Примеры как найти корень уравнения: Как находить корень уравнения

Содержание

Что такое уравнение и корни уравнения? Как решить уравнение?

Уравнения бывают разные. Вы изучите их многие виды в курсе математике, но все они решаются по одним правилам, эти правила мы сейчас рассмотрим подробно.

Что такое уравнение? Смысл и понятия.

Узнаем сначала все понятия, связанные с уравнением.

Определение:
Уравнение – это равенство, содержащее переменные и числовые значения.

Переменные (аргументы уравнения) или неизвестные уравнения – их обозначают в основном латинскими буквами (x, y, z, f и т.д.). При подстановки числового значения переменной в уравнение получаем верное равенство – это корень уравнения.

Решить уравнение – это значит найти все корни уравнения или доказать, что у данного уравнения нет корней.

Корни уравнения – это значение переменной при котором уравнение превращается в верное равенство.

Рассмотрим теперь, все термины на простом примере:
x+1=3

В данном случае x – переменная или неизвестное значение уравнения.

Можно устно решить данное уравнение. Какое надо число прибавить к 1, чтобы получить 3? Конечно, число 2. То есть наша переменная x =2. Корень уравнения равен 2. Проверим правильно ли мы решили уравнение? Чтобы проверить уравнение, нужно вместо переменной подставить полученный корень уравнения.

2+1=3

Получили верное равенство. Значит, правильно нашли корни уравнения.

Но бывают более сложные уравнения, которые устно не решить. Нужно прибегать к правилам решения уравнений. Рассмотрим правила решения уравнений ниже, которые объяснят нам как решать уравнения.

Правила уменьшения или увеличения уравнения на определенное число.

Чтобы понять правило рассмотрим подробно простой пример:
Решите уравнение x+2=7

Решение:
Чтобы решить данное уравнение нужно левую и правую часть уменьшить на 2. Это нужно сделать для того, чтобы переменная x осталась слева, а известные (т.е. числа) справа. Что значит уменьшить на 2? Это значит отнять от левой части двойку и одновременно от правой части отнять двойку. Если мы делаем какое-то действие, например, вычитание применяя его одновременно к левой части уравнения и к правой, то уравнение не меняет смысл.

x+2-2=7-2
x+0=7-2
x=7-2

Нужно остановиться на этом моменте подробно. Другими словами, мы +2 перенесли с левой части на правую и знак поменяли стало число -2.

x=5

Как проверить правильно ли вы нашли корень уравнения? Ведь не все уравнения будут простыми как данное. Чтобы проверить корень уравнения его значение нужно поставить в само уравнение.

Проверка:
Вместо переменной x подставим 5.

x+2=7
5+2=7
Получили верное равенство, значит уравнение решено верно.
Ответ: 5.

Разберем следующий пример:
Решите уравнение x-4=12.

Решение:
Чтобы решить данное уравнение нужно увеличить левую и правую часть уравнения на 4, чтобы переменная x осталось в левой стороне, а известные (т.е. числа) в правой стороне. Прибавим к левой и правой части число 4. Получим:

x-4+4=12+4
x=12+4

Другими словами, мы -4 перенесли из левой части уравнения в правую и получили +4. При переносе через равно знаки меняются на противоположные.

x=16

Теперь выполним проверку, вместо переменной x подставим в уравнение полученное число 16.
x-4=12
16-4=12
Ответ: 16

Очень важно понять правила переноса частей уравнения через знак равно. Не всегда нужно переносить числа, иногда нужно перенести переменные или даже целые выражения.

Рассмотрим пример:
Решите уравнение 4+3x=2x-5

Решение:
Чтобы решить уравнение необходимо неизвестные перенести в одну сторону, а известные в другую. То есть переменные с x будут в левой части, а числа в правой части.
Сначала перенесем 2x с правой стороны в левую сторону уравнения и получим -2x.

4+3x=2x-5
4+3x-2x=-5

Далее 4 с левой стороны уравнения перенесем на правую сторону и получим -4
4+3x-2x=-5
3x-2x=-5-4

Теперь, когда все неизвестные в левой стороне, а все известные в правой стороне посчитаем их.
(3-2)x=-9
1x=-9 или x=-9

Сделаем проверку, правильно ли решено уравнение? Для этого вместо переменной x в уравнение подставим -9.
4+3x=2x-5
4+3⋅(-9)=2⋅(-9)-5
4-27=-18-5
-23=-23

Получилось верное равенство, уравнение решено верно.
Ответ: корень уравнения x=-9.

