точной.
В примерах, которые мы видели, есть важная особенность. Учитывать
снова формула
$${-192\над \Дельта х}.
$$
Мы хотели знать, что происходит с этой дробью, когда «$\Delta x$
до нуля». Поскольку мы смогли упростить дробь, было легко
чтобы увидеть ответ, но это было не так просто, как «подставить
ноль для $\Delta x$,» так как это дало бы
$${-19,6\cdot 0 — 4,9\cdot 0\более 0},$$
что бессмысленно. Количество, которое нас действительно интересует,
не имеет смысла «в нуле», и поэтому ответ на исходный
проблема (нахождение скорости или наклона) не была сразу очевидной. В
Другими словами, мы, как правило, хотим выяснить, что
количество «приближается» в ситуациях, когда мы не можем просто подключить
ценить. Если вы хотите подумать о сложном примере (который мы
проанализировать позже) рассмотреть, что происходит с $(\sin x)/x$ при приближении $x$
нуль. Попробуйте вычислить это выражение на калькуляторе для меньшего и
меньшие значения $x$; они, кажется, приближаются к некоторому фиксированному значению?
Пример 2.3.1
Приближается ли $\ds \sqrt{x}$ к 1,41, когда $x$ приближается к 2? В этом случае
можно вычислить фактическое значение $\ds \sqrt{2}$ с высокой точностью
чтобы ответить на вопрос.
Но так как вообще мы не сможем сделать
что, не будем. Мы могли бы начать с вычисления $\ds \sqrt{x}$ для значений
$x$ близко к 2, как мы делали в предыдущих разделах. Вот некоторые
значения: $\ds\sqrt{2.05} = 1.431782106$,
$\ds\sqrt{2,04} = 1,428285686$,
$\ds\sqrt{2,03} = 1,424780685$,
$\ds\sqrt{2.02} = 1.421267040$,
$\ds\sqrt{2,01} = 1,417744688$,
$\ds\sqrt{2,005} = 1,415980226$,
$\ds\sqrt{2,004} = 1,415627070$,
$\ds\sqrt{2,003} = 1,415273825$,
$\ds\sqrt{2,002} = 1,414920492$,
$\ds\sqrt{2,001} = 1,414567072$.
Так что представляется по крайней мере возможным, что эти значения действительно «приближаются» к
1.41 — уже $\ds \sqrt{2.001}$ довольно близко. Если мы продолжим это
процесс, однако, в какой-то момент может показаться, что мы «застопорились».
$\ds \sqrt{2}=1.414213562\ldots$, поэтому мы никогда не доберемся до
1,4142, сколько бы мы не продолжали последовательность.
$\квадрат$
92\над \Дельта х}=-19,6-4,9\Дельта х.
$$
Эти две величины равны, пока $\Delta x$ не равно нулю; если
$\Delta x$ равно нулю, левая величина не имеет смысла, а
правая рука стоит $-19,6$. Можем ли мы сказать больше, чем раньше, о
почему правая часть «приближается» к $-19,6$ в желаемом смысле?
Можем ли мы действительно приблизиться к $19,6 $? Давайте попробуем
прецедент. Можем ли мы сделать $-19,6-4,9\Delta x$ в пределах одной миллионной
($0,000001$) от -19,6$? Значения в пределах одной миллионной от $-19.6$ являются
в интервале $(-19.600001,-19.599999)$. Как $\Дельта х$
приближается к нулю, находится ли $-19.6-4.9\Delta x$ внутри
этот интервал? Если $\Delta x$ положителен, это потребует, чтобы
$-19,6-4,9\Дельта x> -19,600001$. Это то, чем мы можем манипулировать
с небольшой алгеброй:
$$\eqalign{-19,6-4,9\Дельта x&> -19,600001\cr
-4.9\Дельта x&>-0.000001\cr
\Дельта х& -19.600001$. Мы могли бы сделать аналогичный расчет
если $\Delta x$ отрицательно.
Итак, теперь мы знаем, что можем заработать -19 долларов.{-6}$, и я
должны придумать число, показывающее, насколько близко $\Delta x$ должен
быть равным нулю, чтобы гарантировать, что $-19,6-4,9\Delta x$ не меньше
до $-19,6$, как вы просили.
