Примеры неопределенных интегралов: Примеры решений неопределенных интегралов

Содержание

Метод разложения интегрирования неопределенных интегралов. Примеры.

Метод интегрирования, при котором интеграл с помощью тождественных преобразований подынтегральной функции и применения свойств интегралаприводится к одному или нескольким табличным интегралам, называется непосредственным интегрированием.

Таким образом, алгоритм действий следующий:

тождественное преобразование подынтегральной функции;
применение свойств неопределенного интеграла: вынесение константы за знак интеграла, представление интеграла от суммы функций в вид суммы интегралов;
использование таблицы интегралов.

В простейших примерах для применения непосредственного интегрирования достаточно разложить подынтегральную функцию на слагаемые и постоянные величины вынести за знак интеграла.

При определенной практике интегрирования обычно эти действия проводят устно, записывая лишь результат интегрирования.

Метод замены переменной (метод подстановки) интегрирования неопределенных интегралов. Примеры.

Метод интегрирования неопределенных интегралов по частям. Примеры.

Интегрирование простейших рациональных дробей. Примеры.

Интегрирование некоторых видов иррациональностей. Примеры.

1. Интегралы вида , где  несократимые обыкновенные дроби. Следует сделать подстановку где s – общий знаменатель дробей , т. е. наименьшее общее кратное n, …, g. Тогда , каждая дробная степень выразится через целую степень t и подынтегральная функция преобразуется в рациональную функцию от t, что позволяет избавиться от иррациональности.

2. Интегралы вида

Нужно сделать подстановку , где s – наименьшее общее кратное знаменателей n, …, g. Тогда и подынтегральная функция преобразуется в рациональную функцию от t.

П р и м е р 15. Найти интеграл .

Решение. ; ; .

Интеграл примет вид

3. Интегралы вида .

Выделим полный квадрат в выражении , сделаем подстановку , обозначим . Тогда интеграл примет вид

В ответе t заменить на .

П р и м е р 16. Найти интеграл .

Решение. , , .

Интеграл примет вид

4. Интегралы вида , где Q_n(x)  многочлен степени n(n > 1).

,где Q_n_-1(x) – неизвестный многочлен (n1)-й степени, λ – неизвестное число.

Дифференцируя левую и правую части равенства по x, получим

Умножая это равенство на , получим

Методом неопределенных коэффициентов можно найти коэффициенты Q_n_-1(x) и λ, и затем останется вычислить только .

5. Интегралы вида .

С помощью подстановки указанные интегралы приводятся к интегралам вида 3 или 4. В самом деле,

Под корнем после преобразований получается квадратный трехчлен.

Интегрирование тригонометрических функций. Примеры.

Интегрирование биномиальных дифференциалов. Примеры.

Дифференциальным биномом называют выражение вида

где a и b — любые константы, а показатели степеней m, n и p — рациональные числа. Изучим вопрос об интегрируемости в элементарных функциях дифференциальных биномов. Рассмотрим три случая , когда интеграл от дифференциального бинома допускает рационализирующую подстановку. 1. Первый случай соответствует целому p. Дифференциальный бином представляет собой дробно-линейную иррациональность вида , где r — наименьшее общее кратное знаменателей рациональных чисел m и n. Стало быть, интеграл от дифференциального бинома в этом случае рационализируется подстановкой . 2.Второму случаю соответствует

целое число . Сделаем подстановку и положим для краткости , получим

Подынтегральная функция в правой части является дробно-линейной иррациональностью следующего вида вида , где s — знаменатель рационального числа p. Таким образом, для второго случая дифференциальный бином рационализируется подстановкой

3. Третьему случаю соответствует целому число . Подынтегральная функция в правой части является дробно-линиейной иррациональностью вида , так что интеграл от дифференциального бинома рационализируется подстановкой вида

В середине 19-го века П. Л.Чебышев доказал, что указанными выше тремя случаями исчерпываются все случаи, когда дифференциальный бином интегрируется в элементарных функциях. (Мемуар 1853 года «Об интегрировании иррациональных дифференциалов»).

