Преобразование выражений содержащих алгебраические дроби: Презентация по математике «Преобразование выражений, содержащих алгебраические дроби». (8 класс)

закрыть

Скопируйте этот код и вставьте его на своем сайте:

<div><strong><a href=»https://volna.org/algebra/prieobrazovaniie_ratsionalnykh_vyrazhienii.html» title=»Презентация «Преобразование рациональных выражений» — алгебра 8 класс» target=»_blank» &gtПрезентация «Преобразование рациональных выражений» — алгебра 8 класс</a></strong><iframe src=»https://volna.org/iframe/1073/» frameborder=»0″ marginwidth=»0″ marginheight=»0″ scrolling=»no» allowfullscreen></iframe></div>

Как объединить и упростить алгебраические дроби — Помощь с IGCSE GCSE Maths

Что такое недопустимая алгебраическая дробь.

Тема: Повторение алгебры за 8 класс

Урок: Алгебраические дроби

Во-первых, давайте вспомним, что такое алгебраические дроби. Алгебраическая дробь – это выражение вида , где – многочлены, — числитель, — знаменатель.

Так как являются многочленами, то необходимо иметь в виду стандартные операции, которые возможны с многочленами, а именно: приведение к стандартному виду, факторизация и приведение числителя и знаменателя.

Пример #1

Уменьшить дробь

Воспользуемся формулами сокращенного умножения квадрата суммы и разности квадратов.

Комментарии: сначала мы разложили дробь по формулам сокращенного умножения, а затем воспользовались одним из основных свойств дроби: и числитель, и знаменатель алгебраической дроби можно умножать или делить на один и тот же многочлен, в том числе число, не равное 0 Таким образом, получается, что мы разделили и числитель, и знаменатель на многочлен, поэтому обязательно нужно учесть, что этот многочлен не равен 0, т. е.

Пример #2

Из условия пока не ясно, какая связь между этими двумя функциями. Для этого нам нужно упростить первую из них, разложив ее на множители.

однако необходимо не забывать об условии сокращения дроби, т. е. о том, что

После всех сокращений мы получаем то

с той лишь разницей, что .

Построим две функции.

Мы видим явную разницу между этими двумя графиками: по сути они одинаковые, но на первом графике нужно выставить точку с координатой (1;0), так как именно этот не входит в ОДЗ первая функция.

В общем, мы рассмотрели, что такое дробь, решили пару примеров о том, как важно следить за областью определения (диапазоном допустимых значений), то есть за значениями, которые может принимать.

Теперь перейдем к вопросу о том, какие действия можно производить с алгебраическими дробями, помимо тех, что уже были упомянуты выше.

Естественно, алгебраические дроби, как и арифметические дроби, можно складывать, вычитать, умножать, делить, возводить в степень, получая при этом рациональные алгебраические выражения (такие выражения, которые составлены из чисел, переменных с помощью арифметических операций и возведения в натуральную степень ). После некоторых упрощений такие выражения сводятся к дробям, для которых исходными выражениями также являются алгебраические дроби.

Список действий/условий, с которыми вы можете столкнуться при решении задач на алгебраические дроби:

Упрощение рациональных выражений

Доказать идентификаторы

Решение рационального уравнения

Упрощение/Рассчитайте фракцию

Пример № 3

Решение. Самое простое рациональное уравнение

Решение. Самое простое рациональное уравнение

Решение. 0 тогда и только тогда, когда числитель равен 0, а знаменатель не равен 0. В нашем случае знаменатель равен . Следовательно, решение дроби сводится к линейному уравнению

Пример #4

решить уравнение

Прежде всего попробуем сократить дробь

При условии, что .

Поскольку мы уже упростили дробь в левой части исходного уравнения, мы можем подставить новое значение и решить уравнение.

Теперь попробуем извлечь полный квадрат из полученного квадратного уравнения

Воспользуемся формулой сокращенного умножения разности квадратов

Произведение равно 0 тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен 0. Кроме того, не забываем, что в начале у нас было условие существования нашего выражения в виде . Запишем систему уравнений.

=> => Мы видим, что это противоречит нашему условию, поэтому у нас остается только один ответ.

Итак, давайте посмотрим на особенности, которые имеет решенный нами выше пример:

1. Числитель с разностью кубов и знаменателем желательно уменьшить сразу, так как это возможно в данном случае и значительно упрощает дальнейшую решение уравнения, однако надо помнить, что знаменатель дроби не может равняться 0 и записывать это условие.

2. Приведя дробь к квадратному уравнению, мы вспомнили об одном из методов решения квадратных уравнений — методе выбора полного квадрата.

В этом уроке мы вспомнили, что такое алгебраическая дробь, какие действия нужно производить с числителем и знаменателем при решении таких дробей, какие вообще действия можно производить с дробями такого рода и решили несколько простых задач.

