При каком значении векторы перпендикулярны: При каком значении n векторы a(n;-2;1) и b (n,n;1) перпендикулярны ?

Возьмем три различные точки, лежащие в одной плоскости, но не на одной прямой. Эти точки имеют три разных вектора положения, равные x, y, z соответственно. Пусть r будет вектором положения другой точки на той же плоскости, где лежат остальные три точки. Итак, векторы (r-x), (y-x) и (z-x) компланарны . Используя формулу для компланарных векторов, можно сказать, что

        (r-x). (y-x)* (z-x)=0

    Или (r-x).(x*y+y*z+z*x)=0

Следовательно, (x*y+y*z+z*x) перпендикулярно (r-x) и, следовательно, перпендикулярно плоскости трех различных точек.

Как найти перпендикулярное расстояние между двумя векторами?

Перпендикулярное расстояние — это кратчайшее расстояние между двумя векторами. Формула кратчайшего расстояния между двумя векторами:

r1=(i+j+k)+k1(i-j-k)

r2=(2i+2j+2k)+k2(2i-2j-2k)

a1=i+j+k

a2=2i+2j+2k

b1=i-j-k

b2=2i-2j-2k

a2-a1=(2i+2j+2k)-(i+j+k)

         =2i+ +2K-I-J-K

= I+J+K

B1*B2 = (I-J-K)*(2-2J-2K)

= -2K+2J+2K+2I+2J-2I

= 4J

Кратчайшее расстояние=|(b1*b2). (a1-a2)|/|b1*b2|

                           =|4j.(i+j+k)/4|

                            =|1|

                           =1 единица

Мы можем использовать следующую формулу для нахождения параллельных векторов:

k.a=b

Здесь k — константа, а a и b — два вектора.

Существуют два вектора a и b, значения которых равны (3i+6j) и (4i+8j) соответственно. Эти два вектора параллельны друг другу или нет?

в соответствии с формулой, написанной выше K.A = B

K. (3 6) = (4 8)

3K = 4 6K = 8

или, k = 4/3 или, k = 8/6 = 4/3

Так как значения k одинаковы в обоих случаях, то векторы a и b параллельны друг другу.

Точно так же мы можем определить, являются ли любые два вектора перпендикулярными или нет, вычислив их наклоны. Если значение произведения этих наклонов равно -1, то можно сказать, что векторы являются перпендикулярными или ортогональными векторами.

Есть два вектора (3i-5j) и (5i+3j). Определите, перпендикулярны они или нет?

Пусть A = (3-5J)

и B = (5i+3J)

Следовательно -5/3)*(⅗)

                                  =-1

Итак, векторы a и b перпендикулярны.

Давайте возьмем пример, чтобы получить ответ.

p=(1 2 -2) и q=(-2 2 1). Эти два трехмерных вектора перпендикулярны или нет?

p.q= (-2+4-2)

     =0

Следовательно, p и q — два перпендикулярных трехмерных вектора.

Прежде чем приступить к концепции перпендикулярных векторов, сначала нам нужно узнать о векторах. Физические величины, имеющие как величину, так и направление, называются векторами.

 Чтобы проиллюстрировать концепцию вектора, сначала нам нужно принять во внимание векторную величину. Например, сила является вектором. Предположим, что вес тела равен 5 Н, это означает, что величина веса равна 5 Н и он действует в направлении вниз. Если говорить о двух векторах, то при выполнении условия, что их скалярное произведение равно нулю, можно сказать, что они перпендикулярны друг другу. Например, если мы рассмотрим скалярное произведение векторов A и B, то-

                                               A.B= AB cos x

Здесь x определяется как угол между двумя векторами A и B. 0). И наоборот, если скалярное произведение двух векторов равно 0, то можно сказать, что они перпендикулярны друг другу.

A.B = 0

AB COS X = 0

COS X = 0

cos x = cos 90

x = 90

Концепция перпендикулярных векторов может быть проиллюстрирована с некоторыми численными проблемами, написанными ниже

Значения двух векторов A и B (5I+3J- 8k) и (i+j+k) соответственно. Эти два вектора перпендикулярны или нет?

A.B

=(5i+3j-8k).(i+j+k)

=5i.i+3j.j-8k.k [так как i.i=1,j.j=1 и k.k=1]

=5+3-8

=8-8

=0

Согласно полученному ранее правилу, когда скалярное произведение двух векторов равно нулю, говорят, что они перпендикулярны друг другу. Следовательно, векторы А и В перпендикулярны друг другу.

2) Два вектора (3i+7j+7k) и (-7i-aj+7k) перпендикулярны друг другу. Найдите значение а.

Сначала нам нужно вычислить скалярное произведение этих двух векторов.

(3i+7j+7k).(-7i-aj+7k)

=(-21-7a+49)

Как мы знаем, что в случае перпендикулярных векторов продукт точки двух векторов должен быть 0. Таким образом-

(-21-7a+49) = 0

или, -7a+28 = 0

или, 7a=28

                                Или a=28/7

                                  Или a=4

        Подобная работа не используется. Безработная сила – это сила, действующая перпендикулярно направлению перемещения тела.

W = F.S

= FSCOSX

Здесь, W = работа, выполненная

F = Сила

S = смещение

x = 90 градусов

W = FS COS90

= 0 90 градусов

W = FS COS90

Здесь выполненная работа равна 0, что означает, что сила не совершает никакой работы. Следовательно, это называется отсутствием рабочей силы.

Человек идет по горизонтальной поверхности с багажом на голове. Здесь совершенная работа равна 0, так как сила тяжести и его перемещение на земле перпендикулярны друг другу.

