Примеры чисел натуральные числа: Натуральные числа. Ряд натуральных чисел. Математика 5 класс

Содержание

Натуральные числа. Ряд натуральных чисел. Математика 5 класс

История натуральных чисел началась ещё в первобытные времена. Издревле люди считали предметы. Например, в торговле нужен был счет товара или в строительстве счет материала. Да даже в быту тоже приходилось считать вещи, продукты, скот. Сначала числа использовались только для подсчета в жизни, на практике, но в дальнейшем при развитии математики стали частью науки.

Натуральные числа – это числа которые мы используем при счете предметов.

Например: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, ….

Нуль не относится к натуральным числам.

Все натуральные числа или назовем множество натуральных чисел обозначается символом N.

Таблица натуральных чисел.

Таблица натуральных чисел от 1 до 100

Натуральный ряд.

Натуральные числа, записанные подряд в порядке возрастания, образуют натуральный ряд или ряд натуральных чисел.

Свойства натурального ряда:

  • Наименьшее натуральное число – единица.
  • У натурального ряда следующее число больше предыдущего на единицу. (1, 2, 3, …) Три точки или троеточие ставятся в том случае, если закончить последовательность чисел невозможно.
  • Натуральный ряд не имеет наибольшего числа, он бесконечен.

Пример №1:
Напишите первых 5 натуральных числа.
Решение:
Натуральные числа начинаются с единицы.
1, 2, 3, 4, 5

Пример №2:
Нуль является натуральным числом?
Ответ: нет.

Пример №3:
Какое первое число в натуральном ряду?
Ответ: натуральный ряд начинается с единицы.

Пример №4:
Какое последнее число в натуральном ряде? Назовите самое большое натуральное число?
Ответ: Натуральный ряд начинается с единицы. Каждое следующее число больше предыдущего на единицу, поэтому последнего числа не существует. Самого большого числа нет.

Пример №5:
У единицы в натуральном ряду есть предыдущее число?
Ответ: нет, потому что единица является первым числом в натуральном ряду.

Пример №6:
Назовите следующее число в натуральном ряду за числами: а)5,  б)67,  в)9998.

Ответ: а)6,  б)68,  в)9999.

Пример №7:
Сколько чисел находится в натуральном ряду между числами:  а)1 и 5, б)14 и 19.
Решение:
а) 1, 2, 3, 4, 5 – три числа находятся между числами 1 и 5.
б) 14, 15, 16, 17, 18, 19 – четыре числа находятся между числами 14 и 19.

Пример №8:
Назовите предыдущее число  за числом  11.
Ответ: 10.

Пример №9:
Какие числа применяются при счете предметов?
Ответ: натуральные числа.

Натуральные числа (теория и практические тесты) — На все случаи

1.1 Десятичная запись натурального числа.

Натуральные числа — числа 1,2,3,4,5 и т.д.  используемые при счете . (Вопрос: число 0 является натуральным числом?)

Первым числом натурального ряда является число 1, а последнего числе нет, так как это бесконечный ряд чисел. Каждое последующее число больше предыдущего на единицу.

Все натуральные числа записываются с помощью специальных знаков, которые называются цифрами.

Таких знаков десять:

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.

В зависимости от занимаемого места в числе каждая цифра может обозначать разные цифры, например:

цифра 5 в числе 859 обозначает число пятьдесят, а в числе 529 число пятьсот, а в числе 5078 число пять тысяч.

Место занимаемое цифрой в записи числа называется разрядом.

Если считать справа налево, то первое место в записи числа называют разрядом единиц. Второе  — разрядом десятков. Третье — разрядом сотен и т.д.

Например: 6 345 — пять единиц, четыре десятка, три сотни и 6 тысяч.

Такая запись называется десятичной. Десять единиц каждого разряда составляют одну единицу старшего разряда.

1.2. Арифметические действия  над  натуральными числами. Степень с натуральным показателем.

Если по двум данным числам по некоторому правилу определяется третье число, то этот процесс в математике называется

Действия сложения, вычитания, умножения и деления называются арифметическими действиями.

В равенстве a+b=c, числа a и b  называются слагаемыми (их складывают),а число с или запись a+b суммой.

В равенстве a-b=c, число a  называется

уменьшаемым ( оно уменьшается когда из него вычитают другое число), b  называют вычитаемым  (его вычитают), а число с или запись a-b разностью.

В равенстве a•b=c, числа a и b  называются множителя  (их перемножают),а число с или запись a•b произведением.

В равенстве a:b=c, число a  называется делимым (оно делится на какое-то число b) , b  называют делителем  (оно делит число a), а число с или запись a:b частным.

У арифметических действий есть следующие свойства:

1 Переместительное свойство сложения. От перестановки слагаемых сумма не меняется.

a+b=b+a

Пример: 2+3=3+2

В правой части 5 и в левой части 5 и так с любыми числами..

2  Сочетательное свойство сложения. Чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего числа.

(a+b)+c=a+(b+c)

Пример: (5+1)+2=5(1+2)

Восемь в правой части и восемь в левой.

Если сказать проще по двум свойствам, то если у Вас в примере только сложение Вы можете складывать числа в любой последовательно и переставлять их как угодно.

Пример: 5+7+5+3=

Для того чтобы сложить быстрее и проще лучше переставить слагаемые местами:

(5+5)+(7+3) (скобки показывают порядок действий.

