Z 2i представить в тригонометрической форме: Комплексные числа онлайн

Тригонометрическая форма комплексного числа

Рассмотрим комплексное число, заданной в обычной (алгебраической) форме:

z=a+ib.

(1)

Задача заключается в представлении комплексного числа (1) в тригонометрической форме. Для этого на комплексной плоскости введем полярные координаты. Примем за полюс начало координат, а за полярную ось вещественную ось R.

Как известно, полярными координатами точки z являются длина r ее радиус-вектора, равной расстоянию от точки z до полюса, и величина ее полярного угла, т.е. угла, образованного между полярной осью и вектором-радиусом точки z. Отметим, что направление отсчета угла берется от полярной оси до вектора-радиуса против часовой стрелки (Рис.1, Рис.2).

На Рис.3 изображено комплексное число z. Координаты этого числа в декартовой системе координат (a, b). Из определения функций sin и cos любого угла, следует:

Откуда имеем:

Подставляя (2) в (1), получим:

Эта форма записи называется тригонометрической формой записи комплексного числа.

Уравнения (2) возведем в квадрат и сложим:

Откуда:

r−длина радиус-вектора комплексного числа z называется модулем комплексного числа и обозначается |z|. Очевидно |z|≥0, причем |z|=0 тогда и только тогда, когда z=0.

Величина полярного угла точки, соответвующей комплексному числу z, т.е. угла φ, называется аргументом этого числа и обозначается arg z. Заметим, что arg z имеет смысл лишь при z≠0. Аргумент комплексного числа 0 не имеет смысла.

Аргумент комплексного числа определен неоднозначно. Если φ аргумент комплексного числа, то φ+2πk, k=0,1,… также является аргументом комплексного числа, т.к. cos(φ+2πk)=cosφ, sin(φ+2πk)=sinφ.

Приведение комплексного числа из алгебраической формы в тригонометрическую

Пусть комплексное число представлено в алгебраической форме: z=a+bi. Представим это число в тригонометрической форме. Вычисляем модуль комплексного числа: . Вычисляем аргумент φ комплексного числа из выражений или . Полученные значения вставляем в уравнение (3).

Пример 1. Представить комплексное число z=1 в тригонометрической форме.

Решение. Комплексное число z=1 можно представить так: z=1+0i. Вычислим модуль этого числа: . Вычислим аргумент этого числа: cosφ=1/1. Откуда имеем φ=0. Подставляя значения модуля и аргумента в (3), получим: z=1(cos0+isin0).

Ответ. z=1(cos0+isin0).

Пример 2. Представить комплексное число z=i в тригонометрической форме.

Решение. Комплексное число z=i можно представить так: z=0+1i. Вычислим модуль этого числа: . Вычислим аргумент этого числа: cosφ=0/1. Откуда имеем φ=π/2. Подставляя значения модуля и аргумента в (3), получим: .

Ответ. .

Пример 3. Представить комплексное число z=4+3i в тригонометрической форме.

Решение. Вычислим модуль этого числа: . Вычислим аргумент этого числа: cosφ=4/5. Откуда имеем φ=arccos(4/5). Подставляя значения модуля и аргумента в (3), получим: .

Ответ. , где φ=arccos(4/5).

Умножение комплексных чисел в тригонометрической форме записи

Пусть заданы комплексные числа

z₁=r₁(cosφ₁+i sinφ₁) и z₂=r₂(cosφ₂+i sinφ₂). Перемножим эти числа:

z1·z2=[r1(cosφ1+i sinφ1)][r2(cosφ2+i sinφ2]=r1r2[cos(φ1+φ2)+isin(φ1+φ2)]

или

z1z2=r1r2[cos(φ1+φ2)+isin(φ1+φ2)]

(5)

В результате умножения комплексных чисел в тригонометрической форме мы получили комплексное число в тригонометрической форме, следовательно |

z₁z₂|=r₁r₂, или

|z1z2|=|z1||z2|,

(6)

т. е. модуль произведения комплексных чисел равен произведению модулей сомножителей.

Далее имеем arg(z₁z₂)=φ₁+φ₂ или

arg(z1z2)=arg(z1)+arg(z2),

(7)

т.е. аргумент произведения комплексных чисел равен сумме аргументов сомножителей.

Пример 4. Умножить комплексные числа и .

Решение. Воспользуемся формулой (5):

Ответ. .

