Правило деление на 7: Признаки делимости на 7 | umath.ru

правило и примеры, алгоритм деления числа и его реализация

Математика

12.11.21

13 мин.

В школе в 5 классе изучается подробно признак делимости на 11. Правила и примеры основаны на определенной методике, разработанной специалистами и позволяющей за короткое время освоить эту тему.

Обучение начинается с изучения делителей, находящихся в диапазоне от двух до десяти включительно. Математики рекомендуют на начальном этапе разобраться в теоретических основах, а затем переходить к практике.

Общие сведения

Любая арифметическая операция состоит минимум из трех элементов. Деление не является исключением. Оно бывает двух типов:

1. Целочисленным (без остатка).
2. С наличием остаточного значения (с остатком).

Для целочисленного деления предусмотрены определенные правила или критерии. Они называются признаками делимости. Их условно можно разделить на девять основных групп, которые находятся в числовом диапазоне от двух до 10 включительно.

В математике существует определенный тип задач, в которых требуется доказать наличие целочисленного частного. Далее нужно разобрать подробно признаки делимости на одиннадцать.

Следует отметить, что операция деления включает в себя три элемента. К ним относятся следующие:

1. Искомое число, которое делится — делимое.
2. Количество компонентов равнозначного типа для деления первоначального значения — делитель.
3. Результат операции — частное.

В некоторых источниках математической литературы можно встретить фразу «незаконченная операция деления».

Она означает, что величина представлена в виде обыкновенной дроби, а частное — дробное выражение десятичного вида. Далее нужно рассмотреть признаки деления на одиннадцать и их свойства.

Критерии деления на 11

Критерии деления искомого числа на 11 позволяют определить возможность получения целочисленного частного, т.

е. показывают, какую кратность составляет исходное число делителю, эквивалентному одиннадцати. Всего существует два правила. К ним относятся следующие:

1. Четные и нечетные цифры.
2. Разбиение на группы.

В первом случае формулировка критерия имеет следующий вид: деление на 11 возможно в том случае, когда суммы цифр четных и нечетных позиций эквивалентны между собой или модуль разности возможно разделить на одиннадцать.

На основании первого правила специалисты разработали алгоритм. Он имеет такой вид:

1. Записывается величина.
2. Разбивается число на четные и нечетные группы.
3. Находится суммарные значения для четных и нечетных элементов разрядов.
4. Если искомое число делится на 11, то величины, полученные в третьем пункте, должны быть равными между собой, или модуль их разности будет кратен 11.

Для примера необходимо рассмотреть число «5672». Доказательство делимости на 11 осуществляется по такому алгоритму:

1. Сумма четных разрядов: 6+2=8.
2. Суммарная величина нечетных групп: 5+7=12.
3. Значения в первом и втором пунктах не равны между собой.
4. Модуль: |12−8|=4.

Следует отметить, что величина «5672» не делится нацело на 11, поскольку не выполняются условия в третьем и четвертом пунктах. Этот критерий рекомендуют применять только для трехзначных, четырехзначных, пятизначных и шестизначных чисел. Если количество элементов (цифр), входящих в величину, больше шести,

то специалисты рекомендуют использовать следующую методику:

1. Записать число.
2. Разбить величину на группы по два компонента, начиная с единиц.
3. Сложить величины между собой.
4. Результат, полученный в третьем пункте, должен быть кратен 11.

Критерий формулируется следующим образом: число, включающее в свой состав 7 и более цифр, делится на 11, когда сумму групп из двойных элементов, начинающихся с единиц, возможно поделить на 11 без остатка. Реализация методики для величины «1589146», состоящей из 7 разрядов, имеет такой вид:

1. Написать число: 1589146.
2. Количество разрядов: 7.
3. Распределение на группы: |1 |58 |91 |46.
4. Cуммирование: 46+91+58+1=196.
5. Величина «196» не делится на 11.
6. Вывод: частное при делении числа 1589146 на одиннадцать является дробным.

Следует отметить, что методики можно использовать в любой последовательности, а также применять их в одной задаче.

Таким образом, для идентификации целочисленного деления числа на 11 необходимо воспользоваться определенными правилами, предложенными специалистами.

В школе в 5 классе изучается подробно признак делимости на 11. Правила и примеры основаны на определенной методике, разработанной специалистами и позволяющей за короткое время освоить эту тему.

Обучение начинается с изучения делителей, находящихся в диапазоне от двух до десяти включительно. Математики рекомендуют на начальном этапе разобраться в теоретических основах, а затем переходить к практике.

Общие сведения

Любая арифметическая операция состоит минимум из трех элементов. Деление не является исключением.

Оно бывает двух типов:

1. Целочисленным (без остатка).
2. С наличием остаточного значения (с остатком).

Для целочисленного деления предусмотрены определенные правила или критерии. Они называются признаками делимости. Их условно можно разделить на девять основных групп, которые находятся в числовом диапазоне от двух до 10 включительно. В математике существует определенный тип задач, в которых требуется доказать наличие целочисленного частного. Далее нужно разобрать подробно признаки делимости на одиннадцать.

Следует отметить, что операция деления включает в себя три элемента. К ним относятся следующие:

1. Искомое число, которое делится — делимое.
2. Количество компонентов равнозначного типа для деления первоначального значения — делитель.
3. Результат операции — частное.

В некоторых источниках математической литературы можно встретить фразу «незаконченная операция деления».

Она означает, что величина представлена в виде обыкновенной дроби, а частное — дробное выражение десятичного вида. Далее нужно рассмотреть признаки деления на одиннадцать и их свойства.

Критерии деления на 11

Критерии деления искомого числа на 11 позволяют определить возможность получения целочисленного частного, т. е. показывают, какую кратность составляет исходное число делителю, эквивалентному одиннадцати. Всего существует два правила. К ним относятся следующие:

1. Четные и нечетные цифры.
2. Разбиение на группы.

В первом случае формулировка критерия имеет следующий вид: деление на 11 возможно в том случае, когда суммы цифр четных и нечетных позиций эквивалентны между собой или модуль разности возможно разделить на одиннадцать.

На основании первого правила специалисты разработали алгоритм. Он имеет такой вид:

1. Записывается величина.
2. Разбивается число на четные и нечетные группы.
3. Находится суммарные значения для четных и нечетных элементов разрядов.
4. Если искомое число делится на 11, то величины, полученные в третьем пункте, должны быть равными между собой, или модуль их разности будет кратен 11.

Для примера необходимо рассмотреть число «5672». Доказательство делимости на 11 осуществляется по такому алгоритму:

1. Сумма четных разрядов: 6+2=8.
2. Суммарная величина нечетных групп: 5+7=12.
3. Значения в первом и втором пунктах не равны между собой.
4. Модуль: |12−8|=4.

