примеры, алгоритм умножения на вектор, число, свойства произведения
Произведение двух матриц
Определение 1Произведение матриц (С= АВ) — операция только для согласованных матриц А и В, у которых число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В:
C⏟m×n=A⏟m×p×B⏟p×n
Пример 1Даны матрицы:
- A=a(ij) размеров m×n;
- B=b(ij) размеров p×n
Матрицу C, элементы cij которой вычисляются по следующей формуле:
cij=ai1×b1j+ai2×b2j+…+aip×bpj, i=1,…m, j=1,…m
Пример 2Вычислим произведения АВ=ВА:
А=121012, В=100111
Решение, используя правило умножения матриц:
А⏟2×3×В⏟3×2=121012×100111=1×1+2×0+1×11×0+2×1+1×10×1+1×0+2×10×0+1×1+2×1==2323⏟2×2
В⏟3×2×А⏟2×3=100111×121012=1×1+0×01×2+0×11×1+0×20×1+1×00×2+1×10×1+1×21×1+1×01×2+1×11×1+1×2=121012133⏟3×3
Произведение АВ и ВА найдены, но являются матрицами разных размеров: АВ не равна ВА.
Свойства умножения матриц
Свойства умножения матриц:
- (АВ)С = А(ВС) — ассоциативность умножения матриц;
- А(В+С) = АВ + АС — дистрибутивность умножения;
- (А+В)С = АС + ВС — дистрибутивность умножения;
- λ(АВ)=(λА)В
Проверяем свойство №1: (АВ)С = А(ВС):
(А×В)×А=1234×5678×1002=19224350×1002=194443100,
А(В×С)=1234×56781002=1234×512716=194443100.
Проверяем свойство №2: А(В+С) = АВ + АС:
А×(В+С)=1234×5678+1002=1234×66710=20264658,
АВ+АС=1234×5678+1234×1002=19224350+1438=20264658.
Произведение трех матриц
Произведение трех матриц АВС вычисляют 2-мя способами:
- найти АВ и умножить на С: (АВ)С;
- либо найти сначала ВС, а затем умножить А(ВС).
Перемножить матрицы 2-мя способами:
4375×-289338-126×7321
Алгоритм действий:
- найти произведение 2-х матриц;
- затем снова найти произведение 2-х матриц.
1). АВ=4375×-289338-126=4(-28)+3×384×93+3(-126)7(-28)+5×387×93+5(-126)=2-6-621
2). АВС=(АВ)С=2-6-6217321=2×7-6×22×3-6×1-6×7+21×2-6×3+21×1=2003.
Используем формулу АВС=(АВ)С:
1). ВС=-289338-1267321=-28×7+93×2-28×3+93×138×7-126×238×3-126×1=-10914-12
2). АВС=(АВ)С=7321-10914-12=4(-10)+3×144×9+3(-12)7(-10)+5×147×9+5(-12)=2003
Ответ: 4375-289338-1267321=2003
Умножение матрицы на число
Определение 2Произведение матрицы А на число k — это матрица В=Аk того же размера, которая получена из исходной умножением на заданное число всех ее элементов:
bi,j=k×ai,j
Свойства умножения матрицы на число:
- 1×А=А
- 0×А=нулевая матрица
- k(A+B)=kA+kB
- (k+n)A=kA+nA
- (k×n)×A=k(n×A)
Найдем произведение матрицы А=4290 на 5.
