Примеры решения задач с комплексными числами с ответами
Простое объяснение принципов решения задач с комплексными числами и 10 наглядных примеров. В каждом примере поэтапный ход решения и ответ.
Алгоритм решения задач с комплексными числами
Теорема
Комплексным числом называется число вида: , являются действительными числами, – мнимая единица.
Алгебраическая форма комплексного числа:
Тригонометрическая форма комплексного числа:
Модуль комплексного числа:
Аргумент комплексного числа:
Формула Эйлера:
Формула Муавра:
Нужна помощь в написании работы?
Мы — биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.
Заказать работу
Примеры решений задач с комплексными числами
Пример 1
Задача
Записать комплексное число в тригонометрической и показательной формах
Решение
Найдём модуль комплексного числа:
Найдём аргумент комплексного числа:
Тригонометрическая форма комплексного числа:
Показательная форма комплексного числа:
Ответ
Пример 2
Задача
Записать комплексное число в тригонометрической и показательной формах
Решение
Найдём модуль комплексного числа:
Найдём аргумент комплексного числа:
Тригонометрическая форма комплексного числа:
Показательная форма комплексного числа:
Ответ
Пример 3
Задача
Найти сумму комплексных чисел и
Решение
Пример 4
Задача
Найти разность комплексных чисел и
Решение
Ответ
Пример 5
Задача
Найти произведение комплексных чисел и
Решение
Ответ
Пример 6
Задача
Найти
Решение
Запишем комплексное число в тригонометрической форме:
По формуле Муавра получаем:
Ответ
Пример 7
Задача
Найти частное комплексных чисел и
Решение
Ответ
Пример 8
Задача
Найти частное комплексных чисел и
Решение
Ответ
Пример 9
Задача
Найти
Решение
Число в тригонометрической форме имеет вид:
При :
При :
При :
Ответ
при
при
при
Пример 10
Задача
Найти
Решение
Число в тригонометрической форме имеет вид:
При :
При :
Ответ
при
при
Средняя оценка 4.
5 / 5. Количество оценок: 11
Поставьте вашу оценку
Сожалеем, что вы поставили низкую оценку!
Позвольте нам стать лучше!
Расскажите, как нам стать лучше?
29776
Закажите помощь с работой
Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке
Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке
Полезно
Умножение комплексных чисел, теория и примеры решений
Содержание:
- Умножение комплексных чисел в алгебраической форме
- Умножение комплексных чисел в геометрической форме
Умножение комплексных чисел в алгебраической форме
Определение
Произведением двух комплексных чисел $z_{1}=a_{1}+b_{1} i$ и $z_{2}=a_{2}+b_{2} i$$z_{2}=a_{2}+b_{2} i$ называется комплексное число $z$, равное
$z=z_{1} \cdot z_{2}=\left(a_{1} a_{2}-b_{1} b_{2}\right)+\left(a_{1} b_{2}+b_{1} a_{2}\right) i$
На практике чаще всего комплексные числа перемножают как алгебраические двучлены
$\left(a_{1}+b_{1} i\right)\left(a_{2}+b_{2} i\right)$, просто раскрыв скобки, в
полученном результате надо учесть, что $i^{2}=-1$ .
{2}=-2-i+3 \cdot(-1)=-5-i$
Ответ. $z_{1} \cdot z_{2}=-5-i$
Умножение комплексных чисел в геометрической форме
Если комплексные числа $z_{1}$ и $z_{2}$ заданы в геометрической форме: $z_{1}=\left|z_{1}\right|\left(\cos \phi_{1}+i \sin \phi_{1}\right)$, $z_{2}=\left|z_{2}\right|\left(\cos \phi_{2}+i \sin \phi_{2}\right)$, то произведением этих чисел есть число
$z_{1} z_{2}=\left|z_{1}\right| \cdot\left|z_{2}\right|\left[\cos \left(\phi_{1}+\phi_{2}\right)+i \sin \left(\phi_{1}+\phi_{2}\right)\right]$
То есть модуль произведения двух комплексных чисел в тригонометрической форме равен произведению модулей сомножителей, а аргумент равен сумме аргументов сомножителей.
236
проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности
Мы помогли уже 4 396 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!