Деление комплексных чисел в тригонометрической форме записи

Пусть заданы комплексные числа z₁=r₁(cosφ₁+i sinφ₁) и z₂=r₂(cosφ₂+i sinφ₂) и пусть z₂≠0, т.е. r₂≠0. Вычислим z₁/z₂:

Получили

Отсюда следует, что или

Далее , или

Следовательно, модуль частного двух комплексных чисел равен модулю делимого, деленному на модуль делителя, а аргумент частного двух комплексных чисел получается вычитанием аргумента делителя от аргумента делимого.

Пример 5. Делить комплексные числа и .

Решение. Воспользуемся формулой (8):

Ответ. .

Геометрический смысл умножения и деления

На рисунке Рис.4 представлено умножение комплексных чисел z₁ и z₂. Из (6) и (7) следует, что для получения произведения z₁z₂, нужно вектор-радиус точки z₁ повернуть против часовой стрелки на угол φ₂ и растянуть в |z₂| раз (при 0<|z₂|<1 это будет сжатием).

Рассмотрим, теперь, деление комплексного числа z₁z₂ на z₁ (Рис.4). Из формулы (8) следует, что модуль искомого числа равен частному от деления модуля числа z₁z₂ на модуль числа z₁, а аргумент равен: φ₂=φ−φ₁. В результате деления получим число z₂.

Смотрите также:

§ 2.

Формы комплексного числа

Существует три формы комплексного числа, так как различные операции над комплексными числами удобнее проводить с различными формами.

1. Алгебраическая форма: z = x + iy.

Пример 1. Найти действительную и мнимую части, модуль, аргумент комплексного числа z = 2 + 3i, сопряженное к нему и изобразить z и на комплексной плоскости.

Р ешение.

Действительная и мнимая части: Rez = x = 2, Imz = y = 3.

Модуль: .

Аргумент:

Сопряженное к z равно , тогда, если z = 2 + 3i, то сопряженное к нему равно .

Комплексному числу z = 2 + 3i соответствует вектор , комплексному числу соответствует вектор ,

z и изображены на рис. 2.

2. Тригонометрическая форма: .

И з рисунка 3 видно, что .

Если подставить данные выражения в алгебраическую форму, то получится комплексное число в тригонометрической форме:

z = x + iy = = .

Пример 2. Представить в алгебраической форме комплексное число . Найти к нему сопряженное.

Решение.

, отсюда .

или, что одно и то же .

3. Показательная форма:

Используя формулу Эйлера:

,

комплексное число можно записать в так называемой показательной форме:

z =

Примеры.

Пример 3. Представить в показательной форме комплексное число . Записать к нему сопряженное, найти модуль.

Решение.

, отсюда , тогда , r = 4.

Пример 4. Дано комплексное число . Записать его в трех формах.

Решение.

Алгебраическая форма комплексного числа: .

, .

Тригонометрическая форма комплексного числа: .

Показательная форма комплексного числа: .

Определение 8. Уравнение определяет на плоскости Гаусса окружность с центром в точке О и радиусом, равным а.

Пояснение: – уравнение окружности.

Определение

9. Уравнение определяет на плоскости Гаусса окружность с центром в точке z₀ и радиусом, равным а.

Пояснение:

– уравнение окружности с центром в точке и радиусом, равным а.

Замечание. Неравенство ( ) определяет множество точек верхней полуплоскости.

Неравенство ( ) определяет множество точек нижней полуплоскости.

Неравенство (x > 0) определяет множество точек правой полуплоскости.

Неравенство (x < 0) определяет множество точек левой полуплоскости.

Пример 5. Изобразить на комплексной плоскости множество точек, задаваемых условиями 1) , 2) , 3) , 4) 5)

Решение.

1) – окружность с центром в точке О

и радиусом равным 2 (рис. 4).

2) – окружность с центром в точке i и радиусом равным 1. (рис. 5).

3) часть плоскости за окружностью с центром в точке О радиусом 2, включая саму окружность. – сектор между двумя лучами: В пересечении получается часть плоскости за окружностью, включая саму окружность, лежащая внутри сектора раствором в (рис. 6).

4) , т.е. – полоса между осью (Ох) и прямой y = 2, не включая данную прямую (рис. 7).

5) – данная область – кольцо между окружностями , причем последняя не принадлежит области. – сектор между двумя лучами: В пересечении получается область внутри кольца между двумя лучами, не включая внутреннюю окружность (рис. 8).