Решение:
5А=542905×45×25×95×0=2010450
Умножение матрицы на вектор
Определение 3Чтобы найти произведение матрицы и вектора, необходимо умножать по правилу «строка на столбец»:
- если умножить матрицу на вектор-столбец число столбцов в матрице должно совпадать с числом строк в векторе-столбце;
- результатом умножения вектора-столбца является только вектор-столбец:
АВ=а11а12⋯а1nа21а22⋯а2n⋯⋯⋯⋯аm1аm2⋯аmnb1b2⋯b1n=a11×b1+a12×b2+⋯+a1n×bna21×b1+a22×b2+⋯+a2n×bn⋯⋯⋯⋯am1×b1+am2×b2+⋯+amn×bn=c1c2⋯c1m
- если умножить матрицу на вектор-строку, то умножаемая матрица должна быть исключительно вектором-столбцом, причем количество столбцов должно совпадать с количеством столбцов в векторе-строке:
АВ=аа⋯аbb⋯b=a1×b1a1×b2⋯a1×bna2×b1a2×b2⋯a2×bn⋯⋯⋯⋯an×b1an×b2⋯an×bn=c11c12⋯c1nc21c22⋯c2n⋯⋯⋯⋯cn1cn2⋯cnn
Пример 5Найдем произведение матрицы А и вектора-столбца В:
АВ=240-213-10112-1=2×1+4×2+0×(-1)-2×1+1×2+3×(-1)-1×1+0×2+1×(-1)=2+8+0-2+2-3-1+0-1=10-3-2
Пример 6Найдем произведение матрицы А и вектора-строку В:
А=320-1, В=-1102
Решение:
АВ=3201×-1102=3×(-1)3×13×03×22×(-1)2×12×02×20×(-1)0×10×00×21×(-1)1×11×01×2=-3306-22040000-1102
Ответ: АВ=-3306-22040000-1102
Автор: Ирина Мальцевская
Преподаватель математики и информатики.
Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта
примеры, алгоритм умножения на вектор, число, свойства произведения
Произведение двух матриц
Определение 1Произведение матриц (С= АВ) — операция только для согласованных матриц А и В, у которых число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В:
C⏟m×n=A⏟m×p×B⏟p×n
Пример 1Даны матрицы:
- A=a(ij) размеров m×n;
- B=b(ij) размеров p×n
Матрицу C, элементы cij которой вычисляются по следующей формуле:
cij=ai1×b1j+ai2×b2j+…+aip×bpj, i=1,…m, j=1,…m
Пример 2Вычислим произведения АВ=ВА:
А=121012, В=100111
Решение, используя правило умножения матриц:
А⏟2×3×В⏟3×2=121012×100111=1×1+2×0+1×11×0+2×1+1×10×1+1×0+2×10×0+1×1+2×1==2323⏟2×2
В⏟3×2×А⏟2×3=100111×121012=1×1+0×01×2+0×11×1+0×20×1+1×00×2+1×10×1+1×21×1+1×01×2+1×11×1+1×2=121012133⏟3×3
Произведение АВ и ВА найдены, но являются матрицами разных размеров: АВ не равна ВА.
Свойства умножения матриц
Свойства умножения матриц:
- (АВ)С = А(ВС) — ассоциативность умножения матриц;
- А(В+С) = АВ + АС — дистрибутивность умножения;
- (А+В)С = АС + ВС — дистрибутивность умножения;
- λ(АВ)=(λА)В
Проверяем свойство №1: (АВ)С = А(ВС):
(А×В)×А=1234×5678×1002=19224350×1002=194443100,
А(В×С)=1234×56781002=1234×512716=194443100.
Проверяем свойство №2: А(В+С) = АВ + АС:
А×(В+С)=1234×5678+1002=1234×66710=20264658,
АВ+АС=1234×5678+1234×1002=19224350+1438=20264658.
Произведение трех матриц
Произведение трех матриц АВС вычисляют 2-мя способами:
- найти АВ и умножить на С: (АВ)С;
- либо найти сначала ВС, а затем умножить А(ВС).
Перемножить матрицы 2-мя способами:
4375×-289338-126×7321
Алгоритм действий:
- найти произведение 2-х матриц;
- затем снова найти произведение 2-х матриц.
1). АВ=4375×-289338-126=4(-28)+3×384×93+3(-126)7(-28)+5×387×93+5(-126)=2-6-621
2). АВС=(АВ)С=2-6-6217321=2×7-6×22×3-6×1-6×7+21×2-6×3+21×1=2003.
