Преобразование рациональных выражений: виды преобразований, примеры
Статья рассказывает о преобразовании рациональных выражений. Рассмотрим виды рациональных выражений, их преобразования, группировки, вынесения за скобки общего множителя. Научимся представлять дробные рациональные выражения в виде рациональных дробей.
Определение и примеры рациональных выражений
Определение 1Выражения, которые составлены из чисел, переменных, скобок, степеней с действиями сложения, вычитания, умножения, деления с наличием черты дроби, называют рациональными выражениями.
Для примера имеем, что 5, 23·x-5, -3·a·b3-1c2+4a2+b21+a:(1-b), (x+1)·(y-2)x5-5·x·y·2-111·x3.
То есть это такие выражения, которые не имеют деления на выражения с переменными. Изучение рациональных выражений начинается с 8 класса, где их называют дробными рациональными выражениями. Особое внимание уделяют дробям в числителе, которые преобразовывают с помощью правил преобразования.
Это позволяет переходить к преобразованию рациональных дробей произвольного вида. Такое выражение может быть рассмотрено как выражение с наличием рациональных дробей и целых выражений со знаками действий.
Основные виды преобразований рациональных выражений
Рациональные выражения используются для того, чтобы выполнять тождественные преобразования, группировки, приведение подобных, выполнение других действий с числами. Цель таких выражений – это упрощение.
Преобразовать рациональное выражение 3·xx·y-1-2·xx·y-1.
Решение
Видно, что такое рациональное выражение – это разность 3·xx·y-1 и 2·xx·y-1. Замечаем, что знаменатель у них идентичный. Это значит, что приведение подобных слагаемых примет вид
3·xx·y-1-2·xx·y-1=xx·y-1·3-2=xx·y-1
Ответ: 3·xx·y-1-2·xx·y-1=xx·y-1.
Пример 2Выполнить преобразование 2·x·y4·(-4)·x2:(3·x-x).
Решение
Первоначально выполняем действия в скобках 3·x−x=2·x. Данное выражение представляем в виде 2·x·y4·(-4)·x2:(3·x-x)=2·x·y4·(-4)·x2:2·x. Мы приходим к выражению, которое содержит действия с одной ступенью, то есть имеет сложение и вычитание.
Избавляемя от скобок при помощи применения свойства деления. Тогда получаем, что 2·x·y4·(-4)·x2:2·x=2·x·y4·(-4)·x2:2:x.
Группируем числовые множители с переменной x, после этого можно выполнять действия со степенями. Получаем, что
2·x·y4·(-4)·x2:2:x=(2·(-4):2)·(x·x2:x)·y4=-4·x2·y4
Ответ: 2·x·y4·(-4)·x2:(3·x-x)=-4·x2·y4.
Пример 3Преобразовать выражение вида x·(x+3)-(3·x+1)12·x·4+2.
Решение
Для начала преобразовываем числитель и знаменатель. Тогда получаем выражение вида (x·(x+3)-(3·x+1)):12·x·4+2, причем действия в скобках делают в первую очередь. В числителе выполняются действия и группируются множители. После чего получаем выражение вида x·(x+3)-(3·x+1)12·x·4+2=x2+3·x-3·x-112·4·x+2=x2-12·x+2.
Преобразуем в числителе формулу разности квадратов, тогда получаем, что
x2-12·x+2=(x-1)·(x+1)2·(x+1)=x-12
Ответ: x·(x+3)-(3·x+1)12·x·4+2=x-12.
Представление в виде рациональной дроби
Алгебраическая дробь чаще всего подвергается упрощению при решении.
Представить в виде рациональной дроби a+5a·(a-3)-a2-25a+3·1a2+5·a.
Решение
Данное выражение можно представить в виде a2-25a+3·1a2+5·a. Умножение выполняется в первую очередь по правилам.