5+5=10

7+3=10

10+10=20.

Согласитесь, после перестановки посчитать легче чем если бы мы складывали в том порядке, который указан в первоначальном примере, т.е.

5+7=12

12+5=17

17+3=20.

3 Переместительное свойство умножения. От перестановки множителей произведение не меняется.

a•b=b•a

4 Сочетательное свойство умножения. Чтобы произведение двух чисел умножить на третье число, можно первое число умножить на произведение второго и третьего чисел:

(a•b)•c=a•(b•c)

При умножении точно такой же принцип как и при сложении: если в выражении только умножения, то множители можно переставлять в любом порядке, а скобки нужны только для показания порядка действия, ведь по правилам математике, первой действие делается в скобках

Пример: 3•2•4•2=48

Переставляем множители местами (3•4)•(2•2)

3•4=12

2•2=4

4•12=48

4 Распределительное свойство умножения относительно сложения. Чтобы число умножить на сумму чисел, можно это число умножить  на каждое слагаемое и полученные произведения сложить:

a(b+c)=ab+a

Пример: 5(2+20)

По правилам математике мы сначала должны сначала выполнить сложение в скобках 2+20=22, а затем умножить на 5, получится 110, но мы для упрощения вычислений воспользуемся распределительным свойством и

5•2=10

5•20=100

100+10=110

5 Степенью числа а с натуральным показателем n, больше 1, называют произведение n множителей, каждый из которых равен а:

an=a•a•a•…•a, где n>1

Степень числа a с показателем 1 называют само это число.

a1=a

Например: 2•2•2=2³ (третья степень означает какое количество 2 перемножено)

Вторую степень числа называют квадратом числа, например a2 читают «а в квадрате».

Третью степень числа называют кубом числа и записывают a3 читают «а в кубе»

Если в числовое выражение входит степень, то сначала выполняют возведение в степень, а потом остальные действия.

Например: 6+ 4²=6+16=32

1.3 Делимость натуральных чисел.

Если натуральное число a делится нацело на натуральное число b, то число a называется кратным числа b, а число b — делителем числа a.

Например: числа 1,2,4,5,10,20 являются делителями числа 20 (т.е. делят число 20 на себя без остатка), а число 20 является кратным каждого из этих чисел.

Правило: 

Если каждое из натуральных чисел a и b делится нацело на число c, то и сумма a+b также делится нацело на число c.

Например: числа 12 и 21 делятся на 3 без остатка, значит сумма этих чисел то же делится на 3 без остатка.

12+21=33

33:3=11

Если одно из чисел  не делятся на 3 без остатка, значит сумма тоже не делится.

Например:

13 и 18. Тринадцать не делится на 3 и сумма на три без остатка не делится.

13:3=4,33…

(18+13):3=10,33…

1.4 Признаки делимости

Цифры 0,2,4,6,8 и т.д. называются четными (делятся на 2 без остатка).

1,3,5,7,9 и т.д. называются нечетными (делятся на два с остатком).

Признаки делимости на 2. Если запись числа заканчивается четной цифрой, то это число делится на 2 нацело.

Признаки делимости на 10. Если запись натурального числа заканчивается цифрой 0, то это число делится нацело на 10.

Признаки делимости на 5. Если запись натурального числа оканчивается цифрой 0 или 5, то это число делится нацело на 5.

Признаки делимости на 3. Если сумма цифр числа делится нацело на 3, то и само число делится нацело на 3.

Признаки делимости на 9. Если сумма цифр числа делится нацело на 9, то и само число делится нацело на 9.

Например:

Признак делимости на 9. Число 333 Сума 3+3+3=9, на 9 делится без остатка 9:9=1, значит и число 333 делится на 9 без остатка

333:9=37

1.5 Простые и составные числа.

Натуральное число называется простым, если оно имеет только два натуральных делителя: единицу и само это число.

Например: числа 2,7,11,13 являются простыми: делятся без остатка только на себя и единицу.

Число 2- наименьшее простое число. И единственное четное простое число.

Натуральное число, имеющее больше двух  натуральных делителей, называются составными.

Поскольку число 1 имеет только один делитель, его не относят ни к простым ни к составным.

Любое составное число можно представить в виде произведения простых чисел, т.е. разложить на простые множители.

Любые два разложения данного числа на простые множители могут отличаться только порядком следования множителей.

Обычно произведение одинаковых множителей в разложении числа на простые множители заменяют степенью.

Пример: разложить на простые множители число 3150.

Берем сначала наименьшее простое число и так как 3150 заканчивается на 50, т.е. четное число, то оно делится на 2 без остатка.

3150:2=1575;

1575 на 2 не делится, значит далее для разложения на простые множители берем следующее простое число 3( на три делится без остатка, так как сумма цифр числа делится на 3,  1+5+7+5=18)

1575:3=525;

525:3=175;

175 не кратно 3, но кратно следующему простому числу 5,

175:5=35;

35:5=7;

Число 7 является простым и далее не раскладывается, в итоге получается:

3150=2•3•3•5•5•7=2•3²•5²•7

1.6 Наибольший общий делитель. Наименьшее общее кратное.

Наибольшее натуральное число, на которое делится нацело каждое из двух данных натуральных чисел, называют наибольшим общим делителем этих чисел (НОД).