Используем формулу АВС=(АВ)С:
1). ВС=-289338-1267321=-28×7+93×2-28×3+93×138×7-126×238×3-126×1=-10914-12
2). АВС=(АВ)С=7321-10914-12=4(-10)+3×144×9+3(-12)7(-10)+5×147×9+5(-12)=2003
Ответ: 4375-289338-1267321=2003
Умножение матрицы на число
Определение 2Произведение матрицы А на число k — это матрица В=Аk того же размера, которая получена из исходной умножением на заданное число всех ее элементов:
bi,j=k×ai,j
Свойства умножения матрицы на число:
- 1×А=А
- 0×А=нулевая матрица
- k(A+B)=kA+kB
- (k+n)A=kA+nA
- (k×n)×A=k(n×A)
Найдем произведение матрицы А=4290 на 5.
Решение:
5А=542905×45×25×95×0=2010450
Умножение матрицы на вектор
Определение 3Чтобы найти произведение матрицы и вектора, необходимо умножать по правилу «строка на столбец»:
- если умножить матрицу на вектор-столбец число столбцов в матрице должно совпадать с числом строк в векторе-столбце;
- результатом умножения вектора-столбца является только вектор-столбец:
АВ=а11а12⋯а1nа21а22⋯а2n⋯⋯⋯⋯аm1аm2⋯аmnb1b2⋯b1n=a11×b1+a12×b2+⋯+a1n×bna21×b1+a22×b2+⋯+a2n×bn⋯⋯⋯⋯am1×b1+am2×b2+⋯+amn×bn=c1c2⋯c1m
- если умножить матрицу на вектор-строку, то умножаемая матрица должна быть исключительно вектором-столбцом, причем количество столбцов должно совпадать с количеством столбцов в векторе-строке:
АВ=аа⋯аbb⋯b=a1×b1a1×b2⋯a1×bna2×b1a2×b2⋯a2×bn⋯⋯⋯⋯an×b1an×b2⋯an×bn=c11c12⋯c1nc21c22⋯c2n⋯⋯⋯⋯cn1cn2⋯cnn
Пример 5Найдем произведение матрицы А и вектора-столбца В:
АВ=240-213-10112-1=2×1+4×2+0×(-1)-2×1+1×2+3×(-1)-1×1+0×2+1×(-1)=2+8+0-2+2-3-1+0-1=10-3-2
Пример 6Найдем произведение матрицы А и вектора-строку В:
А=320-1, В=-1102
Решение:
АВ=3201×-1102=3×(-1)3×13×03×22×(-1)2×12×02×20×(-1)0×10×00×21×(-1)1×11×01×2=-3306-22040000-1102
Ответ: АВ=-3306-22040000-1102
Автор: Ирина Мальцевская
Преподаватель математики и информатики.
Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта
Умножение матриц | ChiliMath
Умножение матриц — это «запутанный тип», потому что вам нужно будет выполнить определенный набор процедур, чтобы сделать это правильно. Это «грязный тип», потому что процесс более сложный. Однако позже, после прохождения процедуры и некоторых примеров, вы поймете, что необходимые шаги выполнимы. Не волнуйся, я помогу тебе в этом!
Но сначала нам нужно убедиться, что две матрицы «разрешено» перемножать. В противном случае данные две матрицы «несовместимы» для перемножения. В этом случае говорят, что решение не определено.
Всегда помните об этом!
Чтобы умножение матриц работало, количество столбцов левой матрицы ДОЛЖНО РАВНО количеству строк правой матрицы.
Предположим, нам даны матрицы [латекс]А[/латекс] и [латекс]В[/латекс], найдите [латекс]АВ[/латекс] (выполните умножение матриц, если применимо). Определите, какая из них является левой и правой матрицами, исходя из их расположения.
Это очень важный шаг.