Следует отметить, что величина «5672» не делится нацело на 11, поскольку не выполняются условия в третьем и четвертом пунктах. Этот критерий рекомендуют применять только для трехзначных, четырехзначных, пятизначных и шестизначных чисел. Если количество элементов (цифр), входящих в величину, больше шести, то специалисты рекомендуют использовать следующую методику:

1. Записать число.
2. Разбить величину на группы по два компонента, начиная с единиц.
3. Сложить величины между собой.
4. Результат, полученный в третьем пункте, должен быть кратен 11.

Критерий формулируется следующим образом: число, включающее в свой состав 7 и более цифр, делится на 11, когда сумму групп из двойных элементов, начинающихся с единиц, возможно поделить на 11 без остатка. Реализация методики для величины «1589146»,

состоящей из 7 разрядов, имеет такой вид:

1. Написать число: 1589146.
2. Количество разрядов: 7.
3. Распределение на группы: |1 |58 |91 |46.
4. Cуммирование: 46+91+58+1=196.
5. Величина «196» не делится на 11.
6. Вывод: частное при делении числа 1589146 на одиннадцать является дробным.

Следует отметить, что методики можно использовать в любой последовательности, а также применять их в одной задаче.

Таким образом, для идентификации целочисленного деления числа на 11 необходимо воспользоваться определенными правилами, предложенными специалистами.

Признаки делимости | это… Что такое Признаки делимости?

При́знак дели́мости — алгоритм, позволяющий сравнительно быстро определить, является ли число кратным заранее заданному^[1]. Если признак делимости позволяет выяснить не только делимость числа на заранее заданное, но и остаток от деления, то его называют

признаком равноостаточности.

Как правило, признаки делимости применяются при ручном счёте и для чисел, представленных в конкретной позиционной системе счисления (обычно десятичной).

Содержание 1 Понятия делимости, равноделимости и равноостаточности 2 Общие принципы построения 3 Признаки делимости в десятичной системе счисления 3. 1 Признак делимости на 2 3.2 Признак делимости на 3 3.3 Признак делимости на 4 3.4 Признак делимости на 5 3.5 Признак делимости на 6 3.6 Признак делимости на 7 3.7 Признак делимости на 8 3.8 Признак делимости на 9 3.9 Признак делимости на 10 3.10 Признаки делимости на 11 3.11 Признак делимости на 12 3.12 Признак делимости на 13 3.13 Признак делимости на 17 3.14 Признак делимости на 19 3.15 Признак делимости на 20 3.16 Признаки делимости на 23 3.17 Признак делимости на 25 3.18 Признак делимости на 27 3.19 Признак делимость на 29 3.20 Признак делимости на 30 3.21 Признак делимости на 31 3.22 Признак делимости на 37 3.23 Признак делимости на 41 3.24 Признак делимости на 50 3.25 Признак делимости на 59 3.26 Признак делимости на 79 3.27 Признак делимости на 99 3. 28 Признак делимости на 101 4 Общие признаки делимости 4.1 Признак делимости на делитель степени основания системы счисления 4.2 Признак делимости на делитель 4.3 Признак делимости на делитель 5 Признаки делимости в других системах счисления 6 См. также 7 Литература 8 Примечания

Понятия делимости, равноделимости и равноостаточности

Основные статьи: Делимость, Равноостаточность

Если для двух целых чисел и существует такое целое число что

то говорят, что число делится на

Два целых числа и называются равноделимыми на если либо они оба делятся на либо оба не делятся^[2].

Два целых числа и равноостаточны при делении на натуральное число (или сравнимы по модулю ), если при делении на они дают одинаковые остатки, то есть существует такие целые числа что

Общие принципы построения

Пусть требуется определить, делится ли некоторое натуральное число на другое натуральное число Для этого будем строить последовательность натуральных чисел:

такую, что:

2. каждый член последовательности вполне определяется предыдущим;
4. последний член последовательности меньше то есть
5. все члены последовательности являются равноделимыми на

Тогда если последний член этой последовательности равен нулю, то делится на в противном случае на не делится.

Способ (алгоритм) построения такой последовательности и будет искомым признаком делимости на Математически он может быть описан с помощью функции определяющей каждый следующий член последовательности в зависимости от предыдущего:

удовлетворяющей следующим условиям:

1. при значение не определено;
2. при значение есть натуральное число;
3. если то
4. если то и равноделимы на

Если требование равноделимости для всех членов последовательности заменить на более строгое требование равноостаточности, то последний член этой последовательности будет являться остатком от деления на а способ (алгоритм) построения такой последовательности будет признаком равноостаточности на В силу того, что из равенства остатка при делении на нулю следует делимость на , любой признак равноостаточности может применяться как признак делимости. Математически признак равноостаточности тоже может быть описан с помощью функции определяющей каждый следующий член последовательности в зависимости от предыдущего:

удовлетворяющей следующим условиям:

1. при значение не определено;
2. при значение есть натуральное число;
3. если то
4. если то и равноостаточны при делении на

Примером такой функции, определяющей признак равноостаточности (и, соответственно, признак делимости), может быть функция

а последовательность, построенная с её помощью будет иметь вид:

По сути применение признака равноостаточности на базе этой функции эквивалентно делению при помощи вычитания.

Другим примером может служить общеизвестный признак делимости (а также равноостаточности) на 10.

Если последняя цифра в десятичной записи числа равна нулю, то это число делится на 10; кроме того, последняя цифра будет являться отстатком от деления исходного числа на 10.

Математически этот признак равноостаточности может быть сформулирован следующим образом. Пусть надо выяснить остаток от деления на 10 натурального числа представленного в виде

Тогда остатком от деления на 10 будет . Функция, описывающая это признак равноостаточности будет выглядеть как

Легко доказать, что эта функция удовлетворяет всем перечисленным выше требованиям. Причём последовательность, построенная с её помощью, будет содержать всего один или два члена.

Также легко видеть, что такой признак ориентирован именно на десятичное представление числа  — так, например, если применять его на компьютере, использующем двоичную запись числа, то чтобы выяснить , программе пришлось бы сначала поделить на 10.

Для построения признаков равноостаточности и делимости чаще всего используется следующие теоремы:

1. При любых целом и натуральном целые числа и равноостаточны при делении на
2. При любых целом , натуральном , целые числа и равноделимы на если целое является взаимно простым с

Пример построения признаков делимости и равноостаточности на 7  

Продемонстрируем применение этих теорем на примере признаков делимости и равноостаточности на

Пусть дано целое число

Тогда из первой теоремы полагая будет следовать, что будет равноостаточно при делении на 7 с числом

Запишем функцию признака равноостаточности в виде:

И, наконец, остаётся найти такое , при котором для любого выполняется условие В данном случае и функция приобретает окончательный вид:

А из второй теоремы полагая и взаимно простое с 7, будет следовать, что будет равноделимы на 7 с числом

Учитывая, что числа и равноделимы на 7, запишем функцию признака делимости в виде:

И, наконец, остаётся найти такое , при котором для любого выполняется условие В данном случае и функция приобретает окончательный вид:

Признаки делимости в десятичной системе счисления

Признак делимости на 2

Число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра делится на 2, то есть является чётной.