Пример: Найти НОД (180;840)

Разложим данные числа на простые множители в виде степеней:

180=2²•3²•5¹

840=2³•3¹•5¹•7¹

Из каждой пары степень с одинаковым основанием выберем степень с наименьшими показателями (2²; 3¹;5¹).

Перемножим выбранные степени. Полученное произведение является искомым наибольшим общим делителем.

НОД (180;840)=2²•3¹•5¹=60

Если наибольший общий делитель двух натуральных чисел равен 1, то их называют взаимно простыми.

Наименьшее натуральное число, которое делится нацело на каждое из двух данных натуральных чисел, называют наименьшим общим кратным этих чисел (НОК).

Пример: НОК(4;6)=12.

Пример:

Найдем НОК(84;90).

Разложим 84=2²•3¹•7¹;  90=2¹•3²•5¹.

1)Выберем степени, основания которых встречаются только в одном из разложений (это 7¹ и 5¹)

2) Из каждой пары с одинаковым основанием выберем степень с большим показателем ( это-2² и 3²).

3) Перемножим выбранные степени. Полученное произведение является искомым наименьшим общим кратным.

НОК(84;90)=2² •3²•7¹• 5¹=1260.

Если число a -делитель числа b, то НОК(a;b)=b

Наименьшее общее кратное взаимно простых чисел равно их произведению.

Например, НОК(8;15)=120.

1.7 Деление с остатком.

Если натуральное число a не делится нацело на натуральное число b, то можно выполнить деление с остатком.

Например: 47:5=9(ост 2). или 47=5•9+2 в данном примере  2 -это остаток при делении 47 на 5, а 9 неполное частное при делении 47 на 5

Остаток всегда меньше b, но ≥ 0

Например если делитель равен 3, то остаток может быть только: 0,1,2

Отсюда следует, что любое натуральное число x может быть представлено только одним из трех равенств: x=3n, x=3n+1, x=3n+2, где n — натуральное число или 0.

Пример: Известно, что при делении натурального числа m на 18 остаток равен 11. Найдите остаток при делении числа m: 1) на 2; 2) на 3; 3) на 6.

Решение: Данное натуральное число можно представить в виде x=18m+11

Имеем:

x=18m+11=18m+10+1=2(9m+5)+1=2t+1, где t — натуральное число;

x=18m+11=18m+9+2=3(6m+3)+2=3t+2, где t — натуральное число;

x=18m+11=18m+6+5=2(9m+5)+1=6t+5, где t — натуральное число;

Следовательно, данное натуральное число при делении на 2 дает в остатке 1, при делении на 3 дает в остатке 2 и при делении на 6 дает в остатке 5.

Прежде чем преступить к тестам необходимо прочитать краткую теорию, затем пройти тест для повторения теоретического материала.

Если Вы уверены в своих теоретических знаниях можно приступать к тесту.

 

Если у Вас возникли вопросы по решению задач Вы можете задать вопрос в контактной форме, только обязательно укажите адрес своей электронной почты и преподаватели обязательно проконсультируют Вас о порядке решения задач в тесте. В тестах на другие темы будут встречаться задачи на повторение из предыдущего материала, это сделано для того чтобы пройденный материал не забывался.

Поделиться ссылкой:

Понравилось это:

Нравится Загрузка...

Натуральные числа и их свойства

Натуральные числа и их свойства

Для счёта предметов в жизни используют натуральные числа. В записи любого натурального числа используются цифры $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$

Последовательность натуральных чисел, каждое следующее число в котором на $1$ больше предыдущего, образует натуральный ряд, который начинается с единицы (т.к. единица- самое маленькое натуральное число) и не имеет наибольшего значения, т.е. бесконечен.

Нуль не относят к натуральным числам.

Свойства отношения следования

Все свойства натуральных чисел и операций над ними следуют из четырех свойств отношений следования, которые были сформулированы в $1891$ г. Д.Пеано:

  1. Единица- натуральное число, которое не следует ни за каким натуральным числом.

  2. За каждым натуральным числом следует одно и только одно число

  3. Каждое натуральное число, отличное от $1$, следует за одним и только одним натуральным числом

  4. Подмножество натуральных чисел, содержащее число $1$, а вместе с каждым числом и следующее за ним число, содержит все натуральные числа.

Готовые работы на аналогичную тему

Если запись натурального числа состоит из одной цифры его называют однозначным (например, $2,6.9$ и т.д.), если запись состоит из двух цифр-двузначным(например,$12,18,45$) и т.д. по аналогии. Двузначные, трехзначные, четырехзначные и т.д. числа называют в математике многозначными.

Свойство сложения натуральных чисел

  1. Переместительное свойство: $a+b=b+a$

    Сумма не изменяется при перестановке слагаемых

  2. Сочетательное свойство: $a+ (b+c) =(a+b) +c$

    Чтобы прибавить к числу сумму двух чисел, можно сначала прибавить первое слагаемое, а потом, к полученной сумме- второе слагаемое

  3. От прибавления нуля число не измениться и если прибавить к нулю какое- нибудь число, то получится прибавленное число.