Следует начать с умножения, тогда получим, что
a2-25a+3·1a2+5·a=a-5·(a+5)a+3·1a·(a+5)=a-5·(a+5)·1(a+3)·a·(a+5)=a-5(a+3)·a
Производим представление полученного результата с исходное. Получим, что
a+5a·(a-3)-a2-25a+3·1a2+5·a=a+5a·a-3-a-5a+3·a
Теперь выполняем вычитание:
a+5a·a-3-a-5a+3·a=a+5·a+3a·(a-3)·(a+3)-(a-5)·(a-3)(a+3)·a·(a-3)==a+5·a+3-(a-5)·(a-3)a·(a-3)·(a+3)=a2+3·a+5·a+15-(a2-3·a-5·a+15)a·(a-3)·(a+3)==16·aa·(a-3)·(a+3)=16a-3·(a+3)=16a2-9
После чего очевидно, что исходное выражение примет вид 16a2-9.
Ответ: a+5a·(a-3)-a2-25a+3·1a2+5·a=16a2-9.
Представить xx+1+12·x-11+x в виде рациональной дроби.
Решение
Заданное выражение записывается как дробь, в числителе которой имеется xx+1+1, а в знаменателе 2·x-11+x. Необходимо произвести преобразования xx+1+1. Для этого нужно выполнить сложение дроби и числа. Получаем, что xx+1+1=xx+1+11=xx+1+1·(x+1)1·(x+1)=xx+1+x+1x+1=x+x+1x+1=2·x+1x+1
Следует, что xx+1+12·x-11+x=2·x+1x+12·x-11+x
Получившаяся дробь может быть записана как 2·x+1x+1:2·x-11+x.
После деления придем к рациональной дроби вида
2·x+1x+1:2·x-11+x=2·x+1x+1·1+x2·x-1=2·x+1·(1+x)(x+1)·(2·x-1)=2·x+12·x-1
Можно решить это иначе.
Вместо деления на 2·x-11+x производим умножение на обратную ей 1+x2·x-1. Применим распределительное свойство и получаем, что
xx+1+12·x-11+x=xx+1+1:2·x-11+x=xx+1+1·1+x2·x-1==xx+1·1+x2·x-1+1·1+x2·x-1=x·1+x(x+1)·2·x-1+1+x2·x-1==x2·x-1+1+x2·x-1=x+1+x2·x-1=2·x+12·x-1
Ответ: xx+1+12·x-11+x=2·x+12·x-1.
Решение задач
от 1 дня / от 150 р. Курсовая работа
от 5 дней / от 1800 р.
Реферат
от 1 дня / от 700 р.
Автор: Ирина Мальцевская
Преподаватель математики и информатики.
Преобразование рациональных выражений, урок в 8 классе,
Дата публикации: .
Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания. Все материалы проверены антивирусной программой.
Скачать:Преобразование рациональных выражений (PPTX)
Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине «Интеграл» для 8 класса
Пособие к учебнику Муравина Г.К.
Пособие к учебнику Макарычева Ю.Н.
Понятие о рациональном выражении
Понятие «рациональное выражение» схоже с понятием «рациональная дробь». Выражение также представляется в виде дроби. Только в числители у нас – не числа, а различного рода выражения. Чаще всего этого многочлены. Алгебраическая дробь – дробное выражение, состоящее из чисел и переменных.
При решении многих задач в младших классах после выполнения арифметических операций мы получали конкретные числовые значения, чаще всего дроби. Теперь после выполнения операций мы будем получать алгебраические дроби. Ребята, помните: чтобы получить правильный ответ, необходимо максимально упростить выражение, с которым вы работаете. Надо получить самую маленькую степень, какую возможно; одинаковые выражения в числители и знаменатели стоит сократить; с выражениями, которые можно свернуть, надо так и поступить. То есть после выполнения ряда действий мы должны получить максимально простую алгебраическую дробь.
Порядок действий с рациональными выражениями
Порядок действий при выполнении операций с рациональными выражениями такой же, как и при арифметических операциях. Сначала выполняются действия в скобках, потом – умножение и деление, возведение в степень и наконец – сложение и вычитание.
Преобразование выражений. Подробная теория (2020)
На данном уроке будут рассмотрены основные сведения о рациональных выражениях и их преобразованиях, а также примеры преобразования рациональных выражений. Данная тема как бы обобщает изученные нами до этого темы. Преобразования рациональных выражений подразумевают сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень алгебраических дробей, сокращение, разложение на множители и т. п. В рамках урока мы рассмотрим, что такое рациональное выражение, а также разберём примеры на их преобразование.
