Умножение / Справочник по математике для начальной школы
- Главная
- Справочники
- Справочник по математике для начальной школы
- Умножение
В этом разделе познакомимся с умножением и узнаем, что сложение одинаковых слагаемых можно заменить умножением.
В математике существует знак для умножения — это точка посередине строки между числами, которые нужно перемножить.
Например, 6 + 6 + 6 + 6 = 24 можно записать по-другому: 6 • 4 = 24
Смысл действия умножения состоит в том, что при умножении находится сумма одинаковых слагаемых.
Первое число при умножении показывает, какое слагаемое повторяют несколько раз.
Второе число при умножении показывает, сколько раз повторяют это слагаемое.
Результат умножения показывает, какое число получается.
6 • 4 значит, что число 6 повторяют 4 раза: 6 + 6 + 6 + 6 = 24
6 — первый множитель
4 — второй множитель
24 — произведение
Числа при умножении
Первый множитель
Второй множитель
Результат умножения, или Произведение
Чтение числовых выражений
6 • 4 = 24
Этот пример можно прочитать по-разному.
- 6 умножить на 4 равняется 24.
- 6 увеличить в 4 раза – получится 24.
- Первый множитель – 6, второй множитель – 4, произведение – 24.
- Произведение 6 и 4 равно 24.
Умножение на 1
4 • 1 = 4, потому что это значит, что число 4 повторяют только 1 раз.
23 • 1 = 23, потому что это значит, что число 23 повторяют только 1 раз.
Умножение на 0
8 • 0 = 0, потому что это значит, что число 8 повторяют 0 раз.
26 • 0 = 0, потому что это значит, что число 26 повторяют 0 раз.
Умножение на 10
8 • 10 = 80, потому что число 8 повторяют 10 раз.
15 • 10 = 150, потому что число 15 повторяют 10 раз.
Связь деления и умножения
8 • 3 = 24, потому что 8 повторяют 3 раза.
24 : 3 = 8, потому что в 24 по 3 содержится 8 раз.
24 : 8 = 3, потому что в 24 по 8 содержится 3 раза.
В несколько раз больше
Решим задачу:
В магазине было 2 лисички, а котят в 4 раза больше. Сколько было котят?
Это значит, что котят было 4 раза по 2.
2 + 2 + 2 + 2 = 4 (к.)
Заменяем сложение умножением и получаем:
2 • 4 = 8 (к.)
Вывод: Если в задаче есть слова «в … раз больше», то задача решается умножением.Во сколько раз больше? Во сколько раз меньше?
Например, решим задачу: В магазине было 8 котят и 2 лисички. Во сколько раз котят было больше, чем лисичек? Во сколько раз лисичек было меньше, чем котят?
Чтобы ответить на эти вопросы, нужно узнать, сколько раз по 2 содержится в 8?
8 : 2 = 4 (раза)
Значит, котят в 4 раза больше, чем лисичек, а лисичек в 4 раза меньше, чем котят.
Советуем посмотреть:
Табличное умножение
Внетабличное умножение
Умножение суммы на число
Умножение на однозначное число в столбик
Умножение на числа, оканчивающиеся нулями
Свойства умножения
Правило встречается в следующих упражнениях:
2 класс
Страница 66.
Тест 2. Вариант 1,
Моро, Волкова, Проверочные работы
Страница 60, Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2
Страница 61, Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2
Страница 78, Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2
Страница 91, Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2
Страница 46, Моро, Волкова, Рабочая тетрадь, часть 2
Страница 58, Моро, Волкова, Рабочая тетрадь, часть 2
Страница 59, Моро, Волкова, Рабочая тетрадь, часть 2
Страница 51.
Урок 20,
Петерсон, Учебник, часть 2
Страница 93. Урок 39, Петерсон, Учебник, часть 2
3 класс
Страница 11, Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1
Страница 18, Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1
Страница 81, Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1
Страница 23, Моро, Волкова, Рабочая тетрадь, часть 1
Страница 27, Моро, Волкова, Рабочая тетрадь, часть 1
Страница 37. ПР 4. Вариант 2, Моро, Волкова, Проверочные работы
Страница 54.
Тест 2. Вариант 1,
Моро, Волкова, Проверочные работы
Страница 7, Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2
Страница 99, Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2
Страница 25, Моро, Волкова, Рабочая тетрадь, часть 2
4 класс
Страница 59, Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1
Страница 78, Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1
Страница 93, Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1
Страница 14. Тест 2. Вариант 1, Моро, Волкова, Проверочные работы
Страница 68.
