Пределы функций — Пределы функций. Примеры решений Теория пределов – это один из разделов
Пределы функций. Примеры решений
Теория пределов – это один из разделов математического
анализа. Вопрос решения пределов является достаточно
обширным, поскольку существуют десятки приемов решений
пределов различных видов. Существуют десятки нюансов и
хитростей, позволяющих решить тот или иной предел. Тем не
менее, мы все-таки попробуем разобраться в основных типах
пределов, которые наиболее часто встречаются на практике.
Начнем с самого понятия предела. Но сначала краткая
историческая справка. Жил-был в 19 веке француз Огюстен
Луи Коши, который дал строгие определения многим
понятиям матана и заложил его основы. Надо сказать, этот
уважаемый математик снился, снится и будет сниться в
кошмарных снах всем студентам физико-математических
факультетов, так как доказал огромное количество теорем
математического анализа, причём одна теорема убойнее
другой.
В этой связи мы пока не будем
рассматривать определение предела по Коши, а попытаемся
сделать две вещи:
1. Понять, что такое предел.
2. Научиться решать основные типы пределов.
Прошу прощения за некоторую ненаучность объяснений,
важно чтобы материал был понятен даже чайнику, что,
собственно, и является задачей проекта.
Итак, что же такое предел?
А сразу пример, чего бабушку лохматить….
Любой предел состоит из трех частей:
1) Всем известного значка предела .
2) Записи под значком предела, в данном случае .
Запись читается «икс стремится к единице». Чаще всего –
именно , хотя вместо «икса» на практике встречаются и
другие переменные. В практических заданиях на месте
единицы может находиться совершенно любое число, а также
бесконечность ( ).
3) Функции под знаком предела, в данном случае .
Сама запись читается так: «предел
функции при икс стремящемся к единице».
Разберем следующий важный вопрос – а что значит выражение
«икс стремится к единице»? И что вообще такое «стремится»?
Понятие предела – это понятие, если так можно
сказать, динамическое.
Построим последовательность:
сначала , затем , ,
…, , ….
То есть выражение «икс стремится к единице» следует
понимать так – «икс» последовательно принимает
значения, которые бесконечно близко приближаются к
единице и практически с ней совпадают.
Как решить вышерассмотренный пример? Исходя из
вышесказанного, нужно просто подставить единицу в
функцию, стоящую под знаком предела:
Готово.
Итак, первое правило: Когда дан любой предел, сначала
просто пытаемся подставить число в функцию.
Мы рассмотрели простейший предел, но и такие встречаются
на практике, причем, не так уж редко!
Пример с бесконечностью:
Разбираемся, что такое ? Это тот случай, когда
неограниченно возрастает, то есть: сначала ,
потом , потом , затем и
так далее до бесконечности.
А что в это время происходит с функцией ?
, , , …
Итак: если , то функция стремится к минус
бесконечности:
Грубо говоря, согласно нашему первому правилу, мы
вместо «икса» подставляем в функцию
бесконечность и получаем ответ.
Еще один пример с бесконечностью:
Опять начинаем увеличивать до бесконечности и смотрим
на поведение функции:
Вывод: при функция
неограниченно возрастает:
И еще серия примеров:
Пожалуйста, попытайтесь самостоятельно мысленно
проанализировать нижеследующее и запомните простейшие
виды пределов:
, , ,
, , ,
, , ,
Если где-нибудь есть сомнения, то можете взять в руки
калькулятор и немного потренироваться.
В том случае, если , попробуйте построить
последовательность , , .
Если , то , , .
! Примечание: строго говоря, такой подход с построением
последовательностей из нескольких чисел некорректен, но для
понимания простейших примеров вполне подойдет.
Также обратите внимание на следующую вещь. Даже если дан
предел с большим числом вверху, да хоть с
миллионом: , то все
равно , так как рано или поздно «икс»
начнёт принимать такие гигантские значения, что
миллион по сравнению с ними будет самым настоящим
микробом.