Тема: Алгебраические дроби. Арифметические операции над алгебраическими дробями
Урок: Основные сведения о рациональных выражениях и их преобразованиях
Определение
Рациональное выражение — это выражение, состоящее из чисел, переменных, арифметических операций и операции возведения в степень.
Рассмотрим пример рационального выражения:
Частные случаи рациональных выражений:
1. степень: ;
2. одночлен: ;
3. дробь: .
Преобразование рационального выражения — это упрощение рационального выражения. Порядок действий при преобразовании рациональных выражений: сначала идут действия в скобках, затем операции умножения (деления), а затем уже операции сложения (вычитания).
Рассмотрим несколько примеров на преобразование рациональных выражений.
Пример 1
Решение:
Решим данный пример по действиям. Первым выполняется действие в скобках.
Ответ:
Пример 2
Решение:
Ответ:
Пример 3
Решение:
Ответ: .
Примечание: возможно, у вас при виде данного примера возникла идея: сократить дробь перед тем, как приводить к общему знаменателю. Действительно, она является абсолютно правильной: сначала желательно максимально упростить выражение, а затем уже его преобразовывать. Попробуем решить этот же пример вторым способом.
Как видим, ответ получился абсолютно аналогичным, а вот решение оказалось несколько более простым.
На данном уроке мы рассмотрели рациональные выражения и их преобразования , а также несколько конкретных примеров данных преобразований.
Список литературы
1. Башмаков М.И. Алгебра 8 класс. — М.: Просвещение, 2004.
2. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. — 5-е изд. — М.: Просвещение, 2010.
Статья рассказывает о преобразовании рациональных выражений. Рассмотрим виды рациональных выражений, их преобразования, группировки, вынесения за скобки общего множителя. Научимся представлять дробные рациональные выражения в виде рациональных дробей.
Определение и примеры рациональных выражений
Определение 1
Выражения, которые составлены из чисел, переменных, скобок, степеней с действиями сложения, вычитания, умножения, деления с наличием черты дроби, называют рациональными выражениями.
Для примера имеем, что 5 , 2 3 · x — 5 , — 3 · a · b 3 — 1 c 2 + 4 a 2 + b 2 1 + a: (1 — b) , (x + 1) · (y — 2) x 5 — 5 · x · y · 2 — 1 11 · x 3 .
То есть это такие выражения, которые не имеют деления на выражения с переменными. Изучение рациональных выражений начинается с 8 класса, где их называют дробными рациональными выражениями.Особое внимание уделяют дробям в числителе, которые преобразовывают с помощью правил преобразования.
Это позволяет переходить к преобразованию рациональных дробей произвольного вида. Такое выражение может быть рассмотрено как выражение с наличием рациональных дробей и целых выражений со знаками действий.
Основные виды преобразований рациональных выражений
Рациональные выражения используются для того, чтобы выполнять тождественные преобразования, группировки, приведение подобных, выполнение других действий с числами. Цель таких выражений – это упрощение.
Пример 1
Преобразовать рациональное выражение 3 · x x · y — 1 — 2 · x x · y — 1 .
Решение
Видно, что такое рациональное выражение – это разность 3 · x x · y — 1 и 2 · x x · y — 1 . Замечаем, что знаменатель у них идентичный. Это значит, что приведение подобных слагаемых примет вид
3 · x x · y — 1 — 2 · x x · y — 1 = x x · y — 1 · 3 — 2 = x x · y — 1
Ответ: 3 · x x · y — 1 — 2 · x x · y — 1 = x x · y — 1 .
Пример 2
Выполнить преобразование 2 · x · y 4 · (- 4) · x 2: (3 · x — x) .
Решение
Первоначально выполняем действия в скобках 3 · x − x = 2 · x . Данное выражение представляем в виде 2 · x · y 4 · (- 4) · x 2: (3 · x — x) = 2 · x · y 4 · (- 4) · x 2: 2 · x . Мы приходим к выражению, которое содержит действия с одной ступенью, то есть имеет сложение и вычитание.
