При возведении степени в степень степени перемножаются: Возведение степени в степень — урок. Алгебра, 7 класс.

Содержание

формулы, умножение и деление степеней, действия со степенями в 2023 году

Степень целого положительного числа с натуральным показателем

Изучая натуральные числа, мы анализировали понятие степени натурального числа (подробнее здесь: Степень числа. Возведение в степень. Таблица степеней натуральных чисел). На этом уроке мы рассмотрим основное свойство степени, формулы и действия со степенями.

Что такое степень числа с натуральным показателем?

Степенью числа а с натуральным показателем n больше единицы называют произведение множителей, каждый из которых равен а:

Основное свойство степени

Для любого целого числа a и натуральных показателей m и n выполняется равенство, характеризующее основное свойство степеней:

Исходя из основного свойства степеней, при умножении степеней одного и того же целого числа показатели степеней нужно сложить, а основу оставить без изменений.

Например:

Объяснение: при умножении степени складываются – основу степени (число 3) оставляем без изменений, а показатели степеней суммируем: 2 + 5 = 7. Получим в произведении число 3 в седьмой степени.

Возведение степени в степень

Для любого целого числа a и натуральных показателей m и n выполняется равенство:

Правило возведения степени в степень звучит так:

Чтобы возвести степень в степень, нужно показатели степеней перемножить, а основу оставить ту же.

Пример

Объяснение: основу степени (число 2) оставляем без изменений, показатели степеней перемножаем: 3 ⋅ 4 = 12

Степень произведения чисел

Для любых целых чисел a и b и натурального показателя степеней n выполняется равенство:

Чтобы найти n-ую степень произведения чисел, нужно перемножить n-ые степени множителей.

Пример

Возведение отрицательного числа в степень

Степень целого отрицательного числа с натуральным показателем: правило возведения

Чтобы возвести в степень отрицательное число, нужно возвести в такую же степень модуль этого числа и перед результатом поставить знак плюс, если показатель степени является четным числом, или минус, если показатель степени – нечетное число

Рассмотрим примеры, когда основой степени является целое отрицательное число -2:

В первом примере мы возвели число -2 к третьей степени. Показатель степени, число 3, нечетный, поэтому перед результатом ставим знак минус.

Если поднести к четвертой степени число -2, то получим в результате положительное число (ведь показатель степени число 4 является четным).

Действия со степенями. Примеры

Выше мы рассмотрели основные свойства степеней с натуральным показателем, если основа целое положительное число или целое отрицательное число. Теперь рассмотрим конкретные примеры, где нужно выполнить действия со степенями – сложение и вычитание, умножение и деление.

Сложение и вычитание степеней с одинаковыми основаниями

Складывая или вычитая выражения со степенями, мы пользуемся теми же правилами, что и для алгебраических выражений.

Например:

То есть, если выражение содержит степени с одинаковыми основами и показателями, действия сложения и вычитания выполняют как для целых чисел.

Умножение степеней с разными основами

Правило умножения степеней звучит так:

Чтобы умножить степень с одинаковыми показателями, достаточно перемножить основания, а показатель степени оставить таким же.

Формула умножения чисел с одинаковыми степенями:

где a и b – любые целые числа, n – натуральное число

Решим несколько примеров на умножение степеней, используя формулу и правило:

Деление степеней

Правило деления степеней с одинаковыми основами звучит так:

При делении степеней с одинаковыми основаниями от показателя степени делимого вычитается показатель степени делителя, а основа остается без изменений.

Формула: как делить степени

где а – целое число, которое не равно нулю, а m – и натуральные числа

Примеры

Дистанционный репетитор — онлайн-репетиторы России и зарубежья

КАК ПРОХОДЯТ
ОНЛАЙН-ЗАНЯТИЯ?

Ученик и учитель видят и слышат
друг друга, совместно пишут на
виртуальной доске, не выходя из
дома!

КАК ВЫБРАТЬ репетитора

Выбрать репетитора самостоятельно

ИЛИ

Позвонить и Вам поможет специалист

8 (800) 333 58 91

* Звонок является бесплатным на территории РФ
** Время приема звонков с 10 до 22 по МСК

ПОДАТЬ ЗАЯВКУ

Россия +7Украина +380Австралия +61Белоруссия +375Великобритания +44Израиль +972Канада, США +1Китай +86Швейцария +41

Выбранные репетиторы

Заполните форму, и мы быстро и бесплатно подберем Вам дистанционного репетитора по Вашим пожеланиям.