Правила уменьшения или увеличения уравнения в несколько раз.

Данное правило подходит тогда, когда вы уже посчитали все неизвестные и известные, но какой-то коэффициент остался перед переменной. Чтобы избавится от не нужного коэффициента мы применяем правило уменьшения или увеличения в несколько раз коэффициент уравнения.

Рассмотрим пример:
Решите уравнение 5x=20.

Решение:
В данном уравнение не нужно переносить переменные и числа, все компоненты уравнения стоят на месте. Но нам мешает коэффициент 5 который стоит перед переменной x. Мы не можем его просто взять и перенести в правую сторону уравнения, потому что между число 5 и переменно x стоит умножение 5⋅х. Если бы между переменной и числом стоял знак плюс или минус, мы могли бы 5 перенести вправо. Но мы так поступить не можем. За то мы можем все уравнение уменьшить в 5 раз или поделить на 5. Обязательно делим правую и левую сторону одновременно.

5x=20
5x:5=20:5
5:5x=4
1x=4 или x=4

Делаем проверку уравнения. Вместо переменной x подставляем 4.
5x=20
5⋅4=20
20=20 получили верное равенство, корень уравнение найден правильно.
Ответ: x=4.

Рассмотрим следующий пример:
Найдите корни уравнения .

Решение:
Так как перед переменной x стоит коэффициент необходимо от него избавиться. Надо все уравнение увеличить в 3 раза или умножить на 3, обязательно умножаем левую часть уравнения и правую часть.

1x=21 или x=21

Сделаем проверку уравнения. Подставим вместо переменной x полученный корень уравнения 21.

7=7 получено верное равенство.

Ответ: корень уравнения равен x=21.

Следующий пример:
Найдите корни уравнения

Решение:
Сначала перенесем -1 в правую сторону уравнения относительно знака равно, а в левую сторону и знаки у них поменяются на противоположные.
Теперь нужно все уравнение умножить на 5, чтобы в коэффициенте перед переменной x убрать из знаменателя 5.

3x=45

Далее делим все уравнение на 3.

3x:3=45:3
(3:3)x=15

1x=15 или x=15

Сделаем проверку. Подставим в уравнение найденный корень.

5=5

Ответ: x=15

Как решать уравнения? Алгоритм действий.

Подведем итог разобранной теме уравнений, рассмотрим общие правила решения уравнений:

Перенести неизвестные в одну сторону, а известные в другую сторону уравнения относительно равно.
Преобразовать и посчитать подобные в уравнении, то есть переменные с переменными, а числа с числами.
Избавиться от коэффициента при переменной если нужно.
В итоге всех действий получаем корень уравнение. Выполняем проверку.

Эти правила действуют на любой вид уравнения (линейный, квадратный, логарифмический, тригонометрический, рациональные, иррациональные, показательные и другие виды). Поэтому важно понять эти простые правила и научиться ими пользоваться.

Найдите корень уравнения — задание 5 из ЕГЭ

Сегодня мы будем тренировать навык решения задания 5 ЕГЭ – найдите корень уравнения. Будем искать корень уравнения. Рассмотрим примеры решения такого рода заданий. Но для начала, давайте вспомним – что значит – найти корень уравнения?

Это значит найти такое, зашифрованное под х число, которое мы подставим вместо x и наше уравнение будет верным равенством.

Например, 3x=9 – это уравнение, а 3^.3=9 – это уже верное равенство. То есть в данном случае, мы вместо x подставили число 3 – получили верное выражение или равенство, это означает, что мы решили уравнение, то есть нашли данное число x=3, которое превращает уравнение в верное равенство.

Вот этим мы и займемся – будем находить корень уравнения.

Содержание

Задание 1 – найдите корень уравнения 2

^1-4x=32

Это показательное уравнение. Оно решается следующим образом – нужно чтобы и слева, и справа от знака “равно” была степень с одинаковым основанием.

Слева у нас основание степени 2, а справа – степени нет вовсе. Но мы знаем, что 32 – это 2 в пятой степени. То есть, 32=2⁵

Таким образом, наше уравнение будет выглядеть так: 2^1-4х=2⁵

Слева и справа у нас основания степени одинаковы, значит, чтобы у нас было равенство, должны быть равны и показатели степени:

1-4х=5

Получаем обыкновенное уравнение. Решаем обычным способом – все неизвестные оставляем слева, а известные переносим вправо, получим:

-4х=5-1

-4х=4

х=-1.