Избавляемя от скобок при помощи применения свойства деления. Тогда получаем, что 2 · x · y 4 · (- 4) · x 2: 2 · x = 2 · x · y 4 · (- 4) · x 2: 2: x .
Группируем числовые множители с переменной x , после этого можно выполнять действия со степенями. Получаем, что
2 · x · y 4 · (- 4) · x 2: 2: x = (2 · (- 4) : 2) · (x · x 2: x) · y 4 = — 4 · x 2 · y 4
Ответ: 2 · x · y 4 · (- 4) · x 2: (3 · x — x) = — 4 · x 2 · y 4 .
Пример 3
Преобразовать выражение вида x · (x + 3) — (3 · x + 1) 1 2 · x · 4 + 2 .
Решение
Для начала преобразовываем числитель и знаменатель. Тогда получаем выражение вида (x · (x + 3) — (3 · x + 1)) : 1 2 · x · 4 + 2 , причем действия в скобках делают в первую очередь. В числителе выполняются действия и группируются множители. После чего получаем выражение вида x · (x + 3) — (3 · x + 1) 1 2 · x · 4 + 2 = x 2 + 3 · x — 3 · x — 1 1 2 · 4 · x + 2 = x 2 — 1 2 · x + 2 .
Преобразуем в числителе формулу разности квадратов, тогда получаем, что
x 2 — 1 2 · x + 2 = (x — 1) · (x + 1) 2 · (x + 1) = x — 1 2
Ответ : x · (x + 3) — (3 · x + 1) 1 2 · x · 4 + 2 = x — 1 2 .
Представление в виде рациональной дроби
Алгебраическая дробь чаще всего подвергается упрощению при решении. Каждое рациональное приводится к этому разными способами. Необходимо выполнить все необходимые действия с многочленами для того, чтобы рациональное выражение в итоге смогло дать рациональную дробь.
Пример 4
Представить в виде рациональной дроби a + 5 a · (a — 3) — a 2 — 25 a + 3 · 1 a 2 + 5 · a .
Решение
Данное выражение можно представить в виде a 2 — 25 a + 3 · 1 a 2 + 5 · a . Умножение выполняется в первую очередь по правилам.
Следует начать с умножения, тогда получим, что
a 2 — 25 a + 3 · 1 a 2 + 5 · a = a — 5 · (a + 5) a + 3 · 1 a · (a + 5) = a — 5 · (a + 5) · 1 (a + 3) · a · (a + 5) = a — 5 (a + 3) · a
Производим представление полученного результата с исходное. Получим, что
a + 5 a · (a — 3) — a 2 — 25 a + 3 · 1 a 2 + 5 · a = a + 5 a · a — 3 — a — 5 a + 3 · a
Теперь выполняем вычитание:
a + 5 a · a — 3 — a — 5 a + 3 · a = a + 5 · a + 3 a · (a — 3) · (a + 3) — (a — 5) · (a — 3) (a + 3) · a · (a — 3) = = a + 5 · a + 3 — (a — 5) · (a — 3) a · (a — 3) · (a + 3) = a 2 + 3 · a + 5 · a + 15 — (a 2 — 3 · a — 5 · a + 15) a · (a — 3) · (a + 3) = = 16 · a a · (a — 3) · (a + 3) = 16 a — 3 · (a + 3) = 16 a 2 — 9
После чего очевидно, что исходное выражение примет вид 16 a 2 — 9 .
Ответ: a + 5 a · (a — 3) — a 2 — 25 a + 3 · 1 a 2 + 5 · a = 16 a 2 — 9 .
Пример 5
Представить x x + 1 + 1 2 · x — 1 1 + x в виде рациональной дроби.