Здесь применяется условие, что оба вектора, на которых перпендикулярен третий вектор, должны быть непараллельными векторами. Вычислив векторное произведение двух непараллельных векторов, мы сможем получить вектор, перпендикулярный обоим из них по отдельности.

Например, A и B — два непараллельных вектора, где A= (a1i+a2j+a3k) и B= (b1i+b2j+b3k), тогда их перпендикулярный вектор будет = перекрестное произведение A и B

                   p = (a1i+a2j+a3k)*(b1i+b2j+b3k)

            Или,  p = (a1b2k-a1b3j-a2b1k+a2b3i+a3b1j-a3b2i)

          [As  ij*i=0,i*i=0,i*i ,i*k=-j,j*j=0,j*k=i,j*i=-k,k*k=0,k*i=j,k*j=-i]

            Или, p= i(a2b3-a3b2)+j(a3b1-a1b3)+k(a1b2-a2b1)

Таким образом, искомый перпендикулярный вектор равен i(a2b3-a3b2)+j(a3b1-a1b3)+k(a1b2-a2b1 )

Теперь, если мы хотим проверить, является ли вектор перпендикулярным или нет, нам нужно рассмотреть отдельные скалярные произведения p. A и p.B.

Теперь p.A= {i(a2b3-a3b2)+j(a3b1-a1b3)+k(a1b2-a2b1)}.(a1i+a2j+a3k)

               = a1a2b3-a1b2a3+b1a2a3a+a1a2b3-a1a2b3

                     = 0

И    p.B=  {i(a2b3-a3b2)+j(a3b1-a1b3)+k(a1b2-a2b1)}. (b1i+b2j+b3k)

                =  b1a2b3-b1b2a3+b1b2a3-a1b2b3+a1b2b3-b1a2b3

                = 0

Таким образом, из приведенных выше расчетов видно, что перпендикулярный вектор p перпендикулярен обоим векторам A и B по отдельности. Отсюда доказано, что перекрестное произведение двух непараллельных векторов дает перпендикулярный к ним вектор.

Как найти единичный вектор, перпендикулярный двум векторам?

Возьмем два вектора X и Y.

Перекрестное произведение X и Y равно X*Y

Величина X и Y равна = |X*Y|

Таким образом, требуемый единичный вектор, перпендикулярный и X, и Y, равен =( X*Y)/ |X*Y| 9(½)

Чтобы определить, перпендикулярны два вектора друг другу или нет, мы должны сначала вычислить их скалярное произведение. По результату мы сможем сделать вывод, перпендикулярны векторы или нет. Значение 0 скалярного произведения означает, что векторы перпендикулярны друг другу, тогда как ненулевое значение означает, что векторы не перпендикулярны друг другу.

Вес автомобиля F=3i+3j+3k действует вниз. Его перемещение в горизонтальной плоскости равно D=-3i+3j. Что можно сказать о проделанной работе по машине?

Работа выполнена = F.D

= (3i+3J+3K). ( -3i+3J+0K)

= -9+

= 0

Здесь, в вышеупомянутой задаче. Продукт точки равен 0. Так что 0. Так что 0. Так что 0. Так что 0. Так что 0. Так что 0. Так что 0. можно сделать вывод, что F и D перпендикулярны друг другу.

Две силы F1 и F2 действуют на тело, где значение F1 равно 8 Н, а значение F2 равно 6 Н, и они взаимно перпендикулярны. Чему будет равна результирующая сила?

F1 = 8 N

F2 = 6 N

C = 90 градусов

R = (F1^2+F2^2-2F1F2COSC)^(½) 9(½)

                                                      =10 N

Возьмем три различные точки, лежащие в одной плоскости, но не на одной прямой. Эти точки имеют три разных вектора положения, равные x, y, z соответственно. Пусть r будет вектором положения другой точки на той же плоскости, где лежат остальные три точки.

Итак, векторы (r-x), (y-x) и (z-x) компланарны. Используя формулу для компланарных векторов, можно сказать, что

        (r-x). (y-x)* (z-x)=0

    Или (r-x).(x*y+y*z+z*x)=0

Следовательно, (x*y+y*z+z*x) перпендикулярно (r-x) и, следовательно, перпендикулярно плоскости трех различных точек.

Как найти перпендикулярное расстояние между двумя векторами?

Перпендикулярное расстояние — это кратчайшее расстояние между двумя векторами. Формула кратчайшего расстояния между двумя векторами:

r1=(i+j+k)+k1(i-j-k)

r2=(2i+2j+2k)+k2(2i-2j-2k)

a1=i+j+k

a2=2i+2j+2k

b1=i-j-k

b2=2i-2j-2k

a2-a1=(2i+2j+2k)-(i+j+k)

         =2i+ +2K-I-J-K

= I+J+K

B1*B2 = (I-J-K)*(2-2J-2K)

= -2K+2J+2K+2I+2J-2I

= 4J

Кратчайшее расстояние=|(b1*b2). (a1-a2)|/|b1*b2|

                           =|4j.(i+j+k)/4|

                            =|1|

                           =1 единица

Мы можем использовать следующую формулу для нахождения параллельных векторов:

k.a=b

Здесь k — константа, а a и b — два вектора.

Существуют два вектора a и b, значения которых равны (3i+6j) и (4i+8j) соответственно. Эти два вектора параллельны друг другу или нет?

в соответствии с формулой, написанной выше K.A = B

K. (3 6) = (4 8)

3K = 4 6K = 8

или, k = 4/3 или, k = 8/6 = 4/3

Так как значения k одинаковы в обоих случаях, то векторы a и b параллельны друг другу.