Соответствующая признаку функция (см. раздел «Общие принципы построения»):

Эта функция помимо признака делимости задаёт и признак равноостаточности.

Признак делимости на 3

Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3.

Соответствующая признаку функция:

Эта функция помимо признака делимости задаёт и признак равноостаточности. Например, числа 154, и равноостаточны при делении на 3.

Признак делимости на 4

Число делится на 4 тогда и только тогда, когда две его последние цифры составляют число, которое делится на 4. Двузначное число делится на 4 тогда и только тогда, когда удвоенное число десятков, сложенное с числом единиц делится на 4. Например, число 12342 не делится на 4, так как не делится на 4.

Соответствующая признаку функция:

Эта функция помимо признака делимости задаёт и признак равноостаточности. Например, числа 87, и равноостаточны при делении на 4.

Признак делимости на 5

Число делится на 5 тогда и только тогда, когда последняя цифра делится на 5, т. е. если она 0 или 5.

Соответствующая признаку функция:

Эта функция помимо признака делимости задаёт и признак равноостаточности.

Признак делимости на 6

Число делится на 6 тогда и только тогда, когда оно делится и на 2, и на 3 (то есть если оно четное и сумма его цифр делится на 3).

Другой признак делимости: число делится на 6 тогда и только тогда, когда учетверённое число десятков, сложенное с числом единиц делится на 6.

Соответствующая признаку функция:

Эта функция помимо признака делимости задаёт и признак равноостаточности. Например, числа 73, и равноостаточны при делении на 6.

Признак делимости на 7

Признак 1: число делится на 7 тогда и только тогда, когда утроенное число десятков, сложенное с числом единиц делится на 7. Например, 154 делится на 7, так как на 7 делится Другой пример — число 1001 делится на 7, так как на 7 делятся

Соответствующая этому признаку функция:

Эта функция помимо признака делимости задаёт и признак равноостаточности. Например, числа 87, и равноостаточны при делении на 7.

Признак 2: число делится на 7 тогда и только тогда, когда разность числа десятков и удвоенного числа единиц, взятая по модулю, делится на 7. Например, 364 делится на 7, так как на 7 делится

Соответствующая этому признаку функция:

Признак 3. число делится на 7 тогда и только тогда, когда модуль алгебраической суммы чисел, образующих нечётные группы по три цифры (начиная с единиц), взятых со знаком «+», и чётных со знаком «-» делится на 7. Например, 138689257 делится на 7, так как на 7 делится

Соответствующая этому признаку функция:

Признак делимости на 8

Число делится на 8 тогда и только тогда, когда число, образованное тремя его последними цифрами, делится на 8. Трёхзначное число делится на 8 тогда и только тогда, когда число единиц, сложенное с удвоенным числом десятков и учетверённым числом сотен, делится на 8. Например, 952 делится на 8 так как на 8 делится

Соответствующая признаку функция:

Эта функция помимо признака делимости задаёт и признак равноостаточности. Например, числа 567, и равноостаточны при делении на 8.

Признак делимости на 9

Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9. Например, 12345678 делится на 9, то есть на 9 делится

Соответствующая признаку функция:

Эта функция помимо признака делимости задаёт и признак равноостаточности. Например, числа 345, и равноостаточны при делении на 9.

Признак делимости на 10

Число делится на 10 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на ноль.

Соответствующая этому признаку функция:

Эта функция помимо признака делимости задаёт и признак равноостаточности.

Признаки делимости на 11

Признак 1: число делится на 11 тогда и только тогда, когда модуль разности между суммой цифр, занимающих нечётные позиции, и суммой цифр, занимающих чётные места делится на 11. Например, 9163627 делится на 11, так как делится на 11. Другой пример — 99077 делится на 11, так как делится на 11.

Соответствующая этому признаку функция:

Признак 2: число делится на 11 тогда и только тогда, когда на 11 делится сумма чисел, образующих группы по две цифры (начиная с единиц). Например, 103785 делится на 11, так как на 11 делятся и

Соответствующая признаку функция:

Эта функция помимо признака делимости задаёт и признак равноостаточности. Например, числа 123456, и равноостаточны при делении на 11.

Признак делимости на 12

Число делится на 12 тогда и только тогда, когда модуль разности числа единиц и удвоеного числа десятков делится на 12. Например: 1236 делится на 12, так как делится на 12.

Соответствующая этому признаку функция:

Признак делимости на 13

Число делится на 13 тогда и только тогда, когда сумма числа десятков с учетверенным числом единиц делится на 13. Например 845 делится 13, так как на 13 делятся и

Соответствующая этому признаку функция:

Признак делимости на 17

Число делится на 17 тогда и только тогда, когда модуль разности числа десятков и пятикратного числа единиц делится на 17. Например, 221 делится на 17, так как делится на 17.

Соответствующая этому признаку функция:

Признак делимости на 19

Число делится на 19 тогда и только тогда, когда число десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, делится на 19. Например, 646 делится на 19, так как на 19 делятся и

Соответствующая этому признаку функция:

Признак делимости на 20

Число делится на 20 тогда и только тогда, когда число, образованое двумя последними цифрами, делится на 20.

Соответствующая этому признаку функция:

Эта функция помимо признака делимости задаёт и признак равноостаточности.

Признаки делимости на 23

Признак 1: число делится на 23 тогда и только тогда, когда число сотен, сложенное с утроенным числом, образованным двумя последними цифрами, делится на 23. Например, 28842 делится на 23, так как на 23 делятся и

Соответствующая этому признаку функция:

Признак 2: число делится на 23 тогда и только тогда, когда число десятков, сложенное с семикратным числом единиц, делится на 23. Например, 391 делится на 23, так как делится на 23.

Соответствующая этому признаку функция:

Признак 3: число делится на 23 тогда и только тогда, когда число сотен, сложенное с семикратным числом десятков и утроенным числом единиц, делится на 23. Например, 391 делится на 23, так как делится на 23.

Соответствующая этому признаку функция:

Признак делимости на 25

Число делится на 25 тогда и только тогда, когда число, образованое двумя последними цифрами, делится на 25.

Соответствующая этому признаку функция:

Эта функция помимо признака делимости задаёт и признак равноостаточности.

Признак делимости на 27

Число делится на 27 тогда и только тогда, когда на 27 делится сумма чисел, образующих группы по три цифры (начиная с единиц).

Соответствующая признаку функция:

Эта функция помимо признака делимости задаёт и признак равноостаточности.

