Второй замечательный предел
Примеры решенийПроизводная онлайн Интегралы онлайнПределы онлайн Точки разрыва функцииПравило Лопиталя Первый замечательный предел Второй замечательный предел
Число e является иррациональным и приблизительно равно 2.718. Это число принято за основание логарифмов, которые называют натуральными логарифмами и обозначают ln(x) (ln(x)=logex).
Формула (1) выполняется и для функций
(2)
Предел (2) называется вторым замечательным пределом. Критерий для его распознавания включает в себя три требования:
1) должна быть неопределенность вида 1∞,
2) 1+бесконечно малая, или короче: 1+б.м.,
3) , причем в показателе степени стоит не произвольная бесконечно большая, а величина, обратная той бесконечно малой, которая прибавляется к числу 1.
Так, среди пределов , , , только второй и третий равны e.
| lim
x → |
Примечание: число «пи» (π) записывается как pi, знак ∞ как infinity
Типовые замены в пределах
cos(π x) ≈ (-1)x, x → ∞sin(π x) ≈ (-1)x, x → ∞cos(x) ≈ [-1;1], x → ∞sin(x) ≈ [-1;1], x → ∞cos2(x) ≈ [0;1], x → ∞sin2(x) ≈ [0;1], x → ∞
Примеры решений
Пример 1. Используя свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций, найти следующие пределы:
.
Пример 2.
.
Пример 3.
.
Пример 4.
.
Пример 5.
.
Пример 6.
.
Единицу можно было бы получить делением многочлена на многочлен: , тогда
.
Следствиями второго замечательного предела являются следующие пределы (эквивалентные функции):
, в частности .
, если a=e, то .
.
С их помощью легко решаются многие задачи на раскрытие неопределенностей.
Пример 7.
. (Здесь ).
Пример 8. .
Пример 9.
.
Пример 10.
.
Пример 11.
Пример 12.
.
Задать свои вопросы или оставить замечания можно внизу страницы в разделе Disqus.
Можно также оставить заявку на помощь в решении своих задач у наших проверенных партнеров (здесь или здесь).
Калькулятор пределов с шагами — онлайн и бесплатно!
Калькулятор пределов с шагами — онлайн и бесплатно!Рассчитать предел Рассчитать медиану Рассчитать интеграл Рассчитать среднее
Поделиться калькулятором пределов
Добавить в закладки
Добавьте калькулятор пределов в закладки вашего браузера
1. Для Windows или Linux — нажмите Ctrl + D .
2. Для MacOS — нажмите Cmd + D .
3. Для iPhone (Safari) — нажмите и удерживайте , затем нажмите Добавить закладку
4. Для Google Chrome : нажмите 3 точки в правом верхнем углу, затем нажмите знак звездочки
Как использовать?
Как пользоваться калькулятором лимита
1
Шаг 1
Введите проблему с пределами в поле ввода.
2
Шаг 2
Нажмите Enter на клавиатуре или на стрелку справа от поля ввода.
3
Шаг 3
Во всплывающем окне выберите «Найти предел». Вы также можете воспользоваться поиском.
Что такое предел в математике
Предел — это математический термин, обозначающий определенное предельное число, к которому стремится бесконечная последовательность или функция. Соответственно различают предел последовательности и предел функции (в точке «на бесконечности»). Также считается, что предел может быть равен «бесконечности».
Интуитивно понятно, что один объект склонен к другому, например, птица стремится к гнезду.
Отсюда происходит интуитивное представление о желании последовательности или функции чего-либо; в рамках математического анализа это понятие желания находит свое формализацию в математических определениях предела функции и предела последовательности.
Зачем может потребоваться расчет предела
Это тот случай, когда проще объяснить термин простыми человеческими словами. В различных науках (например, в физике) существует множество ситуаций, в которых нужно знать, что произойдет с этим явлением, процессом, эффектом, если: время стремится к бесконечности, частота стремится к определенному значению, значение X (любое другое физическое количество) стремится к нулю, бесконечности, определенному значению и т. д. Вот почему вам нужно уметь считать лимиты.
Калькулятор правил Лопиталя
Калькулятор правил Лопиталя с шагами
Калькулятор правил Лопиталя используется для нахождения пределов неопределенных функций. Этот калькулятор берет производные неопределенной функции и устанавливает предельное значение, чтобы получить числовой результат.
Как работает этот калькулятор L’hopital?
Выполните следующие шаги, чтобы найти пределы функции, используя правило Лопиталя.