ПР 1. Вариант 1,
Моро, Волкова, Проверочные работы
Страница 85. Тест 3. Вариант 2, Моро, Волкова, Проверочные работы
Страница 77, Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2
Страница 89, Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2
Страница 102, Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2
Страница 11, Моро, Волкова, Рабочая тетрадь, часть 2
5 класс
Номер 36, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Умножение | Математика
Умножить одно целое число на другое значит повторить одно число столько раз, сколько в другом содержится единиц.
Повторить число значит взять его слагаемым несколько раз и определить сумму.
Определение умножения
Умножение целых чисел есть такое действие, в котором нужно взять одно число слагаемым столько раз, сколько в другом содержится единиц, и найти сумму этих слагаемых.
Умножить 7 на 3 значит взять число 7 слагаемым три раза и найти сумму. Искомая сумма есть 21.
Умножение есть сложение равных слагаемых.
Данные в умножении называются множимым и множителем, а искомое — произведением.
В предложенном примере данными будут множимое 7, множитель 3, а искомым произведением 21.
Множимое. Множимое есть то число, которое умножается или повторяется слагаемым. Множимое выражает величину равных слагаемых.
Множитель. Множитель показывает, сколько раз множимое повторяется слагаемым. Множитель показывает число равных слагаемых.
Произведение. Произведение есть число, которое получается от умножения.
Оно есть сумма равных слагаемых.
Множимое и множитель вместе называются производителями.
При умножении целых чисел одно число увеличивается во столько раз, сколько в другом содержится единиц.
Знак умножения. Действие умножения обозначают знаком × (косвенным крестом) или . (точкой). Знак умножения ставится между множимым и множителем.
Повторить число 7 три раза слагаемым и найти сумму значит 7 умножить на 3. Вместо того, чтобы писать
7 + 7 + 7
пишут при помощи знака умножения короче:
7 × 3 или 7 · 3
Умножение есть сокращенное сложение равных слагаемых.
Знак (×) был введен Отредом (1631 г.), а знак . Христианом Вольфом (1752 г.).
Связь между данными и искомым числом выражается в умножении
письменно:
7 × 3 = 21 или 7 · 3 = 21
словесно:
семь, умноженное на три, составляет 21.
Чтобы составить произведение 21, нужно 7 повторить три раза
21 = 7 + 7 + 7
Чтобы составить множитель 3, нужно единицу повторить три раза
3 = 1 + 1 + 1
Отсюда имеем другое определение умножения: Умножение есть такое действие, в котором произведение точно так же составляется из множимого, как множитель составлен из единицы.
Основное свойство произведения
Произведение не изменяется от перемены порядка производителей.
Доказательство. Умножить 7 на 3 значит 7 повторить три раза. Заменив 7 суммою 7 единиц и вложив их в вертикальном порядке, имеем:
Таким образом, при умножении двух чисел мы можем считать множителем любой из двух производителей. На этом основании производители называются сомножителями или просто множителями.
Самый общий прием умножения состоит в сложении равных слагаемых; но, если производители велики, этот прием приводит к длинным вычислениям, поэтому самое вычисление располагают иначе.
Умножение однозначных чисел. Таблица Пифагора
Чтобы умножить два однозначных числа, нужно повторить одно число слагаемым столько раз, сколько в другом содержится единиц, и найти их сумму. Так как умножение целых чисел приводится к умножению однозначных чисел, то составляют таблицу произведений всех однозначных чисел попарно. Такая таблица всех произведений однозначных чисел попарно называется таблицей умножения.
Таблица Пифагора. Изобретение ее приписывают греческому философу Пифагору, по имени которого ее называют таблицей Пифагора. (Пифагор родился около 569 года до н. э.).
Чтобы составить эту таблицу, нужно написать первые 9 чисел в горизонтальный ряд:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Затем под этой строкой надо подписать ряд чисел, выражающих произведение этих чисел на 2. Этот ряд чисел получится, когда в первой строке сложим каждое число само с собою. От второй строки чисел последовательно переходим к 3, 4 и т. д. Каждая последующая строка получается из предыдущей через прибавление к ней чисел первой строки.
Продолжая так поступать до 9 строки, мы получим таблицу Пифагора в следующем виде
Чтобы по этой таблице найти произведение двух однозначных чисел, нужно отыскать одного производителя в первой горизонтальной строке, а другого в первом вертикальном столбце; тогда искомое произведение будет на пересечении соответствующих столбца и строки.