Решение
Заданное выражение записывается как дробь, в числителе которой имеется x x + 1 + 1 , а в знаменателе 2 · x — 1 1 + x . Необходимо произвести преобразования x x + 1 + 1 . Для этого нужно выполнить сложение дроби и числа. Получаем, что x x + 1 + 1 = x x + 1 + 1 1 = x x + 1 + 1 · (x + 1) 1 · (x + 1) = x x + 1 + x + 1 x + 1 = x + x + 1 x + 1 = 2 · x + 1 x + 1
Следует, что x x + 1 + 1 2 · x — 1 1 + x = 2 · x + 1 x + 1 2 · x — 1 1 + x
Получившаяся дробь может быть записана как 2 · x + 1 x + 1: 2 · x — 1 1 + x .
После деления придем к рациональной дроби вида
2 · x + 1 x + 1: 2 · x — 1 1 + x = 2 · x + 1 x + 1 · 1 + x 2 · x — 1 = 2 · x + 1 · (1 + x) (x + 1) · (2 · x — 1) = 2 · x + 1 2 · x — 1
Можно решить это иначе.
Вместо деления на 2 · x — 1 1 + x производим умножение на обратную ей 1 + x 2 · x — 1 . Применим распределительное свойство и получаем, что
x x + 1 + 1 2 · x — 1 1 + x = x x + 1 + 1: 2 · x — 1 1 + x = x x + 1 + 1 · 1 + x 2 · x — 1 = = x x + 1 · 1 + x 2 · x — 1 + 1 · 1 + x 2 · x — 1 = x · 1 + x (x + 1) · 2 · x — 1 + 1 + x 2 · x — 1 = = x 2 · x — 1 + 1 + x 2 · x — 1 = x + 1 + x 2 · x — 1 = 2 · x + 1 2 · x — 1
Ответ: x x + 1 + 1 2 · x — 1 1 + x = 2 · x + 1 2 · x — 1 .
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Эта статья посвящена преобразованию рациональных выражений , преимущественно дробно рациональных, – одному из ключевых вопросов курса алгебры для 8 классов. Сначала мы напомним, выражения какого вида называют рациональными. Дальше остановимся на проведении стандартных преобразований с рациональными выражениями, таких как группировка слагаемых, вынесение за скобки общих множителей, приведение подобных слагаемых и т.п. Наконец, научимся представлять дробные рациональные выражения в виде рациональных дробей.
Навигация по странице.
Определение и примеры рациональных выражений
Рациональные выражения являются одним из видов выражений , изучаемых на уроках алгебры в школе. Дадим определение.
Определение.
Выражения, составленные из чисел, переменных, скобок, степеней с целыми показателями, соединенных с помощью знаков арифметических действий +, −, · и:, где деление может быть обозначено чертой дроби, называются рациональными выражениями .
Приведем несколько примеров рациональных выражений: .
Рациональные выражения начинают целенаправленно изучаться в 7 классе. Причем в 7 классе познаются основы работы с так называемыми целыми рациональными выражениями , то есть, с рациональными выражениями, которые не содержат деления на выражения с переменными. Для этого последовательно изучаются одночлены и многочлены , а также принципы выполнения действий с ними. Эти все знания в итоге позволяют выполнять преобразование целых выражений .
В 8 классе переходят к изучению рациональных выражений, содержащих деление на выражение с переменными, которые называют дробными рациональными выражениями . При этом особое внимание уделяется так называемым рациональным дробям (их также называют алгебраическими дробями ), то есть дробям, в числителе и знаменателе которых находятся многочлены. Это в итоге дает возможность выполнять преобразование рациональных дробей .
Полученные навыки позволяют перейти к преобразованию рациональных выражений произвольного вида. Это объясняется тем, что любое рациональное выражение можно рассматривать как выражение, составленное из рациональных дробей и целых выражений, соединенных знаками арифметических действий. А работать с целыми выражениями и алгебраическими дробями мы уже умеем.
Основные виды преобразований рациональных выражений
С рациональными выражениями можно проводить любые из основных тождественных преобразований , будь то группировка слагаемых или множителей, приведение подобных слагаемых, выполнение действий с числами и т.п. Обычно целью выполнения этих преобразований является упрощение рационального выражения .
Пример.
.
Решение.
Понятно, что данное рациональное выражение представляет собой разность двух выражений и , причем данные выражения являются подобными, так как имеют одинаковую буквенную часть. Таким образом, мы можем выполнить приведение подобных слагаемых :
Ответ:
.
