Правило пропорций: Пропорции | Формулы с примерами

Онлайн калькулятор пропорций

Формула пропорций

Пропо́рция — это равенство двух отношений, когда a:b=c:d

средние
╭
члены
╮

 
1
:
10
=
7
:
70
╰
крайние члены
╯

0,1
=
0,1



1
10 = 7
70


 
Основные свойства пропорции
 
Произведение крайних членов равно произведению средних членов (крест-накрест): если a:b=c:d, то a⋅d=b⋅c
1
10 ✕ 7
70

1 ⋅ 70 = 10 ⋅ 7
Обращение пропорции: если a:b=c:d, то b:a=d:c
1
10 
  
  
 7
70

10
1 = 70
7
Перестановка средних членов: если a:b=c:d, то a:c=b:d
1
10 
  
 7
70

1
7 = 10
70
Перестановка крайних членов: если a:b=c:d, то 
 d:b=c:a
1
10 
  
 7
70

70
10 = 7
1

Решение пропорции с одним неизвестным | Уравнение
 
1 : 10 = x : 70



1
10 = x
70
Чтобы найти икс, нужно перемножить два известных числа крест-накрест и поделить на противоположное значение
x = 1 ⋅ 70
10 = 7


Как посчитать пропорцию
 
Задача: нужно пить 1 таблетку активированного угля на 10 килограмм веса. Сколько таблеток нужно выпить, если человек весит 70 кг?
Составим пропорцию:
1 таблетка — 10 кг
x таблеток — 70 кг

Чтобы найти икс, нужно перемножить два известных числа крест-накрест и поделить на противоположное значение:
1 таблетка
x таблеток ✕ 10 кг
70 кг

x = 1 ⋅ 70 : 10 = 7

Ответ: 7 таблеток
Задача: за пять часов Вася пишет две статьи. Сколько статей он напишет за 20 часов?
 
Составим пропорцию:
2 статьи — 5 часов 
x статей — 20 часов

x = 2 ⋅ 20 : 5 = 8

Ответ: 8 статей

Будущим выпускникам школ могу сказать, что умение составлять пропорции мне пригодилось и при расчёте процентов, и для того, чтобы пропорционально уменьшать картинки, и в HTML-вёрстке интернет-страницы, и в бытовых ситуациях.
Пропорция
Продолжаем изучать соотношения. В данном уроке мы познакомимся с пропорцией.
Что такое пропорция?
Пропорцией называют равенство двух отношений. Например, отношение  равно отношению 
Данная пропорция читается следующим образом:
Десять так относится к пяти, как два относится к одному
Предположим, что в классе 10 девочек и 5 мальчиков
Запишем отношение десяти девочек к пяти мальчикам:
10 : 5
Преобразуем данное отношение в дробь
 
Выполнив деление в этой дроби, мы получим 2. То есть десять девочек так будут относиться к пяти мальчикам, что на одного мальчика будет приходиться две девочки
Теперь рассмотрим другой класс в котором две девочки и один мальчик
Запишем отношение двух девочек к одному мальчику:
2 : 1
Преобразуем данное отношение в дробь:
Выполнив деление в этой дроби, мы снова получим 2. То есть две девочки так будут относиться к одному мальчику, что на этого одного мальчика будут приходиться две девочки:
Можно сделать вывод, что отношение  пропорционально отношению . Поэтому оно и читалось как «десять так относится к пяти, как два относится к одному».
В нашем примере десять девочек так относятся к пяти мальчикам, как и две девочки относятся к одному мальчику.
Пример 2. Рассмотрим отношение 12 девочек к 3 мальчикам
а также отношение 12 девочек к 2 мальчикам
Данные отношения не являются пропорциональными. Другими словами, мы не можем записать, что , поскольку первое отношение, как видно на рисунке показывает, что на одного мальчика приходятся четыре девочки, а второе отношение показывает, что на одного мальчика приходятся шесть девочек.
Поэтому отношение  не пропорционально отношению .
Из рассмотренных примеров видно, что пропорция составляется из дробей. Первая рассмотренная нами пропорция  состоит из двух дробей. Если выполнить деление в этих дробях, то получим, что 2=2. Понятно, что 2 равно 2.
Вторая рассмотренная нами пропорция была . Мы пришли к выводу, что она составлена неправильно, поэтому поставили между дробями  и  знак не равно (≠). Если выполнить деление в этих дробях, получим числа 4 и 6. Понятно, что 4 не равно 6.
Рассмотрим пропорцию . Данная пропорция составлена правильно, поскольку отношения    и    равны между собой:
Можно проверить это, выполнив деление в этих дробях, то есть разделить 4 на 2, а 8 на 4. В результате с двух сторон получатся двойки. А 2 равно 2
2 = 2
Все числа, находящиеся в пропорции (числители и знаменатели обеих дробей) называются членами пропорции. Эти члены подразделяются на два вида: крайние члены и средние члены.
В нашей пропорции    крайние члены это 4 и 4, а средние члены это 2 и 8
Почему крайние члены называют крайними, а средние средними? Если записать пропорцию не в дробном, а в обычном виде, то сразу станет всё понятно:
4 : 2 = 8 : 4
Числа 4 и 4 располагаются с краю, поэтому их назвали крайними, а числа 2 и 8 располагаются посередине, поэтому их назвали средними:
С помощью переменных пропорцию можно записать так:
Данное выражение можно прочесть следующим образом:
 a так относится к b, как c относится к d
Смысл данного предложения уже понятен. Речь идет о членах, участвующих в соотношении. a и d — это крайние члены пропорции, b и c — средние члены пропорции.
Основное свойство пропорции
Основное свойство пропорции выглядит следующим образом:
Произведение крайних членов пропорции равно произведению её средних членов.
Мы знаем, что произведение это ни что иное, как обычное умножение. Чтобы проверить правильно ли составлена пропорция, нужно перемножить её крайние и средние члены. Если произведение крайних членов будет равно произведению средних членов, то такая пропорция составлена правильно.
Например, проверим правильно ли составлена пропорция  . Для этого перемножим её крайние и средние члены. Легко заметить, что крайние и средние члены пропорции располагаются «крест-накрест», поэтому в умножении нет ничего сложного. Перемножаем члены пропорции «крест-накрест»:
4 × 4 = 16 — произведение крайних членов пропорции равно 16.
2 × 8 = 16 — произведение средних членов пропорции так же равно 16.
4 × 4 = 2 × 8
16 = 16
4 × 4 = 2 × 8 — произведение крайних членов равно произведению средних членов. Значит пропорция  составлена правильно.
Пример 2. Проверить правильно ли составлена пропорция
Проверим равно ли произведение крайних членов пропорции произведению её средних членов. Перемножим члены пропорции крест-накрест:
2 × 6 = 12 — произведение крайних членов пропорции равно 12
3 × 1 = 3 — произведение средних членов пропорции равно 3
2 × 6 ≠ 3 × 1
12 ≠ 3
2 × 6 ≠ 3 × 1 — произведение крайних членов пропорции НЕ равно произведению её средних членов. Значит пропорция  составлена неправильно.
Поэтому в пропорции  разумнее заменить знак равенства (=) на знак не равно (≠)
Понравился урок? 
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках
 


 Возникло желание поддержать проект?

