Алгебраические дроби | СПАДИЛО
ОпределениеЛюбая обыкновенная дробь называется алгебраической дробью, так как она представляет собой деление, записанное с помощью дробной черты. В алгебраической дроби могут встречаться не только числа, но и буквенные выражения.
Примеры алгебраических дробей:
Для алгебраических дробей применяются правила, аналогичные обыкновенным дробям.
Сокращение алгебраической дроби
Сократить алгебраическую дробь – это значит разделить числитель и знаменатель на одно и то же выражение, на их общий множитель (одночлен, его степень или многочлен) – применяется основное свойство дроби. Причем и числитель, и знаменатель должны содержать множители.
Пример №1. Сократим дробь:
В числителе и знаменателе дроби мы видим переменную b, на которую и разделим каждую часть дроби:
Промежуточные действия можно не записывать, а выполнять устно.
Пример №2. Сократим дробь:
Здесь содержатся степени с одинаковым основанием, поэтому, необходимо помнить еще и правило деления степеней с одинаковым основанием (основание остается прежним, а показатели степеней вычитаем). Сократим дробь на меньшую степень – на m5:
Пример №3. Сократим дробь:
В каждой части дроби содержатся разные многочлены, поэтому сократить пока дробь мы не можем, так как нет множителей. Значит, по возможности, мы должны найти выражение, которое можно разложить на множители, это знаменатель, так как можем вынести за скобки общий множитель х(х – у). Только потом мы можем сократить дробь на одно и то же выражение – многочлен (х – у).
Пример №4. Сократим дробь:
Здесь мы видим, что в числителе многочлен, а в знаменателе произведение одночленов и многочлена, причем многочлены различны. Значит, надо сделать так, чтобы числитель и знаменатель содержали одинаковые множители.
Сложение и вычитание алгебраических дробей с одинаковым знаменателем
При сложении и вычитании алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями знаменатель остается прежним, а числители складывают или вычитают (из числителя первой вычитают числитель второй дроби).
Пример №5. Выполним сложение дробей:
Здесь одинаковые знаменатели, поэтому записываем его, а числители складываем: при сложении видим подобные слагаемые, которые приводим и получаем в числителе 5х.
Пример №6. Выполним вычитание дробей:
В знаменатель записываем 2х, а из числителя первой дроби вычитаем числитель второй дроби, при этом не забываем вычитаемое взять в скобки, если оно является многочленом. Затем раскрываем скобки, помня о том, что необходимо поменять знаки на противоположные, так как перед ними стоит знак «минус».
Сложение и вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями
Алгоритм действийЧтобы сложить или вычесть дроби с разными знаменателями, необходимо:
- найти общий знаменатель, который может состоять из таких множителей, как числа, степени, многочлены и т.д.
- Найти дополнительный множитель к каждой дроби.
- Умножить каждый числитель на его дополнительный множитель.
- Выполнить сложение (вычитание) дробей с одинаковыми знаменателями.
- При необходимости сократить полученную дробь.
Пример №7. Выполнить сложение дробей:
Чтобы найти общий знаменатель, надо найти для чисел 5 и 10 наименьшее общее кратное (наименьшее число, которое делится и на 5, и на 10), это число 10. В первом знаменателе есть еще множитель – переменная у, поэтому также берем у для общего знаменателя. Таким образом, у нас есть два множителя 10 и у, это и есть наш общий знаменатель.
Теперь находим дополнительный множитель к каждой дроби. Для этого общий знаменатель 10у делим на первый знаменатель 5у, получим 2, значит, умножаем на 2 первый числитель 2х. Для второй дроби 10у делим на 10, получаем у, умножаем на него числитель второй дроби – с. Получаем в числителе 4х+су.
