Скалярное произведение векторов. Примеры решения задач
Решения типовых задач по теме: «Скалярное произведение векторов»
Задача № 1. Векторы
и образуют угол . Зная,
что , вычислить:
Решение. Так как скалярное произведение двух векторов равно произведению их длин, умноженному на косинус угла между ними, и скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины, будем иметь:
Ответ: 1) 428; 2) 804.
Задача № 2. Определить, при каком значении векторы и будут взаимно перпендикулярными, если
Решения этих задач подробно изложено в следующем видео
Задача № 3. Вычислить тупой угол, образованный медианами, проведенными из вершин острых углов равнобедренного прямоугольного треугольника.
Задача № 4.
Зная одну из вершин треугольника А (1; —6; — 3) и векторы, совпадающие с двумя его сторонами
{0; 3; 5} и {4; 2; —1}, найти остальные вершины и сторону .
Решение. Найдем координаты вершины В, исходя из формул, что проекции вектора равны:
Откуда
Таким образом,
В( 1; -3; 2).
Аналогично найдем координаты точки С:
С(5; -1; 1).
Теперь найдем вектор :
Ответ: B(1; -3; 2), С(5; -1; 1), {—4; -5; -4}.
Решения этих задач подробно изложено в следующем видео
Задача № 5. В плоскости yOz найти вектор
, перпендикулярный вектору {12;-3;4} и имеющий одинаковую с ним длину.
Задача № 6. Вычислить, какую работу производит сила {6; — 2; 1}, когда ее точка приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается из положения А(3;4;—2) в положение В (4;-2;-3).
Решение. Найдем проекции вектора , по которому перемещается точка приложения силы , по фомулам
т. е.
Следовательно, имеем
={1;-6;-1}.
Так как работа численно равна скалярному произведению производящей ее силы на пройденный путь, то найдем скалярное произведение векторов и :
Ответ: А = 17 (единиц работы).
Решения этих задач подробно изложено в следующем видео
Задача № 7. Дан треугольник с вершинами А (- 2; 3; 1), В (-2; -1; 4) и С (- 2; -4; 0). Определить его внутренний угол при вершине С.
Задача № 8.
Даны три вектора
{ 1; —4; 8}, {4; 4: -2}, {2; 3; 6}.
Вычислить проекцию вектора на вектор .
Решения этих задач подробно изложено в следующем видео
Вычисление скалярного произведения, примеры и решения.
Решение различных задач на вычисление скалярного произведения векторов сводится к использованию свойств скалярного произведения и формул
;
;
или ;
.
Разберем решения наиболее часто встречающихся примеров.
Начнем с самых простых случаев, когда вычисление скалярного произведения производится на основе определения.
Пример.
Вычислите скалярное произведение двух векторов и , если их длины равны 3 и 7единиц соответственно, а угол между ними равен 60 градусам.
Решение.
У нас есть все данные, чтобы вычислить скалярное произведение по определению: .
Ответ:
.
Пример.
В прямоугольной системе координат заданы два вектора и , найдите их скалярное произведение.
Решение.
В этом примере целесообразно использовать формулу, позволяющую вычислить скалярное произведение векторов через их координаты:
Ответ:
.
Пример.
Вычислите скалярное произведение векторов и , если известны координаты трех точек в прямоугольной декартовой системе координат на плоскости .
Решение.
Найдем координаты векторов по координатам точек их начала и конца:
Теперь можно использовать формулу для вычисления скалярного произведения в координатах:
Ответ:
.
Сейчас рассмотрим пример, требующий сначала применить свойства скалярного произведения, и только затем переходить к вычислению.
Пример.
Вычислите
скалярное произведение векторов и ,
если векторы и перпендикулярны
и их длины равны 3 и 2 единицы
соответственно.
Решение.
. По свойству дистрибутивности скалярного произведения имеем . Сочетательное свойство позволяет нам вынести коэффициенты за знак скалярного произведения:
В силу свойства коммутативности последнее выражение примет вид .
Итак, после применения свойств скалярного произведения имеем . Осталось применить формулу для вычисления скалярного произведения через длины векторов и косинус угла между ними:
Ответ:
.
Сейчас рассмотрим пример на нахождение скалярного произведения векторов через числовую проекцию.
Пример.
Вычислите скалярное произведение векторов и , если , а проекция вектора на направление вектора имеет координаты .
Решение.
Векторы и противоположно направленные, так как , следовательно, числовая проекция вектора на направление вектора будет равна длине вектора со знаком минус: .
Вычисляем скалярное произведение .
Ответ:
.
Также
встречается масса обратных задач, когда
скалярное произведение векторов
известно, а требуется найти, например,
длину одного из векторов, угол между
векторами, числовую проекцию, либо
что-нибудь еще.
Пример.
При каком значении скалярное произведение векторов и равно -1.
Решение.
Так как скалярное произведение равно сумме произведений соответствующих координат, то . С другой стороны по условию . Тогда искомое значение находим из уравнения , откуда .
Ответ:
Определители очень полезны не только для решения симстем уравнений, но и при изучении очень многих других вопросов. Так, с помощью определителей можем вычислить векторное произведение двух векторов, заданных своими координатами в декартовой прямоугольной системе координат. Соответственно, можем использовать их в решении различных физических задач для определения моментов силы, инерции и т.д., в электричестве. Также легко вычислять площадь параллелограмма, зная координаты трех его вершин.
Определение. Векторным
произведением векторов и ,
угол между которыми равен ,
называется вектор, модуль которого
равен ,
перпендикулярный плоскости векторов ,
направленный так, чтобы тройка
векторов была
правой (если смотреть с конца третьего
вектора, кратчайший поворот от первого
ко второму должен происходить против
часовой стрелки).