Что нужно запомнить и понять из вышесказанного?
1) Когда дан любой предел, сначала просто пытаемся
подставить число в функцию.
Примеры решения на темы пределы,
01. 02. 03. 04. 05. 06. | 07. 08. 09. 10. 11. |
12. 13. 14. 16. 17. 18. | 19. 20. |
01. 02. 03. 04. 05. | 06. 07. 08. 09. 10. 11. |
12. 13. 14. 15. 20. | 16. 17. 18. 19. |
01. 02. 03. 04. 05. 06. | 07. 08. 09. 12. |
13. | 14. |
02. 03. 05. | 04. 06. |
07. 10. | 08. 09. 11. |
12. |
курсов бакалавриата | Кафедра математики
Применение современной математики в управлении и принятии решений, включая решение задач оптимизации с использованием теории сетей, методов оптимального планирования, методов голосования, теории игр и связанных с ними стратегий. Приложения включают планирование почтовых…
Математическое моделирование с использованием графических, числовых, символьных и вербальных методов для описания и исследования данных и явлений реального мира. Исследование и анализ прикладных проблем и вопросов, а также эффективное общение количественных понятий и…
Идентификатор курса: МАТЕМАТИКА 1113E. 3 часа. Название курса: Precalculus
Описание курса: Подготовка к исчислению, включая интенсивное изучение алгебраических, экспоненциальных, логарифмических и тригонометрических функций и их графиков. Приложения включают простой максимум/…
Подготовка к исчислению, включая интенсивное изучение алгебраических, экспоненциальных, логарифмических и тригонометрических функций и их графиков.
Приложения включают простые задачи на максимум/минимум, экспоненциальный рост и затухание, а также задачи геодезии.
Семестр…
ID курса: МАТЕМАТИКА 2001. 3 часа. Название курса: Геометрия для учителей начальной школыОписание курса: Глубокое изучение математических тем, предназначенных для будущих учителей начальной школы. Визуализация. Свойства углов, окружностей, сфер, треугольников и…
ID курса: МАТЕМАТИКА 2002. 3 часа. Название курса: Числа, алгебра и статистика для учителей начальной школыОписание курса: Глубокое изучение математических тем, предназначенных для будущих учителей начальной школы . Числа, десятичная система, числовые ряды…
ID курса: МАТЕМАТИКА 2003. 3 часа. Название курса: Арифметика для учителей начальной школыОписание курса: Углубленное изучение математических тем, предназначенное для будущих учителей начальной школы. Значение сложения, умножения и деления. Adding,…
Темы, специально подобранные для удовлетворения потребностей студентов, изучающих экономику: определенный интеграл, функции нескольких переменных, частные производные, множители Лагранжа и матрицы.
Дубликат кредита: не предоставляется учащимся с кредитом по МАТЕМАТИКЕ 2210, МАТЕМАТИКА…
Введение в дифференциальное исчисление и его приложения. Темы включают пределы, непрерывность, дифференцируемость, производные тригонометрических, экспоненциальных и логарифмических функций, оптимизацию, рисование кривых, первообразные, дифференциальные уравнения и…
Пределы, производные, дифференцирование алгебраических и трансцендентных функций; линейная аппроксимация, построение кривых, оптимизация, неопределенные формы. Интеграл, основная теорема исчисления, площади. Акцент на научные и инженерные приложения.
…
Объемы, длина дуги, работа, разделимые дифференциальные уравнения. Методы интеграции. Последовательности и ряды, признаки сходимости, степенные ряды и ряды Тейлора. Векторы в трехмерном пространстве, скалярное произведение, перекрестное произведение, линии и плоскости.
Дубликат Кредит:…
Расчет функций двух и трех переменных: параметрические кривые и приложения к движению планет.