Пример №8. Выполнить вычитание дробей:
Здесь знаменатели дробей различные многочлены, поэтому надо рассмотреть каждый. Первый знаменатель – это формула сокращенного умножения, по ней можно разложить на множители данный многочлен а
Находим дополнительные множители: к первой дроби дополнительного множителя нет, так как новый общий знаменатель – это полностью знаменатель первой дроби. А ко второй дроби это будет выражение (а – с).
Поэтому умножаем числитель 2 на (а – с).
Приводим подобные слагаемые, а полученную дробь сокращаем на выражение (а+с).
Умножение алгебраических дробей
Алгоритм действийЧтобы перемножить алгебраические дроби, надо числитель перемножить с числителем, а знаменатель со знаменателем. При необходимости выполнить сокращение алгебраической дроби, используя правило.
Пример №9. Выполнить умножение дробей:
Здесь перемножаем числители и знаменатели, полученную дробь сокращаем на 2с.
Пример №10. Выполнить умножение дробей:
Здесь в числителях и знаменателях – многочлены. Поэтому при записи умножения обязательно заключаем их в скобки. При этом мы видим, что числитель и знаменатель содержат одинаковые множители – многочлены (х+2), поэтому можно сократить дробь на этот многочлен.
Деление алгебраических дробей
Алгоритм действийЧтобы разделить одну алгебраическую дробь на другую, надо первую дробь умножить на дробь, обратную второй (то есть умножить на дробь, у которой числитель равен знаменателю второй дроби, а знаменатель числителю второй дроби).
Далее – выполнить умножение дробей по уже известному алгоритму.
Пример №11. Выполнить деление дробей:
Здесь выполним деление по алгоритму: перейдем от деления к умножению на дробь, обратную делителю. Сократим полученную дробь на выражение (a+b) и на 2.
Задание OM1306o
Найдите значение выражения:
Упрощение заданного выражения нужно начать с преобразований в скобках. Здесь следует привести дроби к общему знаменателю:
теперь переходим от деления дробей к их умножению:затем 1) сокращаем дроби на 5ab; 2) в числителе первой дроби раскладываем выражение, используя формулу сокращенного умножения для разности квадратов:
сокращаем выражение на (a–5b): Представим числовые значения для a и b в виде неправильных дробей (для удобства вычислений): Подставим полученные значения в выражение и найдем конечный результат: Ответ: 39pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить
Задание OM1305o Найдите значение выражения при x = 12:Выполним тождественные преобразования выражения, чтобы упростить его.
1-й шаг – переход от деления дробей к их умножению:
далее в знаменателе второй дроби сворачиваем выражение по формуле сокращенного умножения (используем ф-лу для квадрата суммы):
теперь сокращаем выражение (в числителе первой дроби и в знаменателе второй) и приходим к окончательно упрощенному виду:
Подставляем числовое значение для х в полученное выражение и находим результат:
Ответ: 0,6pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить
Задание OM1304oНайдите значение выражения
где a = 9, b = 36
В первую очередь в заданиях такого типа необходимо упростить выражение, а затем подставить числа. Приведем выражение к общему знаменателю – это b, для этого умножим первое слагаемое на b, после этого получим в числителе:
9b² + 5a – 9b²
Приведем подобные слагаемые – это 9b² и – 9b², в числителе остается 5a. Запишем конечную дробь:
5a/b
Вычислим её значение, подставив числа из условия:
5•9/36 = 1,25
Ответ: 1,25pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить
Задание OM1303oНайдите значение выражения:
при x = √45 , y = 0,5
Итак, в данном задании при вычитании дробей нам необходимо привести их к общему знаменателю.