- Введите функцию.
- Используйте значок клавиатуры для ввода математических клавиш.
- Введите предельное значение и выберите переменную.
- Выберите левостороннее, правостороннее или двустороннее ограничение.
- Нажмите кнопку вычислить .
- Чтобы войти в новую функцию, нажмите кнопку сброса .
- Нажмите кнопку показать еще , чтобы просмотреть результат с пошаговыми инструкциями.
Что такое правило Лопиталя?
В математическом анализе правило Лопиталя — это теорема о пределах, которая помогает нам вычислять неопределенные пределы в форме \(\frac{0}{0}\:or\:\frac{\infty }{\infty } \)
Проще говоря, правило Лопиталя помогает нам найти \(\lim _{x\to a}\left(\frac{g\left(x\right)}{h\left(x\right) }\right)\:\)
Где \(\lim _{x\to a}\:g\left(x\right)=\lim _{x\to a}\:h\left(x\ right)=0\:or\:\left(\infty \:,-\infty \right)\)
Формула правила Лопиталя
Согласно этому правилу, если существуют производные функций, то две пределы эквивалентны.
Общая формула этого правила приведена ниже.
\(\lim _ {х\к а}\влево (\ гидроразрыва{г\влево(х\вправо)}}{ч\влево(х\вправо)}\вправо)=\lim _ {х\к а }\left(\frac{g’\left(x\right)}{h’\left(x\right)}\right)\)
Как использовать правило Лопиталя, чтобы найти пределы?
Ниже приведен пример решения этого правила с помощью нашего калькулятора L’hospital.
Пример 1
Вычислить \(\lim _{x\to 0}\left(\frac{sin\left(x\right)}{x}\right)\).
Решение
Шаг 1: Примените предельное значение и поставьте 0 вместо x.
\(\lim _ {x\to 0}\left(\frac{sin\left(x\right)}{x}\right)=\frac{sin\left(0\right)}{0} \)
\(\lim _{x\to 0}\left(\frac{sin\left(x\right)}{x}\right)=\frac{0}{0}\)
Шаг 2: Используйте правило Лопиталя, поскольку данная функция дает вид \(\frac{0}{0}\).
\(\lim _{x\to 0}\left(\frac{sin\left(x\right)}{x}\right)=\lim \:_{x\to \:0}\left (\ frac {\ frac {d} {dx} sin \ left (x \ right)} {\ frac {d} {dx} x} \ right) \)
\ (\ lim _ {x \ to 0} \left(\frac{sin\left(x\right)}{x}\right)=\lim _{x\to 0}\left(\frac{cos\left(x\right)}{1}\ справа)\)
\(\lim _{x\to 0}\left(\frac{sin\left(x\right)}{x}\right)=\lim _{x\to 0}\left (cos\влево(х\вправо)\вправо)\) 92+4}\right)=\frac{9}{\infty }=0\)
Ссылки
Академия Хана.
(н.д.). Что такое правило Лопиталя? . Академия Хана.
Примеры правила Лопиталя | Правило Лопиталя. (н.д.).
Калькулятор предела функции
Поиск инструмента
Поиск инструмента в dCode по ключевым словам:Просмотр полного списка инструментов dCode
Предел функции
Инструмент для вычисления пределов математических функций. Предел определяется значением функции, когда ее переменная приближается к заданному значению.
Результаты
Ограничение функции — dCode
Тег(и) : Функции
Поделиться
dCode и многое другое решать каждый день!
Предложение? обратная связь? Жук ? идея ? Запись в dCode !
Калькулятор пределов
Найдите предел функции:Переменная
Приближение к значению
Приближение к $ + \infty $ (стремится к положительной бесконечности +∞)
Приближение $ — \infty $ (стремится к отрицательной бесконечности -∞)
| Направление | Автоматически Правый предел (от больших значений стремится к X+) |
См.
также: Область определения функции — Асимптота функции — Экстремум функции
Ответы на вопросы (FAQ)
Как рассчитать лимит?
Для расчета предела замените переменную значением, к которому она стремится/приближается (близкая окрестность).
Пример: Вычисление предела $ f(x) = 2x $, когда $ x $ стремится к $ 1 $, записано $ \lim_{x \to 1} f(x) $ для вычисления $ 2 \times 1 = 2 $, поэтому $ \lim_{x \to 1} f(x) = 2 $.
В некоторых случаях результат не определен (неопределенные пределы, см. ниже) и может свидетельствовать о существовании асимптоты.