Точно так же мы можем определить, являются ли любые два вектора перпендикулярными или нет, вычислив их наклоны. Если значение произведения этих наклонов равно -1, то можно сказать, что векторы являются перпендикулярными или ортогональными векторами.

Есть два вектора (3i-5j) и (5i+3j). Определите, перпендикулярны они или нет?

Пусть A = (3-5J)

и B = (5i+3J)

Следовательно -5/3)*(⅗)

                                  =-1

Итак, векторы a и b перпендикулярны.

Давайте возьмем пример, чтобы получить ответ.

p=(1 2 -2) и q=(-2 2 1). Эти два трехмерных вектора перпендикулярны или нет ?

p.q= (-2+4-2)

     =0

Следовательно, p и q — два перпендикулярных трехмерных вектора.

Ортогональный вектор – объяснение и примеры

В области векторной геометрии мы рассмотрели почти все концепции векторов. Мы рассмотрели векторы нормалей, векторные уравнения, скалярные произведения векторов и многие другие. Но одно из самых важных понятий в этой области — это понимание ортогональный вектор.

Ортогональные векторы определяются как:

«2 вектора называются ортогональными, если они перпендикулярны друг другу, и после выполнения анализа скалярного произведения результат, который они дают, равен нулю».

В этой теме мы сосредоточимся на следующих областях:

• Что такое ортогональный вектор?
• Как найти ортогональный вектор?
• Каковы свойства ортогонального вектора?
• Примеры
• Практические задачи

В математических терминах слово «ортогональный» означает направленный под углом 90°. Два вектора u,v  называются ортогональными, если они перпендикулярны, т. е. образуют прямой угол, или если их скалярное произведение равно нулю .

Таким образом, мы можем сказать ,  

u⊥v или u·v=0

Следовательно, скалярное произведение используется для проверки того, направлены ли два вектора, которые наклонены рядом друг с другом, на угол 90° или нет.

Если мы углубимся в свойства ортогонального вектора, то узнаем, что нулевой вектор, который по сути является нулем, практически ортогонален каждому вектору. Мы можем подтвердить это, потому что u.0=0 для любого вектора u нулевой вектор ортогонален каждому вектору. Это связано с тем, что нулевой вектор равен нулю и, очевидно, даст нулевой или нулевой результат при умножении на любое число или любой вектор.

Два вектора u и y, в пространстве скалярного произведения V ортогональны, если их скалярное произведение равно нулю

(u,y)=0

Теперь, когда мы знаем, что скалярное произведение является основным ключом к выяснению того, являются ли два вектора ортогональными или нет, давайте рассмотрим несколько примеров для лучшего понимания.

Пример 1

Проверить, ортогональны ли векторы a = i + 2j и b = 2i – j.

Решение

Чтобы проверить, являются ли 2 вектора ортогональными или нет, мы будем вычислять скалярное произведение этих векторов:

a. b = (1 · 2) + (2 · (-1)) 

a.b = 2 – 2

a.b = 0 

Следовательно, поскольку скалярное произведение равно 0, два вектора ортогональны.

Пример 2

 Являются ли векторы a  = (3, 2) и b  = (7, -5} ортогональными? будет вычислять скалярное произведение этих векторов:

a.b = (3,7) + (7, (-5))

a.b = 21 – 35

a.b = -14

Поскольку скалярное произведение этих двух векторов не равно нулю, эти векторы не ортогональны.

Мы уже обсуждали, что один из способов нахождения ортогональных векторов — проверка их скалярного произведения. Если скалярное произведение дает нулевой ответ, очевидно, что перемножаемые векторы на самом деле были ортогональными или перпендикулярными.

Общее, которое можно использовать в этом отношении, выглядит следующим образом:

a.b = 0 

Это понятие может быть также расширено в виде компонентов вектора.

Общее уравнение в этом случае становится примерно таким: они всегда должны предоставлять точечный продукт, который дает нам нулевой результат.

Но давайте рассмотрим и другие сценарии и методологии.

Перемножаемые 2 вектора могут существовать в любой плоскости. Для них нет ограничений ограничиваться только двумерными плоскостями. Итак, давайте расширим наше исследование и на трехмерные плоскости.

Большинство задач в математике ограничены двумерными плоскостями. Такая плоскость существует только с двумя осями, а именно с осью x и осью y. В разделе об единичных векторах мы также обсудили, что эти оси также могут быть представлены в терминах единичных векторов; ось x в виде единичного вектора i и ось Y в виде единичного вектора j.  

Теперь давайте рассмотрим, что есть 2 вектора с именами a и b , которые существуют в двумерной плоскости. Мы должны засвидетельствовать, ортогональны ли эти два вектора друг другу или нет, другими словами, перпендикулярны ли они друг другу.

Мы пришли к выводу, что для проверки ортогональности мы оцениваем скалярное произведение векторов, существующих на плоскости. Итак, скалярное произведение векторов a и b будет примерно таким, как показано ниже:

a.b = |a| х |б| x cosθ

Если два вектора ортогональны или перпендикулярны, то угол θ между ними будет равен 90°.

Как мы знаем,

cosθ = cos 90°

И,

cos 90° = 0

Итак, мы можем переписать уравнение скалярного произведения как:

a.b = |a| х |б| x cos 90°

a.b = 0

Мы также можем выразить это явление через компоненты вектора.

a.b = ax.bx + ay.by

И мы упоминали выше, что в терминах представления на основе единичных векторов; мы можем использовать символы i и j.

Следовательно,

a.b = ai.bi + aj.bj

a.b = 0

Следовательно, если скалярное произведение также дает ноль в случае умножения компонентов, то два вектора ортогональны.

Пример 3

Найти, являются ли векторы a = (5, 4) и b = (8, -10) ортогональны друг другу или нет.