Общий знаменатель – это 15 x y, для этого необходимо первую дробь домножить на 5 y – и числитель и знаменатель, естественно:
Далее, после того как дроби приведены к общему знаменателю, можно производить вычисления. Вычислим числитель:
5 y – (3 x + 5 y) = 5 y – 3 x – 5 y = – 3 x
Тогда дробь примет вид:
Выполнив простые сокращения числителя и знаменателя на 3 и на x, получим: – 1/5 y
Подставим значение y = 0,5: – 1 / (5 • 0,5) = – 1 / 2,5 = – 0,4
Ответ: -0,4pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить
Алла Василевская | Просмотров: 7.7k
Как сократить дробь? Правила на все ситуации :: SYL.ru
Как сделать ароматнее и необычнее вкус привычных куриных бедер: хитрости
Львам потребуется больше смелости: любовный гороскоп с 20 по 26 февраля
Лак ляжет безупречно: зачем обрабатывать ногти уксусом
Тенденции и дизайны коричневого маникюра — свежего хита весны 2023
Как стилизовать очки «кошачий глаз» — актуальный тренд весны 2023 года
Подчеркивают цвет глаз: как подобрать оттенок драгоценных металлов к тону кожи
Ювелирные украшения с медальонами: как стилизовать трендовый аксессуар 2023 года
Что еще приготовить из капусты? Быстрый рецепт брокколи в сырном соусе
Котлеты будут сочными.
Зачем добавляют в фарш кислое яблоко
Как сделать модным любой образ с толстовкой — трендом весны, покорившим подиум
Автор Наталья Мурзаева
Без знания того, как сократить дробь, и наличия устойчивого навыка в решении подобных примеров очень непросто изучать в школе алгебру. Чем дальше, тем больше на базовые знания о сокращении обыкновенных дробей накладывается новой информации. Сначала появляются степени, потом множители, которые позже становятся многочленами.
Как тут не запутаться? Основательно закреплять умения в предыдущих темах и постепенно готовиться к знаниям о том, как сократить дробь, усложняющуюся год от года.
Базовые знания
Без них не удастся справиться с заданиями любого уровня. Чтобы понять, как сократить дробь, нужно уяснить два простых момента. Первый: сокращать можно только множители. Этот нюанс оказывается очень важным при появлении многочленов в числителе или знаменателе. Тогда нужно четко различать, где находится множитель, а где стоит слагаемое.
Второй момент говорит о том, что любое число можно представить в виде множителей. Причем результатом сокращения является такая дробь, числитель и знаменатель которых уже невозможно сократить.
Правила сокращения обыкновенных дробей
Для начала стоит проверить, делится ли числитель на знаменатель или наоборот. Тогда именно на это число нужно провести сокращение. Это самый простой вариант.
Вторым является анализ внешнего вида чисел. Если оба заканчиваются на один или несколько нолей, то их можно сократить на 10, 100 или тысячу. Здесь же можно заметить, являются ли числа четными. Если да, то смело можно сокращать на два.
Третьим правилом того, как сократить дробь, становится разложение на простые множители числителя и знаменателя. В это время нужно активно использовать все знания о признаках делимости чисел. После такого разложения остается только найти все повторяющиеся, перемножить их и произвести сокращение на получившееся число.
Как быть, если в дроби стоит алгебраическое выражение?
Здесь появляются первые трудности. Потому что именно здесь появляются слагаемые, которые могут быть идентичны множителям. Их очень хочется сократить, а нельзя. До того как сократить алгебраическую дробь, ее нужно преобразовать так, чтобы она имела множители.
Для этого потребуется выполнить несколько действий. Возможно, потребуется пройти их все, а может, уже первое даст подходящий вариант.
Проверить, не отличаются ли числитель и знаменатель или какое-либо выражение в них на знак. В этом случае необходимо просто вынести за скобки минус единицу. Так получаются одинаковые множители, которые можно сократить.
Посмотреть, можно ли вынести из многочлена за скобки общий множитель. Возможно, так получится скобка, которую также можно сократить, или это будет вынесенный одночлен.
Попробовать провести группировку одночленов с тем, чтобы потом в них вынести общий множитель. После этого может оказаться, что появятся множители, которые можно сократить, или снова повторить вынесение за скобки общих элементов.