Свойства вычитания

  1. Свойство вычитания суммы из числа $a-(b+c) =a-b-c$ если $b+c ≤ a$

    Для того, чтобы вычесть сумму из числа, можно сначала вычесть из этого числа первое слагаемое, а затем из полученной разности- второе слагаемое

  2. Свойство вычитания числа из суммы $(a+b) -c=a+(b-c)$, если $c ≤ b$

    Чтобы из суммы вычесть число, можно вычесть его из одного слагаемого, а к полученной разности прибавить другое слагаемое

  3. Если из числа вычесть нуль, то число не изменится

  4. Если из числа вычесть его само, то получится нуль

Свойства умножения

  1. Переместительное $a\cdot b=b\cdot a$

    Произведение двух чисел не изменяется при перестановке множителей

  2. Сочетательное $a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c$

    Чтобы умножить число на произведение двух чисел,можно сначала умножить его на первый множитель, а потом полученное произведение умножить на второй множитель

  3. При умножении на единицу произведение не изменяется $m\cdot 1=m$

  4. При умножении на нуль произведение равно нулю

  5. Когда в записи произведения нет скобок, умножение выполняют по порядку слева направо

Свойства умножения относительно сложения и вычитания

  1. Распределительное свойство умножения относительно сложения

    $(a+b)\cdot c=ac+bc$

    Для того чтобы умножить сумму на число,можно умножить на это число каждое слагаемое и сложить получившиеся произведения

    Например, $5(x+y)=5x+5y$

  2. Распределительное свойство умножение относительно вычитания

    $(a-b)\cdot c=ac-bc$

    Для того,чтобы умножить разность на число,множно умножить на это число уменьшаемое и вычитаемое и из первого произведения вычесть второе

    Например, $5(x-y)=5x-5y$

Сравнение натуральных чисел

  1. Для любых натуральных чисел $a$ и $b$ может выполняться только одно из трех соотношений $a=b$, $a

  2. Меньшим считается число, которое в натуральном ряду появляется раньше, а большим, которое появляется позже. Нуль меньше любого натурального числа.

  3. если $a

    Пример 1

    Сравнить числа $a$ и $555$, если известно, что существует некоторое число $b$, причем выполняются соотношения: $a

    Решение: На основании указанного свойства ,т.к. по условию $a

  4. в любом подмножестве натуральных чисел, содержащем хотя бы одно число, есть наименьшее число

    Подмножеством в математике называют часть множества. Говорят, что множество является подмножеством другого, если каждый элемент подмножества является одновременно и элементом большего множества

  5. если $a

  6. Если $c

Часто для сравнения чисел находят их разность и сравнивают ее с нулем. Если разность больше $0$, но первое число больше второго, если разность меньше $0$, то первое число меньше второго.

Округление натуральных чисел

Когда полная точность не нужна, или не возможна ,числа округляют,т.е заменяют их близкими числами с нулями на конце.

Натуральные числа округляют до десятков, сотен,тысяч и т.д

При округлеии числа до десятков его заменяют ближайшим числом,состоящим из целых десятков; у такого числа в разряде единиц стоит цифра $0$

При округлеии числа до сотен его заменяют ближайшим числом,состоящим из целых сотен; у такого числа в разряде десятков и единиц должна стоять цифра $0$. И т.д

Числа,до которых округляют данное называют приближенным значением числа с точностью до указанных разрядов.Например если округлять число $564$ до десятков то получим, что округлить его можно с недостатком и получить $560$, или с избытком и получить $570$.

Правило округления натуральных чисел

  1. Если справа от разряда, до которого округляют число, стоит цифра $5$ или цифра,большая $5$, то к цифре этого разряда прибавляют $1$; в противном случае эту цифру оставляют без изменения

  2. Все цифры, расположенные правее разряда, до которого округляют число ,заменяют нулями

Ненатуральные числа. Как отличить натуральные от ненатуральных :: SYL.ru

Что же такое натуральные и ненатуральные числа? Как объяснить ребенку, а может и не ребенку, в чем же отличия между ними? Давайте разбираться. Насколько известно, ненатуральные и натуральны числа изучают в 5 классе, и нашей целью является объяснить ученикам так, чтобы они действительно поняли и усвоили, что и как.

История

Натуральные числа - это одно из давних понятий. Давным-давно, когда люди еще не умели считать и не имели понятия о числах, когда им требовалось что-либо пересчитать, к примеру, рыбу, животных, они выбивали на различных предметах точечки или черточки, как это позже выяснилось археологами. В то время им было очень тяжело жить, но цивилизация развилась сначала до римской системы счисления, а затем до десятичной системы счисления. Сейчас же почти все используют арабские цифры

история возникновения

Все о натуральных числах

Натуральные числа - это простые числа, которыми мы пользуемся в повседневной нашей жизни для подсчета предметов для того, чтобы определить количество и порядок. В настоящее время для записи чисел мы используем десятичную систему счисления. Для того чтобы записать любое число, мы используем десять цифр - от нуля до девяти.

Натуральные числа - это те числа, которые мы используем при счете предметов или указании порядкового номера чего-либо. Пример: 5, 368, 99, 3684.

Числовым рядом называют натуральные числа, которые расположены в порядке возрастания, т.е. от единицы до бесконечности. Такой ряд начинается с наименьшего числа - 1, а наибольшего натурального числа не бывает, так как ряд чисел просто бесконечен.