Решение

Чтобы проверить, ортогональны ли два вектора, мы вычислим скалярное произведение этих векторов: 10)

а.б = 40 – 40

а.б = 0

Таким образом, доказано, что два вектора ортогональны по своей природе.

Пример 4

Найти, являются ли векторы a = (2, 8) и b = (12, -3) ортогональны друг другу или нет.

Решение:

Чтобы проверить, являются ли два вектора ортогональными или нет, мы вычислим скалярное произведение этих векторов:

a.b = ai.bi + aj.bj

a.b = (2.12) + (8. -3)

а.б = 24 – 24

а.б = 0

Таким образом, доказано, что два вектора ортогональны по своей природе.

Большинство реальных задач требуют, чтобы векторы уходили в трехмерную плоскость. Когда мы говорим о трехмерных плоскостях, нас сопровождает еще одна ось, а именно ось z.

В этом случае с учетом третьей оси ось z будет состоять из 3-х компонент, каждая из которых направлена ​​вдоль соответствующей оси, если мы говорим, что любой вектор существует в трехмерной плоскости. В таком случае тремя компонентами вектора в трехмерной плоскости будут x-компонента, y-компонента и z-компонента.

Если мы представим эти компоненты в терминах единичных векторов, то мы уже знаем, что для осей x и y мы используем символы i и j для представления их компонентов. Но теперь, когда у нас есть третья ось и одновременно третий компонент, нам нужно дополнительное третье представление.

Итак, для этой третьей оси мы используем символ k для представления единичного вектора вдоль оси z.

Теперь предположим, что в трехмерной плоскости существуют 2 вектора. Эти векторы, очевидно, будут иметь 3 компонента, и скалярное произведение таких векторов можно найти ниже:

a. b = ax.bx + ay.by + az.bz

Или, в терминах единичных векторов i, j, и k :

a.b = ai.bi + aj.bj + ak .bk

a.b = 0

Следовательно, если этот результат дает скалярное произведение 0, мы сможем заключить, что 2 вектора в трехмерной плоскости перпендикулярны или ортогональны по своей природе.

Пример 5

Проверить, являются ли векторы a = (2, 3, 1) и b = (3, 1, -9) ортогональны или нет.

Решение

Чтобы проверить, являются ли эти 2 вектора ортогональными или нет, мы будем вычислять их скалярное произведение. Поскольку эти 2 вектора имеют 3 компонента, следовательно, они существуют в трехмерной плоскости.

Итак, мы можем написать:
а.б = а.и.б + аj.bj + ак.бк

Теперь, подставляя значения в формулу:

а.б = (2.3) + (3.1) + (1. -9)

a.b = 6 + 3 -9

a.b = 0

Поскольку скалярное произведение равно нулю, следовательно, эти 2 вектора в трехмерной плоскости ортогональны по своей природе.

Пример 6

Определите, являются ли два вектора a = i + 2j и b = 2i -j + 10k ортогональными или нет.

Решение

Чтобы проверить, являются ли эти 2 вектора ортогональными или нет, мы будем вычислять их скалярное произведение. Поскольку эти 2 вектора имеют 3 компонента, следовательно, они существуют в трехмерной плоскости.

Итак, мы можем написать:
a.b = ai.bi + aj.bj + ak.bk

Теперь, подставляя значения в формулу:

a.b = (1.2) + (2. -1) + (0.10)

a.b = 2 -2 + 0

a.b = 0

Поскольку скалярное произведение равно нулю, следовательно, эти 2 вектора в трехмерном плоскости ортогональны по своей природе.

Пример 7

Проверить, являются ли два вектора a = (2, 4, 1) и b = (2, 1, -8) ортогональными.

Решение

Чтобы проверить, являются ли эти 2 вектора ортогональными или нет, мы будем вычислять их скалярное произведение. Поскольку эти 2 вектора имеют 3 компонента, следовательно, они существуют в трехмерной плоскости.

Итак, мы можем написать:

а.б = а.и.б + аj.bj + ак.бк

Теперь, подставляя значения в формулу:

а.б = (2.2) + (4.1) + (1 .-8)

a.b = 4 + 4 – 8

a.b = 0

Поскольку скалярное произведение равно нулю, следовательно, эти 2 вектора в трехмерной плоскости ортогональны по своей природе.

Теперь, когда мы получили всю необходимую информацию об ортогональных векторах и получили четкое представление о том, как проверить, являются ли векторы ортогональными или нет, давайте проанализируем некоторые свойства ортогональных векторов. ортогональные векторы.

Векторы, которые называются ортогональными, всегда будут перпендикулярны по своей природе и всегда будут давать скалярное произведение, равное 0, поскольку перпендикулярность означает, что между ними будет угол 90°.

Нулевой вектор всегда будет ортогонален каждому вектору, с которым существует нулевой вектор. Это связано с тем, что любой вектор при умножении на нулевой вектор всегда будет давать скалярное произведение, равное нулю.

Перекрестное произведение двух ортогональных векторов никогда не может быть равно нулю. Это связано с тем, что формула векторного произведения включает тригонометрическую функцию sin, а sin 90° всегда равен 1. Следовательно, векторное произведение ортогональных векторов никогда не будет равно 0.

1. Да
2. Нет
3. Докажите с помощью формулы перекрестного произведения

Все диаграммы построены с использованием GeoGesbra.

Скалярное произведение и нормали к линиям и плоскостям

Скалярное произведение и нормали к линиям и плоскостям

Уравнение прямой в форме ax + by = c можно записать в виде скалярного произведения:

(а, б) ^. (х, у) = с, или А ^. Х = с,

, где A = (a, b) и X = (x, y).

