Двойной факториал: Двойной факториал числа — расчет онлайн и формула

Двойной факториал — формула и онлайн калькулятор для быстрого расчета

Использование двойного факториала может быть полезным при решении математических задач, которые требуют знания четности чисел. Он может также использоваться в комбинаторике и теории вероятностей для подсчета числа перестановок элементов множества.

Содержание:

1. калькулятор двойного факториала
2. что такое двойной факториал
3. формула двойного факториала
4. примеры нахождения двойного факториала
5. таблица двойных факториалов
6. примеры задач с использованием двойных факториалов

Что такое двойной факториал

Двойной факториал – это математическая операция, которая применяется к натуральным числам и обозначается как n!! (читается как «n двойной факториал«). Она представляет собой произведение всех чисел, меньших или равных n, с одинаковой четностью. Если n четное, то двойной факториал будет равен произведению всех четных чисел от 2 до n, а если n нечетное, то он будет равен произведению всех нечетных чисел от 1 до n.

Формула двойного факториала

{n!! = \begin{cases} n \cdot (n-1)…5\cdot3\cdot1 & \text{если } n>0 \; и \; нечётное \\ n \cdot (n-2)…6\cdot4\cdot2 & \text{если } n>0 \; и \; чётное \\ 1 & \text{если } n=-1, 0 \\ \end{cases}}

n — число, для которого рассчитывается двойной факториал

Примеры вычисления двойного факториала

Пример 1

Найдите двойной факториал 7.

Решение

Так как число 7 нечётное, то для нахождения двойного факториала 7 по формуле нам необходимо перемножить все нечетные числа от 7 до 1:

7!! = 7 x 5 x 3 x 1 = 105

Ответ: 7!! = 105

Полученный ответ легко проверить на калькуляторе .

Пример 2

Найдите двойной факториал 6.

Решение

Число 6 чётное, значит для нахождения двойного факториала 6 нам необходимо перемножить все четные числа от 6 до 2:

6!! = 6 x 4 x 2 = 48

Ответ: 6!! = 48

Проверим ответ с помощьюкалькулятора .

Таблица двойных факториалов

0!!	1
1!!	1
2!!	2
3!!	3
4!!	8
5!!	15
6!!	48
7!!	105
8!!	384
9!!	945
10!!	3840
11!!	10395
12!!	46080
13!!	135135
14!!	645120
15!!	2027025
16!!	10321920
17!!	34459425
18!!	185794560
19!!	654729075
20!!	3715891200
21!!	13749310575
22!!	81749606400
23!!	316234143225
24!!	1961990553600
25!!	7905853580625
26!!	51011754393600
27!!	213458046676875
28!!	1428329123020800
29!!	6190283353629375
30!!	42849873690624000
31!!	191898783962510625
32!!	1371195958099968000
33!!	6332659870762850625
34!!	46620662575398912000
35!!	221643095476699771875
36!!	1678343852714360832000
37!!	8200794532637891559375
38!!	63777066403145711616000
39!!	319830986772877770815625
40!!	2551082656125828464640000
41!!	13113070457687988603440625
42!!	107145471557284795514880000
43!!	563862029680583509947946875
44!!	4714400748520531002654720000
45!!	25373791335626257947657609375
46!!	216862434431944426122117120000
47!!	1192568192774434123539907640625
48!!	10409396852733332453861621760000
49!!	58435841445947272053455474390625
50!!	520469842636666622693081088000000

Надеемся, эта таблица будет полезна вам при решении задач, связанных с двойным факториалом.

Примеры задач на двойной факториал

Задача 1

Сколькими способами можно выбрать команду из 6 человек, если группа состоит из 10 человек, а в команде должно быть ровно 3 мужчины и 3 женщины?

Решение

Для решения этой задачи нужно вычислить количество способов выбрать 3 мужчин и 3 женщин из 5 мужчин и 5 женщин. Количество способов выбрать 3 мужчин из 5 равно 5!!, а количество способов выбрать 3 женщин из 5 равно 5!!. Таким образом, общее количество способов выбрать команду из 6 человек равно произведению двойных факториалов: 5!! × 5!! = 1200.

Ответ: 1200.

Задача 2

На факультете информатики 10 студентов, и они должны разбиться на 5 пар для выполнения лабораторных работ. Сколько существует различных комбинаций пар?