Таким образом, произведение 6 × 7 = 42 находится на пересечении 6-й строки и 7-го столбца. Произведение нуля на число и числа на нуль всегда дает нуль.
Так как произведение числа на 1 дает само число и перемена порядка множителей не изменяет произведения, то все различные произведения двух однозначных чисел, на которые следует обратить внимание, заключаются в следующей таблице:
Произведения однозначных чисел, не содержащиеся в этой таблице, получаются по данным, если только изменить в них порядок множителе; таким образом, 9 × 4 = 4 × 9 = 36.
Умножение многозначного числа на однозначное
Умножение числа 8094 на 3 обозначают тем, что подписывают множитель под множимым, ставят слева знак умножения и проводят черту с тем, чтобы отделить произведение.
Умножить многозначное число 8094 на 3 значит найти сумму трех равных слагаемых
следовательно, для умножения нужно все порядки многозначного числа повторить три раза, то есть умножить на 3 единицы, десятки, сотни, и т.
При этом ход вычислений выражают словесно:
Начинаем умножение с единиц: 3 × 4 составляют 12, подписываем под единицами 2, а единицу (1 десяток) прикладываем к произведению следующего порядка на множитель (или запоминаем ее в уме).
Умножаем десятки: 3 × 9 составляет 27, да 1 в уме составят 28; подписываем под десятками 8 и 2 в уме.
Умножаем сотни: Нуль, умноженный на 3, дает нуль, да 2 в уме составит 2, подписываем под сотнями 2.
Умножаем тысячи: 3 × 8 = 24, подписываем вполне 24, ибо не имеем следующих порядков.
Это действие выразится письменно:
Из предыдущего примера выводим следующее правило. Чтобы умножить многозначное число на однозначное, нужно:
Подписать множитель под единицами множимого, поставить слева знак умножения и провести черту.
Умножение начинать с простых единиц, затем, переходя от правой руки к левой, последовательно умножают десятки, сотни, тысячи и т. д.
Если при умножении произведение выражается однозначным числом, то его подписывают под умножаемой цифрой множимого.
Если же произведение выражается двухзначным числом, то цифру единиц подписывают под тем же столбцом, а цифру десятков прибавляют к произведению следующего порядка на множитель.
Умножение продолжается до тех пор, пока не получат полного произведения.
Умножение чисел на 10, 100, 1000 …
Умножить числа на 10 значит простые единицы превратить в десятки, десятки в сотни и т. д., то есть повысить порядок всех цифр на единицу. Этого достигают, прибавляя справа один нуль. Умножить на 100 значит повысить все порядки множимого двумя единицами, то есть превратить единицы в сотни, десятки в тысячи и т. д.
Этого достигают, приписывая к числу два нуля.
Отсюда заключаем:
Для умножения целого числа на 10, 100, 1000 и вообще на 1 с нулями нужно приписать справа столько нулей, сколько их находится во множителе.
Умножение числа 6035 на 1000 выразится письменно:
Когда множитель есть число, оканчивающееся нулями, подписывают под множимым только значащие цифры, а нули множителя приписывают справа.
Умножение на число с нулями в конце
Чтобы умножить 2039 на 300 нужно взять число 2029 слагаемым 300 раз. Взять 300 слагаемых все-равно, что взять три раза по 100 слагаемых или 100 раз по три слагаемых. Для этого умножаем число на 3, а потом на 100, или умножаем сначала на 3, а потом приписываем справа два нуля.
Ход вычисления выразится письменно:
Правило. Чтобы умножить одно число на другое, изображаемое цифрой с нулями, нужно сначала помножить множимое на число, выражаемое значащей цифрой, и затем приписать столько нулей, сколько их находится в множителе.
Умножение многозначного числа на многозначное
Чтобы умножить многозначное число 3029 на многозначное 429, или найти произведение 3029 * 429, нужно повторить 3029 слагаемым 429 раз и найти сумму.
Три произведения
называются частными произведениями.
Полное произведение 3029 × 429 равно сумме трех частных:
3029 × 429 = 3029 × 9 + 3029 × 20 + 3029 × 400.
Найдем величины этих трех частных произведений.