Чтобы определить, могу ли я перемножить две заданные матрицы, мне нужно обратить внимание на количество столбцов матрицы [latex]A[/latex] и количество строк матрицы [latex]B[/latex]. Если они равны, то я могу приступить к умножению матриц. В противном случае я сделаю вывод, что ответ не определен!
Поскольку матрица A имеет количество столбцов 2 , а матрица B имеет количество строк 3 , и они не равны (2 ≠ 3) , я заключаю, что [латекс]AB[/ латекс] = не определено . Это означает, что их продукт не может быть найден.
Примеры умножения матриц, также известного как «беспорядочный тип»
Указания : Имея следующие матрицы, выполните указанную операцию.
Пример 1 : Рассчитайте, если возможно, произведение [латекс]В[/латекс] и [латекс]Е[/латекс].
Чтобы матрицы [latex]B[/latex] и [latex]E[/latex] имели произведение, количество столбцов левой матрицы B должно равняться количеству строк правой матрицы E.
- Матрица B (слева)
количество столбцов = 3
- Матрица E (справа)
количество строк = 3
Если это так, то можно их умножить вместе. Вот шаги:
Шаг 1: Поместите их рядом.
Шаг 2: Умножьте строки [latex]B[/latex] на столбцы [latex]E[/latex] путем умножения соответствующих элементов каждой строки на каждый элемент столбца, а затем сложите их. вместе.
Пожалуйста, внимательно посмотрите анимированное решение.
Если у вас не хватает терпения смотреть анимированное решение выше о том, как выполнить умножение матриц, вы можете просмотреть обычное решение, которое я включил ниже.
Пример 2 : Рассчитайте, если возможно, произведение [латекс]Е[/латекс] и [латекс]F[/латекс].
Сначала проверьте, существует ли произведение двух матриц , убедившись, что количество столбцов левой матрицы E равно количеству строк правой матрицы F.
столбцов = 2
- Матрица F (справа)
количество строк = 2
Это замечательно, так как количество столбцов матрицы [latex]E[/latex] равно количеству строк матрицы [latex]F[/latex]. Это означает, что произведение [latex]EF[/latex] определено, поэтому мы можем продолжить и выполнить матричное умножение. Ниже показано анимированное пошаговое решение умножения матриц.
Пример 3 : Рассчитайте, если возможно, произведение [латекс]F[/латекс] и [латекс]Е[/латекс].
В нашем предыдущем примере мы успешно получили произведение [латекс]EF[/латекс]. На этот раз мы хотим выяснить, сможем ли мы найти произведение [латекс]Е[латекс] и [латекс]F[/латекс] в указанном порядке.
Напомню, что действительные числа коммутативны при умножении, что означает, что порядок умножения не влияет на конечный продукт. Например…
Таким образом, возникает большой вопрос, работает ли это также при умножении матриц?
Проверим, равно ли количество столбцов матрицы F количеству строк матрицы [latex]E[/latex].
- Матрица F (слева)
количество столбцов = 2
- Матрица E (справа)
количество строк = 3
Очевидно, что количество столбцов матрицы [latex]F[/latex] не равно количеству строк матрицы [latex]E[/ латекс]. Подразумевается, что произведение [latex]FE[/latex] не может быть вычислено и, следовательно, не определено!
В общем случае умножение матриц не является коммутативным.
Пример 4 : Рассчитайте, если возможно, произведение [латекс]АЕ[/латекс].
Стандартный способ описания размера или размерности матрицы состоит в следующем…
(укажите количество строк) x (укажите количество столбцов)
…читается как «количество строк по количеству столбцов».
3 x 3 (матрица три на три)
3 x 2 (матрица три на два)
Так как число столбцов матрицы A равно , то равно числу строк матрицы E, равному .
тогда мы сделать вывод, что произведение [latex]AE[/latex] определено.
Давайте разберемся. См. анимированное решение ниже.
Пример 5 : Рассчитайте, если возможно, произведение [латекс]Е[/латекс] и [латекс]А[/латекс].