Производные, градиент, множители Лагранжа. Множественное интегрирование, площадь, объем и физические приложения, полярные, цилиндрические и сферические координаты…
Расчет функций двух и трех переменных: параметрические кривые и приложения к движению планет. Производные, градиент, множители Лагранжа. Множественная интеграция, площадь, объем и физические приложения; полярные, цилиндрические и сферические координаты.…
Описание курса: Тщательное и подробное рассмотрение дифференциального исчисления. Темы включают действительные числа, свойство наименьшей верхней границы, пределы, непрерывность, дифференцируемость и приложения.
Система оценок: A–F (традиционная)
Описание курса: Тщательное и подробное рассмотрение интегрального исчисления. Темы включают основную теорему исчисления, приложения интегрирования, логарифмы и экспоненты, многочлены Тейлора, последовательности, ряды и равномерную сходимость.
Градация…
Расчет функций двух и трех переменных: параметрические кривые, производные, градиент, множители Лагранжа.
Множественное интегрирование, площадь, объем, полярные, цилиндрические и сферические координаты. Линейные интегралы и теорема Грина. Введение в поверхностные интегралы…
ID курса: CSCI(MATH) 2610. 4 часа. Название курса: Дискретная математика для информатики
Описание курса: Основные математические инструменты, используемые в информатике: множества, отношения и функции; логика высказываний, логика предикатов и индуктивная…
ID курса: МАТЕМАТИКА 2700. 3 часа. Название курса: Элементарные дифференциальные уравнения
Описание курса: Обыкновенные дифференциальные уравнения первого и второго порядка, включая физические и биологические приложения, численные решения и математические моделирование.
…
ID курса: MATH 3000.
3 часа.
Название курса: Введение в линейную алгебру
Описание курса: Теория и приложения систем линейных уравнений, векторных пространств и линейных преобразований. Основные понятия включают в себя: линейную независимость,…
Идентификатор курса: МАТЕМАТИКА 3100.
3 часа. Название курса: Последовательности и серии Описание курса: Точное определение концепций предела и сходимости; практические тесты на сходимость бесконечных рядов; представления степенных рядов и численные оценки погрешностей;…
Идентификатор курса: МАТЕМАТИКА 3200. 3 часа. Название курса: Введение в высшую математикуОписание курса: Подготовка к математическим рассуждениям и корректуре, необходимые для курсовой работы по математике в старших классах. Темы включают логику, целые числа и индукцию, множества и…
Описание курса: Стратегии и тактики решения сложных задач по математике для студентов. Методы будут продемонстрированы на примерах и упражнениях. (Не засчитывается для получения степени по математике.)
Система оценок: S/U (удовлетворительно/…
Описание курса: линейная алгебра с прикладной и вычислительной точек зрения. Линейные уравнения, векторные пространства, линейные преобразования; линейная независимость, базис, размерность; ортогональность, проекции и решения методом наименьших квадратов.
; собственные значения, собственные векторы,…
Описание курса: Векторная алгебра и геометрия, основные понятия линейной алгебры, линейные преобразования, дифференциальное исчисление функций многих переменных, решения линейных систем и линейная независимость, экстремальные задачи и проекции.Это…
Векторная алгебра и геометрия, основные понятия линейной алгебры, линейные преобразования, дифференциальное исчисление функций многих переменных, решения линейных систем и линейная независимость, экстремальные задачи и проекции. Этот курс и его продолжение…
Теорема об обратной функции и многообразия, интегрирование по многим переменным, теорема о замене переменных. Дифференциальные формы, линейные интегралы, поверхностные интегралы и теорема Стокса; приложения к физике. Собственные значения, собственные векторы, спектральная теорема и…
Теорема об обратной функции и многообразия, интегрирование по нескольким переменным, теорема о замене переменных. Дифференциальные формы, линейные интегралы, поверхностные интегралы и теорема Стокса; приложения к физике.
Собственные значения, собственные векторы, спектральная теорема и…
Абстрактная алгебра с упором на геометрическую мотивацию и приложения. Начав с тщательного изучения целых чисел, модульной арифметики и алгоритма Евклида, курс переходит к полям, изометриям комплексной плоскости, полиномам, разделяющим полям, кольцам… 93, теория Галуа, а также аффинная и проективная геометрия.
