Свойства сложения и вычитания. Переместительное и сочетательное
Поможем понять и полюбить математику
Начать учиться
Как в сказке черепаха перехитрила и обогнала зайца, так и мы можем схитрить и решить любое выражение быстрее с помощью упрощения. Для этого разберемся в свойствах сложения и вычитания.
Свойства сложения
Сложение — это арифметическое действие, в котором единицы двух чисел объединяются в одно новое число
Для записи сложения используют знак «+» (плюс), который ставят между слагаемыми.
Слагаемые — это числа, единицы которых складываются.
Сумма — это число, которое получается в результате сложения.
Рассмотрим пример 2 + 5 = 7, в котором:
- 2 — это первое слагаемое,
- 5 — второе слагаемое,
- 7 — это сумма.
При этом саму запись (2 + 5) можно тоже назвать суммой.
Сложение двух чисел можно проверить вычитанием. Для этого вычитаем из суммы одно из слагаемых. Если разность окажется равной другому слагаемому — сложение выполнено верно.
Впервые мы сталкиваемся со свойствами сложения в 1 классе. С каждым годом задания усложняются, и появляются новые правила и законы. Рассмотрим свойства сложения для 4 класса.
Свойства сложения
|
На заметку!
При сложении нескольких чисел, их можно объединять в группы и переставлять в любом порядке. Например: a + b + с = (a + b) + c = a + (b + c).
Узнай, какие профессии будущего тебе подойдут
Пройди тест — и мы покажем, кем ты можешь стать, а ещё пришлём подробный гайд, как реализовать себя уже сейчас
Свойства вычитания
Вычитание— это арифметическое действие, в котором отнимают меньшее число от большего.
Для записи вычитания используется знак «-» (минус), который ставится между уменьшаемым и вычитаемым.
Уменьшаемое — это число, из которого вычитают.
Вычитаемое — это число, которое вычитают.
Разность — это число, которое получается в результате вычитания.
Рассмотрим пример 9 — 4 = 5, в котором:
9 — это уменьшаемое,
4 — вычитаемое,
5 — разность.
При этом саму запись (9 — 4) тоже можно назвать разностью.
Свойства вычитания
|
На заметку!
Есть случаи, когда скобки не имеют значения при вычитании, и их можно опустить.
Например: (a — b) — c = a — b — c.
Онлайн-курсы математики для детей помогут подтянуть оценки, подготовиться к контрольным, ВПР и экзаменам.
Примеры использования свойств сложения и вычитания
Мы узнали основные свойства сложения и вычитания — осталось попрактиковаться. Чтобы ничего не забыть, используйте эту шпаргалку:
Скачать
Пример 1
Вычислить сумму слагаемых с использованием разных свойств:
а) 4 + 6 + 5
б) 9 + 11 + 2
в) 30 + 0 + 13
Как решаем:
а) 4 + 6 + 8 = (4 + 6) + 5 = 10 + 5 = 15
б) 9 + 11 + 2 = (9 + 11) + 2 = 20 + 2 = 22
в) 30 + 0 + 13 = 30 + 13 = 43
Пример 2
Применить разные свойства при вычислении разности:
а) 25 — 0 — 2
б) 22 — 7 — 5
Как решаем:
а) 25 — 0 — 2 = 25 — 2 = 23
б) 22 — 7 -5 = 22 — (7 + 5) = 22 — 12 = 10
в) 55 — 55 = 0
Пример 3
Найти значение выражения удобным способом:
а) 11 + 10 + 3 + 9
б) 16 — (6 + 5) + 7
в) 0 + 2 + 4 — 0
Как решаем:
а) 11 + 10 + 3 + 9 = (11 + 9) + (10 + 3) = 20 + 13 = 33
б) 16 — (6 + 5) + 7 = (16 — 6) — 5 + 7 = 10 — 5 + 7 = 5 + 7 = 12
в) 0 + 2 + 4 — 0 = 2 + 4 = 6
Шпаргалки для родителей по математике
Все формулы по математике под рукой
Лидия Казанцева
Автор Skysmart
К предыдущей статье
Свойства умножения и деления
К следующей статье
152.
2KЗадачи на пропорции
Получите план обучения, который поможет понять и полюбить математику
На вводном уроке с методистом
Выявим пробелы в знаниях и дадим советы по обучению
Расскажем, как проходят занятия
Подберём курс
Лекция 1. Правила сложения и умножения · Теория вероятностей и математическая статистика
Комбинаторика — это наука, с который каждый встречается в повседневной жизни: сколько способов выбрать 3 дежурных для уборки класса или сколько способов составить слово из данных букв. В целом, комбинаторика позволяет вычислить, сколько различных комбинаций, согласно некоторым условиям, можно составить из заданных объектов (одинаковых или разных).