3 x 2 (матрица три на два)
3 x 3 (матрица три на три)
Очевидно, что количество столбцов матрицы E не равно количеству столбцов матрицы A. Следовательно, произведение [latex]EA[/latex] не может быть рассчитано или не определено.
Пример 6 : Рассчитайте, если возможно, произведение [латекс]D[/латекс] и [латекс]F[/латекс]. 92}[/латекс]. Другими словами, мы возводим в квадрат матрицу [латекс]С[/латекс].
Здесь нужно быть осторожным. Обратите внимание, что возвести в квадрат можно только квадратную матрицу. Напомним, что квадратная матрица — это матрица, в которой номер строки равен номеру столбца.
Я предоставляю вам возможность проверить правильность приведенного ниже решения.
Для подобных математических задач, хотя и утомительных, я всегда рекомендую решать их вручную с помощью карандаша и бумаги.
Вас также может заинтересовать:
Сложение и вычитание матриц
Скалярное умножение
Умножение матриц — типы, формулы и условия
Матрица представляет собой прямоугольный массив чисел или символов, которые обычно расположены в строках и столбцах. Порядок матрицы определяется как количество строк и столбцов. Элементы — это числа в матрице, и каждое число известно как элемент. Множественное число матриц — это матрицы. Размер матрицы называется матрицей «n на m» и записывается как m×n, где n — количество строк, а m — количество столбцов. Например, у нас есть матрица 3×2, потому что количество строк здесь равно 3, а количество столбцов равно 2.
Какие существуют типы матриц?
Существуют различные типы матриц. Вот они:
Матрица строк
Матрица столбцов
Нулевая матрица
Квадратная матрица
9005 1Диагональная матрица
Верхняя треугольная матрица
Нижняя треугольная матрица
Симметричная матрица
Антисимметричная матрица
(Изображение будет добавлено в ближайшее время)
Мы знаем, что такое матрица.
Давайте найдем произведение двух или более матриц! Умножить матрицу на одно число очень легко и просто:
(Изображение будет добавлено в ближайшее время)
Вот расчеты:
2 × 4 = 8 | 2 × 0 = 0 |
2 × 1 = 2 | 9 0283
Мы называем число (в данном случае «2») скаляром, поэтому это известно как «скалярное умножение».
Умножение матрицы на другую матрицу
Это бинарная операция, которая создает одну матрицу, беря две или более разных матриц. Мы знаем, что матрица может быть определена как массив чисел.
Когда мы умножаем матрицу на скалярное значение, тогда процесс известен как скалярное умножение.
В математике одна матрица за другой матрицей. Давайте обсудим, как умножить матрицу на другую матрицу, его алгоритм, формулу, умножение матриц 2×2 и 3×3.
Чтобы умножить матрицу на другую матрицу, нам нужно следовать правилу «ТОЧНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ».
Умножение матриц
Теперь давайте научимся умножать две или более матриц. Давайте рассмотрим матрицу A, которая представляет собой матрицу a × b, и рассмотрим другую матрицу B, которая является матрицей b × c. Тогда матрица C, которая является произведением матрицы A и матрицы B, может быть записана как = AB определяется как A × B matrix. Элемент в матрице продукта C, Cxy может быть определен как 9{b}A_{kx}B_{ky}\] для значений x = 1…… a и y= 1…….c
Формула для умножения матрицДавайте рассмотрим пример, чтобы понять формулу. Допустим, у нас есть A и B в виде двух матриц, таких, что
(изображение будет добавлено в ближайшее время)
(изображение будет добавлено в ближайшее время)
Тогда матрица C (матрица произведения) = AB может быть обозначена как
(изображение будет добавлено в ближайшее время) )
Элемент матрицы C (матрица произведения), где C — произведение матрицы A X B.
Элемент матрицы произведения C, Cxy может быть определен как 9{b}A_{kx}B_{ky}\] для значений x = 1…… a и y= 1…….c
Условия для умножения матриц —
Когда мы выполняем умножение матриц, оставьте эти два условия в разум:
Количество столбцов первой матрицы в процессе умножения должно равняться количеству строк второй матрицы.