Библиография

1. Башмаков М.И. Алгебра 8 класс. — М.: Просвещение, 2004.
2. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и другие. Алгебра 8. 5-е издание. — М.: Просвещение, 2010.
.
3. Никольский С.М., Потапов М.А., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. — М.: Просвещение, 2006.

1. Вся элементарная математика ().
2. Школьный помощник ().
3. Интернет-портал Testmath.com.ua ().

Домашнее задание

Когда учащийся переходит в среднюю школу, математика делится на 2 предмета: алгебра и геометрия. Понятий становится все больше, задачи усложняются. Некоторые люди с трудом понимают дроби. Пропустил первый урок по этой теме, и вуаля. дроби? Вопрос, который будет мучить всю школьную жизнь.

Понятие алгебраической дроби

Начнем с определения. Под алгебраическая дробь Выражения P/Q понимаются, где P — числитель, а Q — знаменатель. Под буквенной записью может скрываться число, числовое выражение, числовое-алфавитное выражение.

Прежде чем задаться вопросом, как решать алгебраические дроби, сначала нужно понять, что такое выражение является частью целого.

Как правило, целое равно 1. Число в знаменателе показывает, на сколько частей была разделена единица. Числитель нужен для того, чтобы узнать, сколько элементов взято. Дробная черта соответствует знаку деления. Допускается запись дробного выражения в виде математической операции «Деление». В данном случае числитель — делимое, знаменатель — делитель.

Основное правило обыкновенных дробей

Когда учащиеся проходят эту тему в школе, им даются примеры для закрепления. Чтобы правильно их решать и находить разные выходы из сложных ситуаций, нужно применять основное свойство дробей.

Звучит так: Если умножить и числитель, и знаменатель на одно и то же число или выражение (отличное от нуля), то значение обыкновенной дроби не изменится. Частным случаем этого правила является деление обеих частей выражения на одно и то же число или многочлен. Такие преобразования называются тождественными равенствами.

Ниже мы рассмотрим, как решать сложение и вычитание алгебраических дробей, выполнять умножение, деление и сокращение дробей.

Математические действия с дробями

Рассмотрим, как решить основное свойство алгебраической дроби, как применить его на практике. Если вам нужно умножить две дроби, сложить их, разделить одну на другую или вычесть, вы всегда должны следовать правилам.

Итак, для операции сложения и вычитания следует найти дополнительный множитель, чтобы привести выражения к общему знаменателю. Если изначально дроби даны с одинаковыми выражениями Q, то нужно этот пункт опустить.

Этот термин часто используется как сокращение дроби . Это означает следующее: если числитель и знаменатель разделить на выражение, отличное от единицы (одинаковое для обеих частей), то получится новая дробь. Делимое и делитель меньше, чем раньше, но из-за основного правила дробей они остаются равными исходному примеру.

Целью этой операции является получение нового неприводимого выражения. Эту задачу можно решить, сократив числитель и знаменатель на наибольший общий делитель. Алгоритм работы состоит из двух пунктов:

1. Нахождение НОД обеих частей дроби.
2. Деление числителя и знаменателя на найденное выражение и получение несократимой дроби, равной предыдущей.

В таблице ниже показаны формулы. Для удобства его можно распечатать и носить с собой в блокноте. Однако, чтобы в дальнейшем при решении контрольной или экзамена не возникало затруднений в вопросе, как решать алгебраические дроби, эти формулы необходимо выучить наизусть.

Некоторые примеры с решениями

С теоретической точки зрения рассматривается вопрос о том, как решать алгебраические дроби. Приведенные в статье примеры помогут лучше понять материал.

1. Преобразовать дроби и привести их к общему знаменателю.

2. Преобразовать дроби и привести их к общему знаменателю.

После изучения теоретической части и рассмотрения практических вопросов вопросов больше возникнуть не должно.

В этой статье мы рассмотрим основные операции с алгебраическими дробями :

• сокращение дроби
• умножение дробей
• деление дробей

Начнем с сокращений алгебраических дробей .

Казалось бы, алгоритм очевиден.

К сократить алгебраические дроби , нужно

1. Разложить на множители числитель и знаменатель дроби.

2. Уменьшить одинаковые множители.

Однако школьники часто допускают ошибку, «сокращая» не факторы, а термины. Например, есть любители, которые «сокращают» на дроби и получают в результате, что, конечно же, не соответствует действительности.

Рассмотрим примеры:

1. Уменьшить дробь:

1. Разлагаем числитель по формуле квадрата суммы, а знаменатель по формуле разности квадратов

2. Разделить числитель и знаменатель на

2. Уменьшить дробь:

1. Разложить числитель на множители. Поскольку числитель содержит четыре слагаемых, применяем группировку.

2. Разложить знаменатель на множители. То же самое относится и к группировке.

3. Запишем полученную дробь и сократим те же множители:

Умножение алгебраических дробей.