Умножая 3029 на 9, находим:
3029 × 9 27261 первое частное произведение
Умножая 3029 на 20, находим:
3029 × 20 60580 второе частное произведение
Умножая 3026 на 400, находим:
3029 × 400 1211600 третье частно произведение
Сложив эти частные произведения, получим произведение 3029 × 429:
Не трудно заметить, что все эти частные произведения есть произведения числа 3029 на однозначные числа 9, 2, 4, причем ко второму произведению, происходящему от умножения на десятки, приписывается один нуль, к третьему два нуля.
Нули, приписываемые к частным произведениям, опускают при умножении и ход вычисления выражают письменно:
В таком случае, при умножении на 2 (цифру десятков множителя) подписывают 8 под десятками, или отступают влево на одну цифру; при умножении на цифру сотен 4, подписывают 6 в третьем столбце, или отступают влево на 2 цифры. Вообще каждое частное произведение начинают подписывать от правой руки к левой под тем порядком, к которому принадлежит цифра множителя.
Отыскивая произведение 3247 на 209, имеем:
Здесь второе частное произведение начинаем подписывать под третьим столбцом, ибо оно выражает произведение 3247 на 2, третью цифру множителя.
Мы здесь опустили только два нуля, которые должны были явиться во втором частном произведении, как как оно выражает произведение числа на 2 сотни или на 200.
Из всего сказанного выводим правило. Чтобы умножить многозначное число на многозначное,
нужно множителя подписать под множимым так, чтобы цифры одинаковых порядков находились в одном вертикальном столбце, поставить слева знак умножения и провести черту.
Умножение начинают с простых единиц, затем переходят от правой руки к левой, умножают последовательное множимое на цифру десятков, сотен и т. д. и составляют столько частных произведений, сколько значащих цифр во множителе.
Единицы каждого частного произведения подписывают под тем столбцом, к которому принадлежит цифра множителя.
Все частные произведения, найденные таким образом, складывают вместе и получают в сумме произведение.
Чтобы умножить многозначное число на множитель, оканчивающейся нулями, нужно отбросить нули во множителе, умножить на оставшееся число и потом приписать к произведению столько нулей, сколько их находится во множителе.
Пример. Найти произведение 342 на 2700.
Если множимое и множитель оба оканчиваются нулями, при умножении отбрасывают их и затем к произведению приписывают столько нулей, сколько их содержится в обоих производителях.
Пример. Вычисляя произведение 2700 на 35000, умножаем 27 на 35
Приписывая к 945 пять нулей, получаем искомое произведение:
2700 × 35000 = 94500000.
Число цифр произведения. Число цифр произведения 3728 × 496 можно определить следующим образом. Это произведение более 3728 × 100 и меньше 3728 × 1000. Число цифр первого произведения 6 равно числу цифр в множимом 3728 и во множителе 496 без единицы. Число цифр второго произведения 7 равно числу цифр во множимом и во множителе. Данное произведение 3728 × 496 не может иметь цифр менее 6 (числа цифр произведения 3728 × 100, и более 7 (числа цифр произведения 3728 × 1000).
Откуда заключаем: число цифр всякого произведения или равно числу цифр во множимом и во множителе, или равно этому числу без единицы.
В нашем произведении может содержаться или 7 или 6 цифр.
Степени
Между различными произведениями заслуживают особого внимания такие, в которых производители равны.
Так, например:
2 × 2 = 4, 3 × 3 = 9.
Квадраты. Произведение двух равных множителей называется квадратом числа.
В наших примерах 4 есть квадрат 2, 9 есть квадрат 3.
Кубы. Произведение трех равных множителей называется кубом числа.
Так, в примерах 2 × 2 × 2 = 8, 3 × 3 × 3 = 27, число 8 есть куб 2, 27 есть куб 3.
Вообще произведение нескольких равных множителей называется степенью числа. Степени получают свои названия от числа равных множителей.
Произведения двух равных множителей или квадраты называются вторыми степенями.
Произведения трех равных множителей или кубы называются третьими степенями, и т. д.
Умножение показателей — Правила | Умножение показателей
Перемножение двух членов с показателями степени называется умножением показателей степени . Умножение показателей степени включает определенные правила в зависимости от основания и степени.
Иногда нам нужно умножать отрицательные показатели или умножать показатели с одинаковым основанием или с разными основаниями. Во всех этих случаях мы следуем разным правилам. Давайте узнаем больше об умножении показателей в этой статье.
| 1. | Что такое умножение показателей? |
| 2. | Умножение показателей степени с одинаковым основанием |
| 3. | Умножение показателей степени с разным основанием |
| 4. | Часто задаваемые вопросы по умножению показателей |
Что такое умножение показателей?