Результат (произведение) будет иметь то же количество строк, что и в первой матрице, и то же количество столбцов, что и во второй матрице.
Основы умножения матриц
Произведение C любых двух матриц, предположим A и B, может быть определено как Cik=aij x bjk
Здесь
(Изображение будет добавлено в ближайшее время)
суммируется для все возможные значения i и k, а в приведенных выше обозначениях используется соглашение о суммировании Эйнштейна.
Соглашение о суммировании Эйнштейна может быть определено как суммирование по повторяющимся индексам без наличия явного знака суммы, и этот метод обычно используется как в матричном, так и в тензорном анализе. (n x m) (m X P) = (n x p) Здесь (a x b) обозначает матрицу с количеством строк, равным a, и количеством столбцов, равным b. Выписывая произведение явно, получаем
(Изображение будет добавлено в ближайшее время)
Где каждое из значений может быть записано как
(Изображение будет добавлено в ближайшее время)
Умножение матрицы 2 × 2. Мы рассмотрим простое умножение матрицы 2 × 2
A = \[\begin{bmatrix} 3 и 7\\ 4 и 9 \end{bmatrix}\] и другая матрица B = \[\begin{bmatrix} 6 и 2\\ 5 и 8 \end{bmatrix} \]
Теперь мы можем вычислить каждый из элементов матрицы произведения AB следующим образом:
Произведение AB11 = 3 × 6 + 7 × 5 = 53
Произведение AB12 = 3 × 2 + 7 × 8 = 62
Произведение AB21 = 4 × 6 + 9 × 5 = 69
Произведение AB2 2 = 4 × 2 + 9 × 8 = 80
Следовательно, матрица AB равна
AB = \[\begin{bmatrix} 53 & 62\\ 69 & 80 \end{bmatrix}\]
90 226 Решенные примеры
Вопрос 1 ) Умножьте приведенную ниже матрицу на 2
A = \[\begin{bmatrix} 3 & 4 & 9\\ 12 &11 &35 \end{bmatrix}\]
Решение) Умножая данную матрицу на 2,
Мы знаем, что в этом случае нужно произвести скалярное умножение,
А = \ [\begin{bmatrix} 3 & 4 & 9\\ 12 &11 &35 \end{bmatrix}\]
При умножении на 2 мы получаем произведение как ,
A = \[\begin{bmatrix } 6 & 8 & 18\\ 24 & 22 &70 \end{bmatrix}\]
Вопрос 2.
Матрица 2×2
\[\begin{bmatrix} 1 и 2\\ 3 & 4 \end{bmatrix}\]
при умножении на другую матрицу 2×2
\[\begin{bmatrix} 5 и 6\\ 7 & 8 \end{bmatrix}\]
, то результирующая матрица может быть записана как
Решение:
\[\begin{bmatrix} 1\times 5+2\times 7 & 1\times 6+2\times 8 \\ 3\times 5+4\times 7 & 3\times 6+4\times 8 \end{bmatrix}\]
, что можно упростить и записать как:
\[\begin{bmatrix} 19 & 22 \\ 43 и 50 \end{bmatrix}\]
Вопрос 3. Для матрицы 2×3
\[\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}\]
при умножении на 3×1 matrix
\[\begin{bmatrix} 9 \\ 8 \\ 7 \end{bmatrix}\]
, то результирующая матрица может быть записана как
\[\begin{bmatrix} 1\times 9+ 2\times 8+3\times 7\\ 4\times 9+5\times 8+6\times 7 \end{bmatrix}\]
, что можно упростить и записать как
\[\begin{bmatrix} 46 \\ 118 \end{bmatrix}\]
Ключевые моменты, которые следует помнить при выполнении умножения матриц
При выполнении умножения матриц необходимо помнить о двух условиях:
Количество столбцов в первой матрице должно быть равно количеству строк в вторая матрица, т.
