Конспект урока «Умножение числа на разность» | План-конспект урока по математике (3 класс):
Урок математики в 3 классе (1-4)
Краткий комментарий: Данный урок был спроектирован и проведён в классе развивающего обучения (система Д.Б.Эльконина – В.В.Давыдова). Авторы: В.В. Давыдов, С.Ф.Горбов, Г.Г. Микулина. Урок проводится после проверочной работы по теме «Соотношение единиц длины». Предлагается измерить площади одной меркой (площадь мерки одна клетка). Прямоугольники имеют одну и ту же ширину, а длины таковы, чтобы нельзя было вычислить площади без калькулятора, а можно вычислить разность этих площадей. Вычисление не является целью, а нужно указать способ вычисления.
Тема урока: «Умножение числа на разность».
Тип урока: постановка учебной задачи и её решение.
Цель: вывести правило умножения, позволяющее получать произведения таких чисел, которые до сих пор не умели перемножать.
Оборудование: листы — картинки
Содержание | |||
Учитель | Учащиеся | ||
I. (актуализация знаний). | Запись даты. Настрой на работу. На доске записаны примеры вида: 6х13, 14х3, 5х17, 18х4 Задание: найдите значения произведений. | Дети решают примеры, проговаривая вслух ход решения: 6∙13=6∙(10+3)=6∙10+6∙3=60+18=78 | Демонстрация детьми владения старым способом. Учитель оценивает их ответы словами: «Здорово!», «Прекрасно!», «Замечательно!», избегая оценки личности. |
II.этап. Постановка учебной задачи и её решение. | Работа в группах. Коля наклеил свои наклейки на альбомный лист: в каждый квадрат приклеил по одной наклейке. А его младшая сестрёнка Аня тоже решила приклеить свои наклейки на другой альбомный лист так же, как Коля, в каждый квадрат по одной наклейке. Узнайте, на сколько наклеек больше у Коли, чем у Ани? | Мерка Е 1 группа Е Коля 128 6 128 х 6 = 100х6 +20х6 + 8х6 = 768(н) Е Аня 124 6 124 х 6 = 100х6 + 20х6 + 4х6 = 744(н) 768 – 744 = 24 (н. 2 группа 128х6 124х6 ?
768 744 128х6 – 124х6 = 24 (н.)
3 группа 6 х (128 – 124) = 24 (н.) | На столах у каждой группы 1 лист – картинка. |
Защита учащимися своих работ. Работы выносятся на доску, обсуждаются варианты выполнения задания. От каждой группы выступает один представитель. Другие учащиеся задают вопросы (по чертежу, схеме или решению). | Обсуждение начинается с неправильного варианта. | ||
III.этап. Моделирование способа действия | Вы смогли решить задачу нахождения разности двумя способами. Замените числа буквами и запишите, как умножить число на разность: а х ( в – с ) = Откройте учебник на с. | Работа в парах. Работы выносятся на доску, обсуждаются варианты выполнения задания. а х (в – с) = а х в – а х с Чтобы умножить число на разность двух чисел, можно это число умножить по отдельности на уменьшаемое и вычитаемое и найти разность полученных результатов. | Обсуждение начинается с неправильного варианта. |
IV.этап. Применение открытого способа действия | Задание: Выполни вычисления другим способом: №183 с.53
7 х ( 10 – 4) 9 х ( 9 – 2)
(7 х 12) – ( 7 х 9)= (6 х 10) – ( 6 х 3)= (7 х 10) – (7 х 5)= | Учащиеся выполняют вычисления, используя правила умножения числа на разность. | Работа выполняется либо индивидуально, либо в парах – выбор самих учащихся. |
V. этап. Рефлексия VI. этап.Итог урока | Ребята, что нового для себя вы на уроке открыли? Итак, как умножить число на разность? Как вы думаете, чем мы будет заниматься на следующем уроке математики? Дом. зад. с.53 № 182 Спасибо за урок. | Ответы (примерные):
а х (в – с) = а х в – а х с Чтобы умножить число на разность двух чисел, можно это число умножить по отдельности на уменьшаемое и вычитаемое и найти разность полученных результатов. Умножать числа на разность двумя способами. | |
этап. «Ситуация успеха»
)
53 и прочитайте вывод.
Математика и гармония: Математические алгоритмы
Изобилие математических алгоритмов особенно бросается в глаза: алгоритмы вычитания десятичных положительных дробей, умножение десятичных дробей (столбиком), деление десятичных дробей и т.