Уравнение прямой в виде ax + by + cz = d можно записать в виде точки продукт:

(а,б,в) ^. (х, у, г) = d или A ^. Х = д,

, где A = (a, b, c) и X = (x, y, z).

Нормальный вектор A

Если P и Q находятся в плоскости уравнения A ^. X = d, тогда A ^. P = d и A ^. Q = d, поэтому

А ^. (Q — P) = д — д = 0,

Это означает, что вектор A ортогонален любому вектору PQ между точками P и Q плоскости.

Но вектор PQ можно рассматривать как касательный вектор или вектор направления самолета. Это означает, что вектор A ортогонален плоскости, то есть A ортогонален каждому вектору направления плоскости.

Ненулевой вектор, ортогональный векторам направления плоскости, называется вектор нормали к плоскости . Таким образом, вектор коэффициентов A является нормальным вектор на плоскость.

Это также означает, что вектор OA ортогонален плоскости, поэтому прямая OA перпендикулярно плоскости.

Осторожно: НЕВЕРНО, что для любой точки P на плоскости A ортогональна к P (если только d = 0).

Упражнение: Покажите, что если A — вектор нормали к плоскости, а k — ненулевое постоянна, то kA также является нормальным вектором к той же плоскости.

Дебаты: Для любой плоскости является ли вектор 0 ортогональным всем направлениям вектора плоскости?

Упражнение с линиями на плоскости: Те же рассуждения применимы к линиям. На миллиметровой бумаге нарисуйте линию m с уравнением 2x + 3y = 6, а также нанесите точку А = (2,3). Убедитесь, что линии OA и m перпендикулярны. Также постройте линию 2x + 3y = 0. Как эта линия связана с m и OA? Наконец, найдите уравнение для линия ОА. Чему равен нормальный вектор этой прямой?

Пример: Поиск плоскости по известной нормали . Предположим, что А = (1, 2, 3). Найдите уравнение плоскости через P = (1, -1, 4) с нормальной вектор А.

Решение: Уравнение должно быть (1, 2, 3) ^. X = d для некоторой константы d. Но поскольку P находится на плоскости, если мы положим X = P, мы должен получить правильное значение d. Таким образом, d = (1, 2, 3) ^. (1, -1, 4) = 1 -2 + 12 = 11. Уравнение A ^. Х = 11.

Единица нормального вектора

Единичный вектор является вектором длины 1. Любой ненулевой вектор можно разделить по его длине, чтобы сформировать единичный вектор. Таким образом, для плоскости (или линии) нормаль вектор можно разделить на его длину, чтобы получить единичный вектор нормали.

Пример: Для уравнения x + 2y + 2z = 9 вектор A = (1, 2, 2) является нормальным вектором. |А| = квадратный корень из (1+4+4) = 3. Таким образом, вектор (1/3)A — единичный вектор нормали к этой плоскости. Кроме того, (-1/3)A является единичным вектором.

Единичные векторы нормалей: (1/3, 2/3, 2/3) и (-1/3, -2/3, -2/3)

Упражнение: Найдите единичный вектор нормали к плоскости с помощью уравнения -2x -4y -4z = 0. Как это связано с примером? Не могли бы вы использовать пример для найти единицу нормальной в этом случае?

Упражнение на линии на плоскости: Продолжение с линией m с уравнением 2x + 3y = 6, найдите единичные векторы нормалей для этой прямой. Кроме того, найдите нормальную единицу вектор для линии OA. Ищите отношения.

Уравнения прямых в пространстве

Мы видели, что одно уравнение вида A ^. X = h определяет линию на плоскости или плоскость в трехмерном пространстве. В каждом случае мы можем неформально мотивируйте это тем, что пространство решений имеет размерность на единицу меньше, чем размер содержащего пространства.

Эта интуитивная идея становится строгой во всех измерениях в линейной алгебре. курс.

Линия в пространстве не может быть задана одним линейным уравнением, так как для любого ненулевого вектора А, такое уравнение имеет плоскость в качестве решения.

Но линия — это пересечение двух плоскостей, так что если у нас есть две такие плоскости, с двумя уравнениями A ^. X = h и B ^. X = k, то совокупность решений обоих уравнений вместе есть прямая. Наоборот, если у нас есть два таких уравнения, у нас есть две плоскости. Две плоскости могут пересекаться в линию, или они могут быть параллельны или даже одной плоскости.

Векторы нормали A и B ортогональны векторам направления прямая, и на самом деле вся плоскость через О, которая содержит А и В, является плоскостью ортогонален прямой.

Векторы нормалей и векторное произведение

Для двух векторов A и B векторное произведение A x B ортогонально обоим векторам A и к B. Это очень полезно для построения нормалей.

Пример (Пример уравнения плоскости повторно) Дано, P = (1, 1, 1), Q = (1, 2, 0), R = (-1, 2, 1). Найдите уравнение плоскости через эти точки.

Во-первых, вектор нормали представляет собой векторное произведение двух векторов направления на плоскости (не обе в одном направлении!).

Пусть один вектор равен PQ = Q — P = (0, 1, -1), а другой — PR = R — P = (-2, 1, 0). Перекрестное произведение

(Q — P) x (R — P) = (1, 2, 2) = вектор нормали A, и уравнение имеет вид A ^. X = d для некоторого d

Используя метод из приведенного выше примера, мы можем найти d = A ^. P = 5. Таким образом, уравнение имеет вид A ^. Х = 5, что совпадает с одним из уравнений в предыдущем примере.

Упражнение. Проверить, что для этого A, A ^. Вопросы и ответы ^. R тоже = 5. Почему так?