Менеджер свяжется с Вами в течение 15 минут и порекомендует специалиста.

Отправляя форму, Вы принимаете Условия использования и даёте Согласие на обработку персональных данных

Вы также можете воспользоваться
расширенной формой подачи заявки

Как оплачивать и СКОЛЬКО ЭТО СТОИТ

от
800 до 5000 ₽

за 60 мин.

и зависит

ОТ ОПЫТА и
квалификации

репетитора

ОТ ПОСТАВЛЕННЫХ ЦЕЛЕЙ ОБУЧЕНИЯ
(например, подготовка к олимпиадам, ДВИ стоит дороже, чем подготовка к ЕГЭ)

ОТ ПРЕДМЕТА (например, услуги репетиторовиностранных языков дороже)

Оплата непосредственно репетитору, удобным для Вас способом

Почему я выбираю DisTTutor

БЫСТРЫЙ ПОДБОР
РЕПЕТИТОРА И
ИНДИВИДУАЛЬНЫЙ ПОДХОД

ОПТИМАЛЬНОЕ
СООТНОШЕНИЕ ЦЕНЫ И
КАЧЕСТВА

ПРОВЕРЕНЫ ДОКУМЕНТЫ ОБ ОБРАЗОВАНИИ У ВСЕХ РЕПЕТИТОРОВ

НАДЕЖНОСТЬ И ОПЫТ.
DisTTutor на рынке с 2008 года.

ПРОВЕДЕНИЕ БЕСПЛАТНОГО, ПРОБНОГО УРОКА

ЗАМЕНА РЕПЕТИТОРА, ЕСЛИ ЭТО НЕОБХОДИМО

376340 УЧЕНИКОВ ИЗ РАЗНЫХ СТРАН МИРА
уже сделали свой выбор

И вот, что УЧЕНИКИ ГОВОРЯТ
о наших репетиторах

Владимир Александрович Кузьмин

Тренинг у Кузьмина В. А. проходил в экстремальных условиях. Мой модем совершенно не держал соединение. За время часового тренинга связь прерывалась практически постоянно. Ясно, что в таких условиях чрезвычайно непросто чему-то учить. Однако Владимир Александрович проявил удивительную выдержку и терпение. Неоднократно он перезванивал мне на сотовый телефон, чтобы дать пояснения или комментарии. Ценой больших усилий нам удалось рассмотреть три программы: ConceptDraw MINDMAP Professional Ru, GeoGebra и Ultra Flash Video FLV Converter. Владимир Александрович открыл мне курс на платформе dist-tutor.info и научил подключать и настраивать Виртуальный кабинет, порекомендовав изучать возможности этого ресурса, чтобы постепенно уходить от использования Skype. В итоге, занятие мне очень понравилось! Спокойное объяснение материала, дружелюбный настрой, подбадривание дистанционного ученика даже в самых непростых ситуациях — вот далеко не полный перечень качеств Владимира Александровича как дистанционного педагога. Мне следует учиться у такого замечательного репетитора!

Вячеслав Юрьевич Матыкин

Чулпан Равилевна Насырова

Я очень довольна репетитором по химии. Очень хороший подход к ученику,внятно объясняет. У меня появились сдвиги, стала получать хорошие оценки по химии. Очень хороший преподаватель. Всем , кто хочет изучать химию, советую только её !!!

Алина Крякина

Надежда Васильевна Токарева

Мы занимались с Надеждой Васильевной по математике 5 класса. Занятия проходили в удобное для обоих сторон время. Если необходимо было дополнительно позаниматься во внеурочное время, Надежда Васильевна всегда шла навстречу. Ей можно было позванить, чтобы просто задать вопрос по непонятной задачке из домашнего задания.

Моя дочь существенно подняла свой уровень знаний по математике и начала демонстрировать хорошие оценки. Мы очень благодарны Надежде Васильевне за помощь в этом учебном году, надеемся на продолжение отношений осенью.