Признак делимость на 29

Число делится на 29 тогда и только тогда, когда число десятков, сложенное с утроенным числом единиц, делится на 29. Например, 261 делится на 29, так как делится на 29.

Соответствующая этому признаку функция:

Признак делимости на 30

Число делится на 30 тогда и только тогда, когда оно заканчивается на 0 и сумма всех цифр делится на 3.

Признак делимости на 31

Число делится на 31 тогда и только тогда, когда модуль разности числа десятков и утроенного числа единиц делится на 31. Например, 217 делится на 31, так как делится на 31.

Соответствующая этому признаку функция:

Признак делимости на 37

Признак 1: число делится на 37 тогда и только тогда, когда на 37 делится сумма чисел, образующих группы по три цифры (начиная с единиц).

Соответствующая признаку функция:

Эта функция помимо признака делимости задаёт и признак равноостаточности.

Признак 2: число делится на 37 тогда и только тогда, когда на 37 делится модуль утроеного числа сотен, сложенного с учетверённым числом десятков, за вычетом числа единиц, умноженного на семь. Например, число 481 делится на 37, так как на 37 делится

Соответствующая признаку функция:

Признак 3: число делится на 37 тогда и только тогда, когда на 37 делится модуль суммы числа сотен с числом единиц, умноженного на десять, за вычетом числа десятков, умноженного на 11. Например, число 481 делится на 37, так как на 37 делится

Соответствующая признаку функция:

Признак делимости на 41

Признак 1: число делится на 41 тогда и только тогда, когда модуль разности числа десятков и четырёхкратного числа единиц делится на 41. Например, 369 делится на 41, так как делится на 41.

Соответствующая этому признаку функция:

Признак 2: чтобы проверить, делится ли число на 41, его следует справа налево разбить на грани по 5 цифр в каждой. Затем в каждой грани первую справа цифру умножить на 1, вторую цифру умножить на 10, третью — на 18, четвёртую — на 16, пятую — на 37 и все полученные произведения сложить. Если результат будет делиться на 41, тогда и только тогда само число будет делиться на 41.

Признак делимости на 50

Число делится на 50 тогда и только тогда, когда число, образованное двумя его младшими десятичными цифрами, делится на 50.

Соответствующая этому признаку функция:

Эта функция помимо признака делимости задаёт и признак равноостаточности.

Признак делимости на 59

Число делится на 59 тогда и только тогда, когда число десятков, сложенное с числом единиц, умноженное на 6, делится на 59. Например, 767 делится на 59, так как на 59 делятся и

Соответствующая этому признаку функция:

Признак делимости на 79

Число делится на 79 тогда и только тогда, когда число десятков, сложенное с числом единиц, умноженное на 8, делится на 79. Например, 711 делится на 79, так как на 79 делятся .

Соответствующая этому признаку функция:

Признак делимости на 99

Число делится на 99 тогда и только тогда, когда на 99 делится сумма чисел, образующих группы по две цифры (начиная с единиц). Например, 12573 делится на 99, так как на 99 делится

Соответствующая признаку функция:

Эта функция помимо признака делимости задаёт и признак равноостаточности. Например, числа 123456, и равноостаточны при делении на 99.

Признак делимости на 101

Число делится на 101 тогда и только тогда, когда модуль алгебраической суммы чисел, образующих нечётные группы по две цифры (начиная с единиц), взятых со знаком «+», и чётных со знаком «-» делится на 101. Например, 590547 делится на 101, так как на 101 делится

Соответствующая этому признаку функция:

Общие признаки делимости

Признак делимости на делитель степени основания системы счисления

Если для некоторых натуральных и число делится на натуральное то любое целое число записанное в системе счисления по основанию равноостаточно с числом, образованным младшими его цифрами. Это свойство позволяет построить признак делимости и равноостаточности на делитель степени основания системы счисления.

Соответствующая этому признаку функция:

Например, в десятичной системе счисления это позволяет построить признаки делимости на 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 25, 32, 40, 50 и т. д.

Признак делимости на делитель

Если для некоторых натуральных и число делится на натуральное то любое целое число записанное в системе счисления по основанию равноделимо с суммой чисел, образованных разбиением на группы по цифр, начиная с самой младшей. Это свойство позволяет построить признак делимости на

Соответствующая этому признаку функция:

Например, в десятичной системе счисления это позволяет построить признаки делимости на 3, 9, 11, 27, 33, 37, 99, 101, 111, 303, 333, 999, 1111, 3333, 9999 и т. д.

Признак делимости на делитель

Если для некоторых натуральных и число делится на натуральное то любое целое число записанное в системе счисления по основанию равноделимо с модулем знакопеременной суммы чисел, образованных разбиением на группы по цифр, начиная с самой младшей. Это свойство позволяет построить признак делимости на

Соответствующая этому признаку функция:

Например, в десятичной системе счисления это позволяет построить признаки делимости на 7, 11, 13, 73, 77, 91, 101, 137, 143, 1001, 10001 и т. д.

Признаки делимости в других системах счисления

Признаки делимости в других системах счисления аналогичны таковым в десятичной. В частности, в любой системе счисления (числа записаны в той системе, в которой мы работаем в данный момент):

• число делится на 10ⁿ, если оно оканчивается на n нулей.

Если основание системы счисления равно k, то любое число делится на k-1 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на k-1 без остатка. В частности:

• число делится на 10−1, если сумма его цифр делится на 10−1;
• если основание системы счисления нечётное, то число делится на 2, если сумма его цифр делится на 2.

Если основание системы счисления равно k, то любое число делится на k+1 тогда и только тогда, когда сумма цифр, занимающих нечётные места, отличается от суммы цифр на чётных местах на число, делящееся на k+1. В частности:

• число делится на 11, если сумма цифр, занимающих нечётные места, либо равна сумме цифр, занимающих чётные места, либо отличается от неё на число, делящееся на 11.

Если основание системы счисления делится на некоторое число k, то любое число делится на k тогда и только тогда, когда его последняя цифра делится на k. В частности:

• если основание системы счисления чётное, то число делится на 2, если его последняя цифра делится на 2.

См. также

• Признак Паскаля — универсальный признак делимости, позволяющий для любых целых a и b определить, делится ли a на b. Точнее, он позволяет вывести почти все из выше приведённых признаков.

Литература

• Воробьев Н. Н. Признаки делимости. — 4-е изд. — М.: Наука, 1988. — Т. 39. — 94 с. — (Популярные лекции по математике). — ISBN 5-02-013731-6

Примечания

1. ↑ С практической точки зрения «сравнительно быстро» означает «быстрее, чем можно было бы выполнить фактическое деление» теми же самыми средствами. Причём эффективность этого алгоритма в немалой степени зависит от формы представления чисел и имеющихся в распоряжении вычислительных возможностей.
2. ↑ Воробьев Н. Н. Признаки делимости. — 4-е изд., испр. — М.: Наука, 1988. — С. 42. — (Популярные лекции по математике). — ISBN 5-02-013731-6

6 класс. Математика. Признаки делимости на 10, на 5 и на 2 — Признаки делимости на 10, на 5 и на 2

Комментарии преподавателя

Уви­дев очень вы­со­ко­го че­ло­ве­ка, мы можем пред­по­ло­жить, что он бас­кет­бо­лист.