 Используй кнопку ниже
Навигация по записям
 
Составить пропорцию
Составить пропорцию. В этой статье хочу поговорить с вами о пропорции. Понимать, что такое пропорция, уметь составлять её – это очень важно, она действительно спасает. Это вроде бы маленькая и незначительная «буковка» в большом алфавите математики, но без неё математика  обречена быть хромой  и неполноценной. Для начала напомню, что такое пропорция. Это равенство вида:
что тоже самое (это разная форма записи).
Пример:
Говорят – один относится к двум также, как четыре относится к восьми. То есть это равенство двух отношений (в данном примере отношения числовые).
Основное правило пропорции:
a:b=c:d
произведение крайних членов равно произведению средних
то есть
a∙d=b∙c
*Если какая-либо величина в пропорции неизвестна, ее всегда можно найти. 
Если рассматривать форму записи вида:
то можно использовать следующее правило, его называют «правило креста»: записывается равенство произведений элементов (чисел или выражений) стоящих по диагонали
a∙d=b∙c
Как видите результат тот же.
Если три элемента пропорции известны, то мы всегда можем найти четвёртый.
Именно в этом суть пользы и необходимость пропорции при решении задач.
Давайте рассмотрим все варианты, где неизвестная величина х находится в «любом месте» пропорции, где a, b,  c – числа:
Величина стоящая по диагонали от х записывается в знаменатель дроби, а известные величины стоящие по диагонали записываются в числитель, как произведение. Его запоминать не обязательно, вы и так всё верно вычислите, если усвоили основное правило пропорции.
Теперь главный вопрос, связанный с названием статьи. Когда пропорция спасает и где используется? Например:
1. Прежде всего это задачи на проценты. Мы рассматривали их в статьях «Задачи на проценты. Часть 1!» и «Задачи на проценты. Часть 2!».
2. Многие формулы заданы в виде пропорций:
    > теорема синусов
    > отношение элементов в треугольнике
    > теорема тангенсов
> теорема Фалеса и другие.
3. В задачах по геометрии в условии часто задаётся отношение сторон (других элементов) или площадей, например 1:2, 2:3  и прочие.
4. Перевод единиц измерения, причём пропорция используется для перевода единиц как в одной  мере, так и для перевода из одной меры в другую:
  —  часы в минуты (и наоборот).
  —  единицы объёма, площади.
  —  длины, например мили в километры (и наоборот).
  —  градусы в радианы  (и наоборот).
здесь без составления пропорции не обойтись.
Ключевой момент в том, что нужно правильно установить соответствие, рассмотрим простые примеры:
Необходимо определить число, которое составляет 35%  от 700.
В задачах на проценты за 100% принимается та величина, с которой сравниваем. Неизвестное число обозначим как х. Установим соответствие:
Можно сказать, что семисот тридцати пяти соответствует 100 процентов.
Иксу соответствует 35 процентов. Значит,
700    –    100%
х       –     35 %
Решаем
Ответ: 245
Переведём 50 минут в часы.
Мы знаем, что одному часу соответствует 60 минут. Обозначим соответсвие — x часов это 50 минут. Значит
1    –    60
х    –    50
Решаем:
То есть 50 минут это пять шестых часа.
Ответ: 5/6
Николай Петрович проехал 3 километра. Сколько это будет в милях (учесть, что 1 миля это 1,6 км)?
Известно, что 1 миля это 1,6 километра. Число миль, которые проехал Николай Петрович примем за х. Можем установить соответствие:
Одной миле соответствует 1,6 километра.
Икс миль это три километра.
1    –    1,6
х    –    3
Ответ: 1,875 миль
Вы знаете, что для перевода  градусов в радианы (и обратно) существуют  формулы. Я их не записываю, так как запоминать их считаю излишним, и так вам в памяти приходится держать много информации. Вы всегда сможете перевести градусы в радианы (и обратно), если воспользуетесь пропорцией.
Переведём 65 градусов в радианную меру.
Главное это запомнить, что 180 градусов это Пи радиан.
Обозначим искомую величину как х. Устанавливаем соответствие.
Ста восьмидесяти градусам соответствует Пи радиан.
Шестидесяти пяти градусам соответствует х радиан.
Если записать отношение в общем виде, то получится
То есть, если необходимо перевести градусы в радианы, то подставляете в эту пропорцию градусы и вычисляете радианы; если необходимо перевести радианы в градусы, то подставляете радианы  и вычисляете градусы.
Можете изучить статью по этой теме на блоге. Материал в ней изложен несколько по иному, но принцип тот же. На этом закончу. Обязательно будет ещё что-нибудь интересненькое, не пропустите!
Если вспомнить само определение математики, то в нём есть такие слова: математика изучает количественные ОТНОШЕНИЯ (ОТНОШЕНИЯ — здесь ключевое слово). Как видите в самом определении математики заложена пропорция. Вообщем, математика без пропорции это не математика!!!
Всего доброго!
С уважением, Александр 
P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.
Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ (Справочник по математике — Арифметика
Пропорции, члены пропорции. Основное свойство пропорции
      Частное от деления числа   a   на число   b   называют отношением числа   a   к числу   b.
      Число   a   называют предыдущим членом отношения, число   b   – последующим членом отношения.
      Пропорцией называют равенство двух отношений:
.
      Иногда пропорцию записывают так:
a : b = c : d .
      И в одной, и во второй формах записи пропорции числа   a   и   d   называют крайними членами пропорции, а числа   b   и   c   – средними членами пропорции.
      Для  любой пропорции справедливо следующее равенство, которое называют основным свойством пропорции:
      Словесно это равенство можно сформулировать так: произведение крайних членов пропорции равно произведению средних членов пропорции.
      Для того, чтобы доказать основное свойство пропорции, умножим пропорцию на выражение   .
      В результате получим:
что и требовалось доказать.
      Основное свойство пропорции позволяет по трем любым известным членам пропорции найти четвертый неизвестный член пропорции. Покажем это на двух примерах.
      Пример 1. Найти неизвестный член пропорции   x ,   если
      Решение. Воспользовавшись основным свойством пропорции, получаем:
      Ответ:   3,15 .
      Пример 2. Найти неизвестный член пропорции   x ,   если
      Решение. Воспользовавшись основным свойством пропорции, получаем:
      Ответ:  .
      Из основного свойства пропорции легко вытекают также свойства пропорции, которые  называют перестановкой членов пропорции. Эти свойства формулируются так: если
.
то
Производные пропорции
      Справедливы также свойства пропорции, которые называют производными  пропорциями. Эти свойства формулируются так: если
,
то
      В качестве примера докажем первое из указанных свойств (остальные свойства доказываются аналогично). Для этого к обеим частям пропорции
.
достаточно прибавить 1. В результате получаем,
что и требовалось.
      Замечание. Последнее из свойств пропорций является наиболее общим и может быть доказано, например, с помощью основного свойства пропорции.
Свойства равных отношений
      Если выполнено соотношение
то выполнено и соотношение
где
k1 ,   k2 , … kn
– произвольные числа, которые не могут все одновременно равняться нулю.
      На сайте можно также ознакомиться  с нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.
Как решать пропорции ℹ️ правила нахождения неизвестного члена, основные свойства, методы расчетов, примеры задач с вычислениями, онлайн-калькулятор 
Общие сведения