Упражнение. Найдите нормальную единицу измерения для этого самолета. Какое уравнение, если А выбирается в качестве единицы нормального?

Двугранные углы и векторы нормали

Для двух плоскостей мера двугранного угла между двумя плоскостями определяется как мера угла, образованного пересечением двух плоскостей с другой плоскостью, ортогональной линии пересечения. (Есть два угла — пара дополнительных углов.)

Угловая мера между нормальными направлениями двух плоскостей одинакова как мера двугранных углов, поэтому двугранный угол может быть измерен взяв скалярное произведение нормальных направлений и используя косинус Теорема для скалярных произведений.

Артикул:

Mathworld: Двугранный Углы

Mathforum: Октаэдр

Артикул:

Нормальный векторы и уравнения в Texas A&M

Назад к индексу координат вектора

параллельных векторов — определение, примеры, формула т. е. для любого вектора

Давайте узнаем больше о параллельных векторах вместе с их определением, формулой и примерами.

Что такое параллельные векторы?

Два вектора называются параллельными тогда и только тогда, когда угол между ними равен 0 градусов. Параллельные векторы также известны как коллинеарные векторы. т. е. два параллельных вектора всегда будут параллельны одной и той же прямой, но они могут быть либо в одном направлении, либо в совершенно противоположном направлении. На следующем изображении векторы, показанные на крайнем левом рисунке, НЕ параллельны, поскольку они имеют разные направления (т. е. ни одно и то же, ни противоположные направления).

Параллельные векторы, направленные в противоположные стороны, иногда также называют антипараллельными векторами. На изображении выше последний рисунок показывает антипараллельные векторы. Но как математически идентифицировать параллельные векторы? Посмотрим.

Как найти параллельные векторы?

Два вектора a и b называются параллельными векторами, если один из них кратен другому. т. е. a = k b , где «k» — скаляр (действительное число). Здесь «k» может быть положительным, отрицательным или 0. В этом случае

• a и b имеют одинаковые направления, если k положительно.
• a и b имеют противоположные направления, если k отрицательно.

Вот несколько примеров параллельных векторов:

1. a и 3 a параллельны и имеют те же направления, что и 3 > 0.
2. v и (-1/2) v параллельны и имеют те же направления, что и (-1/2) < 0,
3. a = <1, -3> и b = <3, -9> параллельны, поскольку b = <3, -9> = 3 <1, -3> = 3 a .

В приведенных выше примерах пример 2 относится к антипараллельным векторам.

Скалярное произведение параллельных векторов

Скалярное произведение любых двух параллельных векторов равно произведению их величин. Рассмотрим два параллельных вектора а и б . Тогда угол между ними равен θ = 0. По определению скалярного произведения

a · b = | и | | б | cos θ
= | и | | б | 0
= | и | | б | (1) (потому что cos 0 = 1)
= | и | | б |

Следовательно, скалярное произведение двух параллельных векторов равно произведению их величин.

Перекрестное произведение параллельных векторов

Перекрестное произведение любых двух параллельных векторов является нулевым вектором. Рассмотрим два параллельных вектора a и b . Тогда угол между ними равен θ = 0. По определению перекрестного произведения

a × b = | и | | б | грех θ \ (\ шляпа {n} \)
= | и | | б | грех 0 \(\шляпа{п}\)
= | и | | б | (0) \(\шляпа{n}\) (поскольку sin 0 = 0)
= 0

Обратите внимание, что 0 здесь является вектором, а не скаляром. Таким образом, векторное произведение двух параллельных векторов является нулевым вектором (не просто нулем).

Формула параллельных векторов

Параллельные векторы можно определить с помощью скалярного множителя, скалярного произведения или перекрестного произведения. Вот формула параллельных векторов в соответствии с ее значением, объясненным в предыдущих разделах.

Единичный вектор, параллельный заданному вектору

Единичный вектор, параллельный заданному вектору a , обозначается \(\hat{a}\) и задается как \(\hat{a}\) = a / | и |. Здесь обратите внимание на две вещи:

• и и и / | и | (что равно 1/| a | · a) являются скалярными кратными друг другу. Следовательно, a и \(\hat{a}\) параллельны.
• Величина / | и | есть | и | / | и | = 1. Следовательно, \(\hat{a}\) — единичный вектор.

Следовательно, a / | и | является единичным вектором, параллельным a . Он получается делением вектора на его величину.

Пример: Найдите единичный вектор, параллельный вектору a = 3 i + 4 j .

Решение:

Дано, что a = 3 i + 4 j .

Его величина | и | = √(3 ² + 4 ² ) = √(25) = 5.

Таким образом, единичный вектор, параллельный a , равен

\(\ hat{a}\) = / | и |
= (3 i + 4 j ) / 5
= (3/5) i + (4/5) j

Свойства параллельных векторов

• Два вектора a и b параллельны друг другу тогда и только тогда, когда a = k b , где k — скаляр.
• Здесь a и b находятся в направлениях, если k > 0, и в противоположных направлениях, если k < 0.
• Каждый вектор a параллелен самому себе, так как a = 1 a.
• Два вектора a и b называются параллельными, если их векторное произведение равно нулю. то есть а × б = 0 .
• Для любых двух параллельных векторов a и b их скалярное произведение равно произведению их модулей. т. е. a · b = | и | | б |.

☛ Похожие темы:

• Векторные формулы
• Компоненты вектора
• Типы векторов
• Калькулятор результирующего вектора

Часто задаваемые вопросы о параллельных векторах

Что такое определение параллельных векторов?

Два вектора a и b называются параллельными векторами , если выполняется одно из условий:

• Если один вектор является скалярным кратным другого. т. е. a = k b , где k — скаляр.
• Если их векторное произведение равно 0, то есть a × b = 0 .
• Если их скалярное произведение равно произведению их величин. т. е. a · b = | и | | б |.