Эльмира Есеноманова

Ольга Александровна Мухаметзянова

Подготовку к ЕГЭ по русскому языку мой сын начал с 10 класса. Ольга Александровна грамотный педагог, пунктуальный, ответственный человек. Она всегда старается построить занятие так, чтобы оно прошло максимально плодотворно и интересно. Нас абсолютно все устраивает в работе педагога. Сотрудничество приносит отличные результаты, и мы его продолжаем. Спасибо.

Оксана Александровна

Клиентам

Репетиторы по математике
Репетиторы по русскому языку
Репетиторы по химии
Репетиторы по биологии
Репетиторы английского языка

Репетиторы немецкого языка

Репетиторам

Регистрация
Публичная оферта
Библиотека
Бан-лист репетиторов

Партнеры

ChemSchool
PREPY. RU
Class

Законы показателей в алгебре (Ключевой этап 3)

Урок

Законы показателей — это правила использования показателей в алгебре. Представьте, что вы видите букву с показателем степени. Например, буква a с показателем степени

2 .

В этом примере на (называемое основанием) умножается само на себя 2 (показатель степени) раз.

Что, если мы увидим, что буква а с показателем степени умножает ту же букву с другим показателем степени?

Или деление? Что делать, если показатель степени отрицательный? Или дробь? Нам нужно знать законы показателей.

Законы экспонентов

Начнем с основных законов. Это частные случаи базы с показателем.

Право		Пояснение
Основание 1		1 ⁴ = 1 × 1 × 1 × 1 = 1
Показатель степени 0		Любое основание с показателем степени 0 равно 1.
Показатель числа 1		Любое основание с показателем 1 равно основанию.
Показатель степени −1		Любое основание с показателем степени −1 равно 1, деленному на основание (обратное основание).

Подробнее о нахождении показателя степени −1 в алгебре Давайте посмотрим на более сложные законы показателей.

Умножение сил

При умножении одной и той же буквы с показателями степени складывать показатели степени.

Пример: a ² × a ³ = a ^{2 + 3} = a ⁵

Подробнее об умножении степеней в алгебре

Разделение степеней

При делении одной и той же буквы с показателями степени вычитать показатели степени.

Пример: a ⁵ ÷ a ³ = a ^{5 — 3} = a ²

Подробнее о делении степеней в алгебре

Полномочия степени

4 При возведении одного показателя в другой умножайте показатели.

Пример: (а ² ) ³ = а ^{2 × 3} = a ⁶

Подробнее о нахождении степени степени в алгебре

Степень алгебраической дроби

При возведении дроби в степень возведите в степень и числитель, и знаменатель.

Пример: (a ⁄ b) ² = a ² ⁄ b ²

Подробнее о нахождении степени алгебраической дроби

Показатель степени отрицателен

Отрицательная экспонента означает вычисление положительной экспоненты и нахождение обратной величины (т. е. нахождение 1 над ней).

Пример: a ⁻² = 1 ⁄ a ²

Подробнее об отрицательных показателях степени в алгебре

Показатель степени — это дробь (числитель равен 1)

Дробная экспонента (где дробь больше 1 на n) означает нахождение n ^-го-го корня основания. n = 2 — квадратный корень.
n = 3 — кубический корень.

Пример: а ^½ = √а

Подробнее о том, как найти дробную часть в алгебре

Показатель степени является дробью (числитель не равен 1)

Чтобы найти дробный показатель степени (где дробь равна m больше n), выполните одно из следующих действий:

Найдите степень m ^th и возьмите корень n ^th, или
Возьмите корень n ^th и найдите степень m ^th.

Пример: a ^{³ ⁄ ₂} = √(a ³ ) = (√a) ³

Подробнее о том, как найти дробный показатель степени в алгебре

Слайды урока

Законы показателей в алгебре часто не используются изолированно друг от друга, а нужны вместе. Слайдер ниже показывает реальные примеры использования законов экспонент. Откройте слайдер в новой вкладке

Что такое экспонента?

Показатель степени говорит вам, сколько раз число или буква умножаются сами на себя. Показатель степени обозначается повышенным числом правой частью числа (называемого основанием), которое умножается само на себя. Например, ² означает, что a умножается на себя 2 раз:

а ² = а × а

Нет правил сложения или вычитания показателей степени

Нет никаких правил для добавления или вычитания степеней.