 Изучение какого-либо термина в математике начинается с определения. Пропорцией вида x / y = v / z (x: y = v: z) называется равенство отношений двух чисел. Она представлена в виде правильной дроби, и состоит из следующих элементов, которые называются крайними (x и z) и средними (y и v) членами.

 Следует отметить, что в некоторых сферах пропорциональная зависимость может быть представлена в немного другом виде. В этом случае знак равенства не указывается. Для удобства используется символ деления «:». Записывается в таком виде: a: b: c. Объяснение такой записи очень простое: для приготовления какого-либо вещества нужно использовать «а» частей одного компонента, b — другого и с — третьего.
 

 Знак равенства не имеет смысла указывать, поскольку этот тип пропорциональной зависимости является абстрактным. Неизвестно, какой результат получится на выходе. Если взять за единицу измерения массу в кг, то и конечный результат получится в кг. В этом случае решать пропорцию не нужно — достаточно просто подставить данные, и получить результат.


 Бывают случаи, когда следует посчитать пропорцию в процентах. Пример — осуществление некоторых финансовых операций.


 
Сферы применения

 Пропорция получила широкое применение в физике, алгебре, геометрии, высшей и прикладной математике, химии, кулинарии, фармацевтике, медицине, строительстве и т. д. Однако ее нужно применять только в том случае, когда элементы соотношения не подчиняются какому-либо закону (методика исследования величин такого типа будет рассмотрена ниже), и не являются неравенствами.

 В алгебре существует класс уравнений, представленных в виде пропорции. Они бывают простыми и сложными. Для решения последних существует определенный алгоритм. Кроме того, в геометрии встречается такие термин, как «гомотетия» или коэффициент подобия. Он показывает, во сколько раз увеличена или уменьшена фигура относительно оригинала.
 

 Масштаб в географии является также пропорцией, поскольку он показывает количество см или мм, которые содержатся в какой-либо единице, зависящей от карты (например, в 1 см = 10 км). Специалисты применяютправило пропорции в высшей и прикладной математике. Расчет количества реактивов, вступающих в реакцию, для получения другого вещества применяется также пропорциональная зависимость.

 Каждая хозяйка также применяет это соотношение для приготовления различных блюд и консерваций. В этом случае пропорция имеет немного другой вид: 1:2. Все компоненты берутся частями с одинаковыми размерностями или единицами измерения. Например, на 1 кг клубники необходимо 2 кг сахара. Расшифровывается такое соотношение следующим образом: 1 часть одного и 2 части другого компонентов.

 В фармацевтике она также применяется, поскольку необходимо очень точно рассчитать массовую долю для каждого компонента лекарственного препарата. В медицине используется пропорциональная зависимость для назначения лекарства больному, дозировка которого зависит от массы тела человека.
 

 Для приготовления различных строительных смесей она также используется, однако у нее такой же вид, как и для кулинарии. Например, для приготовления бетона М300 необходимы такие компоненты: цемент (Ц), щебень (Щ), песок (П) и вода (В). Далее следует воспользоваться таким соотношением, в котором единицей измерения является ведро: 1: 5: 3: 0,5. Запись расшифровывается следующим образом: для приготовления бетонной смеси необходимо 1 ведро цемента, 5 щебня, 3 песка и 0,5 воды.
Основные свойства

 Для решения различных задач нужно знать основные свойства пропорции. Они действуют только для соотношения x / y = v / z. К ним можно отнести следующие формулы:

Обращение или обратное пропорциональное соотношение: [x / y = v / z] = [y / x = z / v].
Перемножение «крест-накрест»: x * z = y * v.
Перестановка: x / v = y / z и v / x = z / y.
Увеличение или уменьшение: x + у / y = v + z / z и x — у / y = v — z / z.
Составление через арифметические операции сложения и вычитания: (x + v) / (y + z) = x / y = v / z и (x — v) / (y — z) = x / y = v / z.

 Первое свойство позволяет перевернуть правильные дроби соотношений двух величин. Это следует делать одновременно для левой и правой частей. Умножение по типу «крест-накрест» считается главным соотношением. С помощью его решаются уравнения и упрощаются выражения, в которых нужно избавиться от дробных частей. Найти неизвестный член пропорции можно также с помощью второго свойства, формулировка которого следующая: произведение крайних эквивалентно произведению средних элементов (членов).
 

 Очень часто члены соотношения необходимо переставить для оптимизации вычислений. Для этого применяется свойство перестановки. При этом следует внимательно подставлять значения в формулу, поскольку неправильные действия могут существенно исказить результат решения. Этого можно не заметить. Для осуществления проверки следует подставить значение неизвестной в исходную пропорцию. Если равенство соблюдается, то получен верный результат. В противном случае необходимо найти ошибку или повторить вычисления.

 Увеличение или уменьшение пропорции следует производить по четвертому свойству. Основной принцип: равенство сохраняется в том случае, когда уменьшение или увеличение числителя происходит на значение, которое находится в знаменателе. Нельзя отнимать от пропорции (от числителя и знаменателя равные числовые значения), поскольку соотношение не будет выполняться. Это является распространенной ошибкой, которая влечет за собой огромные погрешности при расчетах или неверное решение экзаменационных заданий.

 Составить пропорцию можно с помощью вычитания и сложения. Этот прием применяется редко, но в некоторых заданиях может использоваться. Суть его заключается в следующем: отношение суммы крайнего и среднего элемента к суммарному значению других крайнего и среднего членов, которое равно отношению крайнего к среднему значению. Однако не ко всем выражениям можно применять свойства пропорции. Следует рассмотреть методику их определения.