Глядя на очень боль­шой ка­мень, мы пой­мем, что нам не удаст­ся его под­нять, он слиш­ком тя­же­лый. Глядя на число 252, мы по­ни­ма­ем, что оно де­лит­ся на 2.

Во всех этих при­ме­рах мы не про­ве­ря­ли, а де­ла­ли вывод на ос­но­ве внеш­них при­зна­ков. При­чем в пер­вых двух слу­ча­ях мы могли оши­бить­ся, но про число 252 мы знаем точно. По­след­няя цифра де­лит­ся на 2, зна­чит, и все число де­лит­ся. Про­сто в ма­те­ма­ти­ке есть точ­ные при­зна­ки де­ли­мо­сти на раз­ные числа. Легко по­нять, что 12 де­лит­ся на 2 или что 100 де­лит­ся на 10.

Но, ока­зы­ва­ет­ся, можно быст­ро по­нять, де­лит­ся ли на 3 числа 16547984622, 45758554963. Пер­вое де­лит­ся, а вто­рое – нет. Про­сто сумма цифр пер­во­го числа де­лит­ся на 3, а у вто­ро­го – нет. Это и ука­зы­ва­ет, де­лит­ся ли само число на 3.

При­зна­ки де­ли­мо­сти на раз­ные числа устро­е­ны по-раз­но­му. Но есть по­хо­жие, од­но­го типа. Се­год­ня мы нач­нем с при­зна­ков де­ли­мо­сти на 10, 5 и 2. Они устро­е­ны оди­на­ко­во: смот­рим на по­след­нюю цифру и по­ни­ма­ем, де­лит­ся или нет.

Нач­нем с са­мо­го глав­но­го во­про­са: что зна­чит «одно число де­лит­ся на дру­гое»? На­при­мер, что зна­чит, что число 15 де­лит­ся на 5? Это озна­ча­ет, что число 15 можно пред­ста­вить в виде про­из­ве­де­ния двух на­ту­раль­ных чисел, и одно из них будет 5.

15 со­дер­жит еще и мно­жи­тель 3, это озна­ча­ет, что 15 де­лит­ся и на 3 тоже.

Тот факт, что  де­лит­ся на  (), мы можем за­пи­сать или сло­ва­ми, или ука­зать, что  со­дер­жит мно­жи­тель . Вто­рой мно­жи­тель , это ре­зуль­тат де­ле­ния на .

Те­перь рас­смот­рим числа, ко­то­рые окан­чи­ва­ют­ся нулем. Если число окан­чи­ва­ет­ся нулем, то в его раз­ло­же­ние на мно­жи­те­ли вхо­дит мно­жи­тель 10.

На­при­мер, . Мы знаем, что 10 мы можем пред­ста­вить как , тогда . Мы по­лу­чи­ли, что фразы «в раз­ло­же­нии со­дер­жит­ся мно­жи­тель 10» и «в раз­ло­же­нии со­дер­жат­ся мно­жи­те­ли 5 и 2» эк­ви­ва­лен­ты. Таким об­ра­зом, можем утвер­ждать, что если число окан­чи­ва­ет­ся нулем, то оно де­лит­ся на 10, на 5 и на 2.

Раз­ло­жим на мно­жи­те­ли: . По­лу­чи­ли эк­ви­ва­лент­ную за­пись числа 60. Видим, что число 30 также рас­кла­ды­ва­ет­ся на мно­жи­те­ли, по­лу­чим ещё одну эк­ви­ва­лент­ную за­пись: . Про­дол­жим до тех пор, пока можем рас­кла­ды­вать на мно­жи­те­ли: .

По­лу­чен­ные числа раз­ло­жить на мно­жи­те­ли уже не по­лу­ча­ет­ся – они не де­лят­ся ни на одно число, кроме 1 и себя. Такие числа на­зы­ва­ют­ся про­сты­ми. Осталь­ные числа (на­при­мер, 60, 30, 15 на­зы­ва­ют­ся со­став­ны­ми). 1 счи­та­ет­ся един­ствен­ным чис­лом, ко­то­рое не яв­ля­ет­ся ни про­стым, ни со­став­ным.

По­нят­но, что, ис­поль­зуя наш ал­го­ритм (пред­став­ляя любой со­став­ной мно­жи­тель в виде про­из­ве­де­ния), для лю­бо­го числа рано или позд­но можно по­лу­чить его эк­ви­ва­лент­ное пред­став­ле­ние в виде про­из­ве­де­ния про­стых мно­жи­те­лей.

 Но мы могли пойти по-дру­го­му: .

Как видим, по­лу­чи­лось то же эк­ви­ва­лент­ное пред­став­ле­ние (с точ­но­стью до по­ряд­ка мно­жи­те­лей). Все­гда ли так будет? Ока­зы­ва­ет­ся, да. Можно до­ка­зать, что любое число един­ствен­ным об­ра­зом пред­став­ля­ет­ся в виде про­из­ве­де­ния про­стых мно­жи­те­лей. Этот ре­зуль­тат на­зы­ва­ет­ся ос­нов­ной тео­ре­мой ариф­ме­ти­ки.

По­лу­ча­ет­ся, что как бы мы ни рас­кла­ды­ва­ли число на про­стые мно­жи­те­ли, в итоге мы по­лу­чим одно и то же раз­ло­же­ние (с точ­но­стью до по­ряд­ка).

Если про­ве­сти ана­ло­гию, то про­стые мно­жи­те­ли – это буквы, из ко­то­рых со­сто­ят числа – слова. До­бавь или убери букву – смысл слова из­ме­нит­ся. Так же и с про­сты­ми мно­жи­те­ля­ми: любое из­ме­не­ние в на­бо­ре про­стых мно­жи­те­лей даст нам дру­гое число.

Таким об­ра­зом, про­стые числа –такие числа, ко­то­рые нель­зя раз­ло­жить на мно­жи­те­ли, на­при­мер, 2, 3, 5. Со­став­ные числа – такие числа, ко­то­рые можно раз­ло­жить на мно­жи­те­ли. А любое число можно пред­ста­вить в виде про­из­ве­де­ния про­стых мно­жи­те­лей един­ствен­ным об­ра­зом.

Число  де­лит­ся на число  тогда и толь­ко тогда, когда а со­дер­жит bкак мно­жи­тель.