Обозначение. или .
Решенные примеры векторного скалярного произведения
Существует два типа величин, связанных с движущимися телами: либо скалярные величины, либо векторные величины. Величина скалярной величины не имеет никакого отношения к ее направлению, тогда как величина и направление совпадают для векторной величины. Вектор можно использовать для выполнения нескольких математических операций, включая сложение и умножение. Складывать векторы просто, но чтобы их умножить, нам нужно сделать как скалярное, так и перекрестное произведение. В векторных скалярных произведениях результатом всегда является скалярная величина, поэтому скалярное произведение также называется скалярным произведением. В этой статье мы более подробно рассмотрим скалярные произведения двух векторов и используем решенные примеры, чтобы объяснить, как они работают.
Что такое скалярное произведение векторов?
В результате умножения двух векторов мы можем определить скалярное произведение как величину каждого вектора, умноженную на косинус угла между ними.
Когда два вектора перемножаются, их результат или скалярное произведение находится в той же плоскости, что и два вектора. Скалярное число получается путем выполнения математической операции над компонентами вектора. Когда два вектора идентичны по количеству измерений, применяется скалярное произведение. В математике скалярное произведение вектора на самого себя равно удвоенной его величине. Точка представляет скалярное произведение двух векторов.
Определение скалярных произведений?
Два вектора a и b с модулями |a| и |б| получаются путем сложения их скалярных произведений или скалярных произведений, где 𝜃 представляет собой угол между векторами. Векторы связаны своими скалярными произведениями и выражаются следующим образом:
a.b = |a| |б| cos 𝜃
где,
|a| представляет величину вектора a.
|б| представляет величину вектора b.
cos 𝜃 представляет косинус угла между двумя векторами (0 <= 𝜃 <= ℼ).
a.b не будет определен в случае, если a и b оба равны 0.
a.b указывает скалярное произведение двух векторов.
Геометрическое представление скалярного произведения
Мы умножаем величину одного вектора на его компонент, чтобы найти скалярное произведение двух векторов. Наши векторы умножаются в соответствии с направлением, в котором они движутся. Найдя их величину относительно друг друга и углы между ними, можно определить векторное скалярное произведение.
Угол между двумя векторами с использованием скалярного произведения
Угол между двумя векторами можно определить путем вычисления косинуса их угла. Взяв сумму отдельных компонентов двух векторов и разделив ее на угол их величины между двумя векторами.
Свойства скалярного произведения двух векторов
Векторы обладают следующими свойствами:
a .b = b.a
a.b =|a| b|cos θ
b.
a =|b||a|cos θ
a.(b + c) = a.b + a.c
Билинейное свойство:
a.(rb + c) = r.(ab) + (a.c)
(xa) . (yb) = xy (a.b)
Это потому, что скалярное произведение вектора и скаляра не разрешено.
Если a.b = 0, то два вектора ортогональны
Решенные примеры скалярного произведения
Пример 1: a=1, 2, 3 и b=4, *5, 6; найти их скалярные произведения. Какой угол получится из векторов?
Решение:
На основе формулы скалярных произведений,
Следующее выражение эквивалентно (a1b1 + a2b2 + a3b3)
Скалярное произведение можно рассчитать следующим образом:
= 1(4) + 2(−5) + 3(6)
= 4 − 10 + 18
= 12
В случае, когда a.b — положительное число, угол, образованный векторами, будет острым.
Пример 2:
A и B — два вектора со следующими свойствами: Формула для A равна 2i * 3j + 7k, а формула для B равна *4i + 2j * 4k.
Используя заданные векторы, найдите скалярное произведение.
Решение:
A.B = (2i − 3j +7k) . (−4i + 2j − 4k)
= 2 (−4) + (−3)2 + 7 (−4)
= −8 − 6 − 28
= −42
Пример 3. Предположим, два вектора [6, 2, -1] и [5, -8, 2]. Вычислите скалярное произведение двух векторов.
Решение:
Пусть [6, 2, -1] и [5, -8, 2] соответственно будут векторами a и b.
a.b = (6)(5) + (2)(-8) + (-1)(2)
a.b = 30 – 16 – 2
a.b = 12
Пример 4. Пусть a и b два вектора, равные 4 и 2 соответственно, и пусть θ равно 60 градусам. Найдите скалярное произведение двух.
Решение:
а.б = |а||b|cos θ
а.б = 4,2 cos 60°
а.б = 4,2 × (1/2)
а.б = 4
9003 произведение 1 или
внутренний продукт создается, когда два вектора имеют определенные компоненты.
Чтобы вычислить произведение, умножьте величины на синус угла между ними. Когда вектор складывается сам с собой, скалярное произведение будет квадратом его величины. Скалярные произведения не требуют, чтобы векторы были в коммутативном порядке; следовательно, векторы не обязательно располагать коммутативно. Добавление константы к вектору имеет то же скалярное произведение, что и добавление к нему другого вектора. Скалярные произведения равны нулю, когда векторы умножаются на нулевые векторы. Пара ненулевых векторов может быть ортогональной или перпендикулярной только в том случае, если их скалярное произведение равно 0. В этой статье представлено математическое и геометрическое понимание скалярных произведений двух векторов, а также показано, как они решаются на некоторых примерах.
Скалярное произведение векторов и перекрестное произведение
Перейти к основному содержанию
Домашняя страница Технологического института Онтарио
nool
Пример 1: скалярное произведение