Ортогональные и унитарные группы, спектральная теорема; бесконечномерные векторные пространства; Жордан и рациональные канонические формы и приложения.
Линейная алгебра, группы, кольца и модули, промежуточный уровень между современной алгеброй и геометрией II и алгеброй. Темы включают конечномерную спектральную теорему, групповые действия, классификацию конечно порожденных модулей над областями главных идеалов и…
Метрические пространства и непрерывность; дифференцируемые и интегрируемые функции одной переменной; последовательности и ряды функций.
Интеграл Лебега с приложениями к анализу Фурье и вероятности.
Производная как линейное отображение, теоремы об обратной и неявной функциях, замена переменных в кратных интегралах; многообразия, дифференциальные формы и обобщенная теорема Стокса.
Дифференциальное и интегральное исчисление функций комплексного переменного с приложениями. Темы включают интегральную формулу Коши, степенные ряды и ряды Лорана, а также теорему о вычетах.
Топологические пространства, непрерывность; связность, компактность; аксиомы разделения и теорема расширения Титце; функциональные пространства.
Многообразия в евклидовом пространстве: основные идеи трансверсальности, гомотопии и теории пересечений; дифференциальные формы, теорема Стокса, когомологии де Рама и теория степеней.
Геометрия кривых и поверхностей в евклидовом пространстве: формулы Френе для кривых, понятия кривизны поверхностей; Теорема Гаусса-Бонне; обсуждение неевклидовой геометрии.
Многочлены и результанты, проективные пространства.
В центре внимания — плоские алгебраические кривые: пересечение, теорема Безу, линейные системы, рациональные кривые, особенности, раздутие.
Не предлагается на постоянной основе.
Теорема Эйлера, криптология с открытым ключом, псевдопростые числа, мультипликативные функции, первообразные корни, квадратичная взаимность, цепные дроби, суммы двух квадратов и гауссовские целые числа.
Не предлагается на постоянной основе.
Распознавание простых чисел, факторизация составных чисел, конечные поля, эллиптические кривые, дискретные логарифмы, криптология с закрытым ключом, системы обмена ключами, аутентификация подписи, криптология с открытым ключом.
Методы нахождения приближенных численных решений различных математических задач с тщательным анализом ошибок. Пакет математического программного обеспечения будет использоваться для реализации итерационных методов для нелинейных уравнений, полиномиальной интерполяции, интегрирования…
Численные решения обыкновенных уравнений и уравнений в частных производных, многомерный метод Ньютона и сплайны.
Дискретные и непрерывные случайные величины, математическое ожидание, независимость и условная вероятность; биномиальное, бернуллиевское, нормальное и пуассоновское распределения; Закон больших чисел и центральная предельная теорема.
Основные принципы подсчета: перестановки, комбинации, вероятность, проблемы занятости и биномиальные коэффициенты. Более сложные методы включают производящие функции, рекуррентные соотношения, принцип включения/исключения и принцип классификации. Дополнительные…
Основные принципы подсчета: перестановки, комбинации, вероятность, проблемы занятости и биномиальные коэффициенты. Более сложные методы включают производящие функции, рекуррентные соотношения, принцип включения/исключения и принцип классификации. Дополнительно…
Элементарная теория графов и орграфов. Темы включают связность, реконструкцию, деревья, проблему Эйлера, гамильтонность, сетевые потоки, планарность, раскраску узлов и ребер, турниры, сопоставления и экстремальные графы.
Ряд алгоритмов и приложений…
Элементарная теория графов и орграфов. Темы включают связность, реконструкцию, деревья, проблему Эйлера, гамильтонность, сетевые потоки, планарность, раскраску узлов и ребер, турниры, сопоставления и экстремальные графы. Ряд алгоритмов и приложений…
Методы преобразования, линейные и нелинейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений, устойчивость и хаос.