Пример
Задание. Найти произведение чисел
$z_{1}=3 \cdot\left(\cos 10^{\circ}+i \sin 10^{\circ}\right)$,
$z_{2}=2 \cdot\left(\cos 50^{\circ}+i \sin 50^{\circ}\right)$ .
{\circ}\right)=3+3 \sqrt{3} i$
Читать дальше: деление комплексных чисел.
мнимых и комплексных чисел | Алгебра среднего уровня
Результаты обучения
- Выразите корни отрицательных чисел через i
- Представление мнимых чисел в виде bi и комплексных чисел в виде [latex]a+bi[/latex]
Вам действительно нужно только одно новое число, чтобы начать работать с квадратными корнями из отрицательных чисел. Это число представляет собой квадратный корень из [латекс]−1,\sqrt{-1}[/латекс]. действительных чисел — это те, которые можно изобразить на числовой прямой — они кажутся красивыми 9{2}}=-1[/latex]
Число i позволяет нам работать с корнями всех отрицательных чисел, а не только [латекс] \sqrt{-1}[/латекс]. Следует помнить два важных правила: [латекс] \sqrt{-1}=i[/латекс] и [латекс] \sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}[/latex]. Вы будете использовать эти правила, чтобы переписать квадратный корень из отрицательного числа как квадратный корень из положительного числа, умноженный на [латекс] \sqrt{-1}[/латекс].
Далее вы упростите квадратный корень и перепишете [latex] \sqrt{-1}[/latex] как i. Давайте рассмотрим пример.
Пример
Упрощение. [latex] \sqrt{-4}[/latex]
Показать решение
Пример
Упрощение. [latex] \sqrt{-18}[/latex]
Показать решение
Пример
Упрощение. [latex] -\sqrt{-72}[/latex]
Показать решение
Возможно, вы хотели упростить [латекс] -\sqrt{-72}[/латекс], используя различные коэффициенты. Некоторым могло прийти в голову переписать этот радикал как [латекс] -\sqrt{-9}\sqrt{8}[/latex] или [латекс] -\sqrt{-4}\sqrt{18}[/latex], или [латекс] -\sqrt{-6}\sqrt{12}[/латекс], например. Каждый из этих радикалов в конечном итоге дал бы один и тот же ответ [латекс] -6i\sqrt{2}[/латекс].
В следующем видео мы покажем больше примеров того, как использовать мнимые числа для упрощения квадратного корня с отрицательным подкоренным числом.
Извлечение квадратного корня из отрицательного числа
- Найдите правильные квадраты в радикале.
- Перепишите радикал, используя правило [латекс] \sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}[/latex].
- Перепишите [латекс] \sqrt{-1}[/латекс] как i .
Пример: [латекс] \sqrt{-18}=\sqrt{9}\sqrt{-2}=\sqrt{9}\sqrt{2}\sqrt{-1}=3i\sqrt{2}[/latex]
Комплексные числа
Комплексное число представляет собой сумму действительное число и мнимое число. Комплексное число выражается в стандартной форме: a + bi , где a – действительная часть, а bi – мнимая часть. Например, [латекс]5+2i[/латекс] — это комплексное число. Так же и [латекс]3+4i\sqrt{3}[/латекс].
Мнимые числа отличаются от действительных чисел тем, что возведение в квадрат мнимого числа дает отрицательное действительное число.
Вспомните, когда возводится в квадрат положительное действительное число, результатом является положительное действительное число, а когда возводится в квадрат отрицательное действительное число, снова получается положительное действительное число. Комплексные числа представляют собой комбинацию действительных и мнимых чисел. Вы можете использовать обычные операции (сложение, вычитание, умножение и так далее) с мнимыми числами. Вы увидите больше этого позже.
| Комплексный номер | Реальная часть | Воображаемая часть |
|---|---|---|
| [латекс]3+7i[/латекс] | [латекс]3[/латекс] | [латекс]7i[/латекс] |
| [латекс]18–32i[/латекс] | [латекс]18[/латекс] | [латекс]−32i[/латекс] |
| [латекс] -\frac{3}{5}+i\sqrt{2}[/латекс] | [латекс] -\frac{3}{5}[/латекс] | [латекс] i\sqrt{2}[/латекс] |
| [латекс] \frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{1}{2}i[/латекс] | [латекс] \frac{\sqrt{2}}{2}[/латекс] | [латекс]-\frac{1}{2}i[/латекс] |
В числе с корнем в составе b , например [latex]-\frac{3}{5}+i\sqrt{2}[/latex] выше, мнимое i должно писаться перед корнем.