Понятно, что при проведении преобразований с рациональными выражениями, как, впрочем, и с любыми другими выражениями, нужно оставаться в рамках принятого порядка выполнения действий .
Пример.
Выполните преобразование рационального выражения .
Решение.
Мы знаем, что сначала выполняются действия в скобках. Поэтому в первую очередь преобразуем выражение в скобках: 3·x−x=2·x .
Теперь можно подставить полученный результат в исходное рациональное выражение: . Так мы пришли к выражению, содержащему действия одной ступени – сложение и умножение.
Избавимся от скобок в конце выражения, применив свойство деления на произведение: .
Наконец, мы можем сгруппировать числовые множители и множители с переменной x, после чего выполнить соответствующие действия с числами и применить : .
На этом преобразование рационального выражения завершено, и в результате мы получили одночлен.
Ответ:
Пример.
Преобразуйте рациональное выражение .
Решение.
Сначала преобразуем числитель и знаменатель. Такой порядок преобразования дробей объясняется тем, что черта дроби по своей сути есть другое обозначение деления, и исходное рациональное выражение по сути есть частное вида , а действия в скобках выполняются в первую очередь.
Итак, в числителе выполняем действия с многочленами, сначала умножение, затем – вычитание, а в знаменателе сгруппируем числовые множители, и вычислим их произведение: .
Еще представим числитель и знаменатель полученной дроби в виде произведения: вдруг возможно сокращение алгебраической дроби . Для этого в числителе воспользуемся формулой разности квадратов , а в знаменателе вынесем двойку за скобки, имеем .
Ответ:
.
Итак, начальное знакомство с преобразованием рациональных выражений можно считать состоявшимся. Переходим, так сказать, к самому сладкому.
Представление в виде рациональной дроби
Наиболее часто конечной целью преобразования выражений является упрощение их вида. В этом свете самым простым видом, к которому можно преобразовать дробно рациональное выражение, является рациональная (алгебраическая) дробь, и в частном случае многочлен, одночлен или число.
А любое ли рациональное выражение возможно представить в виде рациональной дроби? Ответ утвердительный. Поясним, почему это так.
Как мы уже сказали, всякое рациональное выражение можно рассматривать как многочлены и рациональные дроби, соединенные знаками плюс, минус, умножить и разделить. Все соответствующие действия с многочленами дают многочлен или рациональную дробь. В свою очередь любой многочлен можно преобразовать в алгебраическую дробь, записав его со знаменателем 1
. А сложение, вычитание, умножение и деление рациональных дробей в результате дают новую рациональную дробь. Следовательно, выполнив все действия с многочленами и рациональными дробями в рациональном выражении, мы получим рациональную дробь.
Пример.
Представьте в виде рациональной дроби выражение .
Решение.
Исходное рациональное выражение представляет собой разность дроби и произведения дробей вида . Согласно порядку выполнения действий мы сначала должны выполнить умножение, а уже потом – сложение.
Начинаем с умножения алгебраических дробей :
Подставляем полученный результат в исходное рациональное выражение: .
Мы пришли к вычитанию алгебраических дробей с разными знаменателями:
Итак, выполнив действия с рациональными дробями, составляющими исходное рациональное выражение, мы его представили в виде рациональной дроби .
Ответ:
.
Для закрепления материала разберем решение еще одного примера.
Пример.
Представьте рациональное выражение в виде рациональной дроби.
Из курса алгебры школьной программы переходим к конкретике. В этой статье мы подробно изучим особый вид рациональных выражений – рациональные дроби , а также разберем, какие характерные тождественные преобразования рациональных дробей имеют место.
Сразу отметим, что рациональные дроби в том смысле, в котором мы их определим ниже, в некоторых учебниках алгебры называют алгебраическими дробями. То есть, в этой статье мы под рациональными и алгебраическими дробями будем понимать одно и то же.