Как найти вектор, параллельный заданному вектору?

Чтобы найти вектор, параллельный заданному вектору a , просто умножьте его на любой скаляр. Например, 3 a , -0,5 a , √2 a и т. д. параллельны вектору a .

Как определить, параллельны ли два вектора?

Чтобы определить, параллельны ли два заданных вектора, просто посмотрите, можно ли взять общий множитель из одного вектора так, чтобы он был кратен другому вектору. Другой способ — проверить, равно ли их векторное произведение 0.

В чем разница между перпендикулярными и параллельными векторами?

Вот различия между перпендикулярными и параллельными векторами.

Параллелен ли вектор самому себе?

Каждый вектор a кратен самому себе. то есть a = 1 a . Таким образом, каждый вектор параллелен самому себе. Кроме того, угол между вектором и самим собой всегда равен 0 градусов. Таким же образом мы можем сказать, что вектор параллелен самому себе.

Какова формула для единичного вектора, параллельного результирующим векторам?

Мы знаем, что единичный вектор, параллельный вектору a , равен a / | и |. Таким образом, единичный вектор, параллельный равнодействующей двух векторов a и b , равен ( a+b) / | а+б |.

В чем разница между параллельными векторами и наклонными линиями?

Параллельные векторы и наклонные линии находятся в трехмерном пространстве. Параллельные прямые никогда не пересекаются и параллельны относительно координат x, y и z. Наклонные линии также находятся в трехмерном пространстве, но не параллельны и не пересекаются. Наклонные линии — это линии, присутствующие в разных плоскостях.

Что такое равные и параллельные векторы?

Равные векторы имеют одинаковую величину и одинаковое направление. Параллельные векторы могут иметь разные величины, но они имеют одинаковые/противоположные направления. Например:

• a и a являются равными векторами.
• a и 3 a — параллельные векторы.

Vector math — документация Godot Engine (stable) на английском языке

Введение

Этот учебник представляет собой краткое и практическое введение в линейную алгебру. это относится к разработке игр. Линейная алгебра — это изучение векторов и их использование. Векторы имеют множество применений как в 2D-, так и в 3D-разработке. и Годо широко их использует. Развитие хорошего понимания вектора математика необходима, чтобы стать сильным разработчиком игр.

Примечание

Этот учебник не является формальным учебником по линейной алгебре. Мы будет только смотреть на то, как это применяется к разработке игр. Для более широкого взгляда на математику, см. https://www.khanacademy.org/math/linear-алгебра

Системы координат (2D)

В 2D-пространстве координаты определяются с помощью горизонтальной оси ( x ) и вертикальная ось ( y ). Определенная позиция в 2D-пространстве записывается как пара значений, таких как (4, 3) .

Примечание

Если вы новичок в компьютерной графике, может показаться странным, что положительный y ось указывает вниз вместо вверх, как вы, вероятно, узнали на уроке математики. Однако это обычное в большинстве приложений компьютерной графики.

Любая позиция в 2D-плоскости может быть идентифицирована парой чисел в этом путь. Однако мы также можем думать о позиции (4, 3) как о смещении . от точки (0, 0) или начала координат . Нарисуйте стрелку, указывающую от от начала до точки:

Это вектор . Вектор представляет много полезной информации. В качестве а также говоря нам, что точка находится по адресу (4, 3) , мы также можем думать о это как угол θ и длиной (или величиной) м . В этом случае стрелка представляет собой вектор положения — он обозначает позицию в пространстве, относительную к происхождению.

Очень важный момент, который следует учитывать в отношении векторов, заключается в том, что они представляют 90 187 относительного 90 188 направления и величины. Нет понятия о положение вектора. Следующие два вектора идентичны:

Оба вектора представляют точку на 4 единицы правее и на 3 единицы ниже некоторой отправная точка. Неважно, где на плоскости ты рисуешь вектор, он всегда представляет относительное направление и величину.

Векторные операции

Вы можете использовать любой метод (координаты x и y или угол и величина) для относятся к вектору, но для удобства программисты обычно используют обозначение координат. Например, в Godot начало координат находится в верхнем левом углу. углу экрана, чтобы разместить 2D-узел с именем Node2D на 400 пикселей вправо и 300 пикселей вниз, используйте следующий код:

 $Node2D.position = Vector2(400, 300)
 

Godot поддерживает как Vector2, так и Vector3 для использования в 2D и 3D соответственно. Одинаковый математические правила, обсуждаемые в этой статье, применимы к обоим типам.

Доступ для участников

Доступ к отдельным компонентам вектора можно получить непосредственно по имени.

 # создать вектор с координатами (2, 5)
переменная a = Vector2 (2, 5)
# создаем вектор и назначаем x и y вручную
переменная b = Vector2()
б.х = 3
б.у = 1
 

Добавление векторов

При сложении или вычитании двух векторов добавляются соответствующие компоненты:

 var c = a + b # (2, 5) + (3, 1) = (5, 6)
 

Мы также можем увидеть это визуально, добавив второй вектор в конце первый:

Обратите внимание, что сложение a + b дает тот же результат, что и b + a .

Скалярное умножение

Примечание

Векторы представляют как направление, так и величину. Ценность представляющий только величину, называется скаляром .

Вектор можно умножить на скаляр :

 вар с = а * 2 # (2, 5) * 2 = (4, 10)
var d = b / 3 # (3, 6) / 3 = (1, 2)
 

Примечание

Умножение вектора на скаляр не меняет его направление, только его величина. Вот как ты масштаб вектор.