Теперь, если мы на самом деле сыграем в эту игру, я мог бы повторить приведенный выше расчет. за каждый новый номер, который вы предоставляете. Что я хотел бы сделать, так это как-то увидеть что у меня всегда все получится, и даже больше, я хотел бы иметь простой стратегию, чтобы мне не приходилось каждый раз заниматься всей этой алгеброй. Стратегией в этом случае будет формула, дающая мне правильное ответьте независимо от того, что вы указываете. Итак, предположим, что номер, который вы мне даете равно $\эпсилон$. Насколько близко $\Delta x$ должно быть к нулю, чтобы гарантия, что $-192\над \Дельта х} = -19,6. $$ Вот фактическое официальное определение «лимита».
Определение 2.3.2 (Предел) Предположим, что $f$ — функция. Мы говорим, что $\ds \lim_{x\to a}f(x)=L$, если для каждого $\epsilon>0$ существует $\delta > 0$, такое что всякий раз, когда $0
Здесь $\epsilon$ и $\delta$ играют ту же роль, что и в предшествующее обсуждение. В определении очень точно сказано, что $f(x)$ можно сделать сколь угодно близким к $L$ (это $|f(x)-L|
92\над \Дельта х}.
$$
и переменная предела была не $x$, а $\Delta x$. $x$ было
переменная исходной функции; когда мы пытались вычислить
наклон или скорость, $x$ было, по существу, фиксированной величиной, говорящей нам
в какой момент мы хотели склон. (В задаче о скорости это было
буквально фиксированное количество, поскольку мы сосредоточились на времени 2.) Количество
$a$ определения во всех примерах было равно нулю: мы всегда
интересует, что произошло, когда $\Delta x$ стала очень близкой к нулю.Теперь, вооружившись точным определением, мы можем доказать, что некоторые величины ведут себя определенным образом. Плохая новость в том, что даже доказательства простых величин могут быть весьма утомительными и сложными; в хорошая новость заключается в том, что нам редко приходится делать такие доказательства, потому что большинство выражения действуют так, как вы ожидаете, и это можно доказать один раз и для всех.
Пример 2.3.3
Покажем аккуратно, что $\ds \lim_{x\to 2} x+4 = 6$. Это не
то, что нам «нужно» доказать, поскольку это «очевидно» истинно.
Но если
мы не могли бы доказать это, используя наше официальное определение, было бы
что-то очень не так с определением.
92=х\cточка
x$, и спросите, что происходит, когда $x$ приближается к 2, мы могли бы сказать что-то
типа: «Ну, первый $x$ приближается к 2, а второй $x$
приближается к 2, поэтому произведение должно приближаться к $2\cdot2$.» На самом деле это
почти по деньгам, за исключением слова «должен».
действительно верно, что если $x$ приближается к $a$, а $y$ приближается к $b$, то
$xy$ приближается к $ab$? Да, но это не совсем очевидно, так как $x$
и $y$ может быть довольно сложным. Хорошая новость заключается в том, что мы можем видеть
что это правда раз и навсегда, и тогда нам не о чем беспокоиться
об этом когда-либо снова. Когда мы говорим, что $x$ может быть «сложным», мы
действительно означает, что на практике это может быть функция. Вот тогда что
мы хотим знать:
Теорема 2.3.5. Предположим, что $\ds \lim_{x\to a} f(x)=L$ и $\ds \lim_{x\to a}g(x)=M$. Затем
$\lim_{x\to a} f(x)g(x) = LM$.
Доказательство. Мы должны использовать официальное определение предела, чтобы иметь смысл этого. Итак, для любого $\epsilon$ нам нужно найти $\delta$ так, чтобы $0
Мы используем, как это часто бывает, немного алгебраич. обманывать: $$\eqalign{|f(x)g(x)-LM|&= |f(x)g(x)-f(x)M+f(x)M-LM|\cr &=|f(x)(g(x)-M)+(f(x)-L)M|\cr &\le |f(x)(g(x)-M)|+|(f(x)-L)M|\cr &=|f(x)||g(x)-M|+|f(x)-L||M|.\cr} $$ Все просто, за исключением, возможно, «$\le$». пример из неравенство треугольника , что говорит о том, что если $a$ и $b$ являются любыми действительными числа, то $|a+b|\le |a|+|b|$. Если вы посмотрите на несколько примеров, используя положительные и отрицательные числа в различных комбинациях для $a$ и $b$, вы должны быстро понять, почему это так; мы не будем это доказывать формально.
Поскольку $\ds \lim_{x\to a}f(x) =L$, существует значение $\ds \delta_1$, такое что $0
Мы можем сделать $|g(x)-M|$ меньше любого фиксированного числа, сделав $x$
достаточно близко к $a$; к сожалению, $\epsilon/(2f(x))$ не является фиксированным
число, так как $x$ является переменной.