д. и т.п.
Ещё раннее каждый школьник изучает алгоритмы сложения натуральных чисел, вычитания натуральных чисел, таблицу умножения.
Знание алгоритмов поможет избежать многих вычислительных ошибок. Остановимся на алгоритмах, изучаемых в пятом и шестом классах. Итак,
5 класс
Алгоритмы арифметических действий:Алгоритм умножения числа на произведение (сочетательное свойство умножения)
Чтобы умножить число на произведение двух чисел, можно сначала умножить его на первый множитель, а потом полученное произведение умножить на второй множитель.
Алгоритм вычитания суммы
Для того чтобы вычесть сумму из числа, можно вначале вычесть из этого числа первое слагаемое, а потом из полученной разности – второе слагаемое;
Алгоритм вычитания числа из суммы
Чтобы из суммы вычесть число, можно вычесть его из одного слагаемого, а к полученной разности прибавить второе слагаемое.
Алгоритм умножения числа на произведение (сочетательное свойство умножения)
Чтобы умножить число на произведение двух чисел, можно сначала умножить его на первый множитель, а потом полученное произведение умножить на второй множитель.
Алгоритм умножения суммы на число (распределительное тельное свойство умножения относительно сложения)
Для того чтобы умножить сумму на число, можно умножить на это число каждое слагаемое и сложить получившиеся произведения.
Алгоритм умножения разности на число (распределительное тельное свойство умножения относительно вычитания)
Для того, чтобы умножить разность на число, можно умножить на это число уменьшаемое и вычитаемое и из первого произведения вычесть второе.
Алгоритм нахождения неизвестного слагаемого
Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо их суммы вычесть известное слагаемое.
Алгоритм нахождения неизвестного уменьшаемого
Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо сложить вычитаемое и разность.
Алгоритм нахождения неизвестного вычитаемого
Чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо из уменьшаемого вычесть и разность.
Алгоритм нахождения неизвестного множителя
Чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на известный множитель.
Алгоритм нахождения неизвестного делимого
Чтобы найти неизвестное делимое, надо частное умножить на делитель.
Алгоритм нахождения неизвестного делителя
Чтобы найти неизвестный делитель, надо делимое разделить на частное.
Алгоритм решения задач с помощью уравнения
1. Прочитать внимательно условие задачи;
2. Записать кратко условие задачи, записав все величины (единицы их измерения) , названные в задаче, установив связи и зависимости между ними;
3.Выбрать неизвестное задачи;
4. Выразить остальные величины задачи, установить связи их с неизвестным задачи;
5. Составить уравнение задачи, обосновав его условием задачи;
6. Решить уравнение;
7. Сделать проверку;
8. Выписать ответ.
Алгоритм выполнения порядка действий
1. Если в выражении нет скобок, и оно содержит действия только одной ступени, то их выполняют по порядку слева направо.
2. Если выражение содержит действия первой (сложение и вычитание) и второй (умножение и деление) ступени и в нем нет скобок, то сначала выполняют действия второй ступени, а потом – действия первой ступени.
3. Если в выражении есть скобки, то сначала выполняют действия в скобках (учитывая при этом правила 1 и 2).
Алгоритмы для обыкновенных дробей
Алгоритм сравнения дробей с одинаковыми знаменателями
а) Выбрать наибольшую дробь с одинаковыми знаменателями ту, у которой больше числитель;
б) Выбрать наименьшую дробь с одинаковыми знаменателями ту, у которой меньше числитель.
Алгоритмы сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями
а) При сложении дробей с одинаковыми знаменателями числители складывают, а знаменатели оставляют тот же;
б) При вычитании дробей с одинаковыми знаменателями из числителя уменьшаемого вычитают числитель вычитаемого, а знаменатели оставляют тот же.
Алгоритмы представления смешанного числа в виде неправильной дроби
1. Умножить его целую часть на знаменатель дробной части;
2. К полученному произведению прибавить числитель дробной части;
3. Записать полученную сумму числителем дроби, а знаменатель дробной части оставить без изменения.
Алгоритмы для десятичных дробей
Алгоритм сложения (вычитания) десятичных дробей
Чтобы сложить (вычесть) десятичные дроби, нужно:
1. уравнять в этих дробях количество знаков после запятой;
2. записать их друг под другом так, чтобы запятая была записана под запятой;
3. выполнить сложение (вычитание), не обращая внимания на запятую;
4. поставить в ответе запятую под запятой в данных дробях.