Практическое применение

Давайте рассмотрим два распространенных способа сложения и вычитания векторов.

Механизм

Вектор может представлять любую величину с величиной и направлением. Типичными примерами являются: положение, скорость, ускорение и сила. В На этом изображении космический корабль на шаге 1 имеет вектор положения (1,3) и вектор скорости (2,1) . Вектор скорости показывает, насколько далеко корабль движется каждый шаг. Мы можем найти позицию для шага 2, добавив скорость до текущего положения.

Совет

Скорость измеряет изменение положения в единицу времени. новое положение находится путем прибавления скорости к предыдущему положению.

Наведение на цель

В этом сценарии у вас есть танк, который хочет направить свою башню на робот. Вычитание положения танка из положения робота дает вектор, указывающий от танка к роботу.

Подсказка

Чтобы найти вектор, указывающий от A до B используйте B-A .

Единичные векторы

Вектор с величиной из 1 называется единичным вектором . Они есть также иногда упоминается как векторов направления или нормалей . Ед. изм векторы полезны, когда вам нужно отслеживать направление.

Нормализация

Нормализация вектора означает уменьшение его длины до 1 при сохраняя свое направление. Это делается путем деления каждой из его составляющих по своей величине. Поскольку это такая распространенная операция, Vector2 и Vector3 предоставляют метод нормализации:

 а = а.нормализованный()
 

Предупреждение

Поскольку нормализация включает деление на длину вектора, вы не можете нормализовать вектор длины 0 . Пытаться это приведет к ошибке.

Отражение

Обычно единичные векторы используются для обозначения нормалей . Обычный векторы — это единичные векторы, выровненные перпендикулярно поверхности, определяющие его направление. Они обычно используются для освещения, столкновений и других операции с поверхностями.

Например, представьте, что у нас есть движущийся мяч, который мы хотим отскочить от стена или другой объект:

Нормаль поверхности имеет значение (0, -1) , потому что это горизонтальная поверхность. Когда мяч сталкивается, мы берем его остаточное движение (количество оставшийся после удара о поверхность) и отразите его с помощью нормали. В Годо, класс Vector2 имеет метод bounce() справиться с этим. Вот пример GDScript диаграммы выше с использованием Кинематическое тело2D:

 # объект "столкновение" содержит информацию о столкновении
переменная коллизия = move_and_collide(скорость * дельта)
если столкновение:
    переменная отражения = столкновение.остаток.отскок(столкновение.нормальный)
    скорость = скорость.отскок(столкновение.норма)
    move_and_collide (отражать)
 

Скалярный продукт

Скалярное произведение — одно из самых важных понятий в векторной математике. но часто неправильно понимают. Скалярное произведение — это операция над двумя векторами, возвращает скаляр . В отличие от вектора, который содержит как величину, так и направление, скалярное значение имеет только величину.

Формула скалярного произведения принимает две распространенные формы:

и

Однако в большинстве случаев проще всего использовать встроенный метод. Обратите внимание, что порядок двух векторов не имеет значения:

 переменная c = a.dot(b)
var d = b.dot(a) # Они эквивалентны.
 

Скалярное произведение наиболее полезно при использовании с единичными векторами, что делает первая формула уменьшите до cosθ . Это означает, что мы можем использовать точку произведение, чтобы сообщить нам что-то об угле между двумя векторами:

При использовании единичных векторов результат всегда будет между -1 (180°) и 1 (0°).

Облицовка

Мы можем использовать этот факт, чтобы определить, обращен ли объект к другому объект. На диаграмме ниже игрок P пытается избежать зомби A и B . Предположим, что поле зрения зомби равно 9.0187 180° , они видят игрока?

Зеленые стрелки fA и fB представляют собой единичных векторов , представляющих направления зомби, а синий полукруг представляет его поле Посмотреть. Для зомби A мы находим вектор направления AP , указывающий на игрок использует P - A и нормализует его, однако у Годо есть помощник метод для этого называется direction_to . Если угол между этим вектор и обращенный вектор меньше 90°, то зомби может видеть игрок.

В коде это будет выглядеть так:

 переменная AP = A.direction_to(P)
если AP.dot(fA) > 0:
    print("А видит Р!")
 

Перекрестное произведение

Как и скалярное произведение, перекрестное произведение представляет собой операцию над двумя векторами. Однако результатом перекрестного произведения является вектор с направлением что перпендикулярно обоим. Его величина зависит от их относительного угла. Если два вектора параллельны, результатом их перекрестного произведения будет нулевой вектор.

Перекрестное произведение вычисляется следующим образом:

 переменная c = Vector3()
c.x = (a.y * b.z) - (a. z * b.y)
су = (а.з * б.х) - (а.х * б.з)
c.z = (a.x * b.y) - (a.y * b.x)
 

С Godot вы можете использовать встроенный метод:

 переменная c = a.cross(b)
 

Примечание

В векторном произведении важен порядок. а.крест(б) нет дают тот же результат, что и b.cross(a) . Результирующие векторы точка в противоположных направлениях.

Расчет нормалей

Одним из распространенных применений векторных произведений является нахождение нормали к поверхности плоскости. или поверхность в трехмерном пространстве. Если у нас есть треугольник ABC , мы можем использовать вектор вычитание, чтобы найти два ребра AB и AC . Используя перекрестное произведение, AB x AC дает вектор, перпендикулярный обеим нормалям поверхности.

Вот функция для вычисления нормали треугольника:

 функция get_triangle_normal(a, b, c):
 # найти нормаль к поверхности по трем вершинам
 переменная сторона1 = б - а
 переменная сторона2 = с - а
 переменная нормальная = сторона1.
No related posts.