Вообще, ноль - натуральным числом не считается, так как он означает отсутствие чего-либо, и счет предметов так же отсутствует

Арабская система счисления - это современная система, которой мы пользуемся каждый день. Она является одним из вариантов индийской (десятичной).

Такая система счисления стала современной из-за цифры 0, которую и изобрели арабы. До этого в индийской системе она отсутствовала.

определение натуральных

Ненатуральные числа. Что это?

К натуральным числам не относятся отрицательные числа и нецелые. Значит, они и есть - ненатуральные числа

Ниже приведены примеры.

Ненатуральные числа бывают:

  • Отрицательные числа, например: -1, -5, -36.. и так далее.
  • Рациональные числа, которые выражены десятичными дробями: 4,5, -67, 44,6.
  • В виде простой дроби: 1/2, 40 2/7 и т.д.
  • Иррациональные числ, такие, как e = 2,71828, √2 = 1,41421 и тому подобное.

Мы надеемся, что очень помогли вам разобраться с ненатуральными и натуральными числами. Теперь вам станет легче объяснить своему малышу данную тему, и он усвоит ее так же хорошо, как великие математики!

определение, таблица до 1000, взаимно простые числа

Простое число – это положительное натуральное число, которое имеет только два положительных натуральных делителя: единицу и самого себя.

Противоположностью простых чисел являются составные числа. Составное число – это положительное натуральное число, которое имеет, по крайней мере, один положительный делитель, отличный от одного или самого себя.

Взаимно простые числа – числа A и B, не имеющие никаких общих делителей, за исключением единицы.

Примеры простых, составных и взаимно простых чисел

  1. Число 2 является простым числом, т.к. имеет всего два делителя – 1 и 2:
  2. Число 15 не является простым числом, потому имеет делители – 1, 3, 5, 15:
    • 15/1 = 15
    • 15/3 = 5
    • 15/5 = 3
    • 15/15 = 1
  3. Число 13 является простым числом, т.к. имеет только два делителя – 1 и 13:
  4. Числа 2 и 5 являются взаимно простыми, т.к. имеют только один общий делитель – число 1:
    1. 2/1 = 2
    2. 2/2 = 1
    3. 5/1 = 5
    4. 5/5 = 1

Таблица простых чисел

Ниже представлена таблица простых чисел от 2 до 997, которую можно распечатать, чтобы всегда иметь под рукой в случае необходимости.

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37
41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89
97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151
157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223
227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281
283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 353 359
367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433
439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499 503
509 521 523 541 547 557 563 569 571 577 587 593
599 601 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659
661 673 677 683 691 701 709 719 727 733 739 743
751 757 761 769 773 787 797 809 811 821 823 827
829 839 853 857 859 863 877 881 883 887 907 911
919 929 937 941 947 953 967 971 977 983 991 997

microexcel.ru

Таблица простых чисел до 1000

Вопросы – ответы:

  1. Является ли число 1 простым?
    Число 1 не является простым по определению – оно имеет только один делитель.
  2. Является ли число 0 простым?
    Число 0 не является простым – оно не является положительным числом и имеет бесконечное количество делителей.

Натуральные числа — Циклопедия

Kampus.kz: Математика. Урок 1 - Числа: Натуральные числа Математика. Натуральные числа: Натуральные числа. Центр онлайн-обучения «Фоксфорд» [4:55]

Натуральные числа — это ряд 1, 2, 3, 4, 5… — чисел, каждое из которых выражает счетное количество предметов: мощность конечного множества элементов, означающих те предметы. Указывают количество и порядок следования перенумерованных объектов (каждое натуральное число имеет «свое» место — уникальный номер).

В полной совокупности натуральные числа суть математический объект: это бесконечное множество, вполне упорядоченное, с минимальным элементом (нуль или единица), со сложением и умножением.

Понятие и соответствующая теоретическая концепция прослеживается с глубокой древности человечества. Познание натуральных чисел на элементарном уровне называется арифметикой, а на более глубоком уровне — является частью теории чисел («высшей арифметики»). Натуральные числа стали основой для развития ряда дисциплин классической математики.

В математической традиции с XIX века натуральные числа определяются через аксиомы и зачастую включают 0 (нуль или ноль,) — мощность пустого множества, «количество» «ни одного предмета» (в российской математической литературе 0 обычно не считается натуральным числом). Распространенное обозначение множества натуральных чисел — [math]\mathbb{N}[/math].

[править] Формальное определение

Индуктивное (рекурсивное) определение: Натуральные числа, не считая ноля, — это единица или её сумма с любым другим натуральным числом.

Натуральные числа могут быть описаны аксиоматически. Одна из возможных систем — аксиомы арифметики Пеано:

  1. Единица есть натуральное число: [math]1\in \mathbb{N}[/math];
  2. Число, следующее за натуральным, также является натуральным числом: [math]n \in \mathbb{N} \implies n+1 \in \mathbb{N}[/math];
  3. Единица не следует ни за каким натуральным числом: [math]\nexists n : n+1=1[/math]
  4. Если натуральное число a следует за натуральным числом b и a следует за натуральным числом с, то b = c: [math](a=b+1) \land (a=c+1) \implies b=c[/math];
  5. Аксиома математической индукции: Если утверждение (зависящее от параметра) доказано для числа 1 (база индукции) и если из допущения, что оно верно для натурального числа n, следует, что оно верно для следующего за n натурального числа (индукционное предположение), то это утверждение верно для всех натуральных чисел.