Прежде чем исследовать концепцию умножения показателей степени, давайте вспомним значение показателей степени. Показатель степени можно определить как количество раз, когда величина умножается сама на себя. Например, когда 2 умножается трижды само на себя, это выражается как 2 × 2 × 2 = 2 3 .
Здесь 2 — это основание , а 3 — степень или показатель степени . Читается как «2 в степени 3».
Теперь давайте обсудим, что означают показатели степени умножения. Когда любые два члена с показателями умножаются, это называется умножением показателей. Давайте рассмотрим различные случаи с помощью примеров, чтобы лучше понять концепцию.
Умножение показателей степени с одинаковым основанием
Рассмотрим два термина с одинаковым основанием, то есть н и м . Здесь основание равно «а». При перемножении членов с одинаковым основанием степени складываются, т. е. a m × a n = a {m+n}
Давайте рассмотрим несколько примеров, чтобы понять, как добавляются полномочия.
Пример 1: Умножить 2 4 × 2 2
Решение: Здесь основание то же, то есть 2.
По правилу сложим степени, 2 4 × 2 2 = 2 (4+2) = 2 6 = 64.
Проверим ответ. 2 4 × 2 2 = (2 × 2 × 2 × 2) × (2 × 2) = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 2 6 = 64
Пример 2: Найдите произведение 10 45 и 10 39
Решение: В данном вопросе основание одно и то же, то есть 10. По правилу сложим степени, 10 45 × 10 39 = 10 (45+39) = 10 84 .
Будет ли правило оставаться прежним, если базы будут другими? Давайте посмотрим на это в следующем разделе.
Умножение показателей степени с разным основанием
Когда два числа или переменные имеют разное основание, мы можем умножать выражения, следуя некоторым основным правилам возведения в степень. Здесь у нас есть два сценария, как указано ниже.
Когда базы разные, а силы одинаковые.
Рассмотрим два выражения с разными основаниями и одинаковой степенью a n и b n .
Здесь основания равны a и b, а мощность равна n. При умножении показателей степени с разными основаниями и одинаковыми степенями сначала умножаются основания. Это может быть записано математически как n × b n = (a × b) n
Пример: Найдите произведение 5 2 и 8 2
Решение: Здесь базы разные, а силы одинаковые. Итак, применяя правило, мы сначала умножим основания, то есть 5 2 × 8 2 = (5 × 8) 2 = 40 2 = 1600
Когда основания и степени другой.
Рассмотрим два выражения с разными основаниями и степенями a n и b m . Здесь основаниями являются a и b. Степени равны n и m. При перемножении выражений с разными основаниями и разной степенью каждое выражение вычисляется отдельно, а затем перемножается. Это может быть записано математически как n × b m = (a n ) × (b m )
Пример: Умножьте выражения: 10 3 × 7 900 39 2
Решение: Здесь базы и полномочия разные.
Поэтому каждое условие будет решаться отдельно. 10 3 × 7 2 = 1000 × 49 = 49000.
Вспомним правила умножения показателей степени с одинаковым основанием и с разными основаниями на следующем рисунке.
Умножение отрицательных показателей
Отрицательные показатели говорят нам, сколько раз нам нужно умножить обратное основание. Другими словами, мы можем преобразовать отрицательную экспоненту в положительную, написав обратную величину данного члена, а затем мы можем решить его как положительный член. Например, 2 -3 можно записать как 1/2 3 . Для умножения отрицательных показателей нам необходимо следовать определенным правилам, которые приведены в следующей таблице.
| Чемоданы | Правила |
|---|---|
| Когда базы одинаковые. | a -n × a -m = a -(n+m) = 1/a {n+m} |
Когда основания разные, а отрицательные степени одинаковы. | a -n × b -n = (a × b) -n = 1/(a × b) n |
| Когда основания и отрицательные степени различны. | а -n × b -m = (a -n ) × (b -m ) |
Теперь давайте разберемся в этих правилах с помощью следующих примеров.
Пример 1: Найдите произведение 2 -3 и 2 -9
Решение: Здесь одно и то же основание, то есть 2. Степени отрицательны и различны. Таким образом, 2 -3 × 2 -9 = 2 -(3+9) = 2 -12 = 1/2 12 = 1/4096 ≈ 0,000244
Пример 2: Умножить 6 -3 × 3 -3 90 005
Решение: Здесь базы разные и отрицательные силы одинаковы. Таким образом, 6 -3 × 3 -3 = (6 × 3) -3 = 18 -3 = 1/18 3 = 1/5832 ≈ 0,0001715
Пример 3: Умножить 7 -2 × 6 -3
Решение: Здесь разные основания и отрицательные степени.