Как наука комбинаторика возникла еще в 16 веке, а теперь ее изучает каждый студент (и даже школьник).
Начинают изучение с понятий перестановок, размещений, сочетаний (с повторениями или без). Наиболее известные правила комбинаторики — правила суммы и произведения, которые чаще всего применяются в типовых комбинаторных задачах. Два основных правила комбинаторной теории:
Правило сложения
Возможно, это правило покажется непосвященному человеку абракадаброй, но ничего сложного нет. Рассмотрим пример – пусть в одном ящике есть m шариков, а во втором ящике – n шариков. Сколькими способами можно вытащить шарик из одного этих ящиков. Очевидно, что ОДИН шарик можно достать m+n способами.
Закон сложения используется тогда, когда нужно выбрать только 1 элемент.
Пример 1.
Вика должна выбрать только один десерт из 8 видов коктейля, 5 видов мороженого и 5 видов йогурта. Сколькими способами она может выбрать десерт?
Решение.
Используется закон сложения, т.
к. Вика должна выбрать или коктейль, или мороженое, или йогурт.
Ответ: Вика может выбрать десерт 18 способами.
При использовании закона сложения надо следить, чтобы ни один из способов выбора объекта a не совпадал с каким-либо способом выбора объекта b.
Если объект a можно получить способами, объект — способами, то объект « или » можно получить способами, где — это количество повторяющихся способов.
Пример 2.
В группе 7 человек имеют «5» по математике, 9 человек — «5» по философии. В сессии 2 экзамена. Известно, что 4 человека сдали сессию отлично. Сколько человек имеют хотя бы одну пятерку в сессии?
Решение.
Правило умножения Пусть объект А выбирается m способами, объект В выбирается n способами, то оба объекта можно выбрать m·n способами.
Все очень просто – каждый из m способов выбора объекта А комбинируется с каждым из 
Пример3.
Сколько чисел можно составить из цифр 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, если число должно быть двузначным?
Решение.
Можно составить 90 чисел – первую цифру числа (объект А) можем выбрать 9 способами, так как число не может начинаться с нуля. Вторую цифру числа (объект В) можем выбрать 10 способами, так как у нас есть 10 цифр. Итого получается 9·10=90 чисел.
Пример 4.
В классе учится 16 мальчиков и 10 девочек. Сколькими способами можно назначить двух дежурных?
Решение.
Первым дежурным можно назначить либо мальчика, либо девочку. Т.к. в классе учится 16 мальчиков и 10 девочек, то назначить первого дежурного можно 16+10=26 способами.
После того, как мы выбрали первого дежурного, второго мы можем выбрать из оставшихся 25 человек, т.е. 25-ю способами.
По теореме умножения двое дежурных могут быть выбраны 26·25=650 способами.
Пусть требуется выполнить последовательно действий. Если первое действие можно выполнить способами, второе действие способами, третье – способами и так до -го действия, которое можно выполнить способами, то все действий вместе могут быть выполнены: способами.
На стоянке такси находятся 3 автомобиля Audi, 5 автомобилей Hyundai и 7 автомобилей Toyota. Сколькими способами можно выбрать машину для поездки?
1121522В группе 7 человек имеют «5» за экзамен по математике, 9 человек — «5» за экзамен по философии. В сессии 2 экзамена: математика и философия. Известно, что 4 человека сдали сессию отлично. Сколько человек имеют хотя бы одну пятерку в сессии?
12162032Закон сложения используется тогда, когда надо выбрать …
1 элемент2 элемента3 элементаСколько угодно элементовВ классе учится 17 мальчиков и 9 девочек. Сколькими способами можно назначить двух дежурных?
26153306650На стоянке такси находятся 3 автомобиля Audi, 5 автомобилей Hyundai и 7 автомобилей Toyota. Сколькими способами можно выбрать три машины для поездки?
152104552730Правило сложения в вероятности
Горячая математикаЕсли А и Б являются двумя событиями в вероятностном эксперименте, то вероятность того, что одно из этих событий произойдет, равна:
п ( А или Б ) «=» п ( А ) + п ( Б ) − п ( А и Б )
Это может быть представлено в виде Диаграмма Венна как:
п ( А ∪ Б ) «=» п ( А ) + п ( Б ) − п ( А ∩ Б )
Если
А
и
Б
два
взаимоисключающие события
,
п
(
А
∩
Б
)
«=»
0
.