Об­ра­тим вни­ма­ние на число 0. Это число можно пред­ста­вить как про­из­ве­де­ние нуля и лю­бо­го дру­го­го числа: . Таким об­ра­зом, ноль де­лит­ся на любое число. Ре­зуль­та­том будет вто­рой мно­жи­тель – 0.

А что с де­ле­ни­ем на ноль? Если бы неко­то­рое число можно было по­де­лить на ноль, то был бы ответ: . Тогда вспом­ним о том, что де­ле­ние – это опе­ра­ция об­рат­ная умно­же­нию: . Но  все­гда будет равно 0, а мы это число вы­би­ра­ли про­из­воль­но. Так мы при­шли к про­ти­во­ре­чию.

На самом деле без де­ле­ния на ноль можно обой­тись, по­это­му дан­ная опе­ра­ция нам не нужна.

Таким об­ра­зом, ноль можно де­лить на любое число, не рав­ное нулю, и по­лу­чать ноль. При этом ни­ка­кое число на ноль де­лить нель­зя.

Рас­смот­рим два ра­вен­ства.

В пер­вом ра­вен­стве: сла­га­е­мое 16 де­лит­ся на 4, сла­га­е­мое 1 не де­лит­ся на 4, и сумма 17 не де­лит­ся на 4.

Во вто­ром ра­вен­стве: сла­га­е­мые 16 и 4 де­лят­ся на 4, и сумма 20 также де­лит­ся на 4.

Таким об­ра­зом мы по­лу­ча­ем пра­ви­ло: если каж­дое из сла­га­е­мых де­лит­ся на за­дан­ное число, то и сумма тоже де­лит­ся на это число. Если одно из сла­га­е­мых де­лит­ся на за­дан­ное число, а вто­рое – нет, то сумма не де­лит­ся на это число.

Возь­мем очень боль­шое число, на­при­мер, 31419265358979323846. По­ста­ра­ем­ся опре­де­лить, на какие числа оно де­лит­ся.

Пред­ста­вим наше число в виде суммы: .

Пер­вое сла­га­е­мое окан­чи­ва­ет­ся нулем, а зна­чит, оно де­лит­ся на 10, на 5 и на 2.

Вто­рое сла­га­е­мое 6 не де­лит­ся на 10 (а пер­вое де­лит­ся), а зна­чит, со­глас­но пра­ви­лу, и сумма не де­лит­ся на 10.

Вто­рое сла­га­е­мое 6 не де­лит­ся на 5 (а пер­вое де­лит­ся), а зна­чит, со­глас­но пра­ви­лу, и сумма не де­лит­ся на 5.

Вто­рое сла­га­е­мое 6 де­лит­ся на 2 (и пер­вое де­лит­ся), а зна­чит, со­глас­но пра­ви­лу, и сумма де­лит­ся на 2.

Итак, сде­ла­ем вывод в виде тео­ре­мы.

Если каж­дое сла­га­е­мое суммы де­лит­ся на одно число, то и вся сумма де­лит­ся на это число. На­при­мер,  де­лит­ся на 3, так как и 3, и 12, и 9, и 6 де­лят­ся на 3.

Если все сла­га­е­мые де­лят­ся, а одно сла­га­е­мое не де­лит­ся на число, то сумма не будет де­лить­ся на это число. На­при­мер,  не де­лит­ся на 5, так как все сла­га­е­мые, кроме од­но­го (4), де­лят­ся на 5.

Если два и боль­ше сла­га­е­мых не де­лят­ся на число, то ре­зуль­тат может быть раз­лич­ным. На­при­мер,  де­лит­ся на 4, а при этом толь­ко сла­га­е­мое 4 де­лит­ся на 4, а осталь­ные два (5 и 3) на 4 не де­лят­ся.

Или  не де­лит­ся на 4, хотя си­ту­а­ция не из­ме­ни­лась: одно сла­га­е­мое де­лит­ся на 4, а осталь­ные два (3 и 6) не де­лят­ся.

Тео­ре­ма (при­знак де­ли­мо­сти на 2, 5 и 10): число де­лит­ся на 2, на 5 или 10 тогда и толь­ко тогда, когда по­след­няя цифра этого числа де­лит­ся на 2, на 5 или на 10 со­от­вет­ствен­но.

До­ка­за­тель­ство

Пусть за­да­но число . Пред­ста­вим его в виде суммы двух сла­га­е­мых:

Сла­га­е­мое  окан­чи­ва­ет­ся нулем, а зна­чит, де­лит­ся на 10, на 5, на 2. Но тогда де­ли­мость на 10, 5 и 2 всей суммы за­ви­сит от вто­ро­го сла­га­е­мо­го, ко­то­рое яв­ля­ет­ся по­след­ней циф­рой на­ше­го числа.

Таким об­ра­зом, если по­след­няя цифра числа де­лит­ся на 10, 5 или 2, то и все число де­лит­ся на 10, 5 или 2 со­от­вет­ствен­но. Тео­ре­ма до­ка­за­на.

Опре­де­лить, де­лит­ся ли число на 10, 5 и 2.

1) 

Так как число окан­чи­ва­ет­ся нулем, то оно де­лит­ся на 10, 5 и 2.

2) 12687

Дан­ное число окан­чи­ва­ет­ся 7, 7 не де­лит­ся ни на 2, ни на 5, ни на 10, а зна­чит, и число 12687 на них не де­лит­ся.

3) 1256

Дан­ное число окан­чи­ва­ет­ся 6, 6 де­лит­ся на 2, но не де­лит­ся на 5 и на 10, зна­чит, число 1256 де­лит­ся на 2, но не де­лит­ся на 5 и на 10.

4) 258585

По­след­няя цифра 5, 5 де­лит­ся на 5, но не де­лит­ся на 2 и 10, зна­чит, 258585 де­лит­ся на 5, но не де­лит­ся на 2 и 10.

5) 520000

Число окан­чи­ва­ет­ся нулем, а зна­чит, оно де­лит­ся на 2, 5 и 10.

Об­ра­ти­те вни­ма­ние: по по­след­ней цифре мы можем су­дить толь­ко о де­ли­мо­сти на 2, на 5 и на 10. Для де­ли­мо­сти на дру­гие числа нель­зя ис­поль­зо­вать этот при­знак. На­при­мер, число 13 не де­лит­ся на 3, хотя и окан­чи­ва­ет­ся 3, ко­то­рое на 3 де­лит­ся. Или 17 не де­лит­ся 7, хотя и по­след­няя цифра 7 на 7 де­лит­ся.