Делаем проверку: 2^1-4(-1)=32

2⁵=32

32=32

Мы нашли корень уравнение. Ответ: х=-1.

Самостоятельно найдите корень уравнения в следующих заданиях:

а) 2^5-х=64

б) 2^1-3х=128

Задание 2 – найдите корень уравнения 2

^5-x = 1/16

Уравнение решаем аналогично – путем приведения левой и правой частей уравнения к одному основанию степени. В нашем случае – к основанию степени 2.

Используем следующее свойство степени:

По этому свойству мы получим для правой части нашего уравнения:

Тогда наше уравнение запишется в виде:

Если равны основания степени, значит, равны и показатели степени:

5-х=-4

-х=-4-5

х=9

Ответ: х=9.

Сделаем проверку – подставим найденное значение х в исходное уравнение – если мы получим верное равенство, значит, мы решили уравнение правильно.

2^5-9=1/16

2^-4=1/16

1/16=1/16

Мы нашли корень уравнения правильно.

Задание 3 – найдите корень уравнения

Заметим, что справа у нас стоит 1/8, а 1/8 – это

Тогда наше уравнение запишется в виде:

Если основания степени равны, значит, равны и показатели степени, получим простое уравнение:

3х-12=3

3х=15

х=5

Ответ: х=5. Проверку сделайте самостоятельно.

Задание 4 – найдите корень уравнения log

₃(15-х)=log₃2

Это уравнение решается также как и показательное. Нам нужно, чтобы основания логарифмов слева и справа от знака “равно” были одинаковыми. Сейчас они одинаковы, значит, приравниваем те выражения, которые стоят под знаком логарифмов:

15-х=2

-х=2-15

-х=-13

х=13

Ответ: х=13

Задание 5 – найдите корень уравнения log

₃(3-x)=3

Число 3 – это log₃27. Чтобы было понятно внизу нижним индексом под знаком логарифма стоит число которое возводится в степень, в нашем случае 3, под знаком логарифма стоит число, которое получилось при возведении в степень – это 27, а сам логарифм – это показатель степени, в которую нужно возвести 3, чтобы получить 27.

Смотрите на картинке:

Таким образом, любое число можно записать в виде логарифма. В данном случае очень удобно записать число 3 в виде логарифма с основанием 3. Получим:

log₃(3-x)=log₃27

Основания логарифмов равны, значит, равны и числа, стоящие под знаком логарифма:

3-х=27

Получим,

-х=27-3

-х=24

х=-24

Сделаем проверку:

log₃(3-(-24))=log₃27

log₃(3+24)= log₃27

log₃27=log₃27

3=3

Ответ: x=-24.

Задание 6. Найдите корень уравнения log(x+3)=log

₂(3x-15).

log₂(x+3)=log₂(3x-15)

Решение:

x+3=3x-15

x-3x=-3-15

-2x=-18

x=9

Проверка: log₂(9+3)=log₂(27-15)

log₂12=log₂12

Ответ: x=9.

Задание 7. Найдите корень уравнения log

₂(14-2x)=2log₂3

log₂(14-2x)=2log₂3

log₂(14-2x)=log₂3²

14-2x=3²

14-2x=9

-2x=9-14

-2x=-5

x=2,5

Проверка: log₂(14-5)=2log₂3

log₂9=2log₂3

log₂3²=2log₂3

2log₂3=2log₂3

Ответ: x=2,5

Подготовьтесь к ЕГЭ и к ОГЭ -посмотрите предыдущие темы Найдите значение выражения и Как решать неравенства .

4.10: Нахождение всех вещественных корней функции

Последнее обновление
Сохранить как PDF

Идентификатор страницы: 45172

Виктория Домингес, Кристиан Мартинес и Санаа Сайкали
Citrus College через Инициативу открытых образовательных ресурсов ASCCC

Чтобы найти действительные корни функции, найдите, где функция пересекает ось x. Чтобы найти, где функция пересекает ось x, установите $f(x) = 0$ и решите уравнение для $x$.

Если функция является линейной функцией степени 1, $f(x) = mx + b$ и пересечение x является корнем уравнения, найденным путем решения уравнения для $x$. Для нахождения корней квадратных уравнений существует несколько способов нахождения нулей: 92 + Вх + С = 0\).