Таким образом, 7 -2 × 6 -3 = 1/7 2 × 1/6 3 = 1/(7 2 × 6 3 ) ≈ 9,45 × 10 9 0039 -5
Умножение показателей with Variables
Если основанием термина является переменная, мы используем те же правила умножения степени, что и для чисел.
Когда основания переменных одинаковы, степени складываются.
Пример: Найдите произведение 4 и 10
Решение: Переменное основание такое же, то есть «а». Итак, мы сложим показатели: .
Пример: Умножить a 17 × b 17
Решение: Переменные основания разные, а степени одинаковые, то есть a 17 × b 17 = (a × b) 17 = (ab) 17
Когда переменные основания и степени различны, члены вычисляются отдельно, а затем перемножаются.
Пример: Найдите произведение x 8 и y 9 .
Решение: Переменные основания и степени различны, т.е. Квадратный корень
В этом разделе мы рассмотрим умножение показателей степени, где основания имеют квадратный корень. Следует отметить, что правила экспоненты остаются теми же, если основаниями являются квадратные корни.
Помимо этого, следует помнить один важный момент: мы можем преобразовать радикалы в рациональные показатели, а затем умножить данные выражения. Например, квадратный корень из положительного числа √a можно выразить в виде рационального показателя следующим образом. √а = а 1/2 . Теперь, когда нам нужно переписать данный экспоненциальный член как рациональный показатель, мы умножаем существующую степень на 1/2. Например, если нам нужно перепишем √5 3 как рациональный показатель, мы сначала преобразуем радикал √5 в 5 1/2 , затем умножим степень 3 на 1/2, что составит 3/2.
Теперь радикал √5 3 преобразуется в рациональный показатель и записывается как 5 3/2 .
Правила умножения показателей степени с квадратным корнем
Теперь давайте воспользуемся правилами умножения показателей степени, применимыми к выражениям, в которых основанием являются квадратные корни.
Когда основания квадратного корня совпадают, степени складываются.
Пример: Найдите произведение (√5) 2 и (√5) 7 .
Решение: Основания квадратного корня одинаковы. Таким образом, (√5) 2 × (√5) 7 = (√5) 2+7 = (√5) 9 = (5) 1/2 × 9 = (5) 9/2
Если основания квадратного корня разные, а степени одинаковые, сначала умножаются основания.
Пример: Умножить (√5) 3 × (√7) 3
Решение: Основания квадратного корня разные, а степени одинаковые.
Таким образом, (√5) 3 и (√7) 3 = (√5 × √7) 3 = [√(5×7)] 3 = (√35) 3 = ( 35) 3/2
Когда основания квадратного корня и степени различаются, показатели степени оцениваются отдельно, а затем перемножаются.
Пример: Найдите произведение (√5) 3 и (√7) 4
Решение: Основания квадратного корня и степени различны. Таким образом, (√5) 3 × (√7) 4 = 11,18 × 49 ≈ 547,82
Правила умножения показателей степени на дроби
Если основанием выражения является дробь, возведенная в степень, мы используйте те же правила экспоненты, которые используются для оснований, являющихся целыми числами. Обратите внимание на следующую таблицу, чтобы увидеть различные сценарии.
| Чемоданы | Правила |
|---|---|
Когда основания дробей одинаковы. | (а/б) н × (а/б) м = (а/б) н+м |
| Когда основания дробей разные, а степени одинаковые. | (a/b) n × (c/d) n = (a/b × c/d) n |
| Когда основания дробей и степени разные. | (a/b) n × (c/d) m = (a n × c m )/(b n × d m ) |
Давайте рассмотрим несколько решенных примеров, чтобы лучше понять это.
Пример 1: Найдите произведение (2/3) 2 и (15/8) 2
Решение: Здесь основания дробей разные, но степени одинаковы. Таким образом, применяя указанное выше правило, (2/3) 2 × (15/8) 2 = (2/3 × 15/8) 2 = (5/4) 2 = 5 2 /4 2 = 25/16 9 0005
Пример 2: Умножить (2/3) 2 × (2/3) 5
Решение: Здесь основания дробей одинаковы.
(2/3) 2 × (2/3) 5 = (2/3) 2+5 = Таким образом, (2/3) 7 = 2 7 /3 7 = 128/2187.