источник конспекта — http://interneturok.ru/ru/school/matematika/6-klass/delimost-chisel/priznaki-delimosti-na-10-na-5-i-na-2

источник видео — http://www.youtube.com/watch?v=DJHdBicHi8s

источник видео — http://www.youtube.com/watch?v=8B0MazGfwvs

источник видео — http://www.youtube.com/watch?v=lOcNTfRCeac

источник презентации — http://ppt4web.ru/matematika/priznaki-delimosti-na-0.html

источник теста — http://testedu.ru/test/matematika/6-klass/priznaki-delimosti-na-2-5-10.html

Правило делимости для 7 примеров и вопросов

Представлены примеры и подробные решения по правилу делимости на 7. Вопросы и их решения также включены.
Дополнительные сведения о правилах делимости включены.

Правило делимости на 7

Чтобы проверить, делится ли число на 7, мы дважды вычитаем последнюю цифру (единичную цифру) числа из оставшегося числа (с удалением последней цифры). Если результат равен 0 или кратен 7, то число делится на 7.
Одно- и двузначные числа, которые делятся на 7 (или кратны 7):      0 , 7 , 14 , 21 , 28 , 35 , 42 , 49 , 56 , 63 , 70 , 77 , 84 , 91 , 98 .

Примеры

Пример 1

154 делится на 7?
Последняя цифра в заданном числе 15 4 (единица измерения ) равна 4 .
Теперь мы используем данное число без последней цифры, которая равна 15.
Вычесть дважды последнюю цифру 4 из 15:
15 — 2 (4) = 15 — 8 = 7
Результат 7 кратен 7, поэтому 154 делится на 7.
Проверка делением в большую сторону: 154 7 = 22 с остатком 0.

Пример 2. Возможно, нам придется использовать правило более одного раза
Делится ли 903 на 7?
Шаг 1
Последняя цифра в заданном числе 90 3 (единица измерения ) равна 3 .
Теперь мы используем данное число без последней цифры, которая равна 90.
Вычесть дважды последнюю цифру 3 из 90:
90 — 2 (3) = 90 — 6 = 84
Если по-прежнему сложно определить, когда результат делится на 7, продолжаем использовать правило для результата 84, полученного на последнем шаге.
Шаг 2
Последняя цифра 84 — 4, а число без последней цифры — 8
Вычесть дважды последнюю цифру 4 из 8
8 — 2(4) = 8 — 8 = 0
Вывод: данное число 903 делится на 7.
Проверка делением в большую сторону: 903 7 = 129 с остатком 0.

Пример 3. Возможно, нам придется использовать правило несколько раз
Делится ли 86415 на 7?
Шаг 1
Последняя цифра в заданном числе 8641 5 (единица измерения ) равна 5 .
Теперь мы используем данный номер без последней цифры, которая равна 8641.
Вычесть дважды последнюю цифру 5 из 8641:
8641 — 2 (5) = 8641 — 10 = 8631
Шаг 2
Используем правило на полученный результат 8631
Последняя цифра 8631 — 1, а число без последней цифры — 863.
Вычесть дважды последнюю цифру 1 из 863
863 — 2(1) = 863 — 2 = 861
Шаг 3
Используем правило на полученный результат 861
Последняя цифра числа 861 — 1, а число без последней цифры — 86.
Вычесть дважды последнюю цифру 1 из 86
86 — 2(1) = 86 — 2 = 84
Мы уже видели выше, что 84 делится на 7.
Вывод: данное число 86415 делится на 7.
Проверка делением в большую сторону: 86415 7 = 12345 с остатком 0.

Вопросы

(с решениями)

Какие из следующих чисел делятся на 7?
а) 133    б) 178    в) 847    г) 988    д) 10787

Ответы на вышеуказанные вопросы

а) шаг 1:     13 — 2(3) = 13 — 6 = 7
Вывод: последний результат 7 является кратным 7 и, следовательно, 133 делится на 7

б) шаг 1:     17 — 2(8) = 17 — 16 = 1 ,
Вывод: последний результат 1 НЕ кратен 7 и, следовательно, 178 НЕ делится на 7

в) шаг 1:     84 — 2(7) = 84 — 14 = 70 ,
Вывод: последний результат 70 является кратным 7 и, следовательно, 847 делится на 7

г) шаг 1:     98 — 2(8) = 98 — 16 = 82 ,
шаг 2:     8 — 2(2) = 8 — 4 = 4
Вывод: последний результат 4 НЕ является кратным 7 и, следовательно, 988 НЕ делится на 7

д) шаг 1:     1078 — 2(7) = 1078 — 14 = 1064 ,
шаг 2:     106 — 2(4) = 106 — 8 = 98
Вывод: последний результат 98 кратен 7 и, следовательно, 10787 делится на 7

Дополнительные ссылки и ссылки

Вопросы о правилах делимости с решениями

Калькулятор делимости
Вопросы о делимости с решениями
Числа и дроби.

Рабочие листы теста на делимость | Правила делимости от 2 до 12

Самый быстрый способ точно разделить любое число — использовать простые приемы, называемые правилами делимости. Овладейте искусством деления длинных чисел в один миг с помощью этого множества печатных рабочих листов по тестам на делимость для детей с 3 по 6 класс. Он включает в себя таблицу правил делимости для делителей 2–12 и соответствующие упражнения для применения этих правил с использованием одиночных и кратных делители. Проверьте свои навыки с помощью контрольных листов. Начните с наших бесплатных рабочих листов!

Таблица правил делимости от 2 до 12

Раздайте детям эту удобную таблицу, чтобы познакомить их с правилами делителей от 2 до 12. Запомните эти правила на практике и делите числа как профессионал.

Правило делимости на 2

Выясните, делится ли каждое заданное число на 2. Посмотрите на число, если его разряд единиц имеет четное число, 0, 2, 4, 6 или 8, затем обозначьте его как «делимое» и если число нечетное, напишите «не делится».

Правило делимости на 3

Специально касаясь применения правила делимости на 3, каждый лист здесь содержит 20 делимых. Сложите цифры каждого числа и разделите сумму на 3. Если сумма делится на 3, то число делится на 3.

Правило делимости на 4

Проверить, делятся ли числа на 4, разделив последние 2 цифры числа на 4. Пометить число как «делимое» или «неделимое» в зависимости от остатка в этом наборе делимости тестовые листы в формате pdf для 4 и 5 класса.

Правило делимости на 5

Делится ли число на 5? Проверьте разряд единиц, если число оканчивается на 0 или 5, то оно делится на 5, если оно имеет любое другое число, то 5 не является множителем данного числа.

Правило делимости на 6

Попросите детей проанализировать, является ли число в разряде единиц четным и сумма цифр делится на 3, определить числа, которые делятся на 6, и обозначить их соответствующим образом.

Правило делимости на 7

Закрепить навыки проверки чисел на делимость на 7. Удвоить последнюю цифру и вычесть ее из остального числа, если разница 7, то число делится на 7.

Правило делимости числа 8

Получите оптимальную практику с этим набором печатных рабочих листов по тесту на делимость числа 8. Обратите внимание на последние три цифры, если они делятся на 8, то доказано, что 8 является делителем числа.