Тригнет

На плоскости комплексных чисел стандарт Форма уравнения: z = a +bi Горизонтальная ось называется действительной осью , а вертикаль называется мнимой осью . То есть это то, что обычно является осью x, а другое, что обычно является осью Y, соответственно. Найти точка на плоскости, которую представляет комплексное число, вы используете точку (а, б). 92) рт(9 + 4) рт(13) Это график z = 3 + 2i Тригонометрическая форма комплексного числа Чтобы найти тригонометрическую форму z = a + bi, вы используете следующее формула: 92) и Танкс = б ÷ а. Словарь: Здесь r — это модуль z, а x — аргумент . из з. Чтобы найти тригонометрическую форму комплексного числа z = 3 + 2i, вы бы использовали r, который, как мы теперь знаем, равен rt(13), а затем узнать значение х. танкс = а ÷ б tanx = 3 ÷ 2 x =~ 56,31° В некоторых задачах может потребоваться изменить угол, в зависимости от того, в каком квадранте находится комплексное число дюймов. В этом случае нам не нужно менять угол, так как 56,31° находится в том же квадранте, что и в примере. И Итак… z = rt(13)(cos56,31° + isin56,31°) … является тригонометрической формой этого комплексного числа. Умножение и деление комплексного числа Необходимые условия: Формулы суммы и разности Умножение и деление комплексных чисел в тригонометрии форма: Где г = г (cosx + изинкс) и г = г (cosx + изинкс) комплексные числа. .. Продукт: з з = rr[cos(x + х) + isin(x + x)] Частное: г ÷ г = (р ÷ r)[cos(x + х) + isin(x + х)] г 0 Вот пример задачи на умножение: г = 3 (поскольку ( ÷ 3) + isin( ÷ 3)) г = 4 (поскольку ( ÷ 6) + isin( ÷ 6)) Начните с использования формулы. (3*4)(поскольку(( ÷ 3) + ( ÷ 6)) + isin(( ÷ 4) + ( ÷ 6)) Найдите общий знаменатель дробей. 12(поскольку((2 ÷ 6) + ( ÷ 6)) + isin((3 ÷ 12) + (2 ÷ 12)) Объедините похожие термины. 12(пос(3) ÷ 6) + isin(5 ÷ 12) 12(поскольку( ÷ 2) + isin(5 ÷ 12) Упростить косинус и синус. 12(0 + i(.9659)) г г =~ 11.59i Полномочия Комплексные номера Помимо использования формула умножения для решения степеней, вы можете использовать 912 Начните с нахождения значения r: r = rt(1² + (-1)²) r = rt(2) Итак, теперь мы должны найти значение x. танкс = 1 ÷ -1 Танкс = -1 х = ÷ 4 Но так как это комплексное число лежит в квадранте 4, и x находится в квадранте 1, мы изменим его на — ÷ 4. Теперь воспользуемся теоремой Де Муавра. 912(-1 + i0) 64(-1 + 0i) z = -64

Комплексные числа — Уроки Wyzant

Написано преподавателем Колином Д.

Как представить комплексные числа графически: комплексная плоскость

• Комплексное число x + yi соответствует точке с координатами (x, y)
• Ось X является реальной осью
• Ось Y является воображаемой осью
• Вещественные числа связаны с точками на оси x
  Например: x = x + 0i <- -=””> (x,0)
  
• Мнимые числа связаны с точками на оси Y
  Например: yi = 0 + yi <- -=””> (0,y)
  

Как найти точку (P) на комплексной плоскости

Тригонометрическая (полярная) форма

• Тригонометрическая форма «x + yi» равна r(cos θ + i sin θ)
  -Это может быть получено из более ранних эквивалентностей. Поскольку, когда у нас было
  x + yi, мы нашли x = r cos θ и
  y = r sin θ, мы можем заменить x и y на r cos θ
  и r sin θ соответственно:
  x + yi = (r cos θ) + (r sin θ)i
  — Если вынести «r» и умножить на «i», получится:
  r(cos θ + i sin θ)
• r = модуль или абсолютное значение
  r = (x ² + y ² ) ^1/2
  r = должен быть НЕотрицательным
• θ = Аргумент комплексного числа
  — Любой угол, котерминальный θ, также является аргументом для того же комплексного числа
  tan θ = y/x -> θ = arc tan (y/x)

Прямоугольная (стандартная) форма

• Прямоугольная форма «x + yi»

Как изменить прямоугольную форму на тригонометрическую

Как изменить тригонометрическую форму на прямоугольную

• Если B = 3√3 (cos 330° + i sin 330°)
  r = 3√3
  cos 330° = √(3/2)
  sin 330° = -1/2
• Тогда 3√3 (√(3/2) + -1/2 i) -> 9/2 – i(3√3)/2