Примеры

1)Вычислить интеграл . Здесь . Так как p — целое, значит используем подстановку из первого случая

подставим:

Сообщество Экспонента

вопрос
14.03.2023

Изображения и видео

Здравствуйте, подскажите пожалуйста в чем может быть ошибка «Undefined function ‘wnr’ for input arguments of type ‘double'». %Restoring an image with a Wiener filterlen = 21;theta = 11;% Class o…

5 Ответов

вопрос
14.

03.2023

Электропривод и силовая электроника, Встраиваемые системы

Ищу представителя, кто может помочь в воссоздании динамической модели дизель-генераторной установки в Mathlab в частности: 1. Воссоздать в Mathlab динамическую модель дизель-генераторной установки, а…

2 Ответа

вопрос
12.03.2023

Системы управления, Электропривод и силовая электроника, Верификация и валидация

Добрый день! Есть люди, которые смогут построить модель электродвигателя из библиотеки Simscape Electrical? Не за бесплатно, или хотя бы подсказать из каких уравнений можно ее построить

1 Ответ

MATLAB
Simscape Electrical
модель

12. 03.2023

вопрос
09.03.2023

Встраиваемые системы, Глубокое и машинное обучение(ИИ), Изображения и видео, Математика и статистика, Робототехника и беспилотники, Системы управления, Электропривод и силовая электроника, Другое, Цифровая обработка сигналов

Коллеги, добрый день. Необходимо в приложении создать одинаковую структуру вкладок, кнопок, лампочек и т.д. Пытаюсь сделать это так: f function startupFcn(app) fc_createTab(app,’WCT’,’…

1 Ответ

appdesigner

09.03.2023

вопрос
06.03.2023

Цифровая обработка сигналов

Всем привет! Кто-нибудь может помочь мне скачать дополнение поддержки микроконтроллеров «Тексас инструментс» для «Матлаба 2016b»? Требуется такое дополнение: «Embedded Coder Support Package for TI C20. ..

1 Ответ

вопрос
04.03.2023

Изображения и видео

Здравствуйте!Имеется двумерный массив значений, который я визуализирую через imagesc и есть скриншот поверх которого я хотел бы наложить изображение этого массива. Кто-нибудь может подсказать как это…

обработка изображений

04.03.2023

вопрос
03.03.2023

Цифровая обработка сигналов, Изображения и видео

Для решения обратной задачи расшифровки видео изображения капиллярных волн (оптика океана) нужно решить систему 2-х нелинейных уравнений (с 2 неизвестными) , в которых параметры также зависят от. ..

нелинейные алгебраические уравнения
обработка изображений

03.03.2023

вопрос
24.02.2023

Электропривод и силовая электроника

Здравствуйте, столкнулся с непонятным поведением трехфазного инвертора. Какие бы сигналы я не подавал на затворы ключей, итог один и тотже. Напряжение на фазах инвертора всегда равно половине напряжен…

вопрос
14.02.2023

Другое, Системы управления

Гидроцилиндр

3 Ответа

Гидравлика

14. 02.2023

вопрос
12.02.2023

Системы управления, Электропривод и силовая электроника, Другое

Есть модель двигателя https://www.mathworks.com/help/sps/ref/bldc.html Мне необходимо построить такую же модель только из стандартных блоков. Mask -> Look under mask не работает. Как можно заглянут…