Основные дифференциальные уравнения в частных производных математической физики: уравнение Лапласа, волновое уравнение и уравнение теплопроводности. Представлены методы разделения переменных и рядов Фурье.
Основные математические модели, описывающие физические, химические и биологические взаимодействия, влияющие на климат. Математические и вычислительные инструменты для анализа этих моделей.
Основные математические модели, описывающие физические, химические и биологические взаимодействия, влияющие на климат. Математические и вычислительные инструменты для анализа этих моделей.
Основы наиболее часто используемых преобразований в математике, естественных науках и технике. Разложения по собственным векторам, преобразования Фурье, разложения по сингулярным числам и преобразование Радона с упором на математическую структуру и приложения.
Этот курс предназначен для студентов старших курсов (математических, музыкальных и других), интересующихся математическими аспектами музыки. Обязательным условием является хотя бы некоторое знакомство с нотной грамотой. Темы для обсуждения включают структуру звука,…
Математические модели в биологических науках, системы, фазовый анализ, диффузию, конвективный перенос, бифуркационный анализ. Возможные приложения будут включать популяционные модели, модели инфекционных заболеваний и эпидемий, приобретенный иммунитет и распределение лекарств…
Математические модели в биологических науках, системы, фазовый анализ, диффузия, конвективный перенос, бифуркационный анализ. Возможные области применения будут включать популяционные модели, модели инфекционных заболеваний и эпидемий, приобретенный иммунитет и распространение лекарств.
..
Облигации, фондовые рынки, деривативы, арбитраж и модели биномиального дерева для акций и опционов, формула Блэка-Шоулза для ценообразования опционов, хеджирование. Будут внедрены вычислительные методы.
Развитие математической мысли с древних времен до наших дней с особым вниманием к контексту современной учебной программы по математике.
Не предлагается на постоянной основе.
Специальная тема, не представленная в учебной программе по математике.
Не предлагается на постоянной основе.
Исследования в области математики под руководством преподавателя кафедры математики. Требуется окончательный отчет.
1-3 кредитных часа. Повторяется в течение максимум 6 часов кредита. Лаборатория 2-6 часов в неделю.
Нетрадиционный формат: Встреча студентов с преподавателями…
Темы по математике для будущих учителей начальных классов. Решение проблем. Системы счисления: целые числа, целые числа, рациональные числа (дроби) и действительные числа (десятичные), а также отношения между этими системами.
Понимание умножения и…
Углубленный экзамен по математическим темам, предназначенный для будущих учителей начальной школы. Длина, площадь и объем. Геометрические фигуры и их свойства. Вероятность. Элементарная теория чисел. Приложения элементарной математики.
Глубокое изучение тем по математике, имеющих отношение к обучению в начальной школе. Вероятность, теория чисел, алгебра и функции, включая отношения и пропорции. Постановка и модификация задач.
Арифметические операции для учителей средней школы; системы счисления; теория множеств для изучения отображений, функций и отношений эквивалентности.
Основы геометрии и измерения для учителей средней школы.
Усовершенствованная элементарная геометрия для будущих учителей математики средней школы: системы аксиом и модели; постулат параллельности; нейтральная, евклидова и неевклидова геометрия.
Дальнейшее развитие аксиом и моделей евклидовой и неевклидовой геометрии; геометрия трансформации.
Часто включает сложные темы по геометрии.
Темы по математике, предназначенные для будущих учителей начальной школы. Решение проблем. Системы счисления: целые числа, целые числа, рациональные числа (дроби) и действительные числа (десятичные), а также отношения между этими системами. Понимание умножения и…
Углубленный экзамен по математическим темам, предназначенный для будущих учителей начальной школы. Длина, площадь и объем. Геометрические фигуры и их свойства. Вероятность. Элементарная теория чисел. Приложения элементарной математики.
Глубокое изучение тем по математике, имеющих отношение к обучению в начальной школе. Вероятность, теория чисел, алгебра и функции, включая отношения и пропорции. Постановка и модификация задач.