При умножении алгебраических дробей числитель умножается на числитель, а знаменатель умножается на знаменатель.

Важно! Не нужно торопиться выполнять умножение в числителе и знаменателе дроби. После того, как мы записали произведение числителей дробей в числитель, а произведение знаменателей в знаменатель, нам нужно разложить каждый множитель и уменьшить дробь.

Рассмотрим примеры:

3. Упростим выражение:

1. Запишем произведение дробей: в числителе произведение числителей, а в знаменателе произведение знаменателей:

2. Разлагаем каждую скобку на множители:

Теперь нужно уменьшить те же множители. Обратите внимание, что выражения и отличаются только знаком: и в результате деления первого выражения на второе мы получаем -1.

Итак,

Деление алгебраических дробей выполняем по следующему правилу:

То есть Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на «перевернутую».

Мы видим, что деление дробей сводится к умножению, и умножение в конечном итоге сводится к сокращению дробей.

Рассмотрим пример:

4. Упростите выражение:

WikiHow — это вики, что означает, что многие наши статьи написаны несколькими авторами. При создании этой статьи над ее редактированием и улучшением работали 9 человек, в том числе анонимно.

На первый взгляд алгебраические дроби кажутся очень сложными, и неподготовленному школьнику может показаться, что с ними ничего нельзя сделать. Нагромождение переменных, чисел и даже сил внушает страх. Однако одни и те же правила используются для сокращения дробей (например, 15/25) и алгебраических дробей.

Шаги

Сокращение дробей

Научитесь работать с простыми дробями. Операции с обыкновенными и алгебраическими дробями аналогичны. Например, возьмем дробь 15/35. Чтобы упростить эту дробь, найдите общий делитель . Оба числа делятся на пять, поэтому мы можем извлечь 5 в числителе и знаменателе:

→

35 → 5*7

Теперь можно уменьшить общие делители , то есть вычеркнуть 5 в числителе и знаменателе. В результате получаем упрощенную дробь 3/7 . В алгебраических выражениях общие множители выделяют так же, как и в обычных. В предыдущем примере мы смогли легко извлечь 5 из 15 — тот же принцип применим и к более сложным выражениям, таким как 15x — 5. Найдем общий множитель. В данном случае это будет 5, так как оба слагаемых (15х и -5) делятся на 5. Как и прежде, выделим общий множитель и перенесем его влево .

15х — 5 = 5 * (3х — 1)

Чтобы проверить, все ли верно, достаточно выражение в скобках умножить на 5 — в результате будут те же числа, что были вначале. Сложные термины можно различать так же, как и простые. Для алгебраических дробей применяются те же принципы, что и для обыкновенных дробей. Это самый простой способ сократить дробь. Рассмотрим следующую дробь:

(x+2)(x+10)

Обратите внимание, что и в числителе (вверху), и в знаменателе (внизу) есть член (x+2), поэтому можно уменьшить так же, как общий множитель 5 в 15/35:

→

(x+2) (x+10 ) → (x+10)

В результате получаем упрощенное выражение: (x-3)/(x+10)

Сокращение алгебраических дробей

Найдите общий множитель в числителе, то есть в верхней части дроби. При уменьшении алгебраической дроби первым шагом является упрощение обеих ее частей. Начните с числителя и постарайтесь учесть как можно больше факторов. Рассмотрим в этом разделе следующую дробь:

15x+6

Начнем с числителя: 9x — 3. Для 9x и -3 общим множителем является число 3. Вынесем 3 за скобки, как мы это делаем с обычными числами: 3*(3х-1). В результате этого преобразования получится следующая дробь:

15x+6

Найдите общий множитель в числителе. Продолжим выполнение приведенного выше примера и выпишем знаменатель: 15x+6. Как и раньше, находим, на какое число делятся обе части. И в этом случае общий множитель равен 3, поэтому мы можем написать: 3 * (5x +2). Перепишем дробь в следующем виде:

3(5x+2)

Сократить одинаковые члены. На этом этапе вы можете упростить дробь. Сократите одинаковые члены в числителе и знаменателе. В нашем примере это число равно 3.

→

3 (5x+2) → (5x+2)

Определите, что дробь имеет простейшую форма. Дробь полностью упрощается, когда в числителе и знаменателе не осталось общих множителей. Обратите внимание, что вы не можете сокращать те термины, которые находятся внутри скобок — в приведенном выше примере нет способа извлечь x из 3x и 5x, поскольку (3x -1) и (5x + 2) являются полными членами. Таким образом, дробь не поддается дальнейшему упрощению, и окончательный ответ таков:

(5x+2)

Потренируйтесь самостоятельно сокращать дроби. Лучший способ освоить метод — решать задачи самостоятельно. Правильные ответы даны под примерами.

(4x+8)

Ответ: (x=13)

5x