Решение

Для того, чтобы получить количество различных комбинаций пар, нужно вычислить двойной факториал от числа студентов (10!!), а затем поделить его на произведение двойных факториалов от числа студентов в каждой паре (2!!). 5 = (10 × 8 × 6 × 4 × 2) / (2 × 2 × 2 × 2 × 2) = 945

То есть, существует 945 различных комбинаций пар из 10 студентов.

Ответ: 945.

Задача 3

Сколько различных способов можно использовать, чтобы расставить 6 книг на 3 полках так, чтобы на каждой полке лежало хотя бы по одной книге?

Решение

Первую полку можно заполнить любой из 6 книг, вторую — любой из 5 оставшихся книг, а третью — любой из 4 оставшихся книг. Таким образом, количество способов расставить книги на полках равно произведению двойных факториалов: 6!! × 5!! × 4!! = 46080.

Ответ: 46080.

Задача 4

Сколько существует перестановок букв в слове «БАБУШКА»?

Решение

В слове «БАБУШКА» 2 буквы «Б», 2 буквы «У», 1 буква «А», 1 буква «Ш» и 1 буква «К». Количество перестановок букв в этом слове равно произведению двойных факториалов для каждой буквы: 2!! × 2!! × 1!! × 1!! × 1!! × 1!! = 8.

Ответ: 8.

Задача 5

Сколько существует способов разложить число 10 в сумму нечетных положительных целых чисел?

Решение

Число 10 можно разложить в сумму нечетных чисел следующим образом: 1 + 3 + 5 + 1. Количество способов разложить число 10 в сумму нечетных положительных целых чисел равно произведению двойных факториалов: 5!! × 3!! × 1!! = 15.

Ответ: 15.

Двойной факториал можно использовать для вычисления произведения чисел с определенной четностью. Например, произведение всех нечетных чисел от 1 до 15 равно 15!!, а произведение всех четных чисел от 2 до 14 равно 14!! (см. формулу факториала).

Таким образом, двойной факториал может быть использован в различных задачах, связанных с комбинаторикой, теорией вероятностей и математическим анализом. Он позволяет более эффективно решать задачи, связанные с четностью чисел и перестановками элементов множества.

Двойной факториал | это… Что такое Двойной факториал?

Факториа́л числа n (обозначается n!, произносится эн факториа́л) — произведение всех натуральных чисел до n включительно:

.

По определению полагают 0! = 1.

Факториал определён только для целых неотрицательных чисел.

Эта функция часто используется в комбинаторике, теории чисел и функциональном анализе.

Иногда словом «факториал» неформально называют восклицательный знак.

Содержание 1 Свойства 1.1 Комбинаторное определение 1.2 Связь с гамма-функцией 1.3 Формула Стирлинга 1.4 Разложение на простые числа 1.5 Другие свойства 2 Обобщения 2.1 Двойной факториал 2.2 Убывающий факториал 2.3 Возрастающий факториал 2.4 Праймориал или примориал 2.5 Суперфакториалы 2.6 Субфакториал 3 Ссылки 4 См. также

Свойства

Комбинаторное определение

В комбинаторике факториал определяется как количество перестановок множества из n элементов. Например, элементы множества {

A,B,C,D} можно линейно упорядочить 4!=24 способами:

ABCD  BACD  CABD  DABC
ABDC  BADC  CADB  DACB
ACBD  BCAD  CBAD  DBAC
ACDB  BCDA  CBDA  DBCA
ADBC  BDAC  CDAB  DCAB
ADCB  BDCA  CDBA  DCBA

Связь с гамма-функцией

Факториал связан с гамма-функцией от целочисленного аргумента соотношением:

n! = Γ(n + 1)

Таким образом, гамма-функцию рассматривают как обобщение факториала для положительных вещественных чисел. Путём аналитического продолжения её также расширяют и на всю комплексную плоскость, исключая особые точки при .

Формула Стирлинга

Формула Стирлинга — асимптотическая формула для вычисления факториала:

см. O-большое. Коэффициенты этого разложения дают последовательность A001163 в OEIS (числители) и последовательность A001164 в OEIS (знаменатели).

Во многих случаях для приближенного значения факториала достаточно рассматривать только главный член формулы Стирлинга:

При этом можно утверждать, что

Разложение на простые числа

Каждое простое число p входит в разложение n! на простые в степени

Таким образом,

,

где произведение берется по всем простым числам.