Как выражать комплексные числа в правильной

тригонометрической форме

• Всегда помните несколько важных правил правильной тригонометрической формы:
  — Модуль (r) всегда должен быть неотрицательным
  Это абсолютное значение диагонали от самой точки до начала координат.
  — Выражение в скобках должно иметь вид: cos θ + i sin θ.
  Убедитесь, что каждое слагаемое записано как положительное число.
• Пример: z = 2(cos 30° – i sin 30°)
  -Сначала выразите z в прямоугольной форме:
  2(√(3/2) – 1/2 i) -> √3 – 1i
  -Таким образом , на графике это будет состоять из перемещения на √3 единицы вправо и на 1 единицу вниз, в результате чего появится точка в квадранте IV
  .
  г = √((√3) ² + 1 ² ) -> √4 -> √2

  Используя тангенс θ = y/x, получаем:

  тангенс θ = 1/√3 -> арктангенс 1/√3 = -30° -> следовательно, θ = -30°
  -Наконец, замена:

  z = 2[cos (-30°) + i sin (-30°)]

Умножение и деление в тригонометрической форме

• ПРИМЕЧАНИЕ. В то время как прямоугольная форма облегчает понимание сложения/вычитания комплексных чисел, тригонометрическая форма является лучшим методом
  представления сложных чисел для целей умножения/деления.
• Если вы собираетесь умножить на два комплексных числа, z1 = r1 (cos θ1 + i sin θ1) и z2 = r2 (cos θ2 + i sin θ2), произведение
  можно вывести, выполнив несколько простых шагов:
  – Умножьте модули , чтобы найти модуль произведения: r1 умножить на r2
  – Добавьте аргументы , чтобы найти аргумент суммы : cos (θ1 + θ2)
  + i sin (θ1 + θ2)
  -Умножить модуль произведения на аргумент суммы: r1r2 [cos (θ1 + θ2) +
  i sin (θ1 + θ2)]
• Чтобы разделить два комплексных числа:
  – Разделите модули , чтобы получить модуль в частном : r1/r2
  – Вычтите аргументы , чтобы получить аргумент разности : cos (θ1 – θ2)
  + i sin (θ1 – θ2)
  -Умножить модуль частного на аргумент разности: r1/r2 [cos (θ1 – θ2)
  + i sin ( θ1 – θ2)]
• Пример:
  z1 = √(3/2 + (1/2)i
  z2 = -2 – 2i
  Найдите z1 * z2:
  (1) Выразите каждое в тригонометрической форме
  z1 = 2(cos 30° + i sin 30°)
  z2 = 2√2(cos 225° + i sin 225°)
  (2) Модули умножения:
  2 * 2√2 = 4√2
  (3) Добавить аргументы:
  cos(30° + 225°) + i (sin 30° + 225°)
  (4) Треугольная форма = 4√2 [cos(30° + 225°) + i (sin 30° + 225°)]
  4√2[cos (255°) + i (sin 255°)]
  найти в прямоугольной форме, вычислить cos 255° и sin 255° и упростить:
  4√2 [cos (255°) + i (sin 255°)]
  С формулой суммы и разности:
  cos (a+b) = cos a cos b – sin a sin b
  sin (a+b) = sin a cos b + sin b cos a
  С калькулятором:
  cos 255° = -0,2588
  sin 255° = -0,9659
  -1,464 – 5. 464i

Теорема ДеМойвера

• Повторяя описанную выше процедуру умножения, можно вывести теорему Де Муавра, позволяющую вычислять степени
  и корни комплексных чисел.
• Чтобы проиллюстрировать это, если бы мы продолжали умножать z = r (cos θ + i sin θ) само по себе, мы получили бы: ³ = r ³ (cos 3θ + i sin 3θ)
  z ⁴ = r ⁴ (cos 4θ + i sin 4θ)
• Для отрицательных показателей он разворачивается по следующему шаблону:
  z ^-1 = r ^-1 [(cos(-θ)) + i sin (-θ)]
  z ^-2 = r ^-2 [(cos(-2θ)) + i грех (-2θ)]
• Формально сформулированная теорема Де Муавра, как правило, гласит:
• ПРИМЕР:
  (1 + √3i) ⁵
  -В тригонометрической форме:
  2(cos 60° + i sin 60°)
  -Применить теорему Де Муавра:
  2 ⁵ [cos 5(6 0°) + i sin 5(60°)]
  32 (cos 300° + i sin 300°)
  32 (1/2 + i(-√3)/2)
  16 — (16√3)i

Корни комплексных чисел

• Некоторые основы визуализации корней комплексных чисел:
  — n корней комплексного числа лежат на окружности, образованной внутри комплексной плоскости с центром в начале координат и радиусом = (r) ^(1/n)
  — n корней на указанном круге расположены через равные промежутки, начиная с K = 0 и продолжая до k = n-1, прогрессируя с аргументами (т.

  No related posts.