| Номер | Комплексная форма: [латекс]а+би[/латекс] | Реальная часть | Воображаемая часть |
|---|---|---|---|
| [латекс]17[/латекс] | [латекс]17+0i[/латекс] | [латекс]17[/латекс] | [латекс]0i[/латекс] |
| [латекс]−3i[/латекс] | [латекс]0–3i[/латекс] | [латекс]0[/латекс] | [латекс]−3i[/латекс] |
Сделав [latex]b=0[/latex], любое действительное число можно представить как комплексное число. Действительное число a записывается как [латекс]а+0i[/латекс] в сложной форме.
Точно так же любое мнимое число может быть представлено как комплексное число. Сделав [latex]a=0[/latex], любое мнимое число [latex]bi[/latex] можно записать как [latex]0+bi[/latex] в комплексной форме.
Пример
Запишите [латекс]83.6[/латекс] как комплексное число.
Показать решение
Пример
Запишите [латекс]−3i[/латекс] как комплексное число.
Показать решение
В следующем видео мы покажем больше примеров того, как записывать числа в виде комплексных чисел.
Резюме
Комплексные числа имеют вид [латекс]а+би[/латекс], где a и b — действительные числа, а i — квадратный корень из [латекс]−1[/ латекс]. Все действительные числа можно записать как комплексные, установив [latex]b=0[/latex].
Мнимые числа имеют форму bi , а также могут быть записаны как комплексные числа, если установить [latex]a=0[/latex]. Квадратные корни из отрицательных чисел можно упростить, используя [латекс] \sqrt{-1}=i[/латекс] и [латекс] \sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}[/latex].
3.1: Комплексные числа — Математика LibreTexts
- Последнее обновление
- Сохранить как PDF
- Идентификатор страницы
- 1343
- OpenStax
- OpenStax
Цели обучения
- Выражение квадратных корней из отрицательных чисел в виде кратных \(i\).
- Нанесение комплексных чисел на комплексную плоскость.
- Сложение и вычитание комплексных чисел.
- Умножать и делить комплексные числа.
Наши лучшие предположения могут быть +2 или -2. Но если мы проверим +2 в этом уравнении, это не сработает. Если мы проверим -2, это не сработает. Если мы хотим получить решение этого уравнения, нам придется пойти дальше, чем мы до сих пор. В конце концов, до сих пор мы описывали квадратный корень из отрицательного числа как неопределенный. К счастью, есть другая система чисел, которая обеспечивает решение подобных проблем. В этом разделе мы рассмотрим эту систему счисления и то, как в ней работать.
Выражение квадратных корней из отрицательных чисел в виде кратных
i Мы знаем, как найти квадратный корень из любого положительного действительного числа. Аналогичным образом мы можем найти квадратный корень из отрицательного числа. Отличие в том, что рут не настоящий. Если значение подкоренного числа отрицательное, корень называется мнимым числом. Мнимое число i определяется как квадратный корень из минус 1.
\[\sqrt{-1}=i\]
Итак, используя свойства радикалов, 92=−1\]
Мы можем записать квадратный корень любого отрицательного числа как кратное i. Возьмем квадратный корень из –25.
\[\begin{align} \sqrt{-25}&=\sqrt{25 {\cdot} (-1)}\\ &=\sqrt{25}\sqrt{-1} \\ &= 5i \end{align}\]
Мы используем 5 i , а не −5 i , потому что главный корень из 25 является положительным корнем.
Комплексное число представляет собой сумму действительного числа и мнимого числа. Комплексное число выражается в стандартной форме при записи \(a+bi\), где \(a\) — действительная часть, а \(bi\) — мнимая часть. Например, \(5+2i\) — комплексное число. То же самое и с \(3+4\sqrt{3}i\).