Алгоритм округления десятичных дробей
а) Если первая отброшенная или замененная нулём цифра равна 5, 6,7, 8, 9, то стоящую перед ней цифру увеличивают на 1.
а) Если первая отброшенная или замененная нулём цифра равна 0, 1, 2, 3, 4, то стоящую перед ней цифру оставляют без изменения.
Алгоритм умножения десятичной дроби на натуральное число
Чтобы умножить десятичную дробь на натуральное число, надо:
1. умножить её на это число, не обращая внимания на запятую;
2. в полученном произведении отделить запятой столько цифр справа , сколько их отделено запятой в десятичной дроби.
Алгоритм умножения десятичной дроби на 10, 100, 1000, ….
Чтобы умножить десятичную дробь на 10, 100, 1000, … надо в этой дроби перенести запятую на столько цифр вправо, сколько нулей стоят в множителе после единицы.
Алгоритм деления десятичных дробей на натуральные числа
Чтобы разделить десятичную дробь на натуральное число, надо:
1. разделить дробь на это число, не обращая внимания на запятую;
2. поставить в частном запятую, когда кончится деление целой части.
Алгоритм деления десятичной дроби на 10, 100, 1000, ….
Чтобы разделить десятичную дробь на 10, 100, 1000, …надо перенести запятую в этой дроби на столько цифр влево, сколько нулей стоит после единицы в делителе.
Алгоритм умножения десятичных дробей
Чтобы перемножить две десятичные дроби, надо:
1. выполнить умножение, не обращая внимания на запятые;
2. отделить запятой столько цифр справа, сколько их стоит после запятой в обоих множителях вместе;
3. если в произведении получается меньше цифр, чем надо отделить запятой, то впереди пишут нуль или несколько нулей.
Алгоритм умножения числа на 0,1; 0,01, 0,001 …
Для того чтобы умножить число на 0,1; 0,01, 0,001 надо:
1. разделить его на 10,100, 1000;
2. перенести запятую на столько цифр, сколько нулей стоит перед единицей в множителе.
Алгоритм деления числа на десятичную дробь
Для того чтобы разделить число на десятичную дробь, надо:
1. В делимом и в делителе перенести запятую вправо на столько цифр, сколько их после запятой в делителе;
2. после этого выполнить деление на натуральное число.
Алгоритм деления числа на 0,1; 0,01, 0,001
Для того чтобы разделить десятичную дробь на 0,1; 0,01, 0,001…, надо:
перенести в ней запятую вправо на столько цифр, сколько в делителе стоит нулей перед единицей ( то есть умножить её на 10, 100, 1000.
Алгоритм нахождения среднего арифметического
Для нахождения среднего арифметического нескольких чисел надо:
1.найти сумму этих чисел;
2. разделить полученную сумму на число слагаемых;
3.
выписать частное в ответ.
Алгоритм обращения десятичной дроби в проценты:
Чтобы обратить десятичную дробь в проценты надо умножить дробь на 100.
Алгоритм перевода процентов в десятичную дробь
Чтобы перевести проценты в десятичную дробь, надо разделить число процентов на 100.
6 класс
Признаки делимостиПризнак делимости на 10
Если запись натурального числа оканчивается цифрой 0, то это число делится без остатка на 10.
Например:
100; 1000; 100000 и т.п.
Признак делимости на 5
Если запись натурального числа оканчивается цифрами 0 и 5, то это число делится без остатка на 5.
Например:
45; 55; 15; 10; 10000 и т.п.
Признак делимости на 2
Если запись натурального числа оканчивается четной цифрой, то это число четно и делится без остатка на 2.
Например:
32; 12; 224; 2098 и т. п.
Признак делимости на 3
Если сумма цифр числа делится на 3, то и число делится на 3.
Например:
15; 273; 474; 765; и т.п.
Признак делимости на 9
Если сумма цифр числа делится на 9, то и число делится на 9.
783; 549; 1233; 27954; и т.п.
Разложение на простые множители
Алгоритм нахождения НОД (наибольшего общего делителя)
Чтобы найти наибольший общий делитель нескольких натуральных чисел, надо:
1. разложить их на простые множители;
2. из множителей, входящих в разложение одного из этих чисел, вычеркнуть те, которые не входят в разложение других чисел;
3. найти произведение оставшихся множителей.
Например:
48 = 2*2*2*2*3; 36 = 2*2*3*3; НОД(48;36)= 2*2*3 = 12.