Арифметические операции для учителей средней школы; системы счисления; теория множеств для изучения отображений, функций и отношений эквивалентности.
Основы геометрии и измерения для учителей средней школы.
Усовершенствованная элементарная геометрия для будущих учителей математики средней школы: системы аксиом и модели; постулат параллельности; нейтральная, евклидова и неевклидова геометрия.
Дальнейшее развитие аксиом и моделей евклидовой и неевклидовой геометрии; геометрия трансформации. Часто включает сложные темы по геометрии.
Как стать лучше в математике (затрачивая меньше времени на учебу)
Несмотря на все исследования, доказывающие, что математики стали , а не родились, я не виню вас за то, что вы думаете, будто вы просто плохи в математике, потому что математика чертовски трудна .
Чтобы построить свой математический «дом», вы должны убедиться, что каждый фрагмент знаний подходит идеально, чтобы вы могли строить поверх него, не опасаясь, что позже все это рухнет.
И если вы промедлите хотя бы с одной фундаментальной темой, ваши знания рухнут перед лицом скрежещущих ночей над наборами задач и учащенного сердцебиения на важном экзамене.
Итак, вопрос о деньгах таков: Как улучшить математику?
Чтобы стать лучше в математике, вам нужно решать все более сложные математические задачи, используя стратегию, которую психолог Андерс Эрикссон называет преднамеренной практикой в своей книге Пик: секреты новой науки экспертизы .
Он определяет это как «целенаправленную практику, которая знает, куда она идет и как туда добраться».
Это означает, что вы должны намеренно находить проблемы, которые ставят вас в тупик, и работать над ними. И если проблема слишком сложна, сначала найдите более легкую для решения.
Это один из самых важных первых принципов, который нужно помнить при изучении математики. В этом посте я поделюсь некоторыми советами о том, как вы можете это сделать.
Совет № 1: разбивайте сложные проблемы на более простые
«Если вы не можете решить проблему, то есть более простая проблема, которую вы можете решить: найти ее».
— Джордж Полиа , Как решить
Чтобы разобраться в сути каждой проблемы, вы должны определить концепции, выделить их и попрактиковаться. Возьмем, к примеру, эту задачу на суммирование:
Это относительно простая задача, которую должен решить старшеклассник. Но есть часть уравнения, которая все усложняет:
Для решения задачи требуется знание суммирования и дробных показателей.
Итак, прежде чем погрузиться в задачу, вы должны сначала убедиться, что понимаете суммирование и дробные показатели степени сами по себе.
Например, вы можете убрать дробный показатель и решить исходную задачу без него:
В результате вы получите следующее решение:
Затем вы можете взять дробную степень в задаче и поработать над ее освоением:
И понять, что решить ее самостоятельно не так уж сложно:
После того, как вы Если вы разобрались с этими двумя понятиями сами по себе, то вы можете сложить их вместе, чтобы решить исходное уравнение.
Посмотрите, как они сочетаются друг с другом:
Поздравляем! Теперь вы нашли решение:
Совет № 2: Используйте простые цифры
Если вы еще раз посмотрите на мой пример, то заметите, что в нем используются простые числа и низкий предел:
.- Простые цифры означают, что мне не нужен калькулятор для выполнения операций
- Низкий предел означает, что я не буду утомлять свой мозг повторяющейся операцией, которую я уже умею делать
Точно так же, когда вы учитесь, сначала работайте над задачами с простыми числами. Вместо сложности задачи работа с задачами, которые имеют небольшие целые числа, позволяет сосредоточиться на концепциях и принципах.
Совет № 3: ознакомьтесь с основными понятиями
Однако иногда ваше понимание проблемы слишком шатко. (Хорошо, давайте будем честными: это большую часть времени.)
В таком случае пора порыться в учебнике и просмотреть свои заметки с урока. (Я предполагаю, что вы делаете заметки A+.