Тогда вероятность того, что произойдет одно из событий, равна:
п
(
А
или
Б
)
«=»
п
(
А
)
+
п
(
Б
)
Это можно представить на диаграмме Венна как:
п ( А ∪ Б ) «=» п ( А ) + п ( Б )
Пример:
Если вы достанете одну карту из обычной колоды, какова вероятность того, что это туз или пика?
Позволять Икс быть событием выбора туза и Д быть событие выбора пики.
п ( Икс ) «=» 4 52
п ( Д ) «=» 13 52
Эти два события не исключают друг друга, так как есть один благоприятный исход, при котором карта может быть как тузом, так и пикой.
п ( Икс и Д ) «=» 1 52
п ( Икс или Д ) «=» 4 52 + 13 52 − 1 52 «=» 16 52 «=» 4 13
Правило сложения для формулы вероятностей и что она говорит вам
К
Адам Хейс
Полная биография
Адам Хейс, доктор философии, CFA, финансовый писатель с более чем 15-летним опытом работы на Уолл-стрит в качестве трейдера деривативов.
Помимо своего обширного опыта торговли деривативами, Адам является экспертом в области экономики и поведенческих финансов. Адам получил степень магистра экономики в Новой школе социальных исследований и докторскую степень. из Университета Висконсин-Мэдисон по социологии. Он является обладателем сертификата CFA, а также лицензий FINRA Series 7, 55 и 63. В настоящее время он занимается исследованиями и преподает экономическую социологию и социальные исследования финансов в Еврейском университете в Иерусалиме.
Узнайте о нашем редакционная политика
Обновлено 31 января 2021 г.
Рассмотрено
Роджер Вольнер
Рассмотрено Роджер Вольнер
Полная биография
Роджер Вольнер — опытный финансовый писатель, писатель-призрак и консультант с 20-летним опытом работы в отрасли.
Узнайте о нашем Совет по финансовому обзору
Что такое правило сложения вероятностей?
Правило сложения вероятностей описывает две формулы: одна для вероятности возникновения любого из двух взаимоисключающих событий, а другая для вероятности возникновения двух невзаимоисключающих событий.
Первая формула — это просто сумма вероятностей двух событий. Вторая формула представляет собой сумму вероятностей двух событий за вычетом вероятности того, что оба они произойдут.
Ключевые выводы
- Правило сложения для вероятностей состоит из двух правил или формул, одна из которых учитывает два взаимоисключающих события, а другая — два невзаимоисключающих события.
- Не взаимоисключающее означает, что между двумя рассматриваемыми событиями существует некоторое совпадение, и формула компенсирует это, вычитая вероятность совпадения P(Y и Z) из суммы вероятностей Y и Z.
- Теоретически первая форма правила является частным случаем второй формы.
Формулы для правил сложения вероятностей Is
Математически вероятность двух взаимоисключающих событий обозначается как:
п ( Д или Z ) «=» п ( Д ) + п ( Z ) P(Y \text{ или } Z) = P(Y)+P(Z) P(Y или Z)=P(Y)+P(Z)
Математически вероятность двух невзаимоисключающих событий обозначается как:
п ( Д или Z ) «=» п ( Д ) + п ( Z ) − п ( Д и Z ) P(Y \text{ или } Z) = P(Y) + P(Z) — P(Y \text{ и } Z) P(Y или Z)=P(Y)+P(Z)−P(Y и Z)
О чем говорит правило сложения вероятностей?
Чтобы проиллюстрировать первое правило в правиле сложения вероятностей, рассмотрим шестигранную кость с вероятностью выпадения 3 или 6.
Поскольку вероятность выпадения 3 равна 1 из 6, а вероятность выпадения 6 также 1 из 6, шанс выпадения 3 или 6:
1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3
Чтобы проиллюстрировать второе правило, рассмотрим класс, в котором 9 мальчиков и 11 девочек. В конце семестра 5 девочек и 4 мальчика получают оценку B. Если учащийся выбран случайно, каковы шансы, что он будет либо девочкой, либо отличником? Поскольку шансы выбрать девочку составляют 11 из 20, шансы выбрать отличницу равны 9.из 20 и шансы выбрать девочку-отличницу составляют 5/20, шансы выбрать девочку или отличницу составляют:
11/20 + 9/20 — 5/20 = 15/20 = 3/4
На самом деле два правила упрощаются до одного правила, второго. Это связано с тем, что в первом случае вероятность того, что произойдут два взаимоисключающих события, равна 0. В примере с кубиком невозможно выбросить одновременно 3 и 6 при одном броске одного кубика. Таким образом, эти два события являются взаимоисключающими.