 
Методика исследования

 Пропорция применима только к линейным законам изменения величин. Примером этого является поведение простой тригонометрической функции z = sin (p). Величина «z» — зависимая переменная, которая называется значением функции. Переменная «p» — независимая величина или аргумент. В данном контексте она принимает значения углов в градусах. Для демонстрации того, что пропорция «не работает» необходимо подставить некоторые данные.

 Кроме того, нужна таблица значений тригонометрических функций некоторых углов. Необходимо предположить, что p = 30, тогда z = sin (30) = 0,5. По свойству пропорции можно найти значение функции при р = 60, не используя таблицу. Для этого нужно составить пропорцию с неизвестным: 30 / 0,5 = 60 / х. Чтобы найти х («икс»), нужно воспользоваться свойством умножения «крест-накрест»: 60 * 0,5 = 30 * х. Уравнение решается очень просто: х = 60 * 0,5 / 30 = 30 / 30 = 1. Ответ получен очень быстро, и нет необходимости смотреть табличное значение.
 

 В этом случае не так все просто. Если воспользоваться вышеописанной таблицей, то z = sin (60) = [3^(½)] / 2. Полученное значение не равно 1. Причина несоответствия — нелинейность функции. Математики для облегчения вычислений предлагают методику определения нелинейных выражений. Она состоит из следующих положений:

Записать функцию.
Рассмотреть составные части.
Если простой тип, перейти к 5 пункту.
Сложная — разложить на простые элементы, а затем перейти к 5 пункту.
Определить тип зависимости ее значения от аргумента: линейная или нелинейная. Если получен второй тип, то свойства пропорции применить невозможно.
Определить тип линейности, построив график.


 По таким правилам были исследовано огромное количество функций. К нелинейным относятся следующие: прямые и обратные тригонометрические, гиперболические, показательные, логарифмические и сложные математические, состоящие из нелинейных зависимостей.


 К прямым тригонометрическим относятся sin (p), cos (p), tg (p) и ctg (p), а к обратным — arcsin (p), arccos (p), arctg (p) и arcctg (p). Следует отметить, что гиперболическими являются sh, ch, th, cth, sech и csch. Показательная — z = a^y, а логарифмической — функция, имеющая операцию логарифмирования. Простые линейные могут объединяться с нелинейными. В таких случаях правило пропорции также не соблюдается.
 
Универсальный алгоритм

 Алгоритм позволяет решать уравнения, и найти неизвестный член пропорции. Для его реализации следует знать теорию о пропорциях, и методику обнаружения нелинейных функций. Он состоит из нескольких шагов, которые помогут правильно вычислить необходимую величину:

Записать соотношение пропорции.
Проанализировать выражение в пункте под первым номером на наличие нелинейных функций и составляющих.
Применить свойство умножения «крест-накрест».
Перенести неизвестные в левую сторону, а известные — в правую. Необходимо обратить внимание на знаки: умножение — деление, сложение — вычитание и положительная величина становится отрицательной.
Решить уравнение.

 

 Существуют различные приложения, позволяющие решить пропорцию. Онлайн-калькулятор позволяет вычислить неизвестный компонент очень быстро. Кроме того, результат вычислений отображается после проведения расчетов. Для реализации последнего пункта необходимо рассмотреть некоторые типы равенств с неизвестными.
Уравнения с пропорцией

 Существуют уравнения в виде обыкновенной дроби, в которых необходимо найти неизвестную величину. Для этого нужно рассмотреть основные их виды:
 

Линейные.
Квадратные.
Кубические.
Биквадратные.

 Различаются они степенным показателем. У первого типа степень переменной соответствует 1, второго — двойке, третьего — тройке и четвертого — четверке. При решении таких типов нужно выписать знаменатели отдельно, и решить их. Такие корни не являются решением исходной пропорции, поскольку знаменатели должны быть отличны от нулевого значения.

 Решение линейного типа сводится к применению правила «крест-накрест». После чего нужно руководствоваться четвертым пунктом универсального алгоритма. Квадратное уравнение (ap 2  + bp + c = 0) решается при помощи разложения на множители (существует высокая вероятность сокращения степени с последующим упрощением выражения) или с использованием дискриминанта (D = b 2  — 4ac). Корни зависят от его значения:

Два корня, когда D > 0: р1 = (-b — [D]^(½)) / 2a и р2 = (-b + [D]^(½)) / 2a.
При D равном 0 (один): р = (-b) / 2a.
Если D < 0, то решений нет.


 Решение уравнений кубического и биквадратного видов сводятся к разложению на множители. В результате этого происходит понижение степени до двойки. Кроме того, эффективным методом нахождения корней считается введение замены переменной.

Пример решения
 

 Решение уравнений в виде пропорции осуществляется по такому же принципу. При этом рекомендуется использовать любые свойства. Необходимо проходить процесс обучения постепенно. Начинать нужно с простых примеров, а затем практиковаться на сложных заданиях. Первый тип был рассмотрен выше на примере sin (p).

 Итак, необходимо решить уравнение [(t — 5) / (t — 2)] = [(t — 5) / (t — 1)]. Для начала следует определить тип функций каждого из элементов. Просмотрев список нелинейных выражений, можно сделать вывод о том, что все члены пропорции являются линейными. Далее нужно решить равенства с неизвестными, находящихся в знаменателях: t1 = 2 и t2 = 1. Корни не являются решениями уравнения.

 Затем следует воспользоваться третьим пунктом алгоритма: (t — 5)(t — 1) = (t — 2)(t — 5). Если раскрыть скобки, то должно получиться такое равенство: t 2  — t — 5t + 5 =t 2  -5t -2t + 10. Перенести все слагаемые в левую сторону с противоположными знаками: t 2  — t — 5t + 5 + 5t — t 2  — 10 + 2t = 0. Приведя подобные слагаемые, выражение будет иметь такой вид: t = 5. Решением пропорции является значение t = 5.

 Таким образом, для решения пропорций необходимо знать основные свойства, определение типа выражения по методике и алгоритм расчета.