Заполните квадрат квадратного выражения (не входит в эту рабочую тетрадь).

Некоторые кубические уравнения также можно легко решить, если многочлен можно разложить на множители, чтобы найти нули. Кроме того, кубическое уравнение можно разложить на множители, если оно записано в виде суммы или разности совершенных кубов. Если бы они не были в таком виде, то калькулятор или компьютер могли бы найти корни кубического уравнения.

Основное внимание в нашем классе уделяется работе с многочленами, корни которых можно найти с помощью традиционных алгебраических методов. Для получения подробной информации о том, как разложить выражение на множители, обратитесь к разделу Разложение на множители/Поиск полиномиальных решений (нули). Для получения подробной информации о том, как использовать квадратичную формулу, обратитесь к этому разделу документа. 92 — 9х — 3 = 0\)

Эта страница под названием 4.10: Поиск всех действительных корней функции распространяется под лицензией CC BY-SA 4.

Наверх

Была ли эта статья полезной?

Тип изделия
Раздел или Страница
Автор
Виктория Домингес, Кристиан Мартинес и Сана Сайкали
Лицензия
CC BY-SA
Версия лицензии
4,0
Программа OER или Publisher

Программа ASCCC OERI
Показать страницу TOC
нет
Теги
1. корни

Поиск корней — Бесплатная помощь по математике

Что такое «корень»?

Корень — это значение, для которого заданная функция равна нулю. Когда эта функция отображается на графике, корнями являются точки, в которых функция пересекает ось x.

Для функции $f(x)$ корнями являются значения x, для которых $f(x)=0$. Например, для функции $f(x)=2-x$ единственным корнем будет $x = 2$, потому что это значение дает $f(x)=0$.

Конечно, легко найти корни такой тривиальной проблемы, но как насчет такой сумасшедшей:

Этапы поиска корней рациональных функций

Установить каждый множитель в числителе равным нулю.
Решите этот коэффициент для x.
Проверьте множители знаменателя, чтобы убедиться, что вы не делите на ноль!

Числитель Коэффициенты

Помните, что множитель — это нечто умножаемое или делимое, например $(2x-3)$ в приведенном выше примере. Итак, в числителе два множителя: $(2x-3)$ и $(x+3)$. Если или из этих множителей могут быть равны нулю, то вся функция будет равна нулю. Не имеет значения (ну, есть исключение), что говорит остальная часть функции, потому что вы умножаете член, равный нулю.

Итак, дело в том, что выясните, как сделать числитель равным нулю, и вы нашли свои корни (также известные как нули по очевидным причинам!). В этом примере у нас есть два множителя в числителе, поэтому любой из них может быть равен нулю. Давайте установим их (отдельно) равными нулю, а затем найдем значения x:

$$ 2x — 3 = 0 $$ $$ 2x = 3 $$ $$ x = \frac{3}{2} $$

$$ х + 3 = 0 $$ $$ х = -3 $$

Таким образом, $x = \frac{3}{2}$ и $x = -3$ становятся нашими корнями для этой функции. Они также являются точками пересечения x при нанесении на график, потому что y будет равно 0, когда x равно 3/2 или -3.

Коэффициенты знаменателя

Как и в случае с числителем, в знаменателе умножаются два множителя. Это $x$ и $x-2$. Приравняем их оба к нулю и решим:

$$ х = 0 $$

$$ х — 2 = 0 $$ $$ х = 2 $$

Это , а не корни этой функции. Посмотрите, что произойдет, если мы подставим 0 или 2 вместо х. Получаем ноль в знаменателе, что означает деление на ноль. Это означает, что функция не существует в данный момент. Фактически x = 0 и x = 2 становятся нашими вертикальными асимптотами (нули знаменателя). Таким образом, для указанной выше функции существует вертикальная асимптота при x = 0 и x = 2.

Вот геометрическое представление того, как выглядит вышеприведенная функция, включая ОБЕ точки пересечения по оси x и ОБЕ вертикальные асимптоты:

Резюме

Корни функции — это значения x, для которых функция равна нулю. Их также называют нулями. Если дана рациональная функция, сделайте числитель равным нулю, обнулив множители по отдельности. Убедитесь, что ваши нули не делают также ноль знаменателя, потому что тогда у вас будет не корень, а вертикальная асимптота.