Другие свойства

• x!² > x^x > x! > = x, при x>1

Обобщения

Двойной факториал

Двойной факториал числа n обозначается n!! и определяется как произведение всех натуральных чисел в отрезке [1,n], имеющих ту же чётность что и n. Таким образом,

По определению полагают 0!! = 1.

Убывающий факториал

Убывающим факториалом (или неполным факториалом

) называется выражение

Убывающий факториал дает число размещений из n по k.

Возрастающий факториал

Возрастающим факториалом называется выражение

Праймориал или примориал

Примориал (англ. Primorial) числа n обозначается n# и определяется как произведение простых чисел, не превышающих n. Например,

Последовательность праймориалов начинается так:

2, 6, 30, 210, 2310, 30030, 510510, 9699690, … (последовательность A002110 в OEIS)

Суперфакториалы

Основная статья: Большие числа

Нейл Слоан и Саймон Плоуф (англ.) в 1995 году определили суперфакториал как произведение первых n факториалов. Согласно этому определению суперфакториал четырёх равен (поскольку устоявшегося обозначения нет, используется функциональное)

В общем

Последовательность суперфакториалов начинается (с n = 0) с

1, 1, 2, 12, 288, 34560, 24883200, … (последовательность A000178 в OEIS)

Идея была обобщена в 2000 Генри Боттомли (англ.), что привело к гиперфакториалам (англ. Super-duper-factorial), которые являются произведением первых n суперфакториалов. Первые члены (с n = 0) равны:

1, 1, 2, 24, 6912, 238878720, 5944066965504000, … (последовательность A055462 в OEIS)

Продолжая рекуррентно, можно определить факториал кратного уровня, где m-уровневый факториал n — произведение первых n (m − 1)-уровневых факториалов, то есть

где для n > 0 и .

Субфакториал

Основная статья: Субфакториал

Субфакториал определяется как количество беспорядков порядка , то есть перестановок -элементного множества без неподвижных точек.

Ссылки

• Онлайн Калькулятор Факториалов

См. также

• Факторион

двойных факториалов и мультифакториалов | Brilliant Math & Science Wiki

Для любого неотрицательного целого числа \(n,\) мы находим, что

\[\dfrac{n!}{n!!}=(n-1)!! ~~\text{ или }~~ n!=(n-1)!!×n!!.\]

У нас есть следующие 2 случая:

• Если \(n\) равно нечетному , \[\dfrac{n!}{n!!}=\dfrac{n\times (n-1)\times (n-2)\times \cdots \ раз 3\раз 2\раз 1}{n\раз (n-2)\раз (n-4)\раз \cdots 5\раз 3\раз 1}.\] Поскольку все нечетные числа \(n, n -2, n-4, \ldots , 5, 3\) сокращаются, остается уравнение \[\dfrac{n!}{n!!}=(n-1)!!.\]
• Если \(n\) равно даже , \[\dfrac{n!}{n!!}=\dfrac{n\times (n-1)\times (n-2)\times \cdots \times 3\times 2\times 1}{n\times (n-2)\times (n-4)\times \cdots \times 4\times 2}.\] Поскольку все четные числа \(n, n-2 , n-4, \ldots , 4, 2\) сокращаются, остается уравнение \[\dfrac{n!}{n!!}=(n-1)!!.
  \]

Комбинируя оба случая, мы находим, что для любых неотрицательных целых чисел \(n\), \[\dfrac{n!}{n!!}=(n-1)!!. \ _\квадрат\]

Предположим, что \(n!!\) определяется следующим образом:

\[ п!! = \begin{cases} n \times (n-2) \times \cdots \times 5 \times 3 \times 1 &\text{if } n \text{ нечетно}; \\ n \times (n-2) \times \cdots \times 6 \times 4 \times 2 &\text{если} n \text{четно}; \\ 1 &\text{if } n = 0, — 1. \\ \end{cases} \]

Тогда что такое

\[\color{red}{\dfrac{9!}{6!!}} \div \color{green}{\dfrac{9!!}{6!}}?\]

Для любого неотрицательного целого числа \(n,\) мы находим, что

\[\dfrac{(2n+1)!}{(2n)!!}=(2n+1)!!.\]

Здесь нет необходимости рассматривать два отдельных случая, потому что не имеет значения, является ли \(n\) нечетным или четным.