Последняя аксиома позволяет доказывать утверждения сразу обо всей бесконечной последовательности натуральных чисел с помощью метода математической индукции.

[править] Система обозначения

Существуют различные методы обозначения натуральных чисел, обычно называемые системами счисления. С дополнением метки-заполнителя — структурного ноля — натуральные числа можно записать в произвольной позиционной системе счисления, например, — в двоичной (обычно применяемой в компьютерах): 1, 10, 11, 100, 101… — или в распространенной в настоящее время в литературе и в быту десятичной: десятью арабскими цифрами 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 можно записать любое число: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, … 99, 100, 101, 102 … В языке выражаются через числительные.

Всякая из этих систем — способ производства уникального номера для любого из бесконечного множества чисел. Из формы этого названия можно обычно без справочных материалов получить идентичность натурального числа, его место в ряду натуральных и другие свойства (например, делимость.)

Ряд древних цивилизаций: Древнее Междуречье, Древний Египет, Древний Китай, Майя знали натуральные числа и имели различные знаковые системы для указания (фиксации, означения). Концепция числа ноль, по видимому, появилась позже, чем понятие натуральных чисел: явное употребление структурного нуля известно у культур Вавилон и Майя.

Как отдельная наука, изучающая чистые, формальные свойства натуральных чисел, Теория чисел, или высшая арифметика, основополагается в работах математика-любителя Пьера де Ферма.

Натуральные числа целиком охвачены арифметикой, так как можно:

  • их складывать и перемножать любым образом,
  • вычитать меньшее число из большего,
  • делить число на любой из образующих его множителей.

По сложению натуральные числа образуют коммутативную полугруппу: любые два натуральных числа можно сложить, и сложение коммутативно и ассоциативно:

[math]a+b=b+a[/math] (коммутативность или перестановочное свойство: от перемены мест слагаемых сумма не меняется)
[math](a + b) + c=a + (b + c)[/math] (ассоциативность)

Умножение натуральных чисел также коммутативно и ассоциативно:

[math]a \cdot b = b \cdot a[/math]
[math](a \cdot b) \cdot c=a \cdot (b \cdot c)[/math]

Умножение дистрибутивно по сложению:

[math]a\cdot(b+c) = a \cdot b + a \cdot c[/math]

Натуральные числа — множество вполне упорядоченное: в любом подмножестве будет минимальный элемент. Это словно «отражение» правила индукции, принцип метода бесконечного спуска.

Если из большего числа «отсчитать обратно по единице», «вычесть», меньшее, то получится другое меньшее, а [math]a-b=b, a \gt b \iff a=2b[/math]. Уже́ у целых чисел такое определение нарушается ровно в «другой половине случаев», когда вычитается отрицательное, выдавая число, большее первого.

Каждое натуральное число >1 обладает единственным с точностью до порядка сомножителей разложением (факторизацией) на простые множители. Это Основная теорема арифметики.

[править] Расширение до целых чисел и дальше

Если к натуральным числам добавить ноль и отрицательные числа (обратные натуральным по сложению), то в совокупности получится расширение понятия числа до кольца целых чисел [math]\mathbb{Z}[/math], которое наиболее четко являет основу теории чисел. Отрицательные числа можно мыслить, как получаемые от обратного счёта — последовательного убавления по единице — которое вводит ряд отрицательных чисел. Из тех каждое сложением обнуляет противоположное ему натуральное: [math]n+(-n)=0[/math].

Если рассматривать отношения целых чисел — дроби — то получится поле рациональных чисел [math]\mathbb{Q}[/math]. Пополнение этого поля по стандартной метрике (расстояние между числами равно модулю их разности) будет представлять собой поле действительных чисел [math]\mathbb{R}[/math], представимое как допустимо бесконечные и апериодичные цепные дроби. Алгебраическое замыкание поля действительных чисел образует поле комплексных чисел [math]\mathbb{C}[/math] (его можно представлять как поле действительных чисел, к которому добавлена мнимая единица [math]i[/math]: [math]i^2=-1[/math].

  • Бухштаб А. А. Теория чисел — М.: «Просвещение», 1966.
  • К. Айерленд, М. Роузен, Классическое введение в современную теорию чисел — М., 1987.

Натуральное число - Простая английская Википедия, бесплатная энциклопедия

примеры номеров
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99
100 200 300 400 500 900 10
600 700 800 900 900 10
1000 2000 3000 4000 5000
6000 7000 8000 9000
10 000 100 000 1 000 000 900 10
1,000,000,000 1,000,000,000,000

Числа, меньшие или равные 0 (например, -1), не являются натуральными числами (скорее целыми).

Натуральные числа , также называемые счетными числами , являются числами, используемыми для счета вещей. Натуральные числа - это числа, которые маленькие дети узнают, когда впервые начали считать. Натуральные числа всегда являются целыми числами (целыми числами, исключая отрицательные числа) и часто исключают ноль, и в этом случае единица является наименьшим натуральным числом. Множество натуральных чисел можно представить символом N {\ Displaystyle \ mathbb {N}} . [1] [2]

Нет наибольшего натурального числа. Следующее натуральное число можно найти, прибавив 1 к текущему натуральному числу, в результате чего получатся числа, которые продолжаются «вечно». Не существует бесконечного натурального числа. Любое натуральное число можно получить, прибавив единицу к наименьшему натуральному числу.