Алгоритм нахождения НОК (наименьшего общего кратного)
Чтобы найти наименьшее общее кратное нескольких натуральных чисел, надо:
1. разложить их на простые множители;
2. выписать множители, входящие в разложение одного из чисел;
3. добавить к ним недостающие множители из разложений остальных чисел;
4. найти произведение оставшихся множителей.
Например:
48 = 2*2*2*2*3; 36 = 2*2*3*3; НОК(48;36)= 2*2*2*2*3*3 = 144.
Алгоритмы для обыкновенных дробей
Алгоритм сокращения дробей
Для того чтобы сократить дробь необходимо и числитель и знаменатель дроби разделить на их общий делитель, отличный от 1.
Алгоритм приведения дробей к общему знаменателю
Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю надо:
1. Найти наименьшее общее кратное знаменателей этих дробей, оно и будет их наименьшим общим знаменателем;
2. разделить наименьший общий множитель на знаменатели данных дробей, т.е. найти для каждой дроби дополнительный множитель;
3. умножить числитель и знаменатель каждой дроби на её дополнительный множитель;
Алгоритм сравнения, сложения, вычитания
дробей с разными знаменателями
Чтобы сравнить (сложить, вычесть) дроби с разными знаменателями надо:
1. привести данные дроби к наименьшему общему знаменателю;
2. сравнить, сложить, вычесть полученные дроби.
Алгоритм сложения смешанных чисел
Чтобы сложить смешанные числа надо:
1. привести дробные части этих чисел к наименьшему общему знаменателю;
2. отдельно выполнить сложение целых частей и отдельно дробных частей. Если при сложении дробных частей получилась неправильная дробь, выделить целую часть из этой дроби и прибавить её к полученной целой части.
Алгоритм вычитания смешанных чисел
Чтобы вычесть смешанные числа надо:
1. привести дробные части этих чисел к наименьшему общему знаменателю; если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, превратить её в неправильную дробь, уменьшив на единицу целую часть;
2. отдельно выполнить вычитание целых частей и отдельно дробных частей.
Алгоритм умножения дроби на натуральное число
Чтобы умножить дробь на натуральное число , надо её числитель умножить на это число, а знаменатель оставить без изменения.
Алгоритм умножения дроби на дробь
Чтобы умножить дробь на дробь надо:
1.
найти произведение числителей и произведение знаменателей этих дробей;
2. первое произведение записать числителем, а второе – знаменателем.
Алгоритм умножения смешанных чисел
Чтобы умножить смешанные числа надо:
1.их записать в виде неправильных дробей;
2.воспользоваться правилом умножения дробей.
Алгоритм нахождения дроби от числа
Чтобы найти дробь от числа, надо умножить число на эту дробь.
Алгоритм умножения смешанного числа на натуральное число
(применение распределительного свойства умножения)
Чтобы умножить смешанное число на натуральное число надо:
1. умножить целую часть на натуральное число;
2. умножить дробную часть на это натуральное число;
3. сложить полученные результаты.
Алгоритм деления обыкновенных дробей
Чтобы разделить одну дробь на другую надо:
1. делитель представить в виде обратной дроби;
2. провести умножение делимого и преобразованного делителя.
Алгоритм нахождения числа по его дроби
Чтобы найти число по данному значению его дроби, надо это значение разделить на дробь.
Арифметические действия с положительными и отрицательными числами
Алгоритм сложения отрицательных чисел
Чтобы сложить два отрицательных числа, надо:
1. сложить их модули;
2. поставить перед полученным числом знак « — ».
Например: — 8,7 + (- 3.5) = — (8,7 +3.5) = — 12,2.
Алгоритм сложения чисел с разными знаками
Чтобы сложить два числа с разными знаками, надо:
1. из большего модуля слагаемых вычесть меньший;
2. поставить перед полученным числом знак того слагаемого , модуль которого больше.
Например: 6,1 + (- 4,2) = + (6,1 — 4,2) = 1,9.
Алгоритм нахождения длины отрезка на координатной прямой
Чтобы найти длину отрезка на координатной прямой, надо из координаты его правого конца вычесть координату его левого конца.
Алгоритм умножения чисел с разными знаками
Чтобы перемножить два числа с разными знаками, надо:
1.перемножить модули этих чисел;
2. поставить перед полученным числом знак « — ».
Например: (-1,2) * 0,3 = — (1,2 * 0,3) = — 0,36.
Алгоритм умножения отрицательных чисел
Чтобы перемножить два числа с отрицательными знаками, надо перемножить их модули.
Например: (-3,2) * (-9) = 3,2 * 9 = 28,8.
Алгоритм деления отрицательного числа на отрицательное
Чтобы разделить отрицательное число на отрицательное, надо разделить модуль делимого на модуль делителя.
Например: — 4,5 : (-1,5) = 4,5 : 1,5 = 3.
Алгоритм деления чисел с разными знаками
При делении чисел с разными знаками, надо:
1. разделить модуль делимого на модуль делителя;
2. поставить перед полученным числом знак « — ».
Например: 3,6 : (-3) = — (3,6 : 3) = — 1,2.
Алгоритмы раскрытия скобок
а) Если перед скобками стоит знак «+», то можно опустить скобки и этот знак «+», сохранив знаки слагаемых, стоящих в скобках. Если первое слагаемое в скобках записано без знака, то его надо записать со знаком «+».
Например: — 2,87 + (2,87 – 7,639) = — 2,87 + 2,87 – 7,639 = 0 -7,639 = -7,639.
б). Если перед скобками стоит знак « — », то надо заменить этот знак на « + »,
поменяв знаки всех слагаемых в скобках на противоположные, а потом раскрыть скобки.
Например: 16 – (10 – 18 + 12) = 16 + ( — 10 + 18 – 12) = 16 — 10 + 18 — 12 = 12.
Определите, находятся ли две величины в пропорциональном отношении, например, проверив эквивалентные отношения в таблице или нарисовав график на координатной плоскости и наблюдая, является ли график прямой линией, проходящей через начало координат. | СС | 7 | 7.РП | 7.РП.А | 7.RP.A.2
Popular Tutorials
in Определите, находятся ли две величины в пропорциональных отношениях, например, проверив эквивалентные соотношения в таблице или настроив график на координатной плоскости и наблюдая, является ли график прямой линией, проходящей через источник.Как выглядит прямое изменение на графике?
Хотите узнать, как графически выглядит прямой вариант? По сути, это прямая линия, проходящая через начало координат.
Чтобы получить лучшее изображение, ознакомьтесь с этим руководством!Что такое пропорция?
Идея пропорций заключается в том, что отношение может быть записано разными способами и при этом быть равным одному и тому же значению. Вот почему пропорции на самом деле являются уравнениями с равными отношениями. Это немного сложное определение, так что обязательно посмотрите туториал!
Как найти эквивалентные отношения, составив таблицу?
Чтобы освоить эквивалентные отношения, вам нужно попрактиковаться. Следуйте этому руководству, чтобы попрактиковаться в заполнении таблицы с эквивалентными отношениями.
Как найти эквивалентные отношения?
Соотношения используются для сравнения чисел. Когда вы работаете с коэффициентами, иногда проще работать с эквивалентным коэффициентом. Эквивалентные отношения имеют разные числа, но представляют одно и то же отношение.
В этом уроке вы увидите, как найти эквивалентные отношения, сначала записав данное отношение в виде дроби. Взглянем!Как узнать, пропорциональны ли два отношения?
Соотношения пропорциональны, если они представляют одно и то же отношение. Один из способов проверить, пропорциональны ли два отношения, — записать их в виде дробей, а затем уменьшить. Если приведенные дроби одинаковы, ваши отношения пропорциональны. Чтобы увидеть этот процесс в действии, ознакомьтесь с этим руководством!
Как определить, пропорциональны ли два отношения, используя перекрестные произведения?
Пытаетесь выяснить, пропорциональны ли два отношения? Если они представлены в форме дроби, установите их равными друг другу, чтобы проверить, пропорциональны ли они. Крест умножай и упрощай. Если вы получаете истинное утверждение, то отношения пропорциональны! Этот урок дает вам отличный пример!
Как определить, пропорциональны ли значения в таблице?
Чтобы убедиться, что несколько отношений пропорциональны, вы можете записать их в виде дробей, уменьшить и сравнить.
Если все приведенные дроби одинаковы, то перед вами пропорциональные отношения. Чтобы увидеть этот процесс шаг за шагом, ознакомьтесь с этим руководством!Что такое эквивалентные отношения?
Эквивалентные отношения аналогичны эквивалентным дробям. Если два отношения имеют одинаковое значение, то они эквивалентны, даже если они могут выглядеть очень по-разному! В этом уроке вы познакомитесь с эквивалентными коэффициентами и узнаете, как определить, есть ли у вас эквивалентные коэффициенты.
Чтобы получить лучшее изображение, ознакомьтесь с этим руководством!
В этом уроке вы увидите, как найти эквивалентные отношения, сначала записав данное отношение в виде дроби. Взглянем!
Если все приведенные дроби одинаковы, то перед вами пропорциональные отношения. Чтобы увидеть этот процесс шаг за шагом, ознакомьтесь с этим руководством!арифметика — Правило умножения рациональных чисел (дополнение)
Используя определение Дида, что $[a|b]= x:b\times x = a$, и подразумеваемую аксиому, такой $x$ существует и находится в рациональном числе, тогда как рациональные числа коммутативны и ассоциативны: мы имеем
$[a|b] = x: b\times x = a$ и имеем $[c|d] = y: d\times y = c$
Отсюда следует, что $ac = (b\times x)( с\умножить на y)$. Теперь $b,c,x,y$ — просто рациональные числа, а умножение коммутативно.
Итак, $ac = (bd)(xy)$
Итак, $[ac|bd] = z|bd \times z = ac$. И мы можем видеть, что поскольку $ac = (bd)(xy)$, $z$ равно $xy = [a|b]\times [c|d]$.
Итак, $[ac|bd] = z = xy = [a|b]\times [c|d]$.
Однако это некое предположение, что для любых $a, b: b\ne 0$ существует рациональное число $x$ так, что $a = bx$ и что такое рациональное число единственно. Но обычно это аксиома.
И это справедливая аксиома, я думаю… может быть, я добавлю об этом позже.
==== ладно, об этом позже =====
Дело в том, что нас учат арифметике в начальной школе, и если нас учат хорошо, она непротиворечива, и поэтому аргумент Дида будет справедливым и верным. Но когда дело доходит до формального обучения строгим доказательствам, мы обычно отбрасываем всю арифметику и начинаем с абстрактных определений поля.
В «арифметике» мы начинаем со счета, а числа сами по себе являются очень конкретными понятиями, как и их группировка, для описания которых определены сложение и умножение, как и удаление и расщепление вещей, для определения которых предназначены вычитание и деление.
Но в формальной математике мы просто говорим: «Упорядоченное поле — это любая система, которая подчиняется этим наборам правил, и у нас есть минимальное упорядоченное поле, называемое Рационалами». Рационалы подчиняются всем правилам, потому что мы так говорим.
Среди правил (перечисленных так, как я о них думаю; полный список аксиом гуглите «Аксиомы поля»).
—Существует рациональное число с именем $1$, поэтому для любого рационального числа $b$ тогда $b*1 = 1*b = b$.
—Для каждого рационального числа, кроме $0$, для $b \ne 0$ существует рациональное число с именем $\frac 1b$, так что $b * \frac 1b = \frac 1b * b = 1$
Это ОБОЗНАЧЕНИЕ и обозначение ТОЛЬКО о том, что мы определяем $\frac ab$ как число $a*\frac 1b$.
— Рациональные числа коммутативны и ассоциативны.
Отсюда мы можем доказать, что $\frac 1b$ уникальна для $b$. (Pf: если $b*a = 1$ и $b*c = 1$, то $b*a = b*c$ и $\frac 1b*b*a = \frac 1b*b*c$, поэтому $1* a = a = 1*c = c$.
Для любого $b*a = 1$ тогда $a$ может быть только одним возможным значением.)
И мы можем доказать, что $\frac 1{bc} = \frac 1b * \фракция 1с$. (Pf: $bc*(\frac 1b \frac 1c) = bc *(\frac 1c\frac 1b)= b(c*\frac 1c)\frac 1b = b*(1)*\frac 1b = b* \frac 1b = 1$. Таким образом, $\frac 1{bc} = \frac 1b * \frac 1c$.
И тогда это всего лишь небольшая запись, что $\frac ab *\frac c*d = a*\ гидроразрыв 1b*c*\frac*d = a*c*\frac 1b* \frac 1d = (ac)*(\frac 1b* \frac 1d) = ac*\frac 1{bd} = \frac {ac} {бд}$.
Это все аксиомы и обозначения. Это правда, потому что мы говорим, что это правда.
Итак, это доказательство по определениям полей.
А как насчет «арифметики» и начальной школы.
=========
Итак, мы принимаем как данность, что если у нас есть значение $m$ и натуральное число $b$, то мы можем разделить $m$ на $b$ равных частей обозначается как $\frac mb$ и что $\frac mb + ….. + \frac mb = b\times \frac mb = m$.
Мы можем проверить, что число должно быть различным: если $d < e$, то $d+d+d+.