Если нет, узнайте, как делать заметки лучше, здесь.)
Если вы все еще не поняли, есть много видео на YouTube и статей с пояснениями, которые помогут вам. Часто в них есть пошаговые решения, которые показывают, как другие люди приходят к своим ответам:
Наконец, обратитесь за помощью к профессору или учителю. Эрикссон говорит: «Хороший учитель математики… будет смотреть не только на решение задачи; он будет смотреть на то, как именно ученик получил ответ, чтобы понять, какие ментальные репрезентации он использовал. Если нужно, он даст совет, как эффективнее думать о проблеме».
Квалифицированные учителя часто могут перефразировать или переформулировать понятия. Иногда все, что нужно, — это немного другой выбор слов, чтобы сложная концепция встала на свое место.
Совет № 4. Получите пошаговые инструкции в онлайн-инструменте
Иногда бывает полезно увидеть пошаговое решение проблемы, над которой вы работаете, если вы сначала пытаетесь понять ее самостоятельно.
Есть три отличных инструмента для решения проблем, с которыми вы сталкиваетесь:
- Вольфрам Альфа
- Символаб
- Исследование Чегга
Wolfram Alpha — это инструмент, который может решить практически любую математическую задачу, а также предоставить вам подробные решения (хотя вам понадобится премиум-версия, чтобы увидеть все шаги):
Напротив, хотя пользовательский интерфейс Symbolab более громоздкий и менее интуитивный, его пошаговые решения бесплатны:
Наконец, если вам нужны решения конкретных задач в вашем учебнике, вы можете проверить Chegg Study. Он покажет вам пошаговые решения всех задач из учебника, который используется в вашем классе по математике:
Независимо от того, что вы выберете, убедитесь, что после этого вы сами решаете задачи, не глядя на решения.
Это поможет вам избежать того, что Джеффри Карпик, исследователь, специализирующийся на стратегиях обучения студентов, называет иллюзией компетентности .
Это когда вы чувствуете, что понимаете концепцию, потому что прочитали абзац несколько раз и можете быстрее обработать его
Вместо того, чтобы перечитывать, Карпик обнаружил, что попытка извлечения информации из памяти является наиболее эффективной формой обучения. Он выступал за такие методы, как метод Фейнмана, чтобы помочь вам вспомнить и запомнить концепции глубоко.
Точно так же честно спросите себя: Довел ли я свой мозг до предела, пытаясь сначала решить эту проблему? Если у вас есть, но вы все равно не можете его получить, можно поискать ответ. Но после этого бросьте себе вызов вернуться назад и решить проблему, не заглядывая в свои заметки и ссылки.
Опять же, весь смысл математики заключается в том, чтобы освоить концепции, с которыми вы работаете, чтобы вы могли строить на их основе, а не только выполнять домашнее задание.
Совет № 5: не торопитесь с домашним заданием
«Простое понимание того, как была решена проблема, не обязательно создает кусок, который вы можете легко вспомнить позже.
не путают «ага!» прорыва в понимании с солидным опытом!» – Барбара Окли
Очень заманчиво решить домашние задания как можно быстрее, чтобы вы могли вернуться к игре Civilization VI или The Witcher 3 .
Но технические предметы, такие как математика и естественные науки, требуют, чтобы вы не торопились.
Для начала, в книге профессора инженерии Барбары Окли «Разум для чисел » Окли предлагает применять интервальных повторения . Вместо того, чтобы проводить долгие часы в библиотеке, она советует более короткие и частые учебные занятия, которые растягиваются на недели, а не дни.
Этот вид медленного, преднамеренного обучения позволяет вашему мозгу получить четкое представление о каждой концепции и, что более важно, о связях между ними.
Чтобы по-настоящему овладеть своими инструментами, вам нужно научиться приспосабливать их к различным ситуациям.
Точно так же, чтобы действительно сказать, что вы освоили часть математики, вам нужно видеть сквозь проблемы и знать, какую формулу или процесс использовать в мгновение ока.