Пример 3: Умножить (3/4) 2 × (2/3) 3
Решение: Здесь дробные основания и степени разные. Итак, сначала будем решать каждое слагаемое отдельно, а потом двигаться дальше. (3/4) 2 × (2/3) 3 = Таким образом, (3 2 × 2 3 )/(4 2 × 3 3 ) = (9 × 8)/ (16 × 27) = 1/6.
Как умножать дробные степени?
Когда термин имеет дробную степень, он называется дробным показателем. Например, 2 3/5 — дробная экспонента. Давайте разберемся с правилами, применяемыми для умножения дробных показателей, с помощью следующей таблицы.
| Чемоданы | Правила |
|---|---|
Когда базы одинаковые. | а н/м × а к/й = а н/м+к/й |
| Когда основания разные, но дробные степени одинаковы. | a н/м × b н/м = (a×b) н/м |
| Когда основания и дробные степени разные. | а н/м × b к/дж = (а н/м ) × (б к/дж ) |
Давайте разберемся в этих правилах с помощью следующих примеров.
Пример 1: Умножить 2 1/2 и 2 3/2
Решение: Здесь базы одинаковые. Таким образом, 2 1/2 × 2 3/2 = 2 1/2+3/2 = 2 4/2 = 2 2 = 4
Пример 2 : Найти продукт числа 2 1/2 и 3 1/2
Решение: Здесь основания разные, но дробные степени одинаковы. Таким образом, 2 1/2 × 3 1/2 = (2×3) 1/2 = 6 1/2 = √6
Пример 3: Умножьте 4 2/3 × 2 1/3
Решение: Здесь основания и дробные степени разные.
Таким образом, 4 2/3 × 2 1/3 ≈ 2,52 × 1,26 = 3,1752
Советы по умножению показателей:
- 0) равно 0,
- Любое число, возведенное в нулевую степень, равно 1.
- Показатель степени — это способ выражения многократного умножения.
☛ Похожие темы
- Экспоненциальные уравнения
- Иррациональные Показатели
- Экспоненциальная функция
- Операции с экспоненциальными членами
Часто задаваемые вопросы по умножению показателей степени
Как работает умножение показателей степени?
Умножение показателей означает нахождение произведения двух членов, имеющих показатели степени. Поскольку существуют разные сценарии, такие как разные базы или разные силы, для их решения применяются разные правила экспоненты. Ниже приведены некоторые основные правила, которые используются почти во всех случаях.
- При умножении членов с одинаковым основанием степени складываются, т. е. a m × a n = a (m+n)
- Чтобы умножить члены с разными основаниями и одинаковыми степенями, сначала умножаются основания. Математически это можно записать как
- При перемножении терминов с разными основаниями и разной степенью каждый термин оценивается отдельно, а затем перемножается. можно записать как n × b м = (a n ) × (b м )
е. a m × a n = a (m+n) Можно ли умножать показатели степени с разными коэффициентами?
Да, выражения с разными коэффициентами можно перемножать. Коэффициенты умножаются отдельно, как показано в примере. Например, 3a 2 × 4a 3 = (3 × 4) × (a 2 × a 3 ) = 12a 5 .
При умножении степеней вы складываете степени?
При перемножении показателей степени с одинаковыми основаниями степени складываются. Например, 3 4 × 3 5 = 3 ( 4+5) = 3 9
Как умножать степени с разными основаниями?
Для умножения показателей степени с разными основаниями и одинаковыми степенями основания умножаются, а степень записывается вне скобок.
а n × b n = (a × b) n . Например, 2 2 × 3 2 = (2 × 3) 2 = 6 2 = 36. Однако, когда мы умножаем показатели степени с разными основаниями и разными степенями, каждый показатель степени решается отдельно, а затем они умножаются. n × b м = (a n ) × (b м ). Например, 2 2 × 5 4 = (2) 2 × (5) 4 = 4 × 625 = 2500.
Что означает умножение показателей степени с одинаковым основанием?
Умножение степеней с одинаковым основанием означает, что основания одинаковы, а степени разные. В этом случае основание остается общим, а разные степени добавляются, т. е. a m × a n = a (м+н) . Например, 2 3 × 2 4 = 2 (3 + 4) = 2 7 = 128
Как умножать числа в скобках?
Когда показатели степени умножаются на скобки, степень вне скобок умножается на каждую степень внутри скобок.