По обыкновению начнем с определения и примеров. Дальше поговорим про приведение рациональной дроби к новому знаменателю и о перемене знаков у членов дроби. После этого разберем, как выполняется сокращение дробей. Наконец, остановимся на представлении рациональной дроби в виде суммы нескольких дробей. Всю информацию будем снабжать примерами с подробными описаниями решений.
Навигация по странице.
Определение и примеры рациональных дробей
Рациональные дроби изучаются на уроках алгебры в 8 классе. Мы будем использовать определение рациональной дроби, которое дается в учебнике алгебры для 8 классов Ю. Н. Макарычева и др.
В данном определении не уточняется, должны ли многочлены в числителе и знаменателе рациональной дроби быть многочленами стандартного вида или нет. Поэтому, будем считать, что в записях рациональных дробей могут содержаться как многочлены стандартного вида, так и не стандартного.
Приведем несколько примеров рациональных дробей . Так , x/8 и — рациональные дроби. А дроби и не подходят под озвученное определение рациональной дроби, так как в первой из них в числителе стоит не многочлен, а во второй и в числителе и в знаменателе находятся выражения, не являющиеся многочленами.
Преобразование числителя и знаменателя рациональной дроби
Числитель и знаменатель любой дроби представляют собой самодостаточные математические выражения, в случае рациональных дробей – это многочлены, в частном случае – одночлены и числа. Поэтому, с числителем и знаменателем рациональной дроби, как и с любым выражением, можно проводить тождественные преобразования. Иными словами, выражение в числителе рациональной дроби можно заменять тождественно равным ему выражением, как и знаменатель.
В числителе и знаменателе рациональной дроби можно выполнять тождественные преобразования . Например, в числителе можно провести группировку и приведение подобных слагаемых, а в знаменателе – произведение нескольких чисел заменить его значением. А так как числитель и знаменатель рациональной дроби есть многочлены, то с ними можно выполнять и характерные для многочленов преобразования, например, приведение к стандартному виду или представление в виде произведения.
Для наглядности рассмотрим решения нескольких примеров.
Пример.
Преобразуйте рациональную дробь так, чтобы в числителе оказался многочлен стандартного вида, а в знаменателе – произведение многочленов.
Решение.
Приведение рациональных дробей к новому знаменателю в основном применяется при сложении и вычитании рациональных дробей .
Изменение знаков перед дробью, а также в ее числителе и знаменателе
Основное свойство дроби можно использовать для смены знаков у членов дроби. Действительно, умножение числителя и знаменателя рациональной дроби на -1
равносильно смене их знаков, а в результате получится дробь, тождественно равная данной. К такому преобразованию приходится достаточно часто обращаться при работе с рациональными дробями.
Таким образом, если одновременно изменить знаки у числителя и знаменателя дроби, то получится дробь, равная исходной. Этому утверждению отвечает равенство .
Приведем пример. Рациональную дробь можно заменить тождественно равной ей дробью с измененными знаками числителя и знаменателя вида .
С дробями можно провести еще одно тождественное преобразование, при котором меняется знак либо в числителе, либо в знаменателе. Озвучим соответствующее правило. Если заменить знак дроби вместе со знаком числителя или знаменателя, то получится дробь, тождественно равная исходной. Записанному утверждению соответствуют равенства и .
Доказать эти равенства не составляет труда. В основе доказательства лежат свойства умножения чисел. Докажем первое из них: . С помощью аналогичных преобразований доказывается и равенство .
Например, дробь можно заменить выражением или .
В заключение этого пункта приведем еще два полезных равенства и . То есть, если изменить знак только у числителя или только у знаменателя, то дробь изменит свой знак. Например, и .
Рассмотренные преобразования, позволяющие изменять знак у членов дроби, часто применяются при преобразовании дробно рациональных выражений.
Сокращение рациональных дробей
В основе следующего преобразования рациональных дробей, имеющего название сокращение рациональных дробей, лежит все тоже основное свойство дроби. Этому преобразованию соответствует равенство , где a , b и c – некоторые многочлены, причем b и c — ненулевые.
Из приведенного равенства становится понятно, что сокращение рациональной дроби подразумевает избавление от общего множителя в ее числителе и знаменателе.
Пример.