4 Ответа

Электропривод
BLDC

12.02.2023

Неопределенные интегралы Примеры

Главная /
Математика /
Неопределенные интегралы /
Примеры

Неопределенные интегралы /
Примеры
1 Top 90ics
- Введение
- Темы
- Примеры
- Неопределенные интегралы Введение
- LAGRANGE (PRIME) Нотация
- Leibniz (Фракция) Нотация
- Интеграция по замене: Определенные интегралы
- Интеграция по частям: Indefinite Integrals
- Интеграция: Depanite Integration
- Интеграция. 0004
- Интеграция определенных интегралов
- плохо себя ведущие ограничения
- Функции с плохой великой
- .
- Упражнения
- Викторины
- Условия
- Раздаточный материал
- Лучшее из Интернета
- Содержание
- НАЗАД
- СЛЕДУЮЩИЙ
Неопределенные интегралы Введение
В этом разделе мы обсудим методы нахождения интегралов, как определенных, так и неопределенных. Первый метод, интегрирование путем замещения, представляет собой способ мышления в обратном направлении. Затем мы напрямую приложим…
Обозначение Лагранжа (простое число)
Когда мы используем цепное правило для получения производных, есть некоторые закономерности, которые проявляются во многих случаях. Некоторые примеры: Мы можем использовать эти шаблоны для нахождения неопределенных интегралов. Общая стратегия интегрирования…
Лейбниц (Дробь) Обозначение
Чтобы выполнить интегрирование путем подстановки, используя обозначения Лейбница, мы думаем о производной функции как о доле бесконечно малых величин du и dx. Мы изменяем переменные, манипулируя…
Интегрирование путем подстановки: определенные интегралы
Будьте осторожны: есть два способа использовать подстановку для вычисления определенных интегралов. При вычислении определенного интеграла убедитесь, что вы знаете, как вы их используете. Способ 1: Сначала интегрируйте в…
Интегрирование по частям: неопределенные интегралы
Мы можем рассматривать интегрирование по частям как способ отменить правило произведения. В то время как интегрирование подстановкой позволяет находить первообразные функций, полученных из цепного правила, интегрирование по части…
Интегрирование по частям: определенные интегралы
Как и при интегрировании подстановкой, существуют два различных способа интегрирования определенных интегралов. с помощью интегрирования по частям. Как и в случае интегрирования путем подстановки, мы должны быть осторожны, чтобы не смешивать…
Интегрирование неполными дробями
Интегрирование неполными дробями — это метод, который мы можем использовать для интегрирования рациональных функций, когда степень числителя меньше степени знаменателя. Вот общая картина: Мы остаемся…
Интегрирование определенных интегралов
Еще одна хорошая новость об интегрировании с помощью неполных дробей: есть только один способ интегрировать определенные интегралы. Найдите первообразную подынтегральной функции. Используйте основную теорему расчета. ..
Плохие пределы
Несобственные интегралы с плохими пределами — это интегралы, у которых один или оба предела бесконечны. Эти интегралы выглядят следующим образом: если только один предел интегрирования бесконечен, то другой предел…
Плохие функции
Неправильные интегралы с плохо ведущими себя функциями обманчивы. Они выглядят как нормальные определенные интегралы, но где-то в промежутке от а до b, возможно, в одной из конечных точек будет а…
Плохое поведение Все
Если вам дали какой-то случайный интеграл для интегрирования, вам, вероятно, не скажут, неправильный он или нет. Это может быть неправильным из-за плохого поведения пределов, плохого поведения функции или того и другого….
p -Тест
Мы часто используем интегралы функций для различных значений p, чтобы помочь определить сходятся или расходятся другие интегралы. Вы уже проделали работу, чтобы показать это, так что мы просто суммируем. ..
Конечные и бесконечные площади
Помимо p-теста, есть несколько основных принципов, которые рассматриваются в оставшейся части этого раздела. Если у нас есть сходящийся интеграл и мы уменьшим его интервал интегрирования, новый интеграл будет al…
Сравнение с формулами
Мы можем выяснить, сходятся или расходятся интегралы, сравнивая их с другими интегралами, сходимость или расходимость которых нам уже известна. Когда мы смотрим на формулы, а не на графики, w…
- НАЗАД
- СЛЕДУЮЩИЙ
Процитировать эту страницу
Выход из системы…
Почему это смешно?
ЗАКРЫТЬ
5.1: Неопределенный интеграл — Mathematics LibreTexts
Последнее обновление
Сохранить как PDF
Идентификатор страницы
54786

Майкл Коррал
Колледж Скулкрафт

Производные появляются во многих физических явлениях, таких как движение объектов. Вспомним, например, что, зная функцию положения \(s(t)\) объекта, движущегося по прямой линии в момент времени \(t\), можно найти скорость \(v(t)=s'(t )\) и ускорение \(a(t)=v'(t)\) объекта в момент времени \(t\) путем взятия производных. Предположим, что ситуация была обратной: если задана функция скорости, как бы вы нашли функцию положения, или задана функция ускорения, как бы вы нашли функцию скорости?

В этом случае вычисление производной не поможет, так как нужен обратный процесс: вместо дифференцирования нужен способ выполнения антидифференцирования , т.е. вычисление первопроизводной .

Дифференциация относительно проста. Вы изучили производные многих классов функций (например, многочлены, тригонометрические функции, экспоненциальные и логарифмические функции), и с помощью различных правил дифференцирования вы можете вычислять производные сложных выражений, включающих эти функции (например, суммы, степени, произведения, частные) . Однако антидифференциация — это отдельная история. 92 + C\) — производная которой также оказывается \(f(x) = 2x\)? Ответ, к счастью, нет:

Чтобы доказать это, рассмотрим функцию \(H(x) = F(x) — G(x)\), определенную для всех \(x\) в общей области \(I\) функции \(F\) и \(G\). Поскольку \(F'(x) = G'(x) = f(x)\), то

\[H'(x) ~=~ F'(x) ~-~ G'(x) ~=~ f(x) ~-~ f(x) ~=~ 0\] для всех \(x\ ) в \(I\), поэтому \(H(x)\) является постоянной функцией на \(I\), как было показано в разделе 4.4 о теореме о среднем значении. Таким образом, существует константа \(С\) такая, что 92 + C\), где \(C\) — константа общего положения. Таким образом, функции имеют не одну первообразную, а целое семейств первообразных, отличающихся только константой. Следующие обозначения облегчают выражение всего этого:

.
Большой S-образный символ перед \(f(x)\) называется знаком интеграла . Хотя неопределенный интеграл \(\int f(x)~\dx\) представляет всех первообразных \(f(x)\), интеграл можно рассматривать как отдельный объект или функцию в своем собственном праве, чья производная равна \(f'(x)\):
Вам может быть интересно, что представляет собой знак интеграла в неопределенном интеграле и почему включено бесконечно малое \(\dx\). Это связано с тем, что представляет бесконечно малая величина: бесконечно малая «часть» количества. Для первообразной \(F(x)\) функции \(f(x)\) инфинитезимальная (или дифференциальная) \(d\!F\) определяется формулой \(d\!F = F'( х)\,\dx = f(x)\,\dx\), и поэтому
\[F(x) ~=~ \int\,f(x)~\dx ~=~ \int\,d\!F ~.\] Таким образом, знак интеграла действует как символ суммирования: он суммирует бесконечно малые «кусочки» \(d\!F\) функции \(F(x)\) в каждом \(x\), так что в сумме они составляют всю функцию \(F(x)\). Думайте об этом как о обычном символе суммирования \(\Sigma\), используемом для дискретных сум; знак интеграла \(\int\) вместо этого принимает сумму континуумов бесконечно малых величин.
Нахождение (или вычисление ) неопределенного интеграла функции называется интегрированием функции, а интегрированием является антидифференцированием.
Пример \(\PageIndex{1}\): antideriv1
Добавьте сюда текст.
Решение
Вычислить \(\displaystyle\int\,0~\dx\).
Решение: Поскольку производная любой постоянной функции равна 0, то \(\int\,0~\dx = C\), где \(C\) — общая константа.
Примечание. С этого момента \(C\) будет просто считаться универсальной константой без необходимости каждый раз указывать это явно.
Пример \(\PageIndex{1}\): antideriv2
Добавьте сюда текст.
Решение
Вычислить \(\displaystyle\int\,1~\dx\).
Решение: Поскольку производная от \(F(x) = x\) равна \(F'(x) = 1\), то \(\int\,1~\dx = x + C\). 9{-1}\), то можно проинтегрировать любую степень \(x\):
Следующие правила для неопределенных интегралов являются прямым следствием правил для производных:
Приведенные выше правила легко доказываются. Например, первое правило является простым следствием постоянного кратного правила для производных: если \(F(x) = \int\,f(x)~\dx\), то
\[\ddx(k\,F(x)) ~=~ k\,\ddx(F(x)) ~=~ k\,f(x) \quad\Стрелка вправо\quad \int\,k\ ;f(x)~\dx ~=~ k\,F(x) ~=~ k\,\int\,f(x)~\dx ~. \quad\checkmark\] Остальные правила доказываются аналогично и остаются в качестве упражнений. Повторное использование приведенных выше правил вместе с формулой мощности показывает, что любой многочлен можно интегрировать почленно — фактически любую конечную сумму функций можно интегрировать таким образом: 92 + 100\), измеряется в футах.
Решение: Когда объект падает в момент времени \(t=0\), единственной силой, действующей на него, является гравитация, заставляющая объект двигаться вниз с известной постоянной скоростью 32 фута/с ² . Таким образом, ускорение объекта \(a(t)\) в момент времени \(t\) равно \(a(t) = -32\). Если \(v(t)\) скорость объекта в момент времени \(t\), то \(v'(t) = a(t)\), что означает, что
\[v(t) ~=~ \int a(t)~\dt ~=~ \int -32~\dt ~=~ -32t ~+~ C\] для некоторой константы \(C\). Константа \(C\) здесь равна 92 ~+~ 100\] для всех \(t \ge 0\).
Формула для \(s(t)\) в примере
Пример \(\PageIndex{1}\): гравитация
Добавьте сюда текст.
Решение
можно обобщить следующим образом: обозначим начальное положение объекта в момент времени \(t=0\) через \(s_0\), пусть \(v_0\) — начальная скорость объекта (положительная, если брошено вверх, отрицательный, если его бросают вниз), и пусть \(g\) представляет собой (положительное) постоянное ускорение под действием силы тяжести. По первому закону Ньютона единственное ускорение, сообщаемое телу 92 + v_0(0) + С = С\). Подводя итог:
Обратите внимание, что единицы измерения не указаны — они просто должны быть согласованы. В метрических единицах \(g = 9,8\) м/с ² , а \(g = 32\) фут/с ² в английских единицах.
Представление о неопределенном интеграле как о сумме всех бесконечно малых «частей» функции — с целью извлечения этой функции — обеспечивает удобный способ интегрирования дифференциального уравнения для получения решения. Ключевая идея состоит в том, чтобы преобразовать дифференциальное уравнение в 9{kt}\) для некоторой константы \(A\). C\) — константа. Обратите внимание, что это формула радиоактивного распада из раздела 2.3.
Пример \(\PageIndex{1}\): intidealgas
Добавьте сюда текст.
Решение
Напомним из раздела 3.6 уравнение дифференциальных
\[\dfrac{\dP}{P} ~+~ \dfrac{\dV}{V} ~=~ \dfrac{\dT}{T}\] относительно давления \(P\), объема \( V\) и температура \(T\) идеального газа. Проинтегрируйте это уравнение, чтобы получить исходный закон идеального газа \(PV = RT\), где \(R\) — константа. .
Решение: Интегрирование обеих частей уравнения дает 9С\) является константой.
Формулы интегрирования в этом разделе зависели от того, что уже были известны производные определенных функций, а затем «работали в обратном направлении» от их производных для получения исходных функций. Без этих предварительных знаний вы были бы сведены к догадкам или, возможно, к распознаванию паттерна из какой-то производной, с которой вы столкнулись. Вскоре будет представлен ряд методов интегрирования, но есть много неопределенных интегралов, для которых не существует простой замкнутой формы (например, \(\int e^{x^2}\,\dx\) и \(\int \sin( х^2)\,\dx\)). 2}{ 2g}\).
В этом случае предполагается, что функция \(f\) дифференцируема в точке \(x\). Если нет, то точки, в которых \(f\) не дифференцируемы, можно исключить, не влияя на интеграл.
Доказательство и более полное обсуждение всего этого см. в главах 1-2 в Knopp, MI, Theory of Area , Chicago: Markham Publishing Co., 1969. В книге делается попытка точно определить, что на самом деле означает «площадь». , включая прямоугольник (показывая согласие с интуитивным понятием ширины, умноженной на высоту).↩
Теорема может быть доказана для более слабого условия, что \(f\) просто непрерывно на \(\ival{a}{b}\). См. стр. 173-175 у Parzynski, W.R. and P.W. Zipse, Introduction to Mathematical Analysis , New York: McGraw-Hill, Inc., 1982. ↩
Создан физиком П.А.М. Дирак (1902-1984), получивший Нобелевскую премию по физике в 1933 году. Функция не является ни вещественной, ни непрерывной в \(x=0\).
No related posts.