Например, (2a 2 b 3 ) 2 = 2 2 × a (2 × 2) × b (3 × 2) = 4a 4 900 40 б 6 .
Каковы правила умножения показателей степени?
При умножении показателей степени используются разные правила. Основные правила умножения показателей приведены ниже.
- При перемножении выражений с одинаковым основанием степени складываются, т.е.
- При перемножении выражений с разными основаниями и одинаковыми степенями общая степень записывается вне скобок, т. е. a n × b n = (a × b) п
- При перемножении выражений с разными основаниями и разными степенями каждый член вычисляется отдельно, а затем умножается, т. е.
Как умножать степени с отрицательными степенями?
Умножение показателей с отрицательными степенями следует тому же набору правил, что и умножение показателей с положительными степенями. Единственная разница здесь в том, что мы должны быть осторожны со сложением и вычитанием целых чисел для него.
Например, 2 -3 × 2 -9 = 2 -(3+9) = 2 -12 = 1/2 12 = 1/4096 ≈ 0,000244
Как умножать экспоненты с переменными?
Чтобы умножить показатели степени на переменные, мы используем те же правила, что и для чисел. Например, давайте умножим y 5 × y 3 . По экспоненциальному правилу умножения с одинаковым основанием складываем степени. Это означает, что будет y 5 × y 3 = y 5 + 3 = у 8 .
Описание | Правило в Символическая форма | Правило в словах | Пример |
| Продукт с той же базой | | Когда умножая как базы, оставьте базу такой же и добавьте показатели степени.  | |
ВЕРХ
| |||
Продукт с той же базой Частное с той же базой Коэффициент в степени Отрицательный силы Сила в степени Товар в степени Ноль мощность Коэффициент с отрицательной силой
| |||
Описание | Правило в Символическая форма | Правило в словах | Пример |
| Мощность к мощности | Когда
возведение основания со степенью в другую степень, держите основание
то же самое и умножить показатели. | ||
ВЕРХ
| |||
Товар с той же базой Частное с той же базой Коэффициент в степени Отрицательный полномочия Мощность в степени Товар в степени Ноль мощность Коэффициент с отрицательной силой
| |||
Описание | Правило в Символическая форма | Правило в словах | Пример |
| частное с той же базой | Когда
делим как основания, оставляем основание одинаковым и вычитаем
показатель степени знаменателя из показателя степени числителя. | ||
ВЕРХ
| |||
Продукт с той же базой Частное с той же базой Коэффициент в степени Отрицательный полномочия Мощность в степени Товар в степени Ноль мощность Коэффициент с отрицательной силой
| |||
Описание | Правило в Символическая форма | Правило в словах | Пример |
| Продукт до мощности | Когда
возводя произведение в степень, распределяем мощность на каждый множитель. | ||
ВЕРХ
| |||
Товар с той же базой Частное с той же базой Коэффициент в степени Отрицательный полномочия Мощность в степени Товар в степени Ноль мощность Коэффициент с отрицательной силой
| |||
Описание | Правило в Символическая форма | Правило в словах | Пример |
| частное к мощности | Когда
возводя дробь в степень, распределите степени на каждый множитель
числитель и знаменатель дроби. | ||
ВЕРХ
| |||
Товар с той же базой Частное с той же базой Коэффициент в степени Отрицательный полномочия Мощность в степени Товар в степени Ноль мощность Коэффициент с отрицательной силой
| |||
Описание | Правило в Символическая форма | Правило в словах | Пример |
| ноль мощность | Что угодно
в нулевой степени равен единице. | ||
ВЕРХ
| |||
Товар с той же базой Частное с той же базой Коэффициент в степени Отрицательный полномочия Мощность в степени Товар в степени Ноль мощность Коэффициент с отрицательной силой
| |||
Описание | Правило в Символическая форма | Правило в словах | Пример |
| отрицательный сила | Отрицательный
показатели обозначают деление. В частности, найти обратную величину
база. Когда основание поднято на отрицательная сила, возвратить (найти обратную) основу, сохранить показатель степени с исходным основанием и отбросить отрицательный. | ||
ВЕРХ
| |||
Товар с той же базой Частное с той же базой Коэффициент в степени Отрицательный полномочия Мощность в степени Товар в степени Ноль мощность Коэффициент с отрицательной мощностью
| |||
Описание | Правило в Символическая форма | Правило в словах | Пример |
| частное с отрицательной мощностью | Отрицательный
показатели обозначают деление. | ||