Сократите рациональную дробь .
Решение.
Сразу виден общий множитель 2
, выполним сокращение на него (при записи общие множители, на которые сокращают, удобно зачеркивать). Имеем . Так как x 2 =x·x
и y 7 =y 3 ·y 4
(при необходимости смотрите ), то понятно, что x
является общим множителем числителя и знаменателя полученной дроби, как и y 3
. Проведем сокращение на эти множители: . На этом сокращение завершено.
Выше мы выполняли сокращение рациональной дроби последовательно. А можно было выполнить сокращение в один шаг, сразу сократив дробь на 2·x·y 3 . В этом случае решение выглядело бы так: .
Ответ:
.
При сокращении рациональных дробей основная проблема заключается в том, что общий множитель числителя и знаменателя далеко не всегда виден. Более того, он не всегда существует. Для того, чтобы найти общий множитель или убедиться в его отсутствии нужно числитель и знаменатель рациональной дроби разложить на множители. Если общего множителя нет, то исходная рациональная дробь не нуждается в сокращении, в противном случае – проводится сокращение.
В процессе сокращения рациональных дробей могут возникать различные нюансы. Основные тонкости на примерах и в деталях разобраны в статье сокращение алгебраических дробей .
Завершая разговор о сокращении рациональных дробей, отметим, что это преобразование является тождественным, а основная сложность в его проведении заключается в разложении на множители многочленов в числителе и знаменателе.
Представление рациональной дроби в виде суммы дробей
Достаточно специфическим, но в некоторых случаях очень полезным, оказывается преобразование рациональной дроби, заключающееся в ее представлении в виде суммы нескольких дробей, либо сумме целого выражения и дроби.
Рациональную дробь, в числителе которой находится многочлен, представляющий собой сумму нескольких одночленов, всегда можно записать как сумму дробей с одинаковыми знаменателями, в числителях которых находятся соответствующие одночлены. Например, . Такое представление объясняется правилом сложения и вычитания алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями .
Вообще, любую рациональную дробь можно представить в виде суммы дробей множеством различных способов. Например, дробь a/b
можно представить как сумму двух дробей – произвольной дроби c/d
и дроби, равной разности дробей a/b
и c/d
. Это утверждение справедливо, так как имеет место равенство . К примеру, рациональную дробь можно представить в виде суммы дробей различными способами:
Представим исходную дробь в виде суммы целого выражения и дроби. Выполнив деление числителя на знаменатель столбиком, мы получим равенство . Значение выражение n 3 +4
при любом целом n
является целым числом. А значение дроби является целым числом тогда и только тогда, когда ее знаменатель равен 1
, −1
, 3
или −3
. Этим значениям отвечают значения n=3
, n=1
, n=5
и n=−1
соответственно.
Ответ:
−1 , 1 , 3 , 5 .
Список литературы.
- Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. — 16-е изд. — М. : Просвещение, 2008. — 271 с. : ил. — ISBN 978-5-09-019243-9.
- Мордкович А. Г. Алгебра. 7 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович. — 13-е изд., испр. — М.: Мнемозина, 2009. — 160 с.: ил. ISBN 978-5-346-01198-9.
- Мордкович А. Г. Алгебра. 8 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович. — 11-е изд., стер.
— М.: Мнемозина, 2009. — 215 с.: ил. ISBN 978-5-346-01155-2.
- Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы): Учеб. пособие.- М.; Высш. шк., 1984.-351 с., ил.
Преобразование рациональных выражений
Рациональные выражения и дроби — краеугольный пункт всего курса алгебры. Те, кто научатся работать с такими выражениями, упрощать их и раскладывать на множители, по сути смогут решить любую задачу, поскольку преобразование выражений — неотъемлемая часть любого серьёзного уравнения, неравенства и даже текстовой задачи.
В этом видеоуроке мы посмотрим, как грамотно применять формулы сокращённого умножения для упрощения рациональных выражений и дробей. Научимся видеть эти формулы там, где, на первый взгляд, ничего нет. Заодно повторим такой нехитрый приём, как разложение квадратного трёхчлена на множители через дискриминант.