Мы можем расширить LHS как

\[\dfrac{(2n+1)\times (2n)\times (2n-1)\times \cdots \times 3\times 2\times 1}{(2n)\times (2n-2)\times (2n-4)\раз \cdots \раз 4\раз 2}. \]

Поскольку все четные числа \(2n, 2n-2, 2n-4, \ldots, 4, 2\) сокращаются, у нас остается уравнение

\[\dfrac{(2n+1)!}{(2n)!!}=(2n+1)!!. \ _\квадрат\]

Вычислите \(\frac {9!}{9!!}\).

---

Так как \(\frac {n!}{n!!}=(n-1)!!\), подставляя значения, получаем

\[\начать {выравнивание} \dfrac{9!}{9!!}&=(9-1)!!\\ &=8!!\\ &=8×6×4×2\\ &=384. \ _\квадрат \конец{выравнивание}\]

Вычислите \(\frac {(3!)!}{3!!}\).

---

У нас есть

\[\начать {выравнивание} \dfrac {(3!)!}{3!!} &=\dfrac {(3×2×1)!}{3×1}\\ &=\dfrac {6!}{3}\\ &=\dfrac {6×5×4×3×2×1}{3}\\ &=\dfrac {720}{3}\\ &=240. \ _\квадрат \конец{выравнивание}\]

\[\Large{\color{green}{\dfrac{9!}{8!!}}} \div {\color{orange}{\dfrac{7!}{6!!}}} = \, ? \]

Обозначение:

\[ п!! = \begin{cases} n \times (n-2) \times \cdots \times 5 \times 3 \times 1 && \text{if } n \text{ нечетно;} \\ n \times (n-2) \times \cdots \times 6 \times 4 \times 2 && \text{если } n \text{ четно;} \\ 1 && \text{if } n = 0, — 1. \\ \end{cases} \]

---

Попробуйте первую часть здесь!

Для любого неотрицательного целого числа \(n\) мы находим, что

\[\dfrac{(2n-1)!}{(2n-2)!!}=(2n-1)!!.\]

Опять же, здесь нет необходимости рассматривать два отдельных случая. Мы можем расширить LHS как

\[\dfrac{(2n-1)\times (2n-2)\times (2n-3)\times \cdots \times 3\times 2\times 1}{(2n-2)\times (2n- 4)\раз \cdots \раз 4\раз 2}.\]

Поскольку все четные числа \(2n-2, 2n-4, \ldots , 4, 2\) сокращаются, у нас остается уравнение

\[\dfrac{(2n-1)!}{(2n-2)!!}=(2n-1)!!. \ _\квадрат\]

Вычислите \(\frac{9!}{8!!}\).

---

У нас есть

\[ \begin{align}
\dfrac { 9! } {8!!} &= \dfrac{ (2 \times 5 — 1) ! } { (2 \ раз 5 — 2 ) !! } \\ &= (2 \times 5 — 1 )!! \\ &= 9 !! \\ &= 9 \× 7 \× 5 \× 3 \× 1 \\ &= 945. \ _\квадрат \конец{выравнивание} \]

Функция FACTDOUBLE — служба поддержки Microsoft

Excel для Microsoft 365 Excel для Microsoft 365 для Mac Excel для Интернета Excel 2021 Excel 2021 для Mac Excel 2019Excel 2019 для Mac Excel 2016 Excel 2016 для Mac Excel 2013 Excel 2010 Excel 2007 Excel для Mac 2011 Excel Starter 2010 Больше. ..Меньше

В этой статье описаны синтаксис формулы и использование функции

FACTDOUBLE  в Microsoft Excel.

Описание

Возвращает двойной факториал числа.

Синтаксис

FACTDOUBLE(число)

Синтаксис функции FACTDOUBLE имеет следующие аргументы:

Замечания

• Если число не является числом, функция ДВОЙНОЙ ФАКТ возвращает ошибку #ЗНАЧ! значение ошибки.

• Если число отрицательное, функция ДВОЙНОЙ ФАКТ возвращает #ЧИСЛО! значение ошибки.

• Если число четное:

• org/ListItem»>

  Если число нечетное:

Пример

Скопируйте данные примера из следующей таблицы и вставьте их в ячейку A1 нового рабочего листа Excel. Чтобы формулы отображали результаты, выберите их, нажмите F2, а затем нажмите клавишу ВВОД. При необходимости вы можете настроить ширину столбцов, чтобы увидеть все данные.

Формула	Описание	Результат
=ДВОЙНОЙ ФАКТ(6)	Двойной факториал 6. No related posts. Добавить комментарий Отменить ответ Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены * Комментарий * Имя * Email * Сайт