 
 
Пропорция (математика) — Википедия
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
У этого термина существуют и другие значения, см. Пропорция.
Пропо́рция (лат. proportio — соразмерность, выравненность частей; определённое соотношение частей между собой), равенство отношений двух [и более] пар чисел 
 a
 ,
 b 
 {\displaystyle a,b} 
 и 
 c
 ,
 d 
 {\displaystyle c,d} 
, т. е. равенство вида 
 a
 :
 b
 =
 c
 :
 d 
 {\displaystyle a:b=c:d} 
, или, в других обозначениях, равенство 
   
 a
 b 
 = 
 c
 d 
 {\displaystyle \ {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}}  (часто читается как: « 
 a 
 {\displaystyle a} 
 относится к 
 b 
 {\displaystyle b} 
 так же, как 
 c 
 {\displaystyle c} 
 относится к 
 d 
 {\displaystyle d} 
»). В этом случае 
 a 
 {\displaystyle a} 
 и 
 d 
 {\displaystyle d} 
 называют крайними, 
 b 
 {\displaystyle b} 
 и 
 c 
 {\displaystyle c} 
 — средними членами пропорции. Такую пропорцию ещё называют геометрической, чтобы не путать с арифметической и гармонической пропорциями.
Основные свойства пропорций
   
 a
 c 
 = 
 b
 d 
 {\displaystyle \ {\frac {a}{c}}={\frac {b}{d}}} 
    (перестановка средних членов пропорции),
   
 d
 b 
 = 
 c
 a 
 {\displaystyle \ {\frac {d}{b}}={\frac {c}{a}}} 
    (перестановка крайних членов пропорции).
Увеличение и уменьшение пропорции. Если 
   
 a
 b 
 = 
 c
 d 
 {\displaystyle \ {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}} 
, то
   
 a
 +
 b 
 b 
 = 
 c
 +
 d 
 d 
 {\displaystyle \ {\dfrac {a+b}{b}}={\dfrac {c+d}{d}}} 
    (увеличение пропорции),
   
 a
 −
 b 
 b 
 = 
 c
 −
 d 
 d 
 {\displaystyle \ {\dfrac {a-b}{b}}={\dfrac {c-d}{d}}} 
    (уменьшение пропорции).
Составление пропорции сложением и вычитанием. Если 
   
 a
 b 
 = 
 c
 d 
 {\displaystyle \ {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}} 
, то
   
 a
 +
 c 
 b
 +
 d 
 = 
 a
 b 
 = 
 c
 d 
 {\displaystyle \ {\dfrac {a+c}{b+d}}={\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}} 
    (составление пропорции сложением),
   
 a
 −
 c 
 b
 −
 d 
 = 
 a
 b 
 = 
 c
 d 
 {\displaystyle \ {\dfrac {a-c}{b-d}}={\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}} 
    (составление пропорции вычитанием).
История
Первое известное определение равных пропорций было дано как равенство последовательных вычитаний[1], современным языком это можно выразить как равенство цепных дробей для отношений величин.[2] Позже Евдокс упростил определение, равенство пропорций 
 a
 :
 b
 =
 c
 :
 d 
 {\displaystyle a:b=c:d} 
 им определялось как одновременное выполнение одной из трёх пар соотношений
для любой пары натуральных чисел 
 m 
 {\displaystyle m} 
 и 
 n 
 {\displaystyle n} 
.
Это определение даётся в «Началах» Евклида.
С появлением вещественных чисел отпала необходимость в специальной теории пропорций, древние математики не рассматривали пропорции длины как числа.
Определение Евдокса, в несколько более абстрактном виде использовалось далее при определении вещественных чисел данное Дедекиндом через сечения.
Связанные определения
Арифметическая пропорция
Равенство двух разностей 
 a
 −
 b
 =
 c
 −
 d 
 {\displaystyle a-b=c-d} 
 иногда называют арифметической пропорцией[3].
Гармоническая пропорция
Если у геометрической пропорции средние члены равны, а последний является разницей между первым и средним, такая пропорция называется гармонической: 
 a
 :
 b
 =
 b
 :
 (
 a
 −
 b
 ) 
 {\displaystyle a:b=b:(a-b)} 
. В этом случае, разложение 
 a 
 {\displaystyle a} 
 на сумму двух слагаемых 
 b 
 {\displaystyle b} 
 и 
 a
 −
 b 
 {\displaystyle a-b} 
 называется гармоническим делением или золотым сечением[4].
Задачи на тройное правило
В содержание задачи на простое тройное правило входят две величины, связанные пропорциональной зависимостью, при этом даются два значения одной величины и одно из соответствующих значений другой величины, требуется же найти её второе значение.
Задачами на сложное тройное правило называют задачи, в которых по ряду нескольких (более двух) пропорциональных величин требуется найти значение одной из них, соответствующее другому ряду данных значений величин[5][6].
Литература
Ван дер Варден, Б. Л. Пробуждающаяся наука. Математика Древнего Египта, Вавилона и Греции. / пер. с голл. И. Н. Веселовского. — М.: ГИФМЛ, 1959.
Примечания
См. также