Как рассчитать лимиты с 0 и $\infty$ бесконечностью?
Предельные расчеты обычно используют математические формы со значениями 0 или бесконечность (положительные или отрицательные), за исключением неопределенных форм, расчеты следуют правилам:
| $$ +\infty + \infty = +\infty $$ | $$ -\infty — \infty = -\infty $$ |
| $$ +\infty — \infty = ? $$ | $$ -\infty + \infty = ? $$ |
| $$ 0 + \infty = +\infty $$ | $$ 0 — \infty = -\infty $$ |
| $$ + \infty + 0 = +\infty $$ | $$ — \infty + 0 = -\infty $$ |
| $$ \pm k + \infty = +\infty $$ | $$ \pm k — \infty = -\infty $$ |
| $$ + \infty \pm k = +\infty $$ | $$ — \infty \pm k = -\infty $$ |
| $$ +\infty \times +\infty = + \infty $$ | $$ +\infty \times -\infty = -\infty $$ |
| $$ -\infty \times +\infty = -\infty $$ | $$ -\infty \ раз -\infty = +\infty $$ |
| $$ 0 \times +\infty = ? $$ | $$ 0 \times -\infty = ? $$ |
| $$ +\infty \times 0 = ? $$ | $$ -\infty \times 0 = ? $$ |
| $$ k \times +\infty = +\infty $$ | $$ k \times -\infty = -\infty $$ |
| $$ -k \times +\infty = -\ infty $$ | $$ -k \times -\infty = +\infty $$ |
| $$ \frac{ +\infty }{ +\infty } = ? $$ | $$ \frac{ +\infty }{ -\infty } = ? $$ |
| $$ \frac{ -\infty }{ +\infty } = ? $$ | $$ \frac{ -\infty }{ -\infty } = ? $$ |
| $$ \frac{ 0 }{ +\infty } = 0 $$ 9{-\infty} = 0 $$ |
При $k > 0$ положительная ненулевая вещественная постоянная.
? представляют собой неопределенные формы.
Что такое неопределенные формы?
Неопределенные формы, которые появляются при расчете пределов:
| $$ \frac{0}{0} $$ | 0 разделить на 0 |
| $$ \frac{\pm\infty}{ \pm\infty} $$ | бесконечность разделить на бесконечность |
| $$ 0 \times \pm\infty $$ или $$ \pm\infty \times 0 $$ 9{\pm\infty} $$ | 1 степень бесконечность |
Как вычислить неопределенную форму?
Возможны несколько методов расчета предельных значений.
1 — Факторизация (например, с использованием инструментов выражения факторизации dCode)
2 — Использование Больничного правила (в случаях формы $ 0/0 $ или $ \ infty / \ infty $: если $ f $ и $ g $ есть 2 функции, определенные на отрезке $[a,b[$ и дифференцируемые в $a$ и такие, что $f(a) = g(a) = 0$, то если $g'(a)\ne 0$ : $$ \lim_{x \to a^+} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f’ (a)}{g’ (a)} $$
3 — Использовать правило доминирующего члена (в случае сложения полиномов и когда переменная стремится к бесконечности): пределом полинома является предел его члена наибольшей степени.
4 — Расчет асимптот для вывода предельных значений
5 — Преобразование выражения (используя замечательные тождества или извлекая элементы из корней и т. д.)
Как вычислить пределы тригонометрических функций, таких как синус и косинус?
Функции синусов и косинусов, стремящиеся к $ \pm \infty $, не допускают предела, поскольку они являются периодическими (воспроизводят бесконечный образец) и поэтому не стремятся ни к конечному значению, ни к бесконечности. Их лимит неограничен, но иногда отмечается $\pm 1$ (не рекомендуется).
Как показать пошаговые расчеты?
Калькулятор лимита dCode применяет не школьные методы, а побитовый расчет, поэтому этапы расчета сильно отличаются и не отображаются.
Исходный код
dCode сохраняет право собственности на исходный код «Limit of a Function». За исключением явной лицензии с открытым исходным кодом (указано Creative Commons/бесплатно), алгоритма «Ограничение функции», апплета или фрагмента (конвертер, решатель, шифрование/дешифрование, кодирование/декодирование, шифрование/дешифрование, транслятор) или «Ограничение функций» (вычисление, преобразование, решение, расшифровка/шифрование, расшифровка/шифрование, декодирование/кодирование, перевод), написанных на любом информационном языке (Python, Java, PHP, C#, Javascript, Matlab и т.