Рисунок \(\PageIndex{1}\) Мнимые числа отличаются от действительных чисел, поскольку возведение в квадрат мнимого числа дает отрицательное действительное число. Вспомните, когда возводится в квадрат положительное действительное число, результатом является положительное действительное число, а когда возводится в квадрат отрицательное действительное число, снова получается положительное действительное число.
Мнимые и комплексные числа
Комплексное число — это число вида \(a+bi\), где
- \(a\) — действительная часть комплексного числа.
- \(bi\) — мнимая часть комплексного числа.
Если \(b=0\), то \(a+bi\) — действительное число. Если \(a=0\) и \(b\) не равно 0, комплексное число называется мнимым числом . Мнимое число – это четный корень из отрицательного числа.
Стандартная форма
Дано мнимое число, выразить его в стандартной форме.
- Запишите \(\sqrt{-a}\) как \(\sqrt{a}\sqrt{-1}\).
- Выразите \(\sqrt{−1}\) как \(i\) .
- Напишите \(\sqrt{a}{\cdot}i\) в простейшей форме.
Пример \(\PageIndex{1}\): Выражение мнимого числа в стандартной форме
Выражение \(\sqrt{−9}\) в стандартной форме.
Решение
\[\sqrt{−9}=\sqrt{9}\sqrt{−1}=3i \nonumber\]
В стандартной форме это \(0+3i\).
Упражнение \(\PageIndex{1}\)
Экспресс \(\sqrt{−24}\) в стандартной форме.
- Ответить
\(\sqrt{−24}=0+2i\sqrt{6}\)
Нанесение комплексного числа на комплексную плоскость
Мы не можем наносить на числовую прямую комплексные числа, как настоящие числа. Однако мы все еще можем представить их графически. Чтобы представить комплексное число, нам нужно обратиться к двум компонентам числа. Мы используем комплексную плоскость, которая представляет собой систему координат, в которой горизонтальная ось представляет действительную составляющую, а вертикальная ось представляет мнимую составляющую. Комплексные числа — это точки на плоскости, выраженные в виде упорядоченных пар \((a,b)\), где \(a\) представляет координату по горизонтальной оси, а \(b\) представляет координату по вертикальной оси.
Рассмотрим число \(−2+3i\). Действительная часть комплексного числа равна −2, а мнимая часть равна \(3i\).
Мы построили упорядоченную пару \((−2,3)\) для представления комплексного числа \(−2+3i\), как показано на рисунке \(\PageIndex{2}\)
Комплексная плоскость
На комплексной плоскости горизонтальная ось — это действительная ось, а вертикальная ось — воображаемая ось, как показано на рисунке \(\PageIndex{3}\).
Рисунок \(\PageIndex{3}\): комплексная плоскость, показывающая, что горизонтальная ось (в реальной плоскости ось x) известна как действительная ось, а вертикальная ось (в реальной плоскости y- ось) называется воображаемой осью.How To …
Для заданного комплексного числа представить его компоненты на комплексной плоскости.
- Определите действительную и мнимую части комплексного числа.
- Перемещайтесь по горизонтальной оси, чтобы показать действительную часть числа.
- Перемещение параллельно вертикальной оси для отображения мнимой части числа.
- Нанесите точку.
Пример \(\PageIndex{2}\): построение комплексного числа на комплексной плоскости
Нанесение комплексного числа \(3−4i\) на комплексную плоскость.
Решение
Действительная часть комплексного числа равна 3, а мнимая часть равна \(−4i\). Наносим упорядоченную пару \((3,−4)\), как показано на рисунке \(\PageIndex{4}\).
Рисунок \(\PageIndex{4}\): График комплексного числа, \(3 — 4i\). Обратите внимание, что действительная часть \((3)\) отложена по оси x, а мнимая часть \((-4i)\) отложена по оси y.Упражнение \(\PageIndex{1}\)
Начертите комплексное число \(−4−i\) на комплексной плоскости.
- Ответить
- Рисунок \(\PageIndex{5}\)
Сложение и вычитание комплексных чисел
Как и с действительными числами, мы можем выполнять арифметические операции над комплексными числами.
Чтобы сложить или вычесть комплексные числа, мы объединяем действительные части и объединяем мнимые части.