 90000 Directly Proportional and Inversely Proportional 90001  90002 90003
 90002 90005 Directly proportional: as one amount increases, another amount increases at the same rate. 90003 
90007
90008
 90009
90010 α 90011
90010 90011
90010 The symbol for «directly proportional» is α 90005 (Do not confuse it with the symbol for infinity ∞) 90011
90017
90018 90019
90002 90003  90022 Example: you are paid $ 20 an hour 90023
90002 How much you earn is 90025 directly proportional 90026 to how many hours you work 90003
90002 Work more hours, get more pay; in direct proportion.90003
90002 This could be written: 90003
90002 Earnings α Hours worked 90003
90034
90035 If you work 2 hours you get paid $ 40 90036
90035 If you work 3 hours you get paid $ 60 90036
90035 etc … 90036
90041  90042 Constant of Proportionality 90043
90002 The «constant of proportionality» is the value that relates the two amounts 90003  90022 Example: you are paid $ 20 an hour (continued) 90023
90002 The constant of proportionality is 90025 20 90026 because: 90003
90002 Earnings = 20 × Hours worked 90003  90002 This can be written: 90003
90002 y = kx 90003
90002 Where 90025 k 90026 is the constant of proportionality 90003  90022 Example: y is directly proportional to x, and when x = 3 then y = 15.90005 What is the constant of proportionality? 90023
90002 They are directly proportional, so: 90003
90002 y = kx 90003
90002 Put in what we know (y = 15 and x = 3): 90003
90002 15 = k × 3 90003
90002 Solve (by dividing both sides by 3): 90003
90002 15/3 = k × 3/3 90003
90002 5 = k × 1 90003
90002 k = 5 90003
90002 The constant of proportionality is 5: 90003
90002 y = 5x 90003  90002 When we know the constant of proportionality we can then answer other questions 90003  90022 Example: (continued) 90023
90002 What is the value of y when x = 9? 90003
90002 y = 5 × 9 = 45 90005 90003
90002 What is the value of x when y = 2? 90003
90002 2 = 5x 90005 90003
90002 x = 2/5 = 0.4 90005 90003  90042 Inversely Proportional 90043
90007
90008
 90009
90010 90011
90010 90025 Inversely 90026 Proportional: when one value 90025 decreases 90026 at the same rate that the other increases. 90011
90017
90018 90019  90022 Example: speed and travel time 90023
90002 Speed ​​and travel time are Inversely Proportional because the faster we go the shorter the time. 90003
90034
90035 As speed goes up, travel time goes down 90036
90035 And as speed goes down, travel time goes up 90036
90041  90002 This: 90025 y is inversely proportional to x 90026 90003
 90002 Is the same thing as: 90025 y is directly proportional to 1 / x 90026 90003
Which can be written:
 90002 y =
90137 k 90138 90139 x 90140 90003  90002 90003  90022 Example: 4 people can paint a fence in 3 hours.90023 90002 How long will it take 6 people to paint it? 90003 90002 (Assume everyone works at the same rate)
90003 90002 It is an Inverse Proportion: 90003
90034
90035 As the number of people goes up, the painting time goes down. 90036
90035 As the number of people goes down, the painting time goes up. 90036
90041
90002 We can use: 90003
 90002 t = k / n 90003
90002 Where: 90003
90034
90035 t = number of hours 90036
90035 k = constant of proportionality 90036
90035 n = number of people 90036
90041
90002 «4 people can paint a fence in 3 hours» means that t = 3 when n = 4 90003
90002
3 = k / 4 90003
90002
3 × 4 = k × 4/4 90003
90002
12 = k 90003
90002
k = 12 90003
90002 So now we know: 90003
90002 t = 12 / n 90003
90002 And when n = 6: 90003
90002 t = 12/6 = 2 hours 90003  90002 So 6 people will take 2 hours to paint the fence.90003
90002 90003
90022 How many people are needed to complete the job in half an hour? 90023  90002 ½ = 12 / n 90003
90002 n = 12 / ½ = 24 90003  90002 So it needs 24 people to complete the job in half an hour. 90005 (Assuming they do not all get in each other’s way!) 90003  90002 90003
 90042 Proportional to … 90043
 90002 It is also possible to be proportional to a square, a cube, an exponential, or other function! 90003  90022 Example: Proportional to x 90210 2 90211 90023  90002 A stone is dropped from the top of a high tower.90003
90002 The distance it falls is 90025 proportional to the square 90026 of the time of fall. 90003
 90002 The stone falls 19.6 m after 2 seconds, how far does it fall after 3 seconds? 90003
 90002 90003
 90002 We can use: 90003
 90002 d = kt 90210 2 90211 90003
 90002 Where: 90003
 90034
90035 d is the distance fallen and 90036
90035 t is the time of fall 90036
 90041
 90002 90003
 90002 When d = 19.6 then t = 2 90003
90002 19.6 = k × 2 90210 2 90211 90003
90002 19.6 = 4k 90003
90002 k = 4.9 90003
90002 So now we know: 90003
90002 d = 4.9t 90210 2 90211 90003
90002 And when t = 3: 90003
90002 d = 4.9 × 3 90210 2 90211 90003
90002 d = 44.1 90003
90002 So it has fallen 44.1 m after 3 seconds. 90003  90042 Inverse Square 90043
 90002 90003
 90002 90025 Inverse Square 90026: when one value 90025 decreases 90026 as the 90025 square 90026 of the other value. 90003  90022 Example: light and distance 90023
90002 The further away we are from a light, the less bright it is.90003
90002 90003
90002 In fact the brightness decreases as the 90025 square 90026 of the distance. Because the light is spreading out in all directions. 90003
90002 So a brightness of «1» at 1 meter is only «0.25» at 2 meters (double the distance leads to a quarter of the brightness), and so on. 90003
 90002 90003
 90002  90003  .90000 Ratios and Proportions — Proportions 90001
 90002 A proportion
 is simply a statement that two ratios are equal. It can be written in two
 ways: as two equal fractions a / b = c / d; or using a colon, a: b = c: d. The following
 proportion is read as «twenty is to twenty-five as four is to five.»
 90003
 90004 90003 
 90002 In problems
 involving proportions, we can use cross products to test whether two ratios
 are equal and form a proportion.To find the cross products of a proportion,
 we multiply the outer terms, called the extremes, and the middle terms, called
 the means. 90003
 90002 Here, 20 and
 5 are the extremes, and 25 and 4 are the means. Since the cross products are
 both equal to one hundred, we know that these ratios are equal and that this
 is a true proportion. 90003
 90004 90003 
 90002 We can also
 use cross products to find a missing term in a proportion.Here’s an example.
 In a horror movie featuring a giant beetle, the beetle appeared to be 50 feet
 long. However, a model was used for the beetle that was really only 20 inches
 long. A 30-inch tall model building was also used in the movie. How tall did
 the building seem in the movie? 90003
 90002 First, write
 the proportion, using a letter to stand for the missing term. We find the
 cross products by multiplying 20 times x, and 50 times 30.Then divide to
 find x. Study this step closely, because this is a technique we will use often
 in algebra. We are trying to get our unknown number, x, on the left side of