Правило делимости на 9

Определите, какое из чисел делится на 9. Сложите все цифры числа и разделите сумму на 9. Если оно делится без остатка, то число делится на 9.

Правило делимости для 10

Эта группа PDF-файлов с рабочими листами для 3-го и 4-го классов посвящена простейшим правилам делимости. Найдите числа, оканчивающиеся на ноль, и сделайте вывод, что эти числа делятся на 10.

Правило делимости на 11

Быстрый способ проверки чисел, делящихся на 11, состоит в сложении чисел, стоящих на четных и нечетных местах, и вычитании двух сумм. Если разность кратна 11, то делимость на 11 доказана.

Правило делимости для 12

Простой способ определить, делится ли заданное число на 12, состоит в том, чтобы проверить, делится ли число на взаимно простые числа 3 и 4. Примените правила и напишите, на какое из чисел делится 12.

Тесты на делимость на 2, 4 и 8

Повторите правила делимости на 2, 4 и 8. Обведите все числа, которые делятся на 2 в части A, на 4 в части B и на 8 в части C. Лучше всего помогает при оценке знаний приобретенный.

Признаки делимости на 3, 6 и 9

Вспомните правила делимости на 3, 6 и 9для заполнения этих печатных листов. Часть A призывает идентифицировать числа, делящиеся на 3, часть B настаивает на выборе чисел, кратных 6, а часть C фокусируется на 9.

Тест на делимость | Смешанный обзор | Да / Нет

Проверить, делятся ли числа на три указанных делителя. Примените соответствующие правила делимости и ответьте «Да» или «Нет», чтобы выполнить это упражнение для детей 5-го и 6-го классов. Подтвердите концепцию делимости в процессе.

Тест на делимость | Смешанный обзор | Множественный ответ

Каждый из этих рабочих листов в формате pdf содержит пятнадцать вопросов с множественными ответами. Мгновенно выберите и обведите множители, которые делят число без остатка, используя соответствующие правила делимости.

Признаки делимости от 2 до 10 | Смешанный обзор | Таблица

Проверить, делятся ли числа, указанные в крайнем левом столбце сетки, на любой из делителей 2-10, присутствующих в первой строке. Примените правила делимости, чтобы быстро получить ответ и поставить правильные галочки.

Признаки делимости от 2 до 12 | Смешанный обзор | Таблица

Повторите правила делимости от 2 до 12 с помощью этой единицы печатных рабочих листов таблицы делимости. Примените правила и установите флажки, чтобы указать все факторы каждого из заданных чисел.

Связанные рабочие листы

»Таблицы дивизии и диаграммы

» Разделение большого количества

» инструменты для решения деления с помощью этих ярлыков не только делают деление менее сложным, но и делают его похожим на забавную головоломку. Для многих наличие четкого набора правил и структуры помогает прояснить концепцию и помогает учащимся решать уравнения и манипулировать выражениями. Возможность проверки делимости может помочь во многих математических настройках, таких как возможность проверить решение, уменьшить дроби или проверить правильность вычисления.

Каковы правила разделения?

Приступая к разделу о делении, обязательно поделитесь этими правилами со своим классом и обсудите их во время выступления по математике:

ДЕЛИМОСТЬ НА 2

Число, которое делится на 2, называется четным. Когда последняя цифра в числе равна 0 или даже четной, то есть 2, 4, 6 или 8, то число делится на 2. Например, 20 оканчивается на 0, поэтому оно делится на 2. Число 936 заканчивается в 6, а 6 четно. Значит, 936 делится на 2,9.0006

ДЕЛИМОСТЬ НА 3

Число делится на 3, если сумма цифр делится на 3. Чтобы использовать этот прием, учащиеся должны уметь делить, но проверка меньших чисел менее сложна, чем проверка больших. . Например, если вы спросите учащихся, делится ли 168 на 3, они должны ответить следующим образом:

1 + 6 + 8 = 15

15/3 = 5

Следовательно, 168 делится на 3.

ДЕЛИМОСТЬ НА 4

Если последние две цифры числа делятся на 4, то делится и все число. Например, в 1012 12 делится на 4. Однако в 1013 13 не делится. Следовательно, 1012 делится на 4, а 1013 — нет.

ДЕЛИМОСТЬ НА 5

Когда последняя цифра числа 0 или 5, число можно разделить на 5 без остатка. Таким образом, 5, 10, 15, 20, 25 и т. д. можно разделить на 5. Учащиеся могут посмотреть на большие числа и сразу сказать, можно ли их поровну разделить на пять частей.

ДЕЛИМОСТЬ НА 6

Числа, которые делятся на 6, также можно разделить на как 3, так и 2. Учащиеся должны проверить число с обоими правилами для 3 и 2. Если число проходит оба теста, его можно разделить на 6. Если он провалит хотя бы один тест, он не сможет. Например:

308 оканчивается на четную цифру, поэтому оно делится на 2. Однако 3 + 0 + 8 = 11, что не может делиться на 3 без остатка. Таким образом, 308 не делится на 6.

ДЕЛИМОСТЬ НА 8

Большое число делится на 8, если последние три цифры также делятся на 8 или равны 000. В числе 7120 120 можно разделить на 8 без остатка, поэтому 7120 также делится на 8.

ДЕЛИМОСТЬ НА 9

Правило делимости 9 такое же, как и 3. Если сумма цифр числа делится на 9, так же как и весь номер. Например:

В числе 549 5 + 4 + 9 = 18

18/9 = 2

Итак, 549 делится на 9.

ДЕЛИМОСТЬ НА 10

Если последняя цифра 0, то число может быть разделить поровну на 10.

Почему правила помогают и как их использовать

Эти правила позволяют учащимся рассматривать большие числа в менее сложном контексте. Правила делимости также позволяют им многое узнать о числе, просто взглянув на его цифры. Таким образом, вы должны поощрять учащихся использовать все правила при изучении числа. Глядя на что-то вроде 1159,350, учащиеся могут пройтись по списку делимости, отметив, на какие числа можно разделить большее число.

Конечно, на уроках математики вы будете говорить не только о четных делениях. Некоторые числа будут иметь остатки. Вы все еще можете использовать правила, чтобы говорить об этих числах. Предложите учащимся определить, будет ли у определенного числа остаток при делении на 2, 3, 4, 5, 6, 8 или 10. это вдохновляет учащихся увидеть ценность и цель математики в их повседневной жизни через полезные, реальные действия и уроки.

Связанные данные

• Д-р Кэри Снейдер
  Руководитель писательской группы NGSS, доцент Портлендского государственного университета

  12 октября 2022 г.

• Дженнифер Прескотт
  Форма Участник

  07 октября 2022 г.

  No related posts.