Следующие типы чисел не являются натуральными числами:

  • Числа меньше 0 (отрицательные числа), например, −2 и −1
  • Дроби, например, ½ и 3¼
  • Десятичные знаки, например, 7.675
  • Иррациональные числа, например, 2 {\ displaystyle {\ sqrt {2}}} и π {\ displaystyle \ pi} (пи)
  • Мнимые числа, например, - 1 {\ displaystyle {\ sqrt {-1}}} ( и )
  • бесконечность, например, ∞ {\ displaystyle \ infty} и ℵ 0 {\ displaystyle \ aleph _ {0}}
  • 0 (если не натуральное число)
  • Порядок : Если из двух натуральных чисел они не совпадают, то одно больше другого, а другое меньше.m = n или m> n или m
  • если l> m, то l + n> m + n
  • если l> m и l> 0, то l x n> l x m
  • Ноль - наименьшее натуральное число: 0 = n или 0
  • Нет наибольшего натурального числа n
  • «Вычитание»: если n меньше m , тогда m минус n - натуральное число. Если n
  • если l - m = n, то l = n + m
  • , если n больше m , то m минус n не является натуральным числом
  • если l = m - n и p m - p
  • Раздел : Если л × м знак равно п {\ Displaystyle л \ раз м = п} затем п / м знак равно л {\ Displaystyle п / м = л}
  • Математическая индукция: если эти две вещи верны для любого свойства P натуральных чисел, то P истинно для любого натурального числа.
    • , если P соответствует 1
    • и если P из n , то P из n +1
    • , затем P истинно для всех натуральных чисел
  • Четные числа: если n = m x 2, то n - четное число
    • Четные числа: 0, 2, 4, 6 и так далее.Ноль - это наименьшее (или первое) четное число.
  • Нечетные числа: если n = m x 2 +1, то n - нечетное число
    • Число четное или нечетное, но не то и другое одновременно.
    • Нечетные числа: 1, 3, 5, 7 и так далее.
  • Составные числа: если n = m x l и m и l не равны 0 или 1, то n является составным числом.
    • Составные числа: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 21 и так далее.
  • Простые числа: Если число не 0, 1 и не составное число, то это простое число.
    • Простые числа: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 и т. Д. Два - наименьшее (или первое) простое число. Два - единственное четное простое число.
    • Нет наибольшего простого числа.
  • Квадратные числа: если n = м x м , то n - квадрат. n - это площадь м .
    • Квадраты: 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49 и так далее.

N {\ displaystyle \ mathbf {N}} или N {\ Displaystyle \ mathbb {N}} - это способ записать набор всех натуральных чисел. [1] Поскольку некоторые люди говорят, что 0 - натуральное число, а некоторые говорят, что это не так, люди используют следующие символы, чтобы говорить о натуральных числах: [2]

  1. 1.0 1,1 «Сборник математических символов». Математическое хранилище . 2020-03-01. Проверено 11 августа 2020.
  2. 2,0 2,1 Вайсштейн, Эрик В. «Натуральное число». mathworld.wolfram.com . Проверено 11 августа 2020.
.

типов чисел | Выпуск

по математике GCSE

Есть, как я уверен, вы знаете, много чисел, бесконечно много, как это бывает. Из-за этого математикам нужен способ классификации чисел, способ группировать их и отличать их друг от друга. Мы собираемся взглянуть на различные существующие группы чисел.

Натуральные числа

натуральных чисел - или счетных чисел - вероятно, первый тип чисел, с которым вы столкнетесь.Натуральные числа - это целые числа больше нуля. Это 1, 2, 3, 4,… , числа, которые вы можете подсчитать физически. Натуральные числа не включают отрицательные значения. Для этого нам нужна другая группа.

Примечание: некоторые люди включают ноль в качестве натурального числа, если не уверены, лучше всего уточнить у учителей, делают они это или нет.

Целые числа

Целые числа - это целые числа, положительные и отрицательные, включая ноль. Это числа …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,… .Положительные целые числа - это целые числа больше нуля, а отрицательные целые числа, что неудивительно, являются целыми числами меньше нуля.

Рациональные числа

Рациональное число - это числа, которые можно записать в виде дроби, где числитель и знаменатель являются целыми числами. Это означает, что верхняя и нижняя части дроби являются целыми числами. Примерами этого могут быть и.

Иррациональные числа

Иррациональные числа - это числа, которые нельзя записать , дроби, например, и.Если мы попытаемся записать эти числа как десятичные, они будут продолжаться вечно, без повторяющихся цифр.

Квадратные числа

Квадратные числа - это целые числа, которые можно записать как квадрат некоторых других целых чисел, т.е. произведение целого числа, умноженного на само себя. Примеры: 4, (2 × 2) и 81, (9 × 9) . Квадратные числа также можно писать в форме. Это обозначение означает 5 в квадрате, что равно 25.