 the equation, all by itself. Since x is multiplied by 20, we can use the «inverse»
 of multiplying, which is dividing, to get rid of the 20. We can divide both
 sides of the equation by the same number, without changing the meaning of
 the equation. When we divide both sides by 20, we find that the building will
 appear to be 75 feet tall.90003
 90004 90003
 90002 Note that we’re
 using the inverse of multiplying by 20-that is, dividing by 20, to get x alone
 on one side. 90003
 90004 back
 to top 90003
 .90000 Proportions 90001  90002 Proportion says that two ratios (or fractions) are equal. 90003  90004 Example: 90005
90002 90003
90002 90003
90002 So 90011 1-out-of-3 90012 is equal to 90011 2-out-of-6 90012 90003
90002 90003
90002 The ratios are the same, so they are in proportion. 90003  90004 Example: Rope 90005
90002 A rope’s 90011 length 90012 and 90011 weight 90012 are in proportion. 90003
90002 When 90011 20m 90012 of rope weighs 90011 1kg 90012, then: 90003
90034
90035 90011 40m 90012 of that rope weighs 90011 2kg 90012 90040
90035 90011 200m 90012 of that rope weighs 90011 10kg 90012 90040
90035 etc.90040
90049
90002 90003
90002 So: 90003
90002
90055 20 90056
90057 1 90058
=
90055 40 90056
90057 2 90058
90003  90004 Sizes 90005
90002 When shapes are «in proportion» their relative sizes are the same. 90003
90068
90069
90070 90002 Here we see that the ratios of head length to body length are the same in both drawings. 90003
90002 So they are 90011 proportional 90012. 90003
90002 Making the head too long or short would look bad! 90003 90079
90070 90079
90082
90083  90004 Example: International paper sizes (like A3, A4, A5, etc) all have the same proportions: 90005
90002 90003
90002 So any artwork or document can be resized to fit on any sheet.Very neat. 90003  90090 Working With Proportions 90091
90002 NOW, how do we use this? 90003  90004 Example: you want to draw the dog’s head … how long should it be? 90005
90002 90003
90002 Let us write the proportion with the help of the 10/20 ratio from above: 90003
90002
90055? 90056
90057 42 90058
=
90055 10 90056
90057 20 90058
90003
90002 Now
we solve it using a special method: 90003
90002 90003
90002 Multiply across the known corners, 90115 then divide by the third number 90003
90002 And we get this: 90003
90002? = (42 × 10) / 20 90115 = 420/20 90115 = 90011 21 90012 90003
90002 So you should draw the head 90011 21 90012 long.90003  90002 90003
90090 Using Proportions to Solve Percents 90091
90002 A percent is actually a ratio! Saying «25%» is actually saying «25 per 100»: 90003
 90002 25% = 90055 25 90056 90057 100 90058 90003
 90002 We can use proportions to solve questions involving percents. 90003
90002 The trick is to put what we know into this form: 90003
 90002 90055 Part 90056 90057 Whole 90058 = 90055 Percent 90056 90057 100 90058 90003
 90002 90003  90004 Example: what is 25% of 160? 90005
90002 The percent is 25, the whole is 160, and we want to find the «part»: 90003
 90002 90055 Part 90056 90057 160 90058 = 90055 25 90056 90057 100 90058 90003
 90002 Multiply across the known corners, then divide by the third number: 90003
90002 90003
90002 Part = (160 × 25) / 100 90115 = 4000/100 90115 = 90011 40 90012 90003
90002 90011 Answer: 25% of 160 is 40.90012 90003
90002 90003
90002 Note: we could have also solved this by doing the divide first, like this: 90003
90002 Part = 160 × (25/100) 90115 = 160 × 0.25 90115 = 90011 40 90012 90003
90002 Either method works fine. 90003  90002 We can also find a Percent: 90003  90004 Example: what is $ 12 as a percent of $ 80? 90005
90002 Fill in what we know: 90003
 90002 90055 $ 12 90056 90057 $ 80 90058 = 90055 Percent 90056 90057 100 90058 90003
 90002 Multiply across the known corners, then divide by the third number.This time the known corners are top left and bottom right: 90003
90002 90003
90002 Percent = ($ 12 × 100) / $ 80 90115 = 1200/80 90115 = 90011 15% 90012 90003
90002 Answer: $ 12 is 90011 15% 90012 of $ 80 90003  90002 Or find the Whole: 90003  90004 Example: The sale price of a phone was $ 150, which was only 80% of normal price. What was the normal price? 90005
90002 Fill in what we know: 90003
 90002 90055 $ 150 90056 90057 Whole 90058 = 90055 80 90056 90057 100 90058 90003
 90002 Multiply across the known corners, then divide by the third number: 90003
90002 90003
90002 Whole = ($ 150 × 100) / 80 90115 = 15000/80 90115 = 90011 187.50 90012 90003
90002 Answer: the phone’s normal price was 90011 $ 187.50 90012 90003  90090 Using Proportions to Solve Triangles 90091
90002 We can use proportions to solve similar triangles. 90003  90004 Example: How tall is the Tree? 90005
90002 Sam tried using a ladder, tape measure, ropes and various other things, but still could not work out how tall the tree was. 90003
90002 90003
90002 But then Sam has a clever idea … similar triangles! 90003
90002 Sam measures a stick and its shadow (in meters), and also the shadow of the tree, and this is what he gets: 90003  90002 90003
90002 Now Sam makes a sketch of the triangles, and writes down the «Height to Length» ratio for both triangles: 90003
 90002
90055 Height: 90056
90057 Shadow Length: 90058 90055 h 90056
 90057 2.9 m 90058 =
 90055 2.4 m 90056
 90057 1.3 m 90058 90003
 90002 Multiply across the known corners, then divide by the third number: 90003
90002 h = (2.9 × 2.4) / 1.3 90115 = 6.96 / 1.3 90115 = 90011 5.4 m 90012 (to nearest 0.1) 90003
90002 90011 Answer: the tree is 5.4 m tall. 90012 90003
90002 And he did not even need a ladder! 90003  90002 The «Height» could have been at the bottom, so long as it was on the bottom for BOTH ratios, like this: 90003  90002 90003
90002 Let us try the ratio of «Shadow Length to Height»: 90003
 90002
 90055 Shadow Length: 90056
 90057 Height: 90058
 90055 2.9 m 90056
 90057 h 90058 =
 90055 1.3 m 90056
 90057 2.4 m 90058 90003
 90002 Multiply across the known corners, then divide by the third number: 90003
90002 h = (2.9 × 2.4) / 1.3 90115 = 6.96 / 1.3 90115 = 90011 5.4 m 90012 (to nearest 0.1) 90003
90002 90011 It is the same calculation as before. 90012 90003  90090 A «Concrete» Example 90091
90002 Ratios can have 90011 more than two numbers 90012! 90003
90002 For example concrete is made by mixing cement, sand, stones and water.90003
90002 90003
90002 A typical mix of cement, sand and stones is written as a ratio, such as 1: 2: 6. 90003
90002 We can multiply all values ​​by the same amount and still have the same ratio. 90003
90349 10:20:60 is the same as 1: 2: 6 90003
90002 So when we use 10 buckets of cement, we should use 20 of sand and 60 of stones. 90003  90004 Example: you have just put 12 buckets of stones into a mixer, how much cement and how much sand should you add to make a 1: 2: 6 mix? 90005
90002 Let us lay it out in a table to make it clearer: 90003
90357
90358
90359 90360
90359 Cement 90360
90359 Sand 90360
90359 Stones 90360
90082
90358
90359 Ratio Needed: 90360
90070 1 90079
90070 2 90079
90070 6 90079
90082
90358
90359 You Have: 90360
90381 90079
90381 90079
90070 12 90079
90082
90083
90002 You have 12 buckets of stones but the ratio says 6.90003
90002 That is OK, you simply have twice as many stones as the number in the ratio … so you need twice as much of 90011 everything 90012 to keep the ratio. 90003
90002 Here is the solution: 90003
90357
90358
90359 90360
90359 Cement 90360
90359 Sand 90360
90359 Stones 90360
90082
90358
90359 Ratio Needed: 90360
90070 1 90079
90070 2 90079
90070 6 90079
90082
90358
90359 You Have: 90360
90381 2 90079
90381 4 90079
90070 12 90079
90082
90083
90002 And the ratio 2: 4: 12 is the same as 1: 2: 6 (because they show the same 90430 90011 relative 90012 90433 sizes) 90003
90002 So the answer is: add 2 buckets of Cement and 4 buckets of Sand.90430 (You will also need water and a lot of stirring ….) 90433 90003  90002 90430 Why are they the same ratio? 90433 90430 Well, the 90011 1: 2: 6 90012 ratio says to have 90433: 90003
90034
90035 90430 twice as much Sand as Cement (1: 2: 6) 90433 90040
90035 90430 6 times as much Stones as Cement (1: 2: 6) 90433 90040
90049
90002 90458 90430 In our mix we have: 90433 90003
90034
90035 90430 twice as much Sand as Cement (2: 4: 12) 90433 90040
90035 90430 6 times as much Stones as Cement (2: 4: 12) 90433 90040
90049
90002 90430 So it should be just right! 90433 90003
90002 That is the good thing about ratios.You can make the amounts bigger or smaller and so long as the 90011 relative 90012 sizes are the same then the ratio is the same. 90003
90002 90003
90002 90003
90002
90003  .90000 Difference Between Proportions 90001 
 90002 Statistics problems often involve comparisons between two
 independent sample proportions. This lesson explains how to compute
 probabilities associated with differences between proportions. 90003 
 90004 Difference Between Proportions: Theory 90005
 90002 Suppose we have two
 populations
 with proportions equal to P 90007 1 90008 and P 90007 2 90008.Suppose
 further that we take all possible
 samples
 of size n 90007 1 90008 and n 90007 2 90008. And finally, suppose that the
 following assumptions are valid. 90003 
 90016 
 90017 The samples are
 independent;
 that is, observations in population 1 are not affected by observations
 in population 2, and vice versa. 90018
 90019  90002 Given these assumptions, we know the following.90003  90002 It is straightforward to derive the last bullet point, based on material
 covered in previous lessons. The derivation starts with a recognition
 that the variance of the difference between independent random variables is
 equal to the sum of the individual variances. Thus, 90003
 90002
 σ 90025 2 90026 90007 d 90008 =
 σ 90025 2 90026 90007 P 90007 1 90008 90008 90007 — 90008 90007 P 90007 2 90008 90008 =
 σ 90025 2 90026 90007 1 90008 + σ 90025 2 90026 90007 2 90008
 90003  90002 If the populations N 90007 1 90008 and N 90007 2 90008 are both large
 relative to n 90007 1 90008 and n 90007 2 90008, respectively,
 then 90003
 90002
 σ 90025 2 90026 90007 1 90008 =
 P 90007 1 90008 (1 — P 90007 1 90008) / n 90007 1 90008 
 And 
 σ 90025 2 90026 90007 2 90008 =
 P 90007 2 90008 (1 — P 90007 2 90008) / n 90007 2 90008
 90003  90002 Therefore, 90003
 90002
 σ 90025 2 90026 90007 d 90008 =
 [P 90007 1 90008 (1 — P 90007 1 90008) / n 90007 1 90008] +
 [P 90007 2 90008 (1 — P 90007 2 90008) / n 90007 2 90008]
 90101
 And
 90101
 σ 90007 d 90008 =
 sqrt {[P 90007 1 90008 (1 — P 90007 1 90008) / n 90007 1 90008] +
 [P 90007 2 90008 (1 — P 90007 2 90008) / n 90007 2 90008]}
 90003  90004 Difference Between Proportions: Sample Problem 90005
 90002 In this section, we work through a sample problem to show how to apply
 the theory presented above.In this example,
 we will use Stat Trek’s
 Normal Distribution Calculator
 to compute probabilities.
 90003 
90004 Normal Distribution Calculator 90005
90002 The normal calculator solves common statistical problems, based on the normal
distribution. The calculator computes cumulative probabilities, based on three
simple inputs. Simple instructions guide you to an accurate solution, quickly
and easily.If anything is unclear, frequently-asked questions and sample
problems provide straightforward explanations. The
calculator is free. It can found in the Stat Trek
 main menu under the Stat Tools tab. Or you can tap the button below. 90003  Normal Distribution Calculator  90002 90127 Sample Problem 90128 90003  90002 In one state, 52% of the voters are Republicans, and 48% are Democrats.
 In a second state, 47% of the voters are Republicans, and 53% are
 Democrats.Suppose 100 voters are surveyed from each state.
 Assume the survey uses simple random sampling. 90003
 90002 What is the probability that the survey
 will show a greater percentage of Republican voters in the
 second state than in the first state? 90003 
 90002
 (A) 0.04
 90101
 (B) 0.05
 90101
 (C) 0.24
 90101
 (D) 0.71
 90101
 (E) 0.76
 90003  90002 90127 Solution 90128 90003
 90002 The correct answer is C. For this analysis, let P 90007 1 90008 =
 the proportion of Republican voters in the first state,
 P 90007 2 90008 = the proportion of Republican voters in the second state,
 p 90007 1 90008 = the proportion of Republican voters in the
 sample from the first state, and
 p 90007 2 90008 = the proportion of Republican voters in the
 sample from the second state.The number of voters sampled from
 the first state (n 90007 1 90008) = 100, and the number of voters
 sampled from the second state (n 90007 2 90008) = 100. 90003
 90002 The solution involves four steps. 90003
 90016 
 90017 Find the probability. This problem requires us to find the
 probability that p 90007 1 90008 is less than p 90007 2 90008.
 This is equivalent to finding the probability that
 p 90007 1 90008 — p 90007 2 90008 is less than zero.To find this
 probability, we need to transform the random variable
 (P 90007 1 90008 — p 90007 2 90008) into a
 z-score.
 That transformation appears below. 
 90002
 z 90007 p 90007 1 90008 90007 — 90008 p 90007 2 90008 90008 = (x — μ 90007 p 90007 1 90008 90007 — 90008 p 90007 2 90008 90008) / σ 90007 d 90008
 90003 90002
 z 90007 p 90007 1 90008 90007 — 90008 p 90007 2 90008 90008 = (0 — 0.05) /0.0706 = -0.7082
 90003 
 Using Stat Trek’s
 Normal Distribution Calculator,
 we find that the probability of a z-score being -0.7082 or less
 is 0.24. 90018
 90019
 90002 Therefore, the probability that the survey
 will show a greater percentage of Republican voters in the
 second state than in the first state is 0.24. 90003  90002 90127 Note: 90128 Some analysts might have used the t-distribution to compute probabilities
 for this problem.We chose the normal distribution because the population variance was known
 and the sample size was large. But it would not have been wrong to use the t-distribution. In a previous lesson, we offered some guidelines for
 choosing between the normal and the t-distribution.
 90003  .
No related posts.