Комплексные числа: сложение и вычитание
Сложение комплексных чисел:
\[(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i\]
Вычитание комплексных чисел:
\[(a+bi) −(c+di)=(a−c)+(b−d)i\]
Как…
Даны два комплексных числа, найдите их сумму или разность.
- Определите действительную и мнимую части каждого числа.
- Добавьте или вычтите действительные части.
- Сложите или вычтите мнимые части.
Пример \(\PageIndex{3}\): добавление комплексных чисел
Добавьте \(3−4i\) и \(2+5i\).
Решение
Складываем действительные части и складываем мнимые части.
\[\begin{align*} (a+bi)+(c+di)&=(a+c)+(b+d)i \\ (3−4i)+(2+5i)&= (3+2)+(−4+5)i \\ &=5+i \end{align*}\]
Упражнение \(\PageIndex{3}\)
Вычесть \(2+5i\) из \(3–4i\).
- Ответить
\((3−4i)−(2+5i)=1−9i\)
Умножение комплексных чисел
Умножение комплексных чисел очень похоже на умножение биномов.
Основное отличие состоит в том, что мы работаем с реальной и мнимой частями отдельно.
Умножение комплексного числа на вещественное число
Начнем с умножения комплексного числа на вещественное число. Мы распределяем действительное число так же, как и биномиальное. Так, например,
Рисунок \(\PageIndex{6}\)Как…
Учитывая комплексное число и действительное число, умножьте их, чтобы найти произведение.
- Используйте свойство дистрибутива.
- Упростить.
Пример \(\PageIndex{4}\): умножение комплексного числа на действительное число
Найдите произведение \(4(2+5i).\)
Решение
Распределите 4.
\[\begin{align*} 4(2+5i)&=(4⋅2)+(4⋅5i) \\ &=8+20i \end{align*}\]
Упражнение \(\PageIndex{ 4}\)
Найдите произведение \(−4(2+6i)\).
- Ответить 92=−1\), имеем
- Используйте свойство распределения или метод FOIL.
- Упростить.
- Ответить
\(18+я\)
- Когда комплексное число умножается на его комплексно-сопряженное, результатом является действительное число.
- Когда комплексное число добавляется к его комплексно-сопряженному, результатом является действительное число.
- \(2+i\sqrt{5}\)
- \(−\frac{1}{2}i\)
- Запишите задачу на деление в виде дроби.
- Определить комплексное сопряжение знаменателя.
- Умножить числитель и знаменатель дроби на комплексно-сопряженную часть знаменателя.
- Упростить.
- Ответить
\(−\frac{3}{17}+\frac{5i}{17}\)
- Квадратный корень из любого отрицательного числа может быть записан как кратное \(i\).
- Чтобы построить комплексное число, мы используем две числовые линии, которые пересекаются, образуя комплексную плоскость. Горизонтальная ось — это реальная ось, а вертикальная ось — воображаемая ось.
- Комплексные числа можно складывать и вычитать, комбинируя действительные части и комбинируя мнимые части.
- Комплексные числа можно умножать и делить.
- Чтобы умножить комплексные числа, распределите так же, как и многочлены.
- Чтобы разделить комплексные числа, умножьте и числитель, и знаменатель на комплексное сопряжение знаменателя, чтобы исключить комплексное число из знаменателя.
- Степени \(i\) цикличны, повторяя каждую четвертую.
\[(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci−bd \nonumber\]
мнимые части.
\[(a+bi)(c+di)=(ac−bd)+(ad+bc)i \nonumber\]
Как…
Даны два комплексных числа, умножьте их, чтобы найти произведение .
Пример \(\PageIndex{5}\): умножение комплексного числа на комплексное число
Умножить \((4+3i)(2−5i)\).
Решение
Используйте \((a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i\)
\[\begin{align*} (4+3i) (2−5i)&=(4⋅2−3⋅(−5))+(4⋅(−5)+3⋅2)i \\ &=(8+15)+(−20+6)i \\ &=23−14i \end{align*}\]
Упражнение \(\PageIndex{5}\)
Умножить \((3−4i)(2+3i)\).
Деление комплексных чисел
Деление двух комплексных чисел сложнее, чем сложение, вычитание и умножение, потому что мы не можем делить на мнимое число, а это означает, что любая дробь должна иметь знаменатель в виде действительного числа.