Попытаться рассмотреть в записи формулы сокращенного умножения. С их помощью легко удастся преобразовать многочлен в множители.
Последовательность действий с дробями со степенями
Для того чтобы без проблем разобраться в вопросе о том, как сократить дробь со степенями, необходимо твердо запомнить основные действия с ними. Первое из них связано с умножением степеней. В этом случае, если основания одинаковые, показатели необходимо сложить.
Второе — деление. Опять же у тех, которые имеют одинаковые основания, показатели потребуется вычесть.
Причем вычитать нужно из того числа, которое стоит в делимом, а не наоборот.
Третье — возведение в степень степени. В этой ситуации показатели перемножаются.
Для успешного сокращения потребуется также умение приводить степени к одинаковым основаниям. То есть видеть, что четыре — это два в квадрате. Или 27 — куб трех. Потому что сократить 9 в квадрате и 3 в кубе сложно. Но если преобразовать первое выражение как (32)2, то сокращение пройдет успешно.
Похожие статьи
- Неправильные дроби: как научиться решать с ними примеры?
- Дробь — это что такое? Виды дробей
- Многочлены. Разложение многочлена на множители: способы, примеры
- Возведение в степень: основы математики в программировании
- Как найти квадратный корень? Свойства, примеры извлечения корня
- Тригонометрия с нуля: основные понятия, история
- Сокращение штата работников (ТК РФ). Пособие при сокращении штатов
Пособие при сокращении штатовТакже читайте
Преобразование экспонент, радикалов и дробей
Готовясь к экзаменам по статистике и макроэкономике, я часто использовал пару правил для преобразования и решения уравнений. Когда они впервые были представлены, я не пытался их запомнить, но, проведя много времени за выполнением упражнений, я передумал.
Обратите внимание, что этот пост будет в значительной степени посвящен правилам экспоненты, радикала и дроби, в меньшей степени другим темам. Я также приведу типичную настройку для каждого правила и то, как она будет применяться в таком случае.
Это может быть полезно, если a уже является дробью. В этом случае вы можете легко умножить как числитель a на 1 (который останется прежним), так и знаменатель a на b.
Пример: 1234=12∗134=12∗43=46{{1 \более 2} \более {3 \более 4}}= {1 \более 2}* {1 \более {3 \более 4}}= {1 \более 2} * {4 \более 3}= {4 \более 6}4321=21∗431=21∗34=64
Одно из самых простых правил для упрощения терминов состоит в том, что если используется одна и та же база, вы можете переписать ее, используя базу один раз и просуммировав все показатели степени.
9{2}a3a5=a5−3=a2
Если вам нужен другой способ преобразования дроби из приведенного выше, а показатель степени в знаменателе больше, чем показатель степени в числителе, вы можете переписать его таким образом.
Вы можете упростить составные дроби, умножив числитель и знаменатель нижней части и разделив на знаменатель. Если ваш числитель равен 1, вы просто удаляете его и переворачиваете меньшую дробь, чтобы получить результат.
Если вам нужен более экстремальный пример, abcd=a∗db∗c{{a \over b} \over {c \over d}} = {{a *d} \over {b*c}}dcba =b∗ca∗d тоже работает. 9{-3}}53=5−31
Я буду обновлять это всякий раз, когда буду использовать дополнительное правило для работы с дробями и показателями степени. Если у вас есть какие-либо вопросы, предложения или отзывы в целом, не стесняйтесь обращаться по почте или в Twitter.
Упрощение показателей | Brilliant Math & Science Wiki
Андрес Гонсалес и Антон Криксунов внес
Содержание
- Правило показателей: продукт
- Правило показателей: частное
- Отрицательные показатели
- Силовое правило
- Башня Экспонентов
- Правило экспоненты: дроби
- Правило показателей: особые случаи
- Решение проблем
- Смотрите также
Когда основания двух чисел при умножении совпадают, их степени складываются, а основание остается прежним.