2$. Мы можем найти $\delta_2$
так что $|x-a|
Горстка таких теорем дает нам инструменты для вычисления многих пределов. без явной работы с определением предела.
Теорема 2.3.6. Предположим, что $\ds \lim_{x\to a}f(x)=L$ и $\ds \lim_{x\to a}g(x)=M$ и $k$ — некоторая константа. Затем $$\выравнивание{ &\lim_{x\to a} kf(x) = k\lim_{x\to a}f(x)=kL\cr &\lim_{x\to a} (f(x)+g(x)) = \lim_{x\to a}f(x)+\lim_{x\to a}g(x)=L+M \кр &\lim_{x\to a} (f(x)-g(x)) = \lim_{x\to a}f(x)-\lim_{x\to a}g(x)=L-M\cr &\lim_{x\to} (f(x)g(x)) = \lim_{x\to}f(x)\cdot\lim_{x\to}g(x)=LM\cr &\lim_{x\to} {f(x)\over g(x)} = {\lim_{x\to a}f(x)\over\lim_{x\to a}g(x)}={L\over M},\hbox{, если $M$ не равно 0}\cr }$$ $\qed$ 92-3\cdot1+5\более 1-2}\кр &={1-3+5\более -1} = -3\кр }$$ $\квадрат$
Стоит прокомментировать тривиальный предел $\ds \lim_{x\to1}5$. От одного
точки зрения это может показаться бессмысленным, так как цифра 5 не может
«приближаться» к любому значению, так как это просто фиксированное число.
2 + 5 = х + 5 $. Вот компаньон для
теорема 2.3.6 для композиции:
Теорема 2.3.9 Предположим, что $\ds \lim_{x\to a}g(x)=L$ и $\ds \lim_{x\to L}f(x)=f(L)$. Затем $$\lim_{x\to a} f(g(x)) = f(L).$$ $\qed$
Обратите внимание на особую форму условия на $f$: недостаточно известно, что $\ds\lim_{x\to L}f(x) = M$, хотя это немного сложно увидеть почему. Многие из наиболее известных функций обладают этим свойством, и поэтому эту теорему можно применить. Например:
Теорема 2.3.10. Предположим, что $n$ — натуральное число. Затем $$\lim_{x\to}\root n\of{x} = \root n\of{a},$$ при условии, что $a$ положительно, если $n$ четно. $\qed$
Эту теорему нетрудно доказать, исходя из определения предела.
Еще один из самых распространенных алгебраических приемов использовался в раздел 2.1. Вот еще один пример:
Пример 2.3.11
Вычислите $\ds\lim_{x\to-1} {\sqrt{x+5}-2\over x+1}$.
$ $ \ eqalign {\ lim_ {x \ to-1} {\ sqrt {x + 5} -2 \ над x + 1} & =
\lim_{x\to-1} {\sqrt{x+5}-2\over x+1}{\sqrt{x+5}+2\over\sqrt{x+5}+2}\cr
&=\lim_{x\to-1} {x+5-4\over (x+1)(\sqrt{x+5}+2)}\cr
&=\lim_{x\to-1} {x+1\over (x+1)(\sqrt{x+5}+2)}\cr
&=\lim_{x\to-1} {1\over \sqrt{x+5}+2}={1\over4}\cr}
$$
На самом последнем шаге мы воспользовались теоремами 2.
3.9.2}$, верхняя половина
единичный круг. Что мы можем сказать о $\ds \lim_{x\to 1}f(x)$? Это
видно из графика этой знакомой функции, что когда $x$ становится
близко к 1 слева, значение $f(x)$ приближается к нулю. Это
даже не имеет смысла спрашивать, что происходит, когда $x$ приближается к 1 из
справа, так как $f(x)$ там не определено. Определение
предел, однако, требует, чтобы $f(1+\Delta x)$ была близка к $f(1)$
является ли $\Delta x$ положительным или отрицательным. Иногда предел А.
функция существует с одной или другой стороны (или с обеих сторон), даже если
предела не существует. Поскольку полезно иметь возможность говорить об этом
ситуации, мы вводим понятие
93$
(отвечать)
Пример 2.3.15 $\ds\lim _{x\to 1} \cases{ x-5 & $x\neq 1$,\cr 7 & $x=1$.\cr}$ (отвечать)
Пример 2.3.16 $\ds\lim _{x\to 0} x\sin\left({1\over x}\right)$ (Подсказка: используйте тот факт, что $|\sin a |ответ)
Пример 2.3.17 Дайте доказательство $\epsilon$–$\delta$, подобное
пример 2.