Нам нужно найти член, на который мы можем умножить числитель и знаменатель, который исключит мнимую часть знаменателя, чтобы мы получили действительное число в качестве знаменателя. Этот термин называется комплексное сопряжение знаменателя, которое находится при изменении знака мнимой части комплексного числа. Другими словами, комплексное сопряжение \(a+bi\) равно \(a−bi\).
Обратите внимание, что комплексно-сопряженные числа имеют обратную связь: комплексно-сопряженное число \(a+bi\) равно \(a−bi\), а комплексно-сопряженное число \(a−bi\) равно \(a+bi\ ). Кроме того, когда квадратное уравнение с действительными коэффициентами имеет комплексные решения, решения всегда комплексно сопряжены друг другу.
Предположим, мы хотим разделить \(c+di\) на \(a+bi\), где ни a, ни \(b\) не равны нулю. Сначала запишем деление в виде дроби, затем найдем комплексно-сопряженную часть знаменателя и умножим.
\[\dfrac{c+di}{a+bi} \, \text{ где $a{\neq}0$ и $b{\neq}0$} \nonumber\]
Умножить числитель и знаменатель комплексно сопряженным знаменателю.
\[\dfrac{(c+di)}{(a+bi)}{\cdot}\dfrac{(a−bi)}{(a−bi)}=\dfrac{(c+di)( a−bi)}{(a+bi)(a−bi)} \nonumber\] 92} \nonumber\]
Определение: комплексное сопряжение
Комплексное сопряжение комплексного числа \(a+bi\) равно \(a−bi\). Его находят изменением знака мнимой части комплексного числа. Действительная часть числа остается неизменной.
Пример \(\PageIndex{6}\): поиск комплексно-сопряженных чисел
Найдите комплексно-сопряженные числа для каждого числа.
Раствор
а. Число уже находится в форме \(a+bi\). Комплексное сопряжение равно \(a−bi\) или \(2−i\sqrt{5}\).
б. Мы можем переписать это число в виде \(a+bi\) как \(0−\frac{1}{2}i\).
Комплексно-сопряженное число равно \(a−bi\) или \(0+\frac{1}{2}i\). Это можно записать просто как \(\frac{1}{2}i\).
Анализ
Хотя мы видели, что мы можем найти комплексно-сопряженное число мнимого числа, на практике мы обычно находим комплексно-сопряженные только комплексные числа с вещественной и мнимой компонентами. Чтобы получить действительное число из мнимого, мы можем просто умножить его на \(i\).
Как…
Даны два комплексных числа, разделите одно на другое.
Пример \(\PageIndex{7}\): деление комплексных чисел
Разделите \((2+5i)\) на \((4−i)\).
Решение
Начнем с записи задачи в виде дроби.
\[\dfrac{(2+5i)}{(4−i)} \nonumber\]
Затем умножаем числитель и знаменатель на комплексное сопряжение знаменателя.
2}{92$.}\\ &\dfrac{106+10i}{109} &\text{Упростить.}\\ &\dfrac{106}{109}+\dfrac{10}{109} &\text{Разделить действительная и мнимая части.} \end{align*}\]
Упражнение \(\PageIndex{9}\)
Пусть \(f(x)=\frac{x+1}{x−4}\) . Вычислите \(f(−i)\).
Упрощающие степени \(i\)
Степени \(i\) цикличны. Давайте посмотрим, что произойдет, если мы поднимем 9.{19}\)
Ключевые понятия
Глоссарий
комплексное сопряжение
комплексное число, в котором знак мнимой части изменен, а действительная часть числа оставлена без изменений; при добавлении или умножении на исходное комплексное число результатом является действительное число
комплексное число
сумма действительного числа и мнимого числа, записанная в стандартной форме \(a+bi\), где \(a\) — действительная часть, а \(bi\) — мнимая часть
комплексная плоскость
система координат, в которой горизонтальная ось используется для представления действительной части комплексного числа, а вертикальная ось используется для представления мнимой части комплексного числа
мнимое число
число в форме bi, где \(i=\sqrt{−1}\)
Эта страница под названием 3.