Surds

Surds - это числа, оставшиеся в форме, где n - положительное целое число, не являющееся квадратом.Для получения более подробной информации о Surds обязательно прочтите нашу статью Surds

Простые числа

Простые числа - это числа больше 1, которые можно разделить только сами по себе, и 1, чтобы дать целочисленный ответ. Примеры: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,… . Обратите внимание, что 2 - это первое и единственное четное простое число.

Примечание. На некоторых курсах цифра 1 считается простым числом. Если вы не уверены, лучше еще раз проконсультироваться с учителем.

вещественные числа

Реальные числа - это все числа, с которыми вы когда-либо сталкивались, все рациональные и иррациональные числа.Все эти действительные числа можно записать в конечной или бесконечной десятичной форме, например… и.

.

Классификация номеров


Таблица ниже очень поможет вам с классификацией чисел. Это проясняет ситуацию.

Важные наблюдения, которые вам нужно сделать из карты.

Classification of numbers

Наблюдение № 1 :

Обратите внимание, что √ (9) - натуральное число. Это потому, что √ (9) = 3

Наблюдение 2 :

Обратите внимание, что единственная разница между натуральными числами и целыми числами - это ноль.

Целые числа = натуральные числа + ноль

Наблюдение № 3 :

Обратите внимание, что разница между целыми числами и целыми числами - это отрицательные числа.

Целые числа = целые числа + отрицательное из целых чисел

Наблюдение № 4 :

Все целые числа являются дробными. Не все дроби являются целыми числами

Пример: -2 - целое число, и его можно записать как -2/1, чтобы сделать его дробью.

Однако -1/3 = -0.333333333 не является целым числом

Наблюдение № 5 :

Дроби могут быть записаны как завершающее десятичное или повторяющееся десятичное число

Пример: 1/2 = 0,5, а 0,5 - завершающее десятичное. 1/3 = 0,3333333 и 0,3333333 - повторяющееся десятичное число

Наблюдение № 6 :

Рациональные числа = Целые числа + дроби

Наблюдение № 7 :

Иррациональные числа - это числа, которые нельзя записать в виде дроби

Пример: пи = 3.14 ..., 2.224879566117426874, √ (7)

Другой способ увидеть их - это то, что они не повторяют десятичные дроби и не завершают десятичные дроби

Наблюдение № 8 :

Действительные числа = рациональные числа + иррациональные числа

Наблюдение # 9 :

Разница между комплексными числами и действительными числами заключается в том, что комплексные числа дают решения для следующих выражений и многого другого!

√ (-7), √ (1-8), √ (-25) = 5i и т. Д.

Среди различных типов чисел дроби являются одними из самых сложных для понимания

Все еще боретесь с дробями? Избавьтесь от своих страхов и разочарований раз и навсегда!

Купи мою электронную книгу.Он предлагает тщательный охват фракций!

Fractions ebook cover

Новые уроки математики

Ваша электронная почта в безопасности. Мы будем использовать его только для информирования вас о новых уроках математики.

.

Целые числа (определение, символ и примеры)

    • Классы
      • Класс 1–3
      • Класс 4–5
      • Класс 6–10
      • Класс 11–12
    • КОНКУРЕНТНЫЙ ЭКЗАМЕН
      • BNAT 000 000 NC Книги
        • Книги NCERT для класса 5
        • Книги NCERT для класса 6
        • Книги NCERT для класса 7
        • Книги NCERT для класса 8
        • Книги NCERT для класса 9
        • Книги NCERT для класса 10
        • Книги NCERT для класса 11
        • Книги NCERT для класса 12
      • NCERT Exemplar
        • NCERT Exemplar Class 8
        • NCERT Exemplar Class 9
        • NCERT Exemplar Class 10
        • NCERT Exemplar Class 11
        • NCERT 9000 9000
        • NCERT Exemplar Class
          • Решения RS Aggarwal, класс 12
          • Решения RS Aggarwal, класс 11
          • Решения RS Aggarwal, класс 10
          • 90 003 Решения RS Aggarwal класса 9
          • Решения RS Aggarwal класса 8
          • Решения RS Aggarwal класса 7
          • Решения RS Aggarwal класса 6
        • Решения RD Sharma
          • RD Sharma Class 6 Решения
          • Решения RD Sharma
          • Решения RD Sharma Class 8
          • Решения RD Sharma Class 9
          • Решения RD Sharma Class 10
          • Решения RD Sharma Class 11
          • Решения RD Sharma Class 12
        • PHYSICS
          • Механика
          • Оптика
          • Термодинамика Электромагнетизм
        • ХИМИЯ
          • Органическая химия
          • Неорганическая химия
          • Периодическая таблица
        • MATHS
          • Теорема Пифагора
          • 0004
          • 000300030004
          • 9000
          • Простые числа
          • Взаимосвязи и функции
          • Последовательности и серии
          • Таблицы умножения
          • Детерминанты и матрицы
          • Прибыль и убыток
          • Полиномиальные уравнения
          • Деление фракций
        • 000
        • 000
        • 000
        • 000
        • 000
        • 000 Microology
        • 000
        • 000 Microology
        • 000 BIOG3000
            FORMULAS
            • Математические формулы
            • Алгебраические формулы
            • Тригонометрические формулы
            • Геометрические формулы
          • КАЛЬКУЛЯТОРЫ
            • Математические калькуляторы
            • 0003000 PBS4000
            • 000300030002 Примеры калькуляторов химии
            • Класс 6
    .

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *