Примеры решения линейных неравенств: Линейные неравенства

Содержание

Как решать линейные неравенства

Оглавление

Время чтения: 7 минут

650

В статье мы рассмотрим, что собой представляют линейные неравенства с одной переменной и покажем, какими способами их можно решать.

Понятие линейного неравенства

Определение

Линейными неравенствами с одной переменной называются неравенства, которые можно записать в виде формулы ax + b > 0. Вместо «>» могут быть знаки «<» или «≤», «≥». x – неизвестная переменная. a и b – действительные числа.

Линейными неравенствами с одной переменной называют неравенства a*x < c либо a*x > c, в которых x – искомая переменная, а a и c некоторые числа. О том, что коэффициент при x может или не может быть равным нулю, ничего не говорится. Это позволяет строгое неравенство 0*x > c и 0*x < c записать в виде 0*x ≥ c и 0*x ≤ c.

Линейными неравенствами с одной переменой считают неравенства, имеющие вид ax + b < 0, ax + b > 0, ax + b ≥ 0, ax + b ≤ 0. Где a и b являются любыми числами, но a не должно равняться нулю. x – искомая переменная.

Неравенства ax + b > 0 и ax > c считаются равносильными, так как получаются с помощью переноса слагаемого из одной их части в другую. Решения подобных неравенств совпадают.

Примеры линейных неравенств с одной переменной:

-2x + 4 > 0;
3x +1 ≤ 0;
2(x-1) < 2x-4;
3x+1 ≤ 6-3x
3x – 6 > 0.

Как решать линейные неравенства

Решением линейного неравенства называют нахождение всех значений переменной x, при которых оно сохраняет свою силу. Самыми распространёнными и результативными способами, с помощью которых удаётся решить подавляющее большинство линейных неравенств являются метод равносильных преобразований, метод интервалов и графический метод. Рассмотрим каждый из них подробнее.

Решение линейных неравенств с помощью равносильных преобразований

Применительно к нашему случаю равносильными называются следующие преобразования:

Перенос одного и более членов неравенства из одной части в другую. При этом знак переносимого слагаемого меняется на противоположный. В качестве примеров подобного рода неравенств можно привести
2x − 3 > 6 и 2x > 6 + 3 или 10x – 1 > 3 и 10x > 3 + 1.

Деление или умножение обеих частей неравенства на одно положительное число. Знак неравенства при этом остаётся тем же. В качестве примеров можно указать
2x > 9 и 10x > 45 или -9x > -15 и -3x > -5.

Деление или умножение обеих частей неравенства на одно отрицательное число. Знак неравенства при этом нужно сменить на противоположный. Примеры подобных неравенств следующие 5x < -8 и -10x>16 или 9x +12 > 21 и 3x — 4 < -7.

Задачи 1 — 2

Решить: 2x – 9 >3.

Решение: Видно, что коэффициент при x ненулевой. Это значит, описанные выше преобразования применимы.

Переносим свободное слагаемое из левой части в правую и получаем 2x > 3+9, 2x > 12

Разделим обе части на 2. Будем иметь x > 6. Это неравенство равносильно 2x – 9 >3.

Полученное решение можно записать в виде x > 6 либо \[(6,+\infty)\].

Скобки круглые т. к. неравенство строгое.

Ответ: \[(6,+\infty)\].

Решить: -5x – 8 ≥ 12

Решение: Коэффициент при x равен -5 т. е. тоже не нулевой, а значит можно решать дальше. Переносим -8 в правую часть и получаем -5x ≥ 12 + 8, -5x ≥ 20.

Делим обе части на -5. Не забываем, что при этом необходимо будет сменить знак.

x ≤ -4

Решение записываем, как x ≤ -4 или (-∞, -4]. Скобка в конце стоит квадратная т. к. x может быть не только меньше, но и равным 4.

Ответ: (-∞, -4].

Если числовое неравенство b > 0 («<», «≤», «≥») верно, то исходное неравенство будет иметь своё решение при любом из значений x. Если же оно неверно, то у исходного неравенства решений нет вовсе.

Задачи 3 — 4

Решить неравенство: 0*x + 9 > 0.

Решение: Указанное неравенство равносильно 9 > 0.

x при этом может принимать совершенно любые значения.

Решение имеет вид (-∞, ∞).

Ответ: (-∞, ∞).

Решить: 0*x + 3 < 0.

Решение: Данное неравенство сводится к 3 < 0

Оно является неверным, а значит неравенство решений не имеет.

Ответ: решений нет.

У некоторых из читателей возможно появился вопрос, как быть, если и в роли коэффициента при x, и в роли слагаемого выступает ноль. Это неравенства 0*x + 0 < 0, 0*x + 0 > 0, 0*x + 0 ≤ 0, 0*x + 0 ≥ 0. Два первых из них решений не имеют, ведь ноль не может быть больше или меньше самого себя. У двух последних решения есть т. к. любое число равно самому себе, в частности, ноль равен нулю.

Нет времени решать самому?

Наши эксперты помогут!

Контрольная

| от 300 ₽ |

Реферат

| от 500 ₽ |

Курсовая

| от 1 000 ₽ |

Решение линейных неравенств методом интервалов

Он может быть использован лишь тогда, когда коэффициент при x не равен нулю. Последовательность действий при использовании указанного метода следующая:

Находятся нули функции y = ax + b. Для этого, нужно решить уравнение ax + b = 0. При a неравном нулю его решение будет состоять из одного корня x₀.
Строится координатная прямая. На ней изображается точка с координатой x_0.При строгом неравенстве точку нужно изобразить выколотой. При нестрогом – закрашенной.
На промежутках определяются знаки функции y = ax + b. Если решение неравенства имеет знаки > или ≥, то добавляется штриховка над положительным промежутком. Если решение идёт со знаками если < или ≤, штриховка происходит над отрицательным промежутком.

Задача 5

Решить: −6x + 12 > 0 методом интервалов.

Решение:

Действуем в соответствии с алгоритмом. Находим корень уравнения − 6x + 12 = 0.

Делим обе части выражения на -6. Получаем x=2.

Для определения знака на промежутке (−∞, 2) вычисляем функцию y = −6x + 12 при х = 1. Видим, что −6 * 1 + 12
= 6, 6 > 0, т. е. знак положительный. Определяем, какой знак на промежутке (2, + ∞). Для этого в функцию
подставляем х = 3. Получаем

Штрихуем положительный промежуток

Из чертежа ясно, что решение нашего неравенства (−∞, 2) или x < 2.

Ответ: (−∞, 2).

Решение неравенств графическим способом

Главное при пользовании этим методом правильно найти промежутки, которые требуется изобразить на графике.

Действия при пользовании графическим способом следующие:

При решении ax + b < 0 определяем промежуток, где график будет ниже оси 0x;
При решении ax + b ≤ 0 определяем промежуток, где график либо ниже 0х, либо совпадает с ней;
При решении ax + b > 0 определяем промежуток, где график выше оси 0х;
При решении ax + b ≥ 0 определяем промежуток, где график выше оси 0х или совпадает с ней.

Задача 6

Решить: −4 * x − √3> 0

Коэффициент при x отрицательный, значит наша прямая убывающая. Чтобы определить точки её пересечения с осью 0x нужно решить уравнение −4 * x − √3 = 0

X= -√3/4

Построим график этого линейного неравенства y=0.

Т. к. у решения неравенства знак >, внимание следует обращать на промежуток выше оси 0x.

Он находится левее точки -√3/4.

Видно, что решением неравенства будет (−∞, −√3/4).

Ответ: (−∞, −√3/ 5).

Неравенства, сводящиеся к линейным

При их решении следует использовать такие приёмы, как раскрытие скобок, собирание в левой части неравенства чисел, а в правой переменных, деление обеих частей на коэффициент при x.

Задача 7

Решить: 3x + 2 > 2(x + 3) + x.

Решение: Раскрываем в правой частях скобки 3x + 2 > 2x + 6 + x.

Переносим члены с иксами в одну сторону, без иксов в другую.

3x — 2x — x > 6 – 2

0x > 4

0 > 4

Получаем противоречие, т. е. неравенство решения не имеет.

Ответ: решений нет.

Оценить статью (56 оценок):

Линейные неравенства с двумя переменными.

Примеры решений

Уравнение хорошо, а неравенство – не хуже.

Различают два типа линейных неравенств:

1) Строгие неравенства: .

2) Нестрогие неравенства: .

Какой геометрический смысл этих неравенств? Если линейное уравнение задаёт прямую, то линейное неравенство определяет полуплоскость.

Начнём с простейших линейных неравенств. Голубая мечта любого двоечника – координатная плоскость, на которой нет ничегошеньки. Даже стрелочки для вас забыл:))
Как известно, ось абсцисс задаётся уравнением – «игрек» всегда (при любом «икс») равен нулю.

Рассмотрим неравенство . Как его понимать неформально? «Игрек»

всегда (при любом «икс») положителен. Очевидно, что данное неравенство определяет верхнюю полуплоскость – ведь там и находятся все точки с положительными «игреками».

В том случае, если неравенство нестрогое , к верхней полуплоскости дополнительно добавляется сама ось .

Аналогично, неравенству удовлетворяют все точки нижней полуплоскости, нестрогому неравенству соответствует нижняя полуплоскость + ось .

С осью ординат та же самая прозаичная история:

– неравенство задаёт правую полуплоскость;
– неравенство задаёт правую полуплоскость, включая ось ординат;
– неравенство задаёт левую полуплоскость;
– неравенство задаёт левую полуплоскость, включая ось ординат.

На втором шаге рассмотрим неравенства, в которых отсутствует одна из переменных, «игрек»:

или «икс»:

С такими неравенствами можно разобраться двумя способами, и мы разберём оба подхода. Попутно вспомним «школьные» действия с неравенствами, которые во многом напоминают действия с уравнениями:

Задача 86

Решить линейные неравенства:

Что значит решить линейное неравенство?

Решить линейное неравенство – это значит найти полуплоскость, точки которой удовлетворяют данному неравенству (+ саму прямую, если неравенство нестрогое).

Решение, как правило, графическое, удобнее сразу выполнить чертёж, а потом всё закомментировать:

а) Решим неравенство

Способ первый весьма напоминает историю с координатными осями, которую мы рассмотрели выше. Идея состоит в преобразовании неравенства – чтобы в левой части оставить одну переменную без всяких констант, в данном случае – переменную «икс».
Для этого переносим «пятёрку» в правую часть со сменой знака:
и умножаем обе части неравенства на :

Теперь чертим прямую (синий пунктир).

Каков смысл неравенства ? «Икс» всегда (при любом значении «игрек») меньше, чем . Очевидно, что этому условию удовлетворяют все точки левой полуплоскости. Эту полуплоскость, в принципе, можно заштриховать, но я ограничусь маленькими синими стрелочками, чтобы не превращать чертёж в художественную палитру.

Сама прямая проведена пунктиром по той причине, что неравенство строгое, и точки, принадлежащие прямой , не удовлетворяют неравенству .

Способ второй, универсальный. ЧИТАЕМ ОЧЕНЬ ВНИМАТЕЛЬНО!

Сначала чертим прямую . Для ясности, кстати, уравнение удобно представить в виде .

Теперь выбираем любую точку плоскости, не принадлежащую прямой. В большинстве случаев самая лакомая точка, конечно . Подставим координаты данной точки в неравенство :

Получено неверное неравенство (простыми словами, неправда), значит, точка не удовлетворяет неравенству .

Ключевое правило:

– Если какая-либо точка, не принадлежащая прямой, не удовлетворяет

неравенству, то и ВСЕ точки этой полуплоскости не удовлетворяют данному неравенству.

– Если какая-либо точка, не принадлежащая прямой, удовлетворяет неравенству, то и ВСЕ точки этой полуплоскости удовлетворяют данному неравенству

Можете протестировать: любая точка справа от прямой вместе с проверенной точкой не будет удовлетворять неравенству .

Деваться некуда, неравенству удовлетворяют все точки левой полуплоскости (тоже можете проверить).

б) Решим неравенство

Способ первый. Преобразуем неравенство, чтобы получить слева «игрек»:

и специфичное для неравенств правило, которое помнят далеко не все:

Если обе части неравенства умножить на отрицательное число, то знак неравенства меняется на противоположный (например, если было , то станет ; если было , то станет ).

Умножим обе части неравенства на :

Начертим прямую (красный цвет на чертеже), причём, начертим сплошной линией, так как неравенство у нас нестрогое и прямая заведомо принадлежит решению.

Проанализировав полученное неравенство , приходим к выводу, что его решением является нижняя полуплоскость (+ сама прямая).

Нужная полуплоскость штрихуется либо помечается стрелочками.

Способ второй. Начертим прямую . Выберем произвольную точку плоскости, не принадлежащую прямой, например, и подставим её координаты в наше неравенство :

Получено верное неравенство, значит, точка удовлетворяет неравенству , и вообще – ВСЕ точки нижней полуплоскости удовлетворяют этому неравенству. Здесь подопытной точкой мы «попали» в нужную полуплоскость.

Решение задачи обозначено красными стрелочками на чертеже выше.

Лично мне нравится больше первый способ решения, хотя второй, на мой взгляд, чуть проще.

Задача 87

Решить линейные неравенства:

Постарайтесь решить задачу двумя способами (к слову, это хороший способ проверки решения). Чертёж с графическим решением в конце книги.

Думаю, после всех проделанных в примерах действий вам ~~придётся на них жениться~~
не составит труда быстро решить простейшие неравенства вроде и т.п.

Переходим к рассмотрению третьего, общего случая, когда в неравенстве присутствуют обе переменные:

(как вариант, свободный член «цэ» может быть нулевым)

Во всех перечисленных случаях используется универсальный метод решения с подстановкой точки:

Задача 88

Найти полуплоскости, соответствующие следующим неравенствам:

Решение:
а) Построим уравнение прямой , при этом линию следует провести пунктиром, так как неравенство у нас строгое и сама прямая не войдёт в решение.

Выбираем подопытную точку плоскости, которая не принадлежит данной прямой, например, , и подставляем её координаты в наше неравенство:

Получено неверное неравенство, значит, точка и ВСЕ точки данной полуплоскости не удовлетворяют неравенству .

Таким образом, решением неравенства будет другая полуплоскость, помечаем её синими стрелочками:
б) Решим неравенство . Сначала построим прямую – это каноничная прямая пропорциональность . Линию проводим «сплошняком», так как неравенство у нас нестрогое.

Выберем произвольную точку, не принадлежащую прямой . Хотелось бы снова использовать начало координат, но, увы, оно не годится. Что выбрать? Выгоднее взять точку с небольшими значениями координат, например, . Подставим её координаты в наше неравенство:

Получено верное неравенство, значит, точка и все точки данной полуплоскости удовлетворяют неравенству . Помечаем решение красными стрелочками, кроме того, в него входит сама прямая .

Задача 89

Найти полуплоскости, соответствующие неравенствам:

Тренируемся! – примерный образец чистового оформления решения в конце книги.

Разберём обратную задачу:

Задача 90

а) Дана прямая . Определить полуплоскость, в которой находится точка , при этом сама прямая должна входить в решение.

б) Дана прямая . Определить полуплоскость, в которой находится точка . Сама прямая не входит в решение.

Здесь нет надобности в чертеже и решение чисто аналитическое:

а) Составим вспомогательный многочлен и вычислим его значение в точке . Таким образом, искомое неравенство будет со знаком «меньше». По условию прямая входит в решение, поэтому неравенство нестрогое:

б) Составим многочлен и вычислим его значение в точке . Таким образом, искомое неравенство будет со знаком «больше». По условию прямая не входит в решение, поэтому неравенство строгое: .

Ответ:

Творческая задача для самостоятельного решения:

Задача 91

Среди точек найти те, которые вместе с началом координат лежат по одну сторону от прямой

Аналитическое решение и ответ в конце книги.

2.7. Системы линейных неравенств

2.5.8. Как найти проекцию вектора на прямую?

| Оглавление |

Автор: Aлeксaндр Eмeлин

Решение линейных неравенств | nool
Перейти к основному содержанию
Домашняя страница Технологического института Онтарио
nool
Неравенство — это утверждение, указывающее, что два выражения не равны друг другу определенным образом (например, одно выражение больше или меньше другого). В случае линейного неравенства его можно упростить до вида
ax ≥ b, ax > b, ax ≤ b или ax < b
, где a и b — действительные числа, а a ≠ 0 .
Чтобы решить линейное неравенство, вы должны выделить переменную, выполнив следующие шаги:
Расширить (если применимо)
Группоподобные термины (если применимо)
Переставьте так, чтобы все члены с переменной в них находились на одной стороне неравенства, а все члены без переменной в них (т. е. только числовые члены) — на другой стороне. То есть переставить в форму ax > b или ax < b и т. д. (для этого вы просто добавляете/вычитаете термины с обеих сторон)
Разделите на коэффициент переменной, чтобы найти переменную (т. е. если вы получили ax > b или ax < b и т. д., разделите обе части на a, чтобы найти x). ВАЖНО: если вы делите на отрицательное число, неравенство меняет направление (т. е. > становится < и т. д.)
Пример: Решите линейное неравенство 5x — 1 ≥ 3x + 2
Решение:
5x — 1 ≥ 3x + 2
5x — 3x ≥ 2+ 1
2x ≥ 3
x ≥ 2x 2+ 10003
2x ≥ 3
x ≥ 3/2
Пример: Решите неравенство -6x + 1 <3x + 4
Решение:
-6x +1 <3x + 4
-6x -3x <4 -1
-9x < 3
x > -1/3
Заметим, что ситуации с необходимостью деления на отрицательное число (и, следовательно, смены знака неравенства) можно было бы избежать, собрав члены с переменной справа от неравенства и термины только с цифрами слева. Давайте поставим вопрос так же, чтобы вы могли увидеть разницу:
-6x +1 <3x + 4
1 -4 <3x + 6x
-3 <9x
-3/9
-1/3
на первый взгляд не похоже, -1/3 < x и x > -1/3 говорят об одном и том же. В обоих случаях мы говорим: x больше — 1/3
Линейный пример 1:

Линейный пример 2:

Квадратичный пример:0032

Три фактора Пример:

Абсолютные неравенства Пример 1:

Абсолютное неравенство Пример 2:
0 неравенство.
4.
3: Решение линейных неравенств — Mathematics LibreTexts
Последнее обновление
Сохранить как PDF
Идентификатор страницы
83130
Дженнифер Фрейденрайх
Diablo Valley College
Линейные уравнения имеют только одно решение. Линейные неравенства имеют бесконечно много решений, и для их выражения требуются интервалы. Сравним:
Линейное уравнение Линейное неравенство
\(\begin{массив} &4b — 3 &= 5 \\ 4b — 3 + 3 &= 5 + 3 \\ 4b &= 8 \\ b &= 2 \end{массив}\) \(\begin{массив} &4b — 3 &> 5 \\ 4b — 3 + 3 &> 5 + 3 \\ 4b &> 8 \\ b &> 2 \end{массив}\)
Набор решений: \(b = \{2\}\) Набор решений: \(\{b| b > 2\}\) или интервал \((2, ∞)\)
Обозначение построителя множеств: Для выражения решений с помощью обозначения множеств используются фигурные скобки.
Состояние набора является описательным. Неравенство описывает условие. Число должно удовлетворять условию, чтобы квалифицироваться как решение.
В этом случае все числа больше двух считаются решениями, и эти числа принадлежат множеству решений.
Примечание
Хотя свойства сложения и вычитания неравенства одинаковы для неравенств и равенств, свойства умножения и деления различаются при умножении или делении на минус. Деление или умножение обеих частей неравенства на минус меняет знак неравенства на противоположный.
Пример 4.3.1
Решите неравенство и начертите набор решений. Сформулируйте ответ как в нотации построителя наборов, так и в нотации интервала.
\(−6x − 5 ≥ 13\)
Раствор
\(\begin{array} &&-6x-5 \geq 13 &\text{Добавить \(5\) к каждой стороне} \\ &-6x \geq 18 &\\ &\dfrac{-6x}{- 6} \leq \dfrac{18}{-6}&\text{Деление на минус меняет неравенство на противоположное} \\ &x \leq -3& \end{array}\)
Ответы:
Обозначение построителя наборов: \(\{x| x ≤ −3\}\)
Обозначение интервала: \((−∞, −3]\)
График:
Пример 4.
3.2
Решите неравенство и начертите набор решений. Сформулируйте ответ как в нотации построителя наборов, так и в нотации интервала.
\(10 — (2у + 1) ≤ -4(3у + 2) — 3\)
Раствор
Будьте бдительны на любом этапе решения, когда вы умножаете обе части на минус или делите обе части на минус. В противном случае решите неравенство так же, как решаете равенства.
\(\begin{array} & &10 − 2y − 1 ≤ −12y − 8 − 3 &\text{Упростите каждую сторону, очистив скобки.}\\ & −2y+ 9≤ −12y − 11 &\text{Упростите каждую сторону, объединив одинаковые термины.}\\ & −2y + 12y + 9 ≤ −12y + 12y + (−11)&\text{Добавьте \(12y\) к обеим сторонам . }\\ &10y + 9 ≤ −11 &\text{Упростить, объединив одинаковые термины.}\\ &10y + 9 − 9 ≤ −11 − 9 &\text{Вычесть \(9\) с обеих сторон.}\\ &10y ≤ −20 &\text{Упростить}\\ &\слева. \begin{array}{ll} \dfrac{10y}{10} \leq -\dfrac{20}{10}\\ \;\;y \leq -2 \end{array} \right\} \text{ Деление на положительное} &\text{Неравенство не меняется на противоположное. } \end{массив}\)
Ответы:
Обозначение построителя наборов: \(\{y| y ≤ −2\}\)
Обозначение интервала: \((−∞, −2]\)
График:
Разные шаги должны приводить к одному и тому же ответу
Во многих случаях ответ может прийти разными путями! Независимо от пути, если математика, выполненная на этом пути, верна, ответ должен быть одним и тем же.
Пример 4.3.3
Решите неравенство для \(w\): \(6w − 7 < 9ш + 5\)
Раствор
\(\begin{array} &&\text{Метод #}1 && \text{Метод #}2 \\ &6w — 7 < 9w + 5 && 6w - 7 < 9w + 5 \\
&6w — 6q — 7 < 9q - 6q + 5 &\textcolor{red}{\longleftarrow\text{Сравните эти шаги!}\longrightarrow} & 6w - 9w - 7 < 9w - 9w + 5 \\ &−7 < 3w + 5 && -3w - 7 < 5 \\ &−7 − 5 < 3w + 5 − 5 && −3w − 7 + 7 < 5 + 7 \\ &−12 < 3w && −3w < 12 \\ &\dfrac{-12}{3 } < \dfrac{3w}{3} &\textcolor{red}{\longleftarrow\text{Сравните эти шаги!}\longrightarrow}& \dfrac{-3w}{-3} > \dfrac{12}{-3 } \\ &−4 < w &\;\;\text{Ответы одинаковы!} & w > −4 \end{массив}\)
Попробуй! (Упражнения)
Для каждого из упражнений №1-20,
Решите неравенство для указанной переменной.
Выразите набор решений как в нотации построителя наборов, так и в нотации интервала.
Постройте график набора решений.
\(−2p < 10\)
\(−9 < 3y\)
\(16 ≤ 5t + 1\)
\(−14 ≥ 4x + 2\)
\(6л — 10 > 4л\)
\(8b + 3 < 7b - 1\)
\(−2a − 3 ≤ 4a + 3\)
\(9 — и ≤ 11 + и\)
\(7 — 5р ≥ 8 - 10р\)
\(5(v + 1) > 3(y — 1)\)
\(2(11 − 3t) < 4(t − 2)\)
\(6(4у — 3) ≤ -3(6 — 7у)\)
\(8а — (6 + 2а) ≥ 3(4а — 6)\)
\(10 — 2(7 + х) > 7 — 3(3х — 1)\)
\(3 + 5(3 — 2d) ≤ 18 — 6(4d — 7)\)
\(7p− (10−25p) > 4p−9(4p−6)\)
\(\dfrac{1}{2}x — \dfrac{3}{4} < x + \dfrac{1}{4}\)
\(\dfrac{3}{5} (y + 5) > \dfrac{2}{5} (y — 10)\)
\(\dfrac{1}{6} (q — 2) ≤ \dfrac{1}{3} (q + 2)\)
\(1 — \dfrac{1}{4} (2t — 1) ≥ \dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{2} (t + 1)\)